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椭圆的标准方程和几何性质练习题


椭圆的标准方程和几何性质练习题一
1. 若曲线 ax2+by2=1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a,b 满足( 1 1 A.a2>b2B. < C.0<a<b a b D.0<b<a )

x2 y2 1 1 答案:C 由 ax2+by2=1,得 + =1,因为焦点在 x 轴上,所以 > >0,所以 0<a<b. 1 1 a b a b 2. 一个椭圆中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,P(2, 3 )是椭圆上一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差 数列,则椭圆方程为( )

x 2 y2 A. + =1 8 6

x 2 y2 x 2 y2 B. + =1C. + =1 16 6 8 4

x 2 y2 D. + =1 16 4

4 3 x 2 y2 答案: A 设椭圆的标准方程为 2 ? 2 =1(a>b>0)。 由点 P(2, 3 )在椭圆上知 2 ? 2 =1。 又|PF1|, |F1F2|, a b a b
PF2|成等差数列,则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即 2a=2× 2c,

c 1 ? , 又 c2=a2-b2,联立得 a2=8,b2=6 a 2

x2 3. 已知△ ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上,则△ ABC 的周长是( A.2 3 B.6 ) C.4 3 D.12

答案:C 如图,设椭圆的另外一个焦点为 F,则△ ABC 的周长为|AB| +|AC|+|BC|=(|AB|+|BF|)+(|AC|+|CF|)=4a=4 3。 1 ? 4. 已知椭圆 x2+my2=1 的离心率 e∈? 则实数 m 的取值范围是 ?2,1?, ( ) 3 ? ? 4? D.? ?4,1?∪?1,3? 3? ?4 ? ? 3? ?4 ? A.? ?0,4?B.?3,+∞?C.?0,4?∪?3,+∞?

1 1 答案:C 在椭圆 x2+my2=1 中,当 0<m<1 时,a2= ,b2=1,c2=a2-b2= -1, m m 1 -1 m c ∴e2= 2= =1-m, a 1 m
2

1 1 3 1 1 又 <e<1,∴ <1-m<1,解得 0<m< ,当 m>1 时,a2=1,b2= ,c2=1- , 2 4 4 m m 1 1- 2 m c 1 1 1 1 4 e2= 2= =1- ,又 <e<1,∴ <1- <1,解得 m> , a 1 m 2 4 m 3 3 4 0, ?∪? ,+∞?。 综上可知实数 m 的取值范围是? 4 ? ? ?3 ?

1

5. 已知两圆 C1:(x-4)2+y2=169, C2:(x+4)2+y2=9, 动圆在圆 C1 内部且和圆 C1 相内切, 和圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为( A. ) D.

x2 y2 ? ?1 64 48

B.

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 C. ? ?1 48 64 48 64

x2 y2 ? ?1 64 48

答案:D 设圆 M 的半径为 r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16, 所以 M 的轨迹是以 C1,C2 为焦点的椭圆,且 2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为

x 2 y2 + =1 64 48

6. 椭圆

x2 y 2 a2 ? ? 1 l : x ? ? ( a >b>0) 的左、 右焦点分别为 F , F , P 是椭圆上的一点, , 且 PQ⊥l, 1 2 a 2 b2 c
)

垂足为 Q,若四边形 PQF1F2 为平行四边形,则椭圆的离心率的取值范围是( A.(

1 ,1) 2

B.(0,

1 ) 2

C.(0,

2 ) 2

D.(

2 ,1) 2

答案:A 设点 P(x1,y1),由于 PQ⊥l,故|PQ|=x1+

a2 ,因为四边形 PQF1F2 为平行四边形,所以 c

|PQ|=|F1F2|=2c,即 x1+

a2 a2 =2c,则有 x1=2c>-a,所以 2c2+ac-a2>0,即 2e2+e-1>0,解得 e<-1 或 e> c c

1 1 1 ,由于 0<e<1,所以 <e<1,即椭圆离心率的取值范围是( ,1) 2 2 2
x2 y2 7. 已知 P 为椭圆 + =1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点, 25 16 则|PM|+|PN|的最小值为( A.5B.7C.13 ) D.15

答案:B 由题意知椭圆的两个焦点 F1,F2 分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN| 的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7。 → → → x2 2 8. 设 F1、F2 分别是椭圆 +y =1 的左、右焦点,若椭圆上存在一点 P,使(OP+OF2)· PF2=0(O 为 4 坐标原点),则△ F1PF2 的面积是( A.4 B.3C.2 → → → → → → ) D.1 → → 1

答案:D∵(OP+OF2)· PF2=(OP+F1O)· PF2=F1P· PF2=0,∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90° . 设|PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=4,m2+n2=12,2mn=4,∴S△ F 9. 已知椭圆 C:
PF = mn=1 2 1 2

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,若椭圆 C 上恰有 8 个不同的点 P, a 2 b2
)

使得△ F1F2P 为直角三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是(

2

A.(0,

2 ) 2

B.(0,

2 2 ]C.( ,1) 2 2

D.[

2 ,1) 2

答案:C 由题意,问题等价于椭圆上存在四个点 P 使得直线 PF1 与直线 PF2 垂直, 所以|OP|=c>b,即 c2>a2-c2,所以 a< 2 c,因为 e=

c 2 ,0<e<1,所以 <e<1. a 2

10. 若点 O 和点 F 分别为椭圆 的最大值为( A.2 ) B.3

? ? x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一点,则 OP ? FP 4 3

C.6

D.8 =3-

x 0 2 y0 2 ? 答案:C 设椭圆上任意一点 P(x0,y0),则有 =1,即 4 3
则 · =x0(x0+1)+ =

3 4

,O(0,0),F(-1,0),

1 4

+x0+3=

1 (x0+2)2+2. 4

因为|x0|≤2,所以当 x0=2 时,

·

取得最大值为 6 )

7 11. 在△ ABC 中, AB=BC, cosB=- .若以 A, B 为焦点的椭圆经过点 C, 则该椭圆的离心率为( 18 3 3 3 A. B. C. 4 7 8 3 D. 18

答案:C 依题意知 AB= BC=2c,AC=2a-2c,在△ ABC 中,由余弦定理得(2a-2c)2=8c2-

?- 7 ?,故 16e2+18e-9=0,解得 e=3. 2× 4c2× ? 18? 8
12. 已知 F1,F2 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,A 是椭圆上一动点,圆 C 与 F1A 的延长线、 4 3
) D.t 与 2 的大小关系不确定

F1F2 的延长线以及线段 AF2 相切,若 M(t,0)为一个切点,则( A.t=2 B.t>2C.t<2

答案:A 如图,P,Q 分别是圆 C 与 F1A 的延长线、线段 AF2 相切的切点,则 |MF2|=|F2Q|=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|,即|F1M|+|MF2|=2a. 所以 t=a=2. 13. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)上一点 A 关于原点的对称点为 B,F 为其右焦点, a 2 b2

若 AF⊥BF,设 π π? ∠ABF=α,且 α∈? ?12,4?,则该椭圆离心率的取值范围为( A.? 2 6? ? 2 3? ? 6 ? B. C. ? 2 , 3 ? ? 2 , 2 ? ? 3 ,1? D.? 2 ? ? 2 ,1? )

答案: A 由题知 AF⊥BF, 根据椭圆的对称性, AF′⊥BF′(其中 F′是椭圆的左焦点), 因此四边形 AFBF′
3

是矩形,于是|AB|=|FF′|=2c,|AF|=2csinα,根据椭圆的定义,|AF|+|AF′|=2a,∴2csinα+2ccosα c 1 =2a,∴e= = = a sinα+cosα π π? , , ,而 α∈? 12 4? ? π α+ ? 2sin? ? 4? 1

π π π π? 3 2 6 , ,∴sin?α+ ?∈? ,1?,故 e∈? , ? ∴α+ ∈? ? 4? ? 2 4 ?3 2? 3? ? ?2

x2 y 2 14. 直线 y ? ? 3x 与椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)交于 A,B 两点,以线段 AB 为直径的圆恰好经过 a b
椭圆的右焦点,则椭圆 C 的离心率为( A. ) C. 3 -1 D.4-2 3

3 2

B.

3 ?1 2

答案:C 设椭圆的左、右焦点分别为 F1,F2,由题意可得 |OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c,由 y=- 3 x 得∠AOF2=

2? ? ,∠AOF1= 。所以|AF2|= 3 c,|AF1|=c. 3 3

由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a,所以 c+ 3 c=2a,所以 e=

c = 3 -1. a

15. 已知椭圆的焦点在 x 轴上,一个顶点为 A(0,-1),其右焦点到直线 x-y+2 2=0 的距离为 3, 则椭圆的方程为 答案:

x2 ? y 2 ? 1 据题意可知椭圆方程是标准方程,故 b=1.设右焦点为(c,0)(c>0),它到已知直线 3

|c+2 2| x2 的距离为 =3,解得 c= 2,所以 a2=b2+c2=3,故椭圆的方程为 +y2=1. 3 2

x 2 y2 ? 16. 设 F1,F2 分别是椭圆 =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的中点,|OM|=3, 25 16
则 P 点到椭圆左焦点的距离为 答案:4 由题意知|OM|=

1 |PF2|=3,所以|PF2|=6,所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4 2

17. 分别过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点 F1,F2 所作的两条互相垂直的直线 l1,l2 的交点在 a 2 b2

此椭圆的内部,则此椭圆的离心率的取值范围是 答案: (0,

2 )由已知得交点 P 在以 F1F2 为直径的圆 x2+y2=c2 上。 又点 P 在椭圆内部, 所以有 c2<b2, 2
c2 1 c 2 ? , 所以 0 ? ? . 2 a 2 a 2

又 b2=a2-c2,所以有 c2<a2-c2,即 2c2<a2,亦即:

x2 ? y 2 ? 1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 为椭圆上一动点,若∠F1PF2 为钝角,则点 18. 椭圆 4
4

P 的横坐标的取值范围是 → → 2 6 2 6? 答案:?- 设椭圆上一点 P 的坐标为(x,y),则F1P=(x+ 3,y),F2P=(x- 3,y)。 , 3 ? ? 3 → → ∵∠F1PF2 为钝角,∴F1P· F2P<0,即 x2-3+y2<0,① x2 x2 3 8 ∵y2=1- ,代入①得 x2-3+1- <0, x2<2,∴x2< 。 4 4 4 3 2 6 2 6 2 6 2 6? 解得- <x< ,∴x∈?- 。 3 3 ? 3 , 3 ? x2 y2 19. 椭圆 2+ =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B。若△ FAB a 5 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是 2 答案: 设椭圆的右焦点为 F′,如图,由椭圆定义知,|AF|+|AF′|=|BF| 3 +|BF′|=2a。 又△ FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a, 当且仅当 AB 过右焦点 F′时等号成立。 此时 4a=12,则 a=3。 x2 y2 故椭圆方程为 + =1,所以 c=2, 9 5 c 2 所以 e= = 。 a 3 20. 如图,焦点在 x 轴上的椭圆

x2 y2 1 ? 2 ? 1 的离心率 e=2,F,A 分别是椭圆 4 b
→ →

的一个焦点和顶点,P 是椭圆上任意一点.则PF· PA的最大值为 答案:4 设 P 点坐标为(x0,y0).由题意知 a=2, c 1 x2 y2 ∵e= = ,c=1,∴b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为 + =1. a 2 4 3 ∴-2≤x0≤2,- 3≤y0≤ 3. → → → → ∵F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA =(2-x0,-y0), 1 2 1 2 2 ∴PF· PA=x0 -x0-2+y2 0= x0-x0+1= (x0-2) . 4 4 → → 即当 x0=-2 时,PF· PA取得最大值 4.

x2 y 2 21. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直 a b

5

线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF。若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=

4 ,则 C 的离心率为 5

答案:

5 82 ? 102 ? x 2 4 ? . 如图,设|AF|=x,则 cos∠ABF= 7 2 ? 8 ?10 5 c 5 ? . a 7

解得 x=6(负值舍去),所以∠AFB=90° ,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,且 ∠FAF1=∠FAB+∠FBA=90° , △ FAF1 是直角三角形, 所以|F1F|=10, 故 2a=8+6=14, 2c=10, 所以

22. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点,顶点 B a 2 b2

的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C. (1)若点 C 的坐标为 (

4 1 , ) ,且|BF2|= 2 ,求椭圆的方程 3 3

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值 【解析】(1)由题意 F2(c,0),B(0,b),|BF2|= b2 ? c2 ? a ?

2,

4 2 1 2 ( ) ( ) 4 1 x2 3 3 ( , ) 又C , 所以 解得 b=1, 所以椭圆方程为 ? 2 =1, 3 3 2 2 b
+y2=1. (2)直线 BF2 方程为

x y x 2 y2 ? =1,与椭圆方程 2 ? 2 =1 联立方程组,解得 A 点坐标为 c b a b

(

2a 2c b3 2a 2c b3 , ? ), ( , ), 则 C 点的坐标为 a 2 ? c2 a 2 ? c2 a 2 ? c2 a 2 ? c2

又 F1(-c,0),

b3 2 2 b b b3 b3 = a 2? c 又 k =,由 F C ⊥ AB ,得 · (- )=-1, ? 2 , AB 1 2 3 3 c c 3a c ? c 2a c 3a c ? c ?c 2 2 a ?c

即 b4=3a2c2+c4,所以(a2-c2)2=3a2c2+c4,化简得 e= 23. 已知椭圆 C:x2+2y2=4. (1)求椭圆 C 的离心率

c 5 ? . a 5

(2)设 O 为原点. 若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小 值 x2 y2 解析:(1)由题意,椭圆 C 的标准方程为 + =1。所以 a2=4,b2=2,从而 c2=a2-b2=2。 4 2 c 2 因此 a=2,c= 2.故椭圆 C 的离心率 e= = 。 a 2

6

(2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0。 → → 2y0 因为 OA⊥OB,所以OA· OB=0,即 tx0+2y0=0,解得 t=- 。 x0
2 2y0?2 2 2 2 2 ? 2 2 2 4y0 又 x2 + ( y 0+2y0=4,所以|AB| =(x0-t) +(y0-2) = x0+ x 0-2) =x0+y0+ 2 +4 ? x0 0? 2 =x0 + 2 4-x2 2?4-x2 x0 8 0 0? 2 + +4= + 2+4(0<x0 ≤4)。 2 2 x0 2 x0

x2 8 0 2 因为 + 2≥4(0<x2 0≤4),且当 x0=4 时等号成立, 2 x0 所以|AB|2≥8。故线段 AB 长度的最小值为 2 2。

7



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