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甘肃省张掖二中2016届高三上学期9月月考数学理试卷


张掖二中 2015—2016 学年度高三月考试卷(9 月) 高 三 数 学(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的)
x 1. 已 知 全 集 U ? R , 设 集 合 A ? {x | y ? lg( x ? 1)} , 集 合 B ? y y ? 2 , x ? 1 , 则

?

?

A ? (CU B) =(
A. ?1, 2?

) B. ?1, 2 ? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2?

2.复数 z 满足 (?1 ? i) z ? (1 ? i)2 ,其中 i 为虚数单位,则在复平面上复数 z 对应的点位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限

3.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 ? 18 ? a5 ,则 S8 ? A. 18 B. 36 )
2

C. 54

D. 72

4.下列有关命题的说法错误的是(
2

A.命题“若 x ? 1 ? 0 , 则 x ? 1 ”的逆否命题为:“若 x ? 1 则 x ? 1 ? 0 ” B.“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件
2

C.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

0 D.对于命题 p : ?x ? R 使得 x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R 均有 x ? x ? 1…
2

2

5.已知 m, n, l 是不同的直线, ? , ? 是不同的平面,以下命题正确的是( ① 若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则? ∥ ? ; ② 若 m ? ? , n ? ? ,? ∥ ?,l ? m ,则 l ? n ; ③ 若 m ? ? , n ? ? , ? ∥ ? ,则 m ∥ n ; ④ 若? ? ? , m ∥? , n ∥ ? ,则 m ? n ; A.②③ C.②④ B.③④ D.③



6.某程序框图如图所示,现输入如下四个函数, 则可以输出的函数是( A. f ( x) ? cos x ) B. f ( x) ?

1 x

C. f ( x) ? lg x 7.函数 f ? x ? ?

x ?x D. f ( x) ? e ? e 2

sin x 的图象大致为( x2 ? 1



8.同时具有性质“①最小正周期是 π ,②图象关于直线 x ? 数”的一个函数是( A. y ? sin( )

π π π 对称;③在 [ ? , ] 上是增函 3 6 3

x ? ? ) 2 6

B. y ? cos( 2 x ?

?
3

) )

C. y ? cos( 2 x ?

?
6

)

D. y ? sin( 2 x ?

?
6

9.给出下列四个结论: ① 若 a,b∈[0,1],则不等式 a +b ≤1 成立的概率为 ② 由曲线 y= x 与 y=
3
2 2

? ; 4


3

x 所围成的封闭图形的面积为
2

③ 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N(3, ? ) ,若 P(ξ≤5)=m,则 P(ξ≤1)=1-m; ④ ( x+

1 2 x

)8 的展开式中常数项为

35 . 8
C.3 D.4

其中正确结论的个数为( ). A.1 B.2 10. 已知函数 f ( x) ? ? 1 的取值范围是( A. ?1,10 ?

? lg x , 0 ? x ? 10 ? , 若 a, b, c 互不相等, 且 f ( a ) ? f (b) ? f (c) , 则 abc ? x ? 3, x ? 10 ? 5 ?
) B. ? 5,10 ? C. ?10,15 ? D. ?15,30 ?

11.过抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F 作倾斜角为 60 ? 的直线 l ,若直线 l 与抛物线在第一象 限的交点为 A,并且点 A 也在双曲线 线的离心率为( A. ) B. 13 C.

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线上,则双曲 a 2 b2

12 . 设 f ? x ? 是 定 义 在 R 上 的 恒 不 为 零 的 函 数 , 对 任 意 实 数 x, y ? R , 都 有

21 3

2 3 3

D. 5

n? ? N 若 a1 ? ,a n ? f n f ? x? ? f ? y ? ? f ? x ? y ? , ? ?
的取值范围是( )

1 2

?

? ,则数列 ?a ? 的前 n 项和 S
n

n

A. ? , 2 ?

?1 ?2

? ?

B. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 2 ? 2

?1 ?

? ?

D. ? ,1?

?1 ? ?2 ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 a ? 3 , b ? 4 , 与 的夹角为 60 ? ,则 a ? b ?

?

?

? ?



?x ? 1 ? 14.若 x, y ? R ,且 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值等于 ?y ? x ?
15.四棱锥 P ? ABCD 的三视图如图所示,四棱锥 P ? ABCD 的 五个顶点都在一个球面上,E 、F 分别是棱 AB 、CD 的中点, 直线 EF 被球面所截得的线段长为 2 2 ,则该球表面积 为 . 16.设 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且对于 ?x ? R 恒有



1 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,已知当 x ? ?0,1?时, f ( x) ? ( )1? x , 则 2 (1) f ( x) 的周期是 2; (2) f ( x) 在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; (3) f ( x) 的最大值是 1,最小值是 0; 1 x ?3 (4)当 x ? (3,4) 时, f ( x) ? ( ) 2
其中正确的命题的序号是 . 三、解答题(本题共 6 小题,共 70 分,解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤.) 17( .本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c , 且 bn i s (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a , c 的值. 18.(本小题满分 12 分) 为选拔选手参加“中国汉字听写大会”,某中学举行了一次“汉字听写 大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正 整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) ,

A ? 3a c o s B

[70, 80) ,[80, 90) ,[90,100] 的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

3 4

中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x 、 y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 4 名学生

参加“中国汉字听写大会”, 设随机变量 X 表示所抽取的 4 名学生中得分在 [80, 90) 内 的学生人数,求随机变量 X 的分布列及数学期望. 19. (本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PC ? 底 面 ABCD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB ? AD , AB // CD , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , E 是 PB 上的点. (1)求证:平面 EAC ? 平面 PBC ; (2)若 E 是 PB 的中点,且二面角 P ? AC ? E 的余弦值为 P E

6 ,求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值. 3

A D C

B

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆 C 的中心在坐标原点,左、右焦点分别为 F1、F2 , P 为 椭圆 C 上的动点, ?PF1 F2 的面积最大值为 3 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的 圆与直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 相切. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 l 过定点 (1,0) 且与椭圆 C 交于 A, B 两点,点 M 是椭圆 C 的右顶点,直线

AM 与直线 BM 分别与 y 轴交于 P, Q 两点, 试问以线段 PQ 为直径的圆是否过 x
轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由. 21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x , g ( x) ? ? (Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)设函数 h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ,求函数 h( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若 a 是正实数且存在 x0 ? [1, e] ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求 a 的取值范围. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答时 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示,已知圆 O 外有一点 P ,作圆 O 的切线 PM , M 为切点,过 PM 的中点 N ,作割线 NAB ,交圆于 A 、 B 两点,连接 PA 并延长, 交圆 O 于点 C ,连接 PB 交圆 O 于点 D ,若 MC ? BC . (1)求证:△ APM ∽△ ABP ; (2)求证:四边形 PMCD 是平行四边形. 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos? . 以极点为平面直角坐标系的原点, 极轴为 x 轴 的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是 ? (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 14 ,求直线的倾斜角 ? 的值. 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x ) =| x ? 1| ? | x ? 1| . (1)求 f ( x) ? x ? 2 的解集; (2)若不等式 f ( x) ?

1? a (a ? R) . x

? x ? 1 ? t cos? (t 是参数 ) . ? y ? t sin ?

| a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意不为零的实数 a 恒成立,求实数 x 的取 |a|

值范围.

张掖二中 2015—2016 学年度高三月考试卷(9 月)数学 (理科) 答案
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 【答案】 B 【解析】 ∵

A ? {x | y ? lg( x ? 1)} ? {x | x ? 1} ,B ? y y ? 2 x , x ? 1 , ? { y | y ? 2} ,

?

?

∴ A ? (CU B) ? {x |1 ? x ? 2} .考点:集合的交集、补集运算. 2.【答案】D 解析: 根据两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,化简复数 z 为=1﹣i,故 z 对应点的坐标为(1,﹣1) ,从而得出结论.故选 D. 3.【答案】D【解析】试题分析:由等差数列的前 n 项和公式得 S8 4【答案】C 试题分析:因为命题“若

p ,

8?a1 ? a8 ? ? ? 4?a4 ? a5 ? ? 72 , 2 ? q ,则 ? p ”,所以(A)对;因为 q 则 ”的逆否命题为:“若

x ? 1 ? x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,所以充分性成立,又 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ? x ? 1或x ? 2 ,所以必要性不成 2 p ? q 为假命题,则 p 、 q 至少 立,即“ x ? 1 ”是“ x ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件, (B)对;若 p : ?x ? R 使得 q 的否定为 ?p : ?x ? R 均有 ? q ,因此(D) 有一个为假命题,因此(C)错;因为命题
对. 5.【答案】D【解析】①若 m ∥ n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ∥ ? 或 ? , ? 相交;②若 m ? ? , n ? ? ,

? ∥ ?,l ? m ,则 l ? n 或 l ∥ n 或 l , n 异面;③正确;④若? ? ? m ∥ n 或 m, n 异面.
f ? x ? 定义域为 R ,又? f ? ? x ? ?
sin ? ? x ?
2

, m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m

?n或

6.【答案】D【解析】由第一个判断框知:输出的函数应为奇函数,可排除 A、C 由第二个判断框知输出的 函数应有零点,

sin x ? ? f ? x ? ,? 函数 f ? x ? ? ? x ? ? 1 x2 ? 1 为奇函数其图像关于原点对称故排除 C、D,又当 0 ? x ? π 时, sin x ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 可排除 B 故
7. 【答案】 A 函数

??

选 A.

x ? ? π ? sin( ? ) 的最小正周期不是 π ;y ? cos( 2 x ? ) 的图象不关于直线 x ? 2 6 6 3 ? π π 对称; y ? cos( 2 x ? ) 在 [ ? , ] 上不是单调函数,故选 D. 3 6 3 1 S圆 ? 2 2 4 ? ,其中 9.【答案】C【解析】对于选项 A,由几何概型,不等式 a +b ≤1 成立的概率 P ? 4 S正方形
8. 【答案】 D 【解析】y 圆的圆心为(0,0) ,半径为 1,正方形边长为 1,故 A 正确;对于选项 B,曲线 y= x 与 y= ( 1,1 ), 由 定 积 分 的 定 义 , 曲 线 y =
4 3
3

3

x 的交点为

x

3

与 y =

3

x

所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积

1 3 1 3 1 2S ? 2? (3 x ? x 3 )dx ? 2 ? ( x ? x 4 10) ? 2 ? ( ? ) ? 1. 故 B 不正确;对于选项 C ,若 P ( ξ≤5 )= m ,则 0 4 4 4 4 P(? ? 5) ? 1 ? m, 由正态分布图的对称性得 P(? ? 5) ? P(? ? 1) , P(? ? 1) ? 1 ? m, 故 C 正确;对于选 1 1 r 35 4 ?4 ( x+ )8 的第 r ? 1 项为 Tr ?1 ? C8r ( x ) 8?r ( ) ? C8r 2 ?r x 4?r , 项 D, 当 r ? 4 时, 常数项为 C8 2 ? . 8 2 x 2 x 10. 【答案】 C 【解析】试题分析:解析: a, b, c 互不相等,不妨设 a ? b ? c ,由 f ( a ) ? f (b) ,得

? lg a ? lg b ,即 ab ? 1 .

所以 abc

? c ,显然 10 ? c ? 15 .考点:考察数形结合思想,利用图像处理函数与方程问题.

11. 【答案】 A 【解析】 .过抛物线: y2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点 F(

p
2

,0),倾斜角为 60? 的直线 l 的方程为

2 2 p 3p y ? 3(x ? ),直线 l 与抛物线在第一象限的交点为( , 3p ),点 A 也在双曲线: x2 ? y2 ? 1? a ? 0, b ? 0? 的一条 2 2 a b b b 3p b 2 3 b2 4 x 上 , 则 3p ? ? , 则 有 ? 渐 近 线 上 , 应 在 y ? , ? 2 ? a a 2 a 3 a 3 b 2 c 2 ? a2 2 4 7 21 选A ? 2 ? e ? 1 ? ? e2 ? ? e ? 2 3 3 3 a a 1 1 1 12【答案】B【解析】令 x ? n, y ? 1得 f ?n?? f ?1? ? f ?n ? 1? ,即 an ? ? an ?1 ,数列 ?an ? 以 为首项, 2 2 2 1? 1 ? ?1 ? ? n 1 1 a1 ?1 ? q ? 2 ? 2n ? ? 1 ? n ? 1 ,各项都为正数, Sn ? S1 ? ,故答案为 B.2 为公比的等比数列,? S n ? ? 1 2 2 1? q 1? 2 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ? ? ? ? 1 13.【答案】 37 【解析】由题意可得 a ? b ? a ? b ? cos 60? ? 4 ? 3 ? ? 6, 2 ? ? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 ? a ? b ? a ? b ? a ? 2a ? b ? b ? 16 ? 12 ? 9 ? 37 .14【答案】 zmin ? 3 【解析】约

? x ? 2 y 过点 ?1,1? 时取得最小值 3. 15. 【答案】12? 【解析】 该几何体的直观图如下图所示, 侧棱 PA ? 底面 ABCD , 且底面 ABCD 3a 为边长为 a 的正方形, 且 PA ? a , 所以 PC 为该几何体外接球的直径, 即 2 R ? 3a, R ? ,PC 2 2 ? 3a ? ? a ?2 2 a 的中点 O 球心, 取 EF 的中点 H , 则 OH 为圆心到直线 EF 的距离,OH ? , 所以 ? ? ? ? ? ? 2 , 2 ? 2 ? ?2?
束条件对应的平面区域如上图所示,当直线 z

?

?

? 4 ,所以 ? 2R ? ? 3a ? 3a 2 ? 12 ,所以外接球的表面积为 S ? 4? R2 ? 12? f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,得 f ( x) 的周期是 2; 16【答案】 (1) (2 ) (4) 【解析】由 ?x ? R 恒有 (1)正确 1 1? x f ( x) ? ( ) , x ? ?0,1?时, 2 为单调递增函数,所以当 x ?[?1,0] 时, f ( x) 为单调递减函数,因 因为当 1 1 1 ( )1?1 ? 1 ( )1?0 ? f ( x ) f ( x ) 2; 此 在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; (2)正确 的最大值是 2 ,最小值是 2 1 1 f ( x) ? f ( x ? 4) ? f (4 ? x) ? ( )1?(4? x ) ? ( ) x?3. x ? ( 3 , 4 ) 2 2 (4)正确 (3)错误当 时, a b ? 17 、 试 题 解 析 :( 1 ) 因 为 b s i n 得 : A ? 3a c o B s. 由 正 弦 定 理 sin A siB n siB n ? 3c oB s, t a B n? 3 ? ? , 所 以 B ? ( 2 ) 因 为 si nC ? 2 si nA, 由 正 弦 定 理 知 c ? 2a ① 由 余 弦 定 理 因为 0 ? B ? 3 2 2 2 2 2 b ? a ? c ? 2ac cos B 得 9 ? a ? c 2 ? ac ②由①②得 a ? 3, c ? 2 3. 解: (1)由题意可知,样本容
解之得 a
2

2

? ?

2

量n?

题意可知,分数在 [80, 90) 内的学生有 5 人,分数在 [90,100] 内的学生有 2 人,共 7 人.抽取的 4 名学生 中得分在 [80, 90) 的人数

2 8 ? 0.004 , x ? 0.100 ? 0.004 ? 0.010 ? 0.016 ? 0.040 ? 0.030 . ( 2 ) 由 ? 50 , y ? 50 ?10 0.016 ?10

X 的可能取值为 2,3, 4,则

2 3 1 0 C52C2 C5 C2 20 4 C54C2 10 2 5 1 ? ? P ( X ? 3) ? ? ? P ( X ? 4) ? ? ? . , , 4 4 4 C7 35 7 C7 35 7 C7 35 7 2 3 4 X 2 4 1 P 7 7 7 2 4 1 20 所以 X 的分布列为所以 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 7 7 7 7

P( X ? 2) ?

? 平面 ABCD, AC ? 平面 ABCD,? AC ? PC , AB ? 2 , AD ? CD ? 1 ,? AC ? BC ? 2 ? AC 2 ? BC 2 ? AB2 , ? AC ? BC 又 BC ? PC ? C ,? AC ? 平面 PBC , ∵ AC ? 平面 EAC,? 平面 EAC ? 平面 PBC (2)以 C 为原点,建立空间直 角坐标系如图所示,则 C(0,0,0) , A (1,1,0) , B (1,-1,0)设 P (0, 1 1 a 0, a ) (a ? 0) ,则 E ( , ? , ) , CA ? (1,1,0) , CP ? (0,0, a) , 2 2 2 A ?? 1 1a CE ? ( ,? , ) ,取 m =(1,-1,0)则 m ? CP ? m ? CA ? 0 ,? m 为面 PAC y 2 22 D 的法向量设 n ? ( x, y, z) 为面 EAC 的法向量,则 n ? CA ? n ? CE ? 0 ,即 ?x ? y ? 0, , 取 x ? a , y ? ?a , z ? ?2 , 则 n ? (a,?a,?2) , 依 题 ? ?x ? y ? az ? 0
19、解: (1)证明:? PC

z P E x B C
意 ,

c o? sm, n ? ?

m?n mn

?

a a ?2
2

?

6 ,则 a ? 2 3
?

于是 n

? (2,?2,?2) 设直线 PA 与平面 EAC

所成角为 ? ,则 sin? ? cos? PA, n ? ?

PA? n PA n

2 ,即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为 2 3 3
2

(或设 CA 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 z 轴,请酌情给分)

x 2 1 20、解: (1)由题意得 ? ? S?PF1F2 ? 2 ?2 c?b? 3 ,解得 a =2 , b ? 1 .所以椭圆 C 的方程是 4 ? y ? 1 . ? b? 5 ?1 ? ? 32 ? 42 (2)以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点.当直线 l 斜率不存在时,以线段 PQ 为直径的圆的方程为: x2 ? y 2 ? 3 , 恒 过 定 点 (? 3,0) . 当 直 线 l 斜 率 存 在 时 , 设 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) 由
? y ? k ( x ? 1) 得 ? 2 ?x 2 ? ? y ?1 ? 4
设 Ax ( 1 ,y 1 ) , Bx ( ,y (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 4 ? 0 . 2)2 , 则有 x1 ? x2 ?

8k 2 , 1 ? 4k 2

x1 x2 ?
程为

4k 2 ? 4 .……7 分又因为点 M 是椭圆 C 的右顶点,所以点 M (2,0) .由题意可知直线 AM 的方 1 ? 4k 2

y1 2 y1 y2 ( x ? 2) , 故 点 P( 0,? ). 直 线 BM 的 方 程 为 y ? ( x ? 2) , 故 点 x1 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2 ??? ? ???? 2 y2 Q( 0,? ). 若以线段 PQ 为直径的圆过 x 轴上的定点 N ( x0 ,0) ,则等价于 PN ? QN ? 0 恒成 x2 ? 2 ???? ???? 2y 2y PN ? ( x0 , 1 ) QN ? ( x0 , 2 ) 立 . 又 因 为 , , 所 以 x1 ? 2 x2 ? 2 ???? ???? 2y 2y 4 y1 y2 恒 成 立 . 又 因 为 PN ? QN ? x02 ? 1 ? 2 ? x02 ? ?0 x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ( x1 ? 2)( x2 ? 2) ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 y?

?

4k 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 4 8k 2 ? ? 1) y1 y2 ? k ( x1 ?1)k ( x2 ?1) ? k 2[ x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1] ? k 2 ( 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?
?12k 2

4k 2 ? 4 8k 2 ? 2 ?4 1 ? 4k 2 1 ? 4 k 2



?3k 2 4 y1 y2 k2 ? x 2 ?3 ? 0 . ? , 所以 x 2 ? 解得 x0 ? ? 3 . 故以线段 PQ ? x0 2 ? 1 ? 42 2 0 0 1 ? 4k 4k ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
为直径的圆过 x 轴上的定点 (? 21. 试 题 解 析 : (Ⅰ) (或设 x ? my ? 1 请酌情给分) 3,0) .

1 ? 4k 2

f ( x) ? x ? a ln x 的 定 义 域 为 (0, ??) . 当 a ? 1 时 , f ?( x ) ?

f ?( x ) ? 0,解得 x ? 1 .当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0, f ( x) =1 ? l n? 1 ; 1 单 调 递 增 ; 所 以 当 x ? 1 时 , 函 数 f ( x ) 取 得 极 小 值 , 极 小 值 为 f (1) (Ⅱ) 2 1? a x ? ax ? (1 ? a) ( x ? 1)[ x ? (1 ? a)] h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? x ? a ln x ? ,其定义域为 (0, ?? ) .又 h?( x) ? .当 ? x x2 x2 a ? ?1 时可得 1 ? a ? 0 ,在 x ? (0,1? a ) 上 h?( x ) ? 0 ,在 x ? (1 ? a , ?? ) 上 h?( x ) ? 0 ,所以 h( x ) 的递减区间为 (0,1 ? a ) ; 0 ,? ? ) 递增区间为 (1 ? a, ??) . 当 a ? ?1 时可得 1 ? a ? 0 , 在 x ?( 上 h?( x) ? 0 ,所以 h ( x ) 在 (0, ?? ) 是递增函数。 …… 7 分 ( Ⅲ ) 若 在 [1 ,e ]上 存 在 一 点 x0 , 使 得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成 立 , 即 在 [1 ,e ]上 存 在 一 点 x0 , 使 得 h( x0 ) ? 0.即 h( x ) 在 [1, e] 上的最小值小于零. ……8 分①当 1 ? a ? e ,即 a ? e ? 1 时,由(II)
可知 h ( x ) 在 [1, e] 上单调递减.故 h ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为 h( e) ,由 h (e) 可得 a

x ?1 .由 x

?e?

1? a ?a ? 0 , e

e2 ? 1 e2 ? 1 e2 ? 1 .因为 ;②当 1 ? 1 ? a ? e ,即 0 ? a ? e ? 1 时, ? e ? 1 .所以 a ? e ?1 e ?1 e ?1 由(II)可知 h ( x ) 在 (1,1+a ) 上单调递减,在 (1 ? a, e) 上单调递增. h( x ) 在 [1, e] 上 最 小 值 为 h( 1 1 ?) , 所 1 以 ? a )? 2 + a? a l n ? (1 a 因) 为 0 ? l n (?a . 0 ? a l n (?1 a ?). a ?
2 ? 2+a ? a ln(1 ? a) ? 2 ,即 h(1 ? a) ? 2 不满足题意,舍去.综上所述: a ? ( e ? 1 , ??) 12 分 e ?1 22. 证 明 :(1) ∵ PM 是 圆 O 的 切 线 , NAB 是 圆 O 的 割 线 , N 是 PM 的 中 点 , ∴

PN NA ? , 又∵ ?PNA ? ?BNP , ∴△ PNA ∽△ BNP , ∴ BN PN ?APN ? ?PBN , 即 ?APM ? ?PBA . ∵ MC ? BC , ∴ ?MAC ? ?BAC , ∴ ?MAP ? ?PAB ,∴△ APM ∽△ ABP . …5 分 (2) ∵ ?ACD ? ?PBN , ∴ ?ACD ? ?PBN ? ?APN , 即 ?PCD ? ?CPM , ∴ PM // CD , ∵ △ APM ∽ △ ABP , ∴ ?PMA ? ?BPA , ∵ PM 是 圆 O 的 切 线 , ∴ ?PMA ? ?MCP ,∴ ?PMA ? ?BPA ? ?MCP ,即 ?DPC ? ?MCP ,∴ MC // PD , ∴四

MN 2 ? PN 2 ? NA ? NB ,



边形 PMCD 是平行四边形. 10 分 23.解: (1)由 ? 分
? ?

? 4cos ? 得 ? 2 ? 4? cos? ,于是有 x 2 ? y 2 ? 4 x ,化简可得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4

3

(2) 将 ?x ? 1 ? t c (t cos? o s ? 代入圆的方程得
y ? ts i n ?

2 化简得 t ? 2t cos? ? 3 ? 0 . ?1) 2 ? (t sin ? ) 2 ? 4 ,



t1 ? t 2 ? 2 cos? , A 、 B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 ? ? ? t1t 2 ? ?3
?t1 ? t 2 ?2 ? 4t1t 2 ?
4 cos2 ? ? 12 ? 14 ,?

……7 分

? AB ? t1 ? t 2 ?

4 cos2 ? ? 2 , cos? ? ?

24.解: (1)由

f ( x) ? x ? 2 得:

2 ? 3? ,? ? 或 2 4 4

.…10 分

? x?2?0 ? x?2?0 ? x?2?0 ? 或? 或? ………3 分解得 0 ? x ? 2 ? x ? ?1 ? 1 ? x ? 1 ?x ?1 ? ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ?1 ? x ? x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 1 ? x ? 1 ? x ? 2 ? ? ?
所以

f ( x) ? x ? 2 的解集为 {x | 0 ? x ? 2}

………5 分

(2) | a ? 1| ? | 2a ? 1| ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? 1 ? 3 当且仅当 ?1 ? 1 ? ? 2 ? 1 ? ? 0 时,取等号.…8 ? ?? ? a ?? a? |a| a a a a ? 分 由不等式 f ( x) ? | a ? 1| ? | 2a ? 1| 对任意实数 a ? 0 恒成立,可得 | x ? 1| ? | x ? 1|? 3 |a| 解得: x

??

3 3 或x? 2 2

. 故实数 x 的取值范围是 ( ??, ?

3 3 ] ? [ , ??) 2 2

……10 分


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