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2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用单元质量测试课件文


单元质量测试(二)
时间:120 分钟 满分:150 分

第Ⅰ卷

(选择题,共 60 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
1 x 1. [2017· 河南郑州模拟]函数 f(x)=ln +x 2 的定义域 x-1

为(

) A.(0,+∞) C.(0,1) B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

解析 +∞).

? x ? >0, x - 1 自变量 x 满足? ? ?x≥0,

即 x>1, ∴定义域为(1,

2.[2017· 山东实验中学模拟]幂函数 f(x)=k· xα 的图象过
? ?1 点? , ?2

2? ? ) ?,则 k+α=( 2 ? 1 3 A.2 B.1 C.2 D.2

解析

由幂函数的定义知 k=1.又

?1? ? f? ? ?= ?2?

?1? 2 ? ?α ,所以 ? ? = 2 ?2?

2 1 3 ,解得 α = ,从而 k + α = . 2 2 2

3. 已知曲线 y=-x3+ax+1 在点(-1,2-a)处的切线斜 率为-2,则 a 等于( A.-5
解析 2,则 a=1.

) C.5 D.1

B.-1

由题意知 y′|x=-1=(-3x2+a)|x=-1=a-3=-

4.下列函数中既是奇函数,又是定义域内的减函数的 是( ) A.f(x)=xlg 2 C.f(x)=sinx
解析

B.f(x)=-x|x| ln x D.f(x)= x

A 中,函数 f(x)=xlg 2 是增函数;B 中,画图可

知函数 f(x)=-x|x|是奇函数,且是减函数;C 中,函数 f(x) ln x =sinx 不单调;D 中,函数 f(x)= x 的定义域是(0,+∞), 是非奇非偶函数.故选 B.

5.[2016· 宝鸡二检]已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1) =4,且 f(x)的导函数 f′(x)<3,则不等式 f(ln x)>3ln x+1 的 解集为( ) B.(0,e) C.(0,1) D.(e,+∞) A.(1,+∞)

解析

设 g(x)=f(x)-3x-1, 则 g′(x)=f′(x)-3.由题

意, 得 g′(x)<0 且 g(1)=0, 故函数 g(x)为单调递减函数. 不 等式 f(ln x)>3ln x+1 可以转化为 f(ln x)-3ln x-1>0, 即 g(ln
?x>0, x)>0=g(1),所以? ?ln x<1,

解得 0<x<e.

6.已知函数 f(x)的定义域是[0,1),则函数 g(x)=f[log1 (3
2

-x)]的定义域为( A.[0,1)

)
? 5? ? C.?2,2? ? ? ? ? 5? ? D.?2,2? ? ? ?

B.(2,3]

解析

∵已知函数 f(x)的定义域是[0,1),∴log1 (3-x)
2

? 1? 1 ? ? ∈[0,1)=?log11,log12?,∴2<3-x≤1,解得 2 2 ? ?

5 2≤x<2.

1 2 7.函数 f(x)=2x -ln x 的单调递减区间是( A.(-1,1) C.(-∞,-1)∪(0,1) B.(0,1] D.[1,+∞)

)

解析

1 2 f(x)=2x -ln x 的定义域为(0,+∞),f′(x)=x

2 1 x -1 1 2 - x = x ,∴由 f′(x)≤0,得 0<x≤1,∴函数 f(x)=2x -

ln x 的单调递减区间为(0,1].

8. [2016· 重庆一中一模]定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(- 1 x)=-f(x),f(x)=f(x+4),且 x∈(-1,0)时,f(x)=2 +5,则
x

f(log220)=( A.1
解析

) 4 B.5 C.-1 4 D.-5

1 2 9.[2016· 河南八校联考]已知 f(x)=4x +cosx,f′(x)为 f(x)的导函数,则 f′(x)的图象大致为( )

解析

1 2 1 因为 f(x)=4x +cosx, 所以 f′(x)=2x-sinx, 这

是一个奇函数, 图象关于原点对称, 故排除 B、 D, 又 f′(1) 1 1 π =2 - sin1<2 - sin4 <0 ,f′(2)= 1- sin2>0,∴f′(x) 的图象 大致为 A.

10.“a≤0”是“函数 f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞) 内单调递增”的( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A.充分不必要条件 C.充分必要条件
解析

充分性:当 a<0 时,f(x)=|(ax-1)· x|=-ax2+x

1 为图象开口向上的二次函数,且图象的对称轴为直线 x=2a
? 1 ? ? ? <0 ? ?,故 2 a ? ?

f(x)在(0,+∞)上为增函数;当 a=0 时,f(x)=x

为增函数.

必要性:当 a≠0

?1? ? ? 时,f?a?=0,f(0)=0,f(x)在(0,+∞) ? ?

1 上为增函数,则a<0,即 a<0,f(x)=x 时,为增函数,此时 a=0,故 a≤0. 综上,a≤0 为 f(x)在(0,+∞)上为增函数的充分必要 条件.

11.[2016· 兰州诊断]已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的 导函数为 f′(x),若对于任意实数 x,有 f(x)>f′(x),且 y= f(x)-1 为奇函数,则不等式 f(x)<ex 的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e4) B.(0,+∞) D.(e4,+∞) )

解析

因为 y=f(x)-1 为奇函数,且定义域 R,所以 0

f?x? = f(0) - 1 , 所 以 f(0) = 1. 设 h(x) = ex , 则 h′(x) = ex?f′?x?-f?x?? , 因为 f(x)>f′(x), 所以函数 h(x)是 R 上的减 x 2 ?e ? f? 0 ? f?x? 函数,所以不等式 f(x)<e 等价于 ex <1= e0 ,即 h(x)<h(0),
x

所以 x>0,故选 B.

12.[2017· 广西南宁模拟]已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx+ d(a≠0)的对称中心为 M(x0, y0), 记函数 f(x)的导函数为 f′(x), f′(x)的导函数为 f″(x),则有 f″(x0)=0.若函数 f(x)=x3- 3x ,则
2 ? ? ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? f?2017?+f?2017?+f?2017? ? ? ? ? ? ? ?

?4032? ?4033? ? ? ? +?+f?2017?+f? ? ?=( 2017 ? ? ? ?

) C.8066 D.4033

A.-8066

B.-4033

解析

由 f(x)=x3-3x2 得 f′(x)=3x2-6x,得 f″(x)=

6x-6, 又 f″(x0)=0, 所以 x0=1, 且 f(1)=-2, 即函数 f(x) 的对称中心为(1,-2),即 f(x)+f(2-x)=-4. 令 则
? ? ? ?4032? ?4033? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S=f?2017?+f?2017?+f?2017?+?+f?2017?+f? ? ?, 2017 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?4033? ?4032? ? ? ? 3 ? 2 ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? S=f?2017?+f?2017?+?+f?2017?+f?2017?+f?2017?, 所以 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

2S=4033×(-4)=-16132,S=-8066.

第Ⅱ卷

(非选择题,共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知函数 f(x)=ln x-f′(-1)x2+3x-4,则 f′(1) 8 =________.

解析

1 ∵ f′(x) = x - 2f′( - 1)x + 3 , f′( - 1) =- 1 +

2f′(-1)+3,∴f′(-1)=-2,∴f′(1)=1+4+3=8.

14.若函数 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2 是偶函数,则 (-∞,0] . f(x)的递增区间是____________

解析 0].

函数 f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2 是偶函数,所

以 m=1,则函数 f(x)=-x2+2,其单调递增区间是(-∞,

15.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)= 1 ? ? 5 ? -2 - 2x(1-x),则 f? ? ?=________. 2? ?
解析 因为 f(x)是奇函数,且当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1
? 5? ? f?-2? ? ? ?

-x),所以当-1≤x≤0 时,0≤-x≤1,f(-x)=-2x(1+ x)=-f(x), 即 f(x)=2x(1+x). 又 f(x)的周期为 2, 所以
? ? ? 1? 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? =f?-2-2?=f?-2?=2×?-2?×2=-2. ? ? ? ? ? ?

?a,a≤b, 16. 对于任意实数 a, b, 定义 min{a, b } =? ?b,a>b.

设函数 f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x), 1 g(x)}的最大值是________ .

解析

?log2x,0<x≤2, 依题意,h(x)=? ?-x+3,x>2.

当 0<x≤2 时,

h(x)=log2x 是增函数,当 x>2 时,h(x)=3-x 是减函数,∴ h(x)在 x=2 时,取得最大值 h(2)=1.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文 字说明、证明过程或演算步骤.) 1 1 17.(本小题满分 10 分)函数 f(x)=a- x (a>0,x>0). (1)判断函数 f(x)在(0,+∞)上的单调性; (2)若函数
?1 ? ?1 ? ? ? ? f(x)在?2,2?上的值域是?2,m? 求 ?, ? ? ? ?

a, m 的值.

(1)设 x1>x2>0,则 x1-x2>0,x1x2>0, ?1 ?1 x1-x2 1? 1? 1 1 ? ? ? ? ∵ f(x1) - f(x2) = ?a-x ?- ?a-x ? = x - x = x x >0 ,∴ ? ? 1? 2? 2 1 1 2 f(x1)>f(x2). ∴函数 f(x)是(0,+∞)上的单调递增函数. ?1 ? ? (2)由(1)得 f(x)在?2,2? ?上是单调递增函数,∵函数 f(x) ? ? ?1 ? ?1 ? ?1? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 在?2,2?上的值域是?2,m?, ∴f?2?=2, f(2)=m, 即a-2=2, ? ? ? ? ? ? 1 1 且a-2=m, 2 解得 a=5,m=2.



18.(本小题满分 12 分)设二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的 图象过点(0,1)和(1,4),且对于任意的实数 x,不等式 f(x)≥4x 恒成立. (1)求函数 f(x)的表达式; (2)设 g(x)=kx+1,若 F(x)=log2[g(x)-f(x)]在区间[1,2] 上是增函数,求实数 k 的取值范围.



(1)f(0)=c=1,f(1)=a+b+c=4,

∴f(x)=ax2+(3-a)x+1. f(x)≥4x 即 ax2-(a+1)x+1≥0 恒成立得
?a>0, ? 2 ? a + 1 ? -4a≤0, ?

解得 a=1.

∴f(x)=x2+2x+1.

(2)F(x)=log2[g(x)-f(x)]=log2[-x2+(k-2)x]. 由 F(x)在区间[1,2]上是增函数, 得 h(x)=-x2+(k-2)x 在区间[1,2]上为增函数且恒为 正实数,
?k-2 ? ≥ 2 , ∴? 2 ? ?h?1?=-1+k-2>0,

解得 k≥6.

∴实数 k 的取值范围为[6,+∞).

19. [2017· 福建三明一中月考](本小题满分 12 分)已知函 数 f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且 f(x)的图象关于 x=1 对称,当 x∈[0,1]时,f(x)=2x-1. (1)当 x∈[1,2]时,求 f(x)的解析式; (2)计算 f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2017)的值.



(1)当 x∈[1,2]时,2-x∈[0,1],
-x

又 f(x)的图象关于 x=1 对称, 则 f(x)=f(2-x)=22 -1,x∈[1,2]. (2)∵函数 f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x), 又函数 f(x)的图象关于 x=1 对称, 则 f(2+x)=f(-x)=-f(x), 所以 f(4+x)=f[(2+x)+2]=-f(2+x)=f(x),

所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∵f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=f(-1)=-f(1)=-1, 又 f(x)是以 4 为周期的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+?+f(2017)=504×(0+1+0-1)+ f(0)+f(1)=1.

20.(本小题满分 12 分)据统计,某种汽车的最高车速为 120 千米/时, 在匀速行驶时每小时的耗油量 y(升)与行驶速度 1 3 3 x(千米/时)之间有如下函数关系:y=128000x -80x+8.已知 甲、乙两地相距 100 千米. (1)若汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶,则从甲地到乙 地需耗油多少升? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时, 从甲地到乙地耗油 最少?最少为多少升?



100 (1)当 x= 40 时,汽车从甲地到乙地行驶了 40 =

2.5(小时),
? ? 1 3 ? 3 需耗油?128000×40 -80×40+8? ?×2.5=17.5(升), ? ?

所以汽车以 40 千米/时的速度匀速行驶时, 从甲地到乙 地需耗油 17.5 升. (2)当汽车的行驶速度为 x 千米/时时,从甲地到乙地需 100 行驶 x 小时.

设耗油量为 h(x)升,依题意,得
? ? 100 1 3 ? 3 h(x)=?128000x -80x+8? ?· x ? ?

1 800 15 2 =1280x + x - 4 , 其中,0<x≤120.
3 3 800 x -80 x h′(x)=640- x2 = 640x2 (0<x≤120).

令 h′(x)=0,得 x=80.

因为当 x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; 当 x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数, 所以当 x=80 时,h(x)取得最小值,且 h(80)=11.25. 所以当汽车以 80 千米/时的速度行驶时, 从甲地到乙地 耗油最少,最少为 11.25 升.

21.[2017· 贵州月考](本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= ln (ex+a)(a 为常数, e 为自然对数的底数)是实数集 R 上的奇 函数. (1)求实数 a 的值; ln x (2)讨论关于 x 的方程 =x2-2ex+m 的根的个数. f?x?



(1)∵f(x)=ln (ex+a)是奇函数,
-x

∴f(-x)=-f(x), 即 ln (e ∴(e
-x

+a)=-ln (ex+a)恒成立,
-x

+a)(ex+a)=1,∴1+ae
-x

+aex+a2=1,

即 a(ex+e

+a)=0 恒成立,故 a=0.

ln x ln x 2 (2)由(1)知方程 =x -2ex+m,即 x =x2-2ex+m. f?x? ln x 令 f1(x)= x ,f2(x)=x2-2ex+m, 1-ln x 则 f1′(x)= x2 , 当 x∈(0,e]时,f1′(x)≥0,∴y=f1(x)在(0,e]上为增 函数; 当 x∈(e,+ ∞)时,f1′(x)<0,∴ y= f1(x)在(e,+∞) 上为减函数,

1 ∴当 x=e 时,f1(x)max= e . 而 f2(x)=x2-2ex+m=(x-e)2+m-e2, 当 x∈(0,e]时,y=f2(x)是减函数; 当 x∈[e,+∞)时,y=f2(x)是增函数, ∴当 x=e 时,f2(x)min=m-e2. 1 1 2 故当 m-e > e ,即 m>e + e 时,方程无实根;
2

1 1 2 当 m-e = e ,即 m=e + e 时,方程有一个根;
2

1 1 2 当 m-e < e ,即 m<e + e 时,方程有两个根.
2

22.[2016· 江苏高考](本小题满分 12 分)已知函数 f(x) =ax+bx(a>0,b>0,a≠1,b≠1). 1 (1)设 a=2,b=2. ①求方程 f(x)=2 的根; ②若对于任意 x∈R,不等式 f(2x)≥mf(x)-6 恒成立, 求实数 m 的最大值; (2)若 0<a<1,b>1,函数 g(x)=f(x)-2 有且只有 1 个零 点,求 ab 的值.



1 (1)因为 a=2,b=2,
-x

所以 f(x)=2x+2 0,

.
-x

①方程 f(x)=2,即 2x+2

=2,亦即(2x)2-2×2x+1=

所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0. ②由条件知 f(2x)=2 +2 且 f(x)>0,
2x
-2x

=(2 +2

x

-x

)2-2=(f(x))2-2.

因为 f(2x)≥mf(x)-6 对于 x∈R 恒成立,

?f?x??2+4 所以 m≤ 对于 x∈R 恒成立. f?x? ?f?x??2+4 4 而 =f(x)+ ≥2 f?x? f?x? ?f?0??2+4 且 = 4, f? 0 ? 所以 m≤4,故实数 m 的最大值为 4. 4 f?x?· =4, f?x?

(2)因为函数 g(x)=f(x)-2 只有 1 个零点, 而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 所以 0 是函数 g(x)的唯一零点. 因为 g′(x)=axln a+bxln b, 又由 0<a<1, b>1 知 ln a<0, ln b>0, 令 h(x)=g′(x), 则 h′(x)=(axln a+bxln b)′=ax(ln a)2 +bx(ln b)2, 从而对任意 x∈R, h′(x)>0, 所以 g′(x)=h(x)是(-∞, +∞)上的单调增函数.

于是当 x∈(-∞, x0)时, g′(x)<g′(x0)=0; 当 x∈(x0, +∞)时,g′(x)>g′(x0)=0. 因而函数 g(x)在(-∞,x0)上是单调减函数,在(x0,+ ∞)上是单调增函数. 下证 x0=0.

x0 又 2 <0,所以 x1<0,与“0 是函数 g(x)的唯一零点”矛 盾. x0 若 x0>0,同理可得,在 2 和 logb2 之间存在 g(x)的非 0 的零点,矛盾. 因此,x0=0. ln a 于是-ln b=1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1.


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