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2016版优化方案高考数学(江苏专用理科)二轮复习课件专题三第2讲 数列求和与数列的综合运用_图文

专题三 数 列 第2讲 数列求和与数列的综合运用 专题三 数 列 2016高考导航 考点扫描 三年考情 2015 2014 2013 考向预测 江苏高考对本讲知识的考查主 1.数列 第14题 要有以下两种形式:以填空题 第11题 第19题 的形式考查,主要利用等差、 求和 等比数列的通项公式、前 n 项和 公式及其性质解决与项、和有 关的计算问题,属于中档题; 以解答题的形式考查,主要是 2.数列 等差、等比数列的定义、通项 的综合运 第20题 第20题 第19题 公式、前 n 项和公式及其性质等 用 知识交汇综合命题,考查用数 列知识分析问题、解决问题的 能力,属高档题. 1.必记的概念与定理 n? a1+an? n? n- 1? (1)等差数列 {an}的前 n 项和公式: Sn= = na1+ d; 2 2 (2)等比数列 {an}的前 n 项和公式: a1? 1-qn? a1-anq q≠ 1 时, Sn= = ; q= 1 时, Sn= na1; 1-q 1-q (3)数列求和的方法技巧 ①分组转化法 有些数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将数列的通 项公式拆开或变形,可转化为几个等差、等比数列或常见的数 列,即先分别求和,然后再合并. ②错位相减法 这是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法 主要用于求数列 {an· bn}的前 n 项和,其中 {an}, {bn}分别是等差 数列和等比数列. ③倒序相加法 若求和式中到首尾距离相等的两项和相等或者求和式中到首尾 距离相等的两项具有某种对称性,则可以考虑使用倒序相加的 求和方法. 在使用倒序相加法求和时要注意相加后求出的和是所求和的二 倍,得出解题结果后不要忽视了除以 2. ④裂项相消法 利用通项公式变形,将通项公式分裂成两项或几项的差,通过 相加过程中的相互抵消,最后只剩下有限项的和. 2.记住几个常用的公式与结论 常见的拆项公式: 1 1 1 (1) = - ; n? n+ 1? n n+ 1 1 ? 1 1 ?1 (2) = n-n+ k ; n? n+ k? k? ? 1 ? 1 1? 1 (3) = 2n- 1-2n+ 1 ; ?2n-1??2n+1? 2? ? 1 (4) = ( n+ k- n). n+ n+ k k 1 3.需要关注的易错易混点 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q= 1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q= 1 这一特殊情形导致解题失误. 考点一 数列求和 (2015· 高考湖北卷)设等差数列{an}的公差为 d,前 n 项和 为 Sn,等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1=a1,b2= 2, q=d, S10 = 100. (1)求数列{an}, {bn}的通项公式; an (2)当 d>1 时,记 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn [解 ] ? ?10a1+45d=100, (1)由题意有? ?a1d= 2, ? ? ?2a1+ 9d=20, 即? ?a1d= 2, ? ? ?a1=1, 解得? ?d=2 ? a =9, ? ? 1 或? 2 d= . ? ? 9 ? ?an=2n-1, 故? 或 n- 1 ?bn=2 ? ? ? 2? ? ?b =9· ?9? n 1 an= ?2n+79?, 9 n- 1 . (2)由 d>1,知 an=2n- 1,bn=2 n- 1 2n- 1 ,故 cn= n-1 , 2 2n- 1 3 5 7 9 于是 Tn=1+ + 2+ 3+ 4+?+ n-1 ,① 2 2 2 2 2 2n- 3 2n- 1 1 1 3 5 7 T = + + + +?+ n-1 + n .② 2 n 2 22 23 24 2 2 ①-②可得 2n- 1 2n+ 3 1 1 1 1 T =2+ + 2+?+ n-2- n = 3- n , 2 n 2 2 2 2 2 2n+ 3 故 Tn= 6- n-1 . 2 方法归纳 在处理一般数列求和时,一定要注意使用转化思想.把一般的数 列求和转化为等差数列或等比数列进行求和,在求和时要分析 清楚哪些项构成等差数列,哪些项构成等比数列,清晰正确地 求解 .错位相减法求数列的前 n 项和是一类重要方法 .在应用这 种方法时,一定要抓住数列的特征,即数列的项可以看作是由 一个等差数列和一个等比数列对应项相乘所得数列的求和问题. 1. (2015· 高考湖南卷)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1= 1, a2=2,且 an+2=3Sn- Sn+ 1+ 3, n∈ N*. (1)证明:an+2= 3an; (2)求 Sn. 解:(1)证明:由条件,对任意 n∈ N*,有 an+2=3Sn- Sn+ 1+ 3, 因而对任意 n∈ N*, n≥2,有 an+1=3Sn-1- Sn+ 3. 两式相减,得 an+2-an+ 1= 3an-an+ 1,即 an+2=3an, n≥ 2. 又 a1= 1, a2=2,所以 a3=3S1- S2+3= 3a1-(a1+a2)+ 3= 3a1. 故对一切 n∈ N*, an+2=3an. a n +2 (2)由 (1)知,an≠0,所以 = 3. an 于是数列 {a2n- 1}是首项 a1= 1,公比为 3 的等比数列;数列 {a2n} 是首项 a2=2,公比为 3 的等比数列. 因此 a2n- 1= 3n 1, a2n= 2× 3n 1. - - 于是 S2n=a1+ a2+?+a2n = (a1+a3+?+a2n- 1)+ (a2+ a4+?+ a2n) = (1+3+?+ 3n 1)+2(1+3+?+ 3n 1) - - = 3(1+ 3+?+3n 1) - 3? 3n- 1? = , 2 3? 3n- 1? 3 - n- 1 从而 S2n- 1= S2n

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