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2018版高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理课件苏教版必修4_图文

第2章 §2.3 向量的坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 学习目标 1.理解平面向量基本定理的内容,了解向量的一组基底的 含义. 2.在平面内,当一组基底选定后,会用这组基底来表示其 他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 平面向量基本定理 思考1 如果e1,e2是两个不共线的确定向量,那么与e1,e2在同一平面 内的任一向量a能否用e1,e2表示?依据是什么? 答案 能.依据是数乘向量和平行四边形法则. 思考2 如果e1,e2是共线向量,那么向量a能否用e1,e2表示?为什么? 答案 不一定,当a与e1共线时可以表示,否则不能表示. 答案 梳理 (1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那 么对于这一平面内的 任一 向量a, 有且只有一对 实数λ1,λ2,使a=λ1e1 +λ2e2. (2)基底: 不共线 的向量e1, e2叫做表示这一平面内 所有 向量的一组基底. 知识点二 向量的正交分解 思考 一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力 G ,可分解为使 物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力 的分解,平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示? 答案 能,互相垂直的两向量可以作为一组基底. 答案 梳理 正交分解的含义 一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a= λ1e1+λ2e2 的形式,我们称它 为向量a的 分解 .当e1,e2所在直线互相 垂直 时,这种分解也称为向量a 的 正交分解 . 题型探究 类型一 例1 对基底概念的理解 如果e1 ,e2 是平面 α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确 ②③ 填序号) 的是_____.( ①λe1+μe2(λ,μ∈R)可以表示平面α内的所有向量; ②对于平面α内任一向量a,使a=λe1+μe2的实数对(λ,μ)有无穷多个; ③若向量λ1e1+μ1e2与λ2e1+μ2e2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e1+ μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若存在实数λ,μ使得λe1+μe2=0,则λ=μ=0. 解析 答案 反思与感悟 考查两个向量是否能构成基底,主要看两向量是否非零且不共线.此外, 一个平面的基底一旦确定,那么平面上任意一个向量都可以由这个基底 唯一线性表示出来. 跟踪训练1 e1,e2是表示平面内所有向量的一组基底,则下列各组向量 ②⑤ 中,不能作为一组基底的序号是_____. ①e1+e2,e1-e2;②3e1-2e2,4e2-6e1;③e1+2e2,e2+2e1;④e2,e1 1 1 +e2;⑤ 2e1-5e2,e1-10e2. 解析 由题意,知e1,e2不共线,易知②中,4e2-6e1=-2(3e1-2e2), 即3e1-2e2与4e2-6e1共线,∴②不能作基底. 1 1 1 1 ⑤中,2e1-5e2=2(e1-10e2),∴2e1-5e2 与 e1-10e2 共线,⑤不能作基底. 解析 答案 类型二 例2 用基底表示向量 → 如图所示,在?ABCD 中,E,F 分别是 BC,DC 边上的中点,若AB → → → =a,AD=b,试以 a,b 为基底表示DE,BF. 解答 引申探究 → → → → 若本例中其他条件不变, 设DE=a, BF=b, 试以 a, b 为基底表示AB, AD. 解答 反思与感悟 将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种:一种是利用向量 的线性运算及法则对所求向量不断转化,直至能用基底表示为止;另一 种是列向量方程组,利用基底表示向量的唯一性求解. 跟踪训练 2 → → 如图所示,在△AOB 中,OA=a,OB=b,M,N 分别是边 → 1 → 1 → → OA,OB 上的点,且OM=3a,ON=2b,设AN与BM相交于点 P,用基底 → a,b 表示OP. 解答 类型三 平面向量基本定理的应用 例3 在梯形 ABCD 中,已知 AB∥CD,AB=2CD,M,N 分别为 CD, → → → BC 的中点,若AB=λAM+μAN,求 λ+μ 的值. 解答 反思与感悟 当直接利用基底表示向量比较困难时,可设出目标向量并建立其与基底 之间满足的二元关系式,然后利用已知条件及相关结论,从不同方向和 角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式 ),再根据待定 系数法确定系数,建立方程或方程组,解方程或方程组即得. 跟踪训练3 已知向量e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,且a=e1+e2, b=3e1-2e2,c=2e1+3e2,若c=λa+μb(λ,μ∈R),试求λ,μ的值. 解 将a=e1+e2与b=3e1-2e2代入c=λa+μb, 得c=λ(e1+e2)+μ(3e1-2e2)=(λ+3μ)e1+(λ-2μ)e2. 因为c=2e1+3e2,且向量e1,e2是平面α内所有向量的一组基底, ? ?λ+3μ=2, 根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组? ? ?λ-2μ=3, ? ?λ=13, ? 5 解得? 1 ? μ=-5. ? ? 解答 当堂训练 ①③ 1.下列关于基底的说法中,正确的是______. ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底; ②基底中的向量可以是零向量; ③平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也 是唯一确定的. 解析 零向量与任意向量共线,故零向量不能作为基底中的向量,故② 错,①③正确. 1 2 3 4 5 解析 答案 → → 2.AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC,AC 上的中线,且AD=a,BE=b,则 2 4 a+3b → 3 BC=________. 1 2 3 4 5 答案 3.已

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