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《正态分布》教案及说明

正态分布 教学目的:1.了解正态分布的意义。 2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质。 ? x ??? F( x ) ? ?? ? ? ? ? 及其应用。 3.了解正态总体 N(μ ,σ 2)转化为标准正态总体 N(0,1)的等式 教学重点:1.正态分布曲线的性质、标准正态曲线 N(0,1)。 ? x ??? F( x ) ? ?? ? ? ? ? 及其应用。 2.正态总体 N(μ ,σ 2)转化为标准正态总体 N(0,1)的等式 教学难点:1.抽象函数Φ (x0)=p(x<x0)的理解。 ? x ??? F( x ) ? ?? ? ? ? ? 2.正确理解与应用等式 教学过程: 【一】 导入新课 1、 问题引入:在 2007 年的高考中,某省全体考生的高考平均成绩是 490 分, 标准差是 80, 计划本科录取率为 0.4 , 则本科录取分数线可能划在多少分? 2、回顾样本的频率分布与总体分布之间的关系. 前面我们研究了离散新随机变量,他们只取有限个或可列个值,我们用分布 列来描述总体的统计规律; 而许多随机现象中出现的一些变量,如上节课研究的 某产品的尺寸, 它的取值是可以充满整个区间或者区域的,总体分布通常不易知 道,我们是用什么去估计总体分布的呢?----用样本的频率分布(即频率分布直 方图)去估计总体分布. 回头看上一节得出的 100 个产品尺寸的频率分布直方图,发现:横坐标是产 品的尺寸;纵坐标是频率与组距的比值,什么才是在各组取值的频率呢?---直 方图的面积。设想:当样本容量无限增大,分组的组距无限的缩小时,这个频率 直方图无限接近于一条光滑的曲线-----总体密度曲线。它能够很好的反映了总 体在各个范围内取值的概率。由概率的性质可以知道(1)整条曲线与 x 轴所夹 的总面积应该是?---1(2)总体在任何一个区间内取值的概率等于这个范围内 面积 下面,同学们一起观察一下总体密度曲线的形状,看它具有什么特征? “中间高,两头低,左右对称”的特征。像具有这种特征的总体密度曲线一 般就是或者近似的是以下函数的图像。 (板书函数、标题) : 【二】正态分布 (1)正态总体的函数解析式、正态分布与正态曲线 产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高,两头低”的特征,像这种类型的总 体密度曲线,一般就是或近似地是以下一个函数的图象:(板书) ? 1 f (x) ? e 2?? ( x ??) 2 2? 2 , x ? (??,??) ① 这个总体是具有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布,其图像叫做正 态曲线。 在函数解析式中有两个参数μ 、σ :μ 表示总体的平均数;σ (σ >0)表示总 体的标准差,下面我们来研究一下这两个参数在图像上有怎样的影响呢? 1、μ 表示总体的平均数(它不就是前面学习的随机变量的?---期望,而期望是 反映总体分布的?---平均水平) , (回头看频率分布直方图)大家思考一下,这个 总体分布的平均数在什么位置呢?最高点那个位置, 为什么呢?因为规定的尺寸为 25.40mm,总体在它的左右取值的概率最大,尺寸过大或过小毕竟占少数,所以图 像才会呈现“中间高,两头低”的特征。下面大家看一下 flash (改变μ 的值,肯 定学生的回答,得出 1、2、3 条性质) 用《几何画板》画出三条正态曲线:即①μ =-1,σ =0.5;②μ =0,σ =1;③μ =1,σ =2,其图象如下图所示: 得出正态曲线的前四条性质: ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交。 ②曲线关于直线 x=μ 对称,且在 x=μ 时位于最高点。 ③当 x<μ 时,曲线上升;当 x>μ 时,曲线下降。并且当曲线向左、右两边 无限延伸时,以 x 轴为渐近线,向它无限靠近。 以上便是参数μ 对正态曲线的影响 2、下面我们再分析若 μ 是定值,即对称轴一定,σ 决定着曲线的什么? σ (σ >0)是总体的标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,反映 了总体分布的集中与离散程度) (再用《几何画板》改变的σ 值,让学生总结规律,得出正态曲线的第五条 性质)σ 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中,那集中在什么位置? ----平均数μ 附近,同理: 若σ 越大,曲线越“矮胖” ,表示总体的分布越分散, 越远离平均数; ④当μ 一定时,曲线的形状由改变μ 的值确定。σ 越大,曲线越“矮胖” , 表示总体的分布越分散;σ 越小,曲线越“瘦高” ,表示总体的分布越集中。 结论:正态分布由μ 、σ 唯一确定,因此记为:N(μ ,?2) (利用图像、性质解题) 【例 1】 (2007 全国 2 理 14)在某项测量中,测量结果?服从正态分布 N(1, ?2) (?>0) , 若?在 (0, 1) 内取值的概率为 0.4, 则?在 (0, 2) 内取值的概率为 。 2 解.在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N(1,? ) (?>0) ,正态分布 图象的对称轴为 x=1,? 在(0,1)内取值的概率为 0.4,可知,随机变量 ξ 在(1, 2)内取值的概率于 ? 在(0, 1)内取值的概率相同, 也为 0.4, 这样随机变量 ξ 在(0, 2)内取值的概率为 0.8。 1 ?2 (5) 当μ =0, σ =1 时, 相应的函数解析式大大的简化了: f (x) ? e ,x ?R 。 2? x2 其图像也简单了,关于 y 轴对称,我们把这样的正态总体称为标准正态总体,相 应的曲线称为标准正态曲线。 由于标准正态总体 N(0,1)在正态总体研究中有非常重要的作用,人们专门 制定了《标准正态分布表》以供查用(P—65) (在课件上,调出标准正态分布表,教学生查阅) 1、在这个表中,相应于 x0 的值Φ (x0)是指总体取值小于 x0 的概率 即Φ (x0)=p(x<x0) ? P( x ? x0 ) 。 (如图) 2、利用标准正态曲线的对称性说明等式Φ (x0)=1-Φ (-x0) 3、 标

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