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【新学案】(浙江专用)2015-2016学年高中数学 3.4.1 基本不等式课件 新人教A版必修5


3.4 基本不等式:

第1课时

基本不等式

1.理解并掌握基本不等式及其推导过程,明确基本不等式成立的条件. 2.能利用基本不等式求代数式的最值.

1

2

1.重要不等式 当 a,b 是任意实数时,有 a +b ≥2ab,当且仅当 a=b 时,等号成立.
2 2

(1)公式中 a,b 的取值是任意的,a 和 b 代表的是实数,它们既可以 是具体的数字,也可以是比较复杂的代数式,因此其应用范围比较广泛.今后 有不少不等式的证明就是根据条件进行转化,使之可以利用该公式来证明. (2)公式中 a +b ≥2ab 常变形为
2 2

a2+b ab≤ 2

2

或 a +b +2ab≥4ab 或

2

2

2(a2+b2)≥(a+b)2 等形式,要注意灵活掌握.

1

2

【做一做 1 】 已知 x +y =4,则 xy 的最大值是( A.
1 2

2

2

)

B.1

C.2

D.4

答案: C

1

2

2.基本不等式 (1)有关概念 :当 a,b 均为正数时,把 ab 叫做正数 a,b 的几何平均数. (2)不等式 :当 a,b 是任意正实数时,a,b 的几何平均数不大于它们的算术 平均数,即 ab ≤
a+b ,当且仅当 2 a+b 叫做正数 2

a,b 的算术平均数,把

a=b 时,等号成立.

1

2

(3)几何意义 :半弦不大于半径.如图所示,AC=a,CB=b,则 OD=
a+b ,DC= 2

ab = DE,则 DC≤OD.

1 2

(4)变形 :ab≤ 立).

a+b 2 ,a+b≥2 2

ab(其中 a>0,b>0,当且仅当 a=b 时等号成

1

2

从数列的角度看,a,b 的算术平均数是 a,b 的等差中项,几何平均 数是 a,b 的正的等比中项,则基本不等式可表示为 :a 与 b 的正的等比中项不 大于它们的等差中项. 【做一做 2 】 已知 ab=16,a>0,b>0,则 a+b 的最小值为 答案:8 .

1.应用基本不等式 ab ≤

a+b 求最值的条件 2 a+b 求最值的条件是“ 一正、二定、三相” 2

剖析:应用基本不等式 ab ≤ 等,具体如下 :

一正 :a,b 都是正实数,即所求最值的代数式中的各项必须都是正数,否 则就会得出错误的答案.例如,当 x<0 时,函数 f(x)=x+ ≥2 x × =2,所以函 数 f(x)的最小值是 2.由于 f(-2)=-2+ =- <2,那么显然这是一个错误的答案. 其原因是当 x<0 时, <0,不符合基本不等式中 a,b 均为正数.因此,利用基本不 等式求最值时,首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数.其实,当 x<0 时,-x>0,则 f(-x)=-x+
1 -x 1 x 1 -2 5 2 1 x 1 x

≥2 (-x) ×

1 -x

=2,此时有 f(x)≤-2.由此看,所求

最值的代数式中的各项都是负数时,经过变形,先转化为各项都是正数的代 数式,再求最值.

二定 :ab 与 a+b 有一个是定值.即当 ab 是定值时,可以求 a+b 的最值; 当 a+b 是定值时,可以求 ab 的最值.如果 ab 和 a+b 都不是定值,那么就会得出 错误的答案.例如,当 x>1 时,函数 f(x)=x+ 是2
x .由于 2 x-1 x 是一个与 x-1 1 x ≥2 ,所以函数 x-1 x-1

f(x)的最小值

x 有关的代数式,显然这是一个错误的答案.其

原因是忽视了基本不等式中 ab 与 a+b 有一个是定值.其实,当 x>1 时,有 x-1>0,则函数 f(x)=x+
1 x-1

= (x-1) +

1 x-1

+1≥2 (x-1) ×

1 +1=3.由此看,当 ab x-1

与 a+b 没有一个是定值时,通常要把所求最值的代数式采用配凑的方法化 为和或积为定值的形式.

三相等 :等号能够成立,即存在正数 a,b 使基本不等式两边相等.如果忽 视这一点,就会得出错误的答案.例如,当 x ≥2 时,函数 f(x)=x+ ≥2 x × =2,
1 x 1 x 1 x

所以函数 f(x)的最小值是 2.很明显 x+ 中的各项都是正数,积也是定值,但是 等号成立的条件是当且仅当 x= 即 x=1,而函数的定义域是 x≥ 2,所以这是 一个错误的答案.其原因是基本不等式中的等号不成立.其实,根据解题经验, 遇到这种情况时,一般就不再用基本不等式求最值了,此时该函数的单调性 是确定的,可以利用函数的单调性求得最值.利用函数单调性的定义可以证
1 1 明,当 x≥2 时,函数 f(x)=x+ 是增函数,所以函数 f(x) 的最小值是 f(2)=2+ x 2 5 . 2 1 x

=

2.与基本不等式有关的常用结论 剖析:(1)已知 x,y ∈R, ①若 x2+y2=S(平方和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 时,积 xy 取得最大
S 2 S 2

值 ; ②若 xy=P(积为定值),则 x2+y2≥2P,当且仅当 x=y 时,平方和 x2+y2 取得 最小值 2P.

(2)已知 x>0,y>0,
S2 ①若 x+y=S( 和为定值),则 xy≤ ,当且仅当 x=y 4 S2 时,积 xy 取得最大值 ; 4

②若 xy=P(积为定值),则 x+y≥2 P,当且仅当 x=y 时,和 x+y 取得最小 值 2 P.

题型一

题型二

题型三

题型一

比较大小

【例 1】 当 a,b 为两个不相等的正实数时,下列各式中最小的是(
a+b A. 2

)

B. ab
a+b 2

C. > ab,

a2+b 2

2

D.

2ab a+b

解析:∵ a>0,b>0,a≠b,∴ ∵ a +b >2ab,∴
2 2

a2+b 2

2

> ab,

∴ 选项 A,B,C 中, ab 最小.

题型一

题型二

题型三

∴ 选项 A,B,C 中, ab最小. 又 a+b>2 ab >0,∴
2 ab <1, a+b

由于 ab>0,两边同乘以 ab, 得 ∴
2ab a+b 2 ab · a+b

ab < ab,
2ab 最小. a+b

< ab,∴

答案:D

题型一

题型二

题型三

利用基本不等式比较实数大小 : (1)在应用基本不等式时,一定要注意是否满足条件,即 a>0,b>0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式 的“题眼”,不妨运用基本不等式.

题型一

题型二

题型三

题型二

利用基本不等式求最值

【例 2】 已知 a>3,求

4 +a 的最小值. a-3 4 4 +a= +(a-3)+3.这样变 a-3 a-3

分析:直接使用基本不等式无法约掉字母 a,而 形后,再用基本不等式可得证.

题型一

题型二

题型三

解 :∵ a>3,∴ a-3>0. 由基本不等式,得 当且仅当
4 a-3 4 4 4 +a= +a-3+3≥2· · (a-3)+3=2× a-3 a-3 a-3

4+3=7.

4 =a-3,即 a-3

a=5 时取等号.

∴ +a 的最小值是 7.
m +x+d 的最值时,若满足 x+b

求形如 f(x)= f(x)=

x+b>0,则可考虑将 f(x)变形为

m +x+b+(d-b),借助于基本不等式求最值. x+b

题型一

题型二

题型三

【例 3】 已知 x,y 均为正数,且 + =1,求 x+y 的最小值. 分析:由于已知条件右边是一定值 1,且左边各项均为正数,所以可以用 整体换元、代入消元、“1”的代换等方法求解.

1 x

9 y

题型一

题型二

题型三

解 :∵ x,y 均为正数,且 + =1,显然 x>1, ∴ y=
9x . x-1 9x x-1

1 x

9 y

∴ x+y=x+

x2 +8x = x-1

=

(x-1) +10(x-1)+9 x-1

2

=(x-1)+

9 +10≥2× 3+10=16. x-1

当且仅当 x=4 时取等号,即(x+y)min=16.

题型一

题型二

题型三

(1)本题易错解为 : 由 + =1,得 + ≥2
1 x 9 y 1 x 9 y 1 9 · x y

=

6 , xy

∴ xy≥ 36.∴ x+y ≥2 xy =12. 这显然是错误的,因为两个不等式中,不能同时取得“等号”,即不存在满足题 设条件的 x,y,使(x+y)min=12. (2)已知“和式”求“和式”的最值时,常利用整体代入的策略,使用一次基本不 等式求出最值.

题型一

题型二

题型三

题型三

易错辨析

【例 4】 求函数 y=x+ 的值域. 错解:∵ x+ ≥2 x· =2, ∴ 函数值域为[2,+∞). 错因分析:上述解题过程中应用了基本不等式,却忽略了应用基本不等 式的条件—— 两个数应大于零,因而导致错误.因为函数 y=x+ 的定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞),所以需对 x 的符号加以讨论.
1 x 1 x 1 x

1 x

题型一

题型二

题型三

正解:函数定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 当 x>0 时,由基本不等式,得 y=x+ ≥2, 当且仅当 x=1 时,等号成立; 当 x<0 时,y=x+ =- (-x) + ∵ -x>0,∴ (-x)+
1 ≥2, (-x) 1 x 1 (-x) 1 x

.

当且仅当 x=-1 时,等号成立, ∴ y=x+ ≤-2. 综上可知,函数 y=x+ 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞).
1 x 1 x

1

2

3

4

5

1.若 x>0,则 x+ 的最小值为( A.2
4 x

4 x

) C.2 2 D.4
4 x 4 x

B.3
4 x

解析:若 x>0, 则 x+ ≥2 x· =4,当且仅当 x= ,即 x=2 时等号成立,所以 x+ 的 最小值为 4. 答案:D

1

2

3

4

5

2.已知 A.2 2
1 解析: a

1 2a+b=1,a>0,b>0,则 a

1 + 的最小值是( b

) D.3+ 2 =
2a ,且 b

B.3-2 2
1 + b

C.3+2 2 ≥3+2

=

2a+b 2a+b b 2a + =3+ + a b a b

b 2,当且仅当 a

2a+b=1,

即 a=

2- 2 ,b= 2

2-1 时取等号.

答案:C

1

2

3

4

5

3.若

a2+4 M= (a∈R,a≠0),则 a

M 的取值范围为(

)

A.(-∞,-4]∪[4,+∞) B.(-∞,-4] C.[4,+∞) D.[-4,4]

1

2

3

4

5

解析:当 a>0 当 a<0

a2+4 4 时,M= =a+ ≥2 a a

a· =4,当且仅当 a=2 时等号成立; (-a)· =-4,当且仅当 a=-2 时等号成立,
4 -a

4 a

a2 +4 4 时,M= =-(-a+ )≤-2 a -a

所以 M 的取值范围为 M≤-4 或 M ≥4. 答案:A

1

2

3

4

5

4.若 a>b>1,P= ab ,Q= A.R<P<Q C.Q<P<R

a+b a+b ,R=lg ,则下列结论正确的是( 2 2

)

B.P<Q<R D.P<R<Q
3 2 3 2 3 2

解析:令 a=100,b=10,则 P= 2 < ,Q= ,R=lg 55> ,故 P<Q<R. 答案:B

1

2

3

4

5

5.设 x+3y-2=0,则函数 z=3x+27y+3 的最小值是( A.3
2 3

) D.9

B.3+2 2

C.6

解析:∵ x+3y-2=0,∴ x+3y=2. 又∵ 3 x>0,27y>0, ∴ z=3 +27 +3 ≥2 3x · 27y +3=2 3x+3y +3 =2 32 +3=9, 当且仅当 3 x=27y,即 x=3y 时,取“=”. 答案:D
x y


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