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假期辅导自学(高一数学)


几点辅导说明:同学们进入高一以后曾经非常的兴奋,发誓一定学好高中数学,可是经过 1 年来的却发现不是想象的那么美好, 究其原因我们认为是从函数的性质开始让大家迷惑的,

例 1 求函数 f ( x ) ?

x ? 5x ? 6 ?
2

( x ? 1) 0 x? x

的定义域.

分析

根据有关条件列出不等式组,再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域. 由函数解析式有意义,得

为此我们这个培训就函数的性质进行一个简单的总结,希望同学们有一个大的收获。 函数的解析式和定义域
【考点指津】 1.掌握函数的三种表示方法,会求简单函数的解析式. 2.会求简单函数的定义域. 定义域是构成函数的重要要素之一,一切函数问题的研究都离不开函数的定义域,因此,处理函数 问题有定义域优先原则。要熟练掌握求函数定义域的原则和方法.当一个函数可以用解析式表示时,函 数的定义域就是使其解析式有意义的自变量的取值集合即转化为解不等式或不等式组问题.在实际问题 中,还应注意实际意义的制约. 【知识在线】



?x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ?x≥3,或x≤2 ? ? ?0<x<1 或 1<x≤2,或 x≥3. ? x ? 1 ? 0 ? ?x≠1, ?x>0. ? ? x? x ?0 ?
故函数的定义域是 (0,1) ? (1,2] ? [3,??) . 点评 (1)求以解析式给出的函数定义域时,应遵循以下几条原则:①分式的分母不为零;②偶次 根号下被开方数非负;③在 a°中底数 a≠0;④若 f(x)是由几个部分构成的,则应采用交集法;⑤实际问 题结合变量的实际意义来确定,等等; (2)求不等式组的解集,通常借助数轴的直观性; (3)函数的定义域一般应用集合或区间形式表示,在用区间表示时,要弄清区间端点的归属,正确 使用开区间和闭区间符号,需特别注意的是, “∞”不是一个确定的数,而是一个变化趋势,只能用开区

? x ? 1, x ? 0 ? 1.已知 f ( x ) ? ? ? , x ? 0 ,则 f{f[f(-1)]}= π +1 . ? 0, x ? 0 ?
x 2.下列函数:①y=2x+5;②y= 2 ;③y= x +1
?2x , x<0, |x|-x ;④y = ? ? x+4,x≥0.

间; (4)必须把所有的限制条件都列出来,特别是在 ( x ? 1) 中,x-1≠0,不能遗漏.
0

例 2 若函数 y=lg(x2+ax+1)的定义域为 R,求实数 a 的取值范围. 分析 由函数 y=lg(x +ax+1)的定义域为 R 知:x +ax+1>0 对 x∈R 恒成立,而 f(x)= x +ax+1 为二
2 2 2

其中定义域为 R 的函数共有 m 个,则 m 的值为 A.1 B.2 C.3 D.4
?2x2+1,x≤0, 3.已知函数 f(x) = ? 当 f(x) = 33 时,x = ?-2x, x>0,

(D ) 次函数,函数值恒正,故可利用“△”法求解. - 4. ( B ) 解:因函数 y=lg(x +ax+1)的定义域为 R,故 x +ax+1>0 对 x∈R 恒成立,而 f(x)= x +ax+1 是开口向上 的抛物线,从而△<0,即 a -4<0,解得 -2<a<2,它便是所求的 a 的取值范围. 法可判断一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负; (2)必须注意所用△ 的值是大于零、小于零、还是不大于零、不小于零.如下面的问题:关于 x 的 不等式 x2+ax+1<0 的解集为 ? ,试求实数 a 的取值范围.问题便等价于 x2+ax+1≥0 的解集为 R,从而 有△ ≤0,解得 –2≤a≤2. 变题 1 已知函数 y=lg(x2+ax+1)的值域为 R,求 a 的取值范围. 提示:利用△ ≥0? a≥2 或 a≤-2.
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2 2 2 2

4.若 f(x-1)=2x+5,则 f(x2) = A.2x2+3 B.2x2+7 C. 2 x +3 D. 2 x +7

点评 (1) “△”

5.已知函数 f(x) = lg 系不正确的为 A.A?B 【讲练平台】

1? x 的定义域为 A,函数 g(x)=lg(1+x) – lg(1-x)的定义域为 B,则下述关于 A、B 关 1? x
(D ) C.A∩B=B ? D.B≠A

B.A∪B=B

变题 2 已知函数 y=lg(ax2+ax+1)的定义域为 R,求 a 的取值范围. 提示:分 a>0 与 a=0 的两种情况求解,其答案为 0≤a<4. 思考:变题 1、变题 2 及原题,它们的区别何在? 例 3 《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表: 个人所得税税率表一(工资、薪金所得适用) 级别 1 2 3 4 5 6 7 8 9 全月应纳税所得额 不超过 500 元部分 超过 500 元至 2000 元部分 超过 2000 元至 5000 元部分 超过 5000 元至 20000 元部分 超过 20000 元至 40000 元部分 超过 40000 元至 60000 元部分 超过 60000 元至 80000 元部分 超过 80000 元至 10000 元部分 超过 100000 元部分 税率(%) 5 10 15 20 25 30 35 40 45

(0<x≤1000), ? ?x, 0.95x+50,(1000<x≤1500), 故 y = ? ?0.9x+125,(1500<x≤3000). ? (2)显然,该职员的工资、薪金 x 满足 1500<x≤3000,故由 0.1x-125=75, 解得

x=2000.

答:该职员的该月工资、薪金收入为 2000 元. 点评 (1)函数的表示法有:解析法、列表法、图象法;而解析式中包含一类重要的函数——分段 函数:对应于自变量 x 的不同取值范围,对应关系也不同.分段函数不管 x 被分成了几段,它仍是一个 函数,而不是几个函数,它由几个部分构成了一个函数; (2)写函数解析式时,不要忘了写上函数的定义域;对于实际问题,还不要忘了问题的实际意义. 变题 ( D ) A.500~600 元 B.900~1200 元 C.1200~1500 元 D.1500~1800 元 在原题的条件下,若设某人一月份应缴纳此项税款 26.78 元,则他当月工资总收入介于

例 4 (1)设 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,求 f(x). (2)设 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f(x+1). (3)若 f(x)满足 f(x)+2f( 分析

表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去 1000 元后的余额.例如某人月工资、薪 金收入 1220 元,减除 1000 元,应纳税所得额就是 220 元,应缴纳个人所得税 11 元. (1)请写出月工资、薪金的个人所得 y 关于收入额 x(0<x≤3000)的函数表达式; (2)一公司职员某月缴纳个人所得税 75 元,问他该月工资、薪金的收入多少? 分析 先读懂题意,正确理解“全月应纳税所得额”等的意义,然后利用分段函数法列出个人所得 y

1 )=x,求 f(x). x

(1)已知了函数 f(x)的类型,可采用待定系数法;

(2)视( x ? 1 )为整体,采用换元法或配方法可求得 f(x)的解析式,再用(x+1)整体代换 f(x) 中的 x,即可求出 f(x+1)的解析式; (3)注意到 x 与 解

关于收入额 x 的函数关系式,利用该关系式继续求解其它的问题. 解 (1)当 0<x≤1000 时,y=x;

1 互为倒数,可通过倒数代换联立方程组解出 f(x). x
2

(1)设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f[f(x)]=af(x)+b=a (ax+b)+b=a x+ab+b,

当 1000<x≤1500 时,扣税: (x-1000) ·5%,从而所得为

y=x- (x-1000) ·5% = 0.95x+50;
当 1500<x≤3000 时,扣税: (x-1500)·10%+500 ·5% = 0.1x-125,从而所得为

?a 2 ? 4 ?a ? 2 ? a ? ? 2 ?? ∴ ? 或? ,∴ f(x)=2x+1 或 f(x)= -2x-3. ?ab ? b ? 3 ?b ? 1 ?b ? ?3
(2)解法一 ∵ f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1 ,∴ f(x)=x -1 (x≥1),
2
2 2 2

y= x-(0.1x-125) =0.9x+125.
∴ f(x+1)= (x+1) -1 = x +2x (x≥0).
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解法二 令 t= x ? 1 ,则 x = t-1,∴f(t)= (t-1) +2(t-1)= t -1.
2 2

对于实际问题,还应注意变量的实际意义或物理意义. 复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范围的交集. 【训练反馈】 1.函数 f ( x ) ? A.[0, 3 ] 2

又 t= x ? 1 ≥1,∴ f(x)=x -1 (x≥1),从而 f(x+1)= x +2x (x≥0).
2 2

(3)在 f(x)+2f(

1 1 1 1 )=x ①中,用 代换 x 得 f( )+2 f(x)= ②, x x x x
2 ? x2 f ( x) ? ( x ? 0) . 3x

3 x ? x 2 的定义域为
B.[0,3] C.[-3,0] D. (0,3)

( )

联立①、②解得 点评

(1)正确理解函数的概念,是求抽象函数解析式的关键;

2.若 f[g(x)] = 9x+3,且 g(x) = 3x+1,则 f(x)的解析式为 A.3x B.3 C.9(3x+1) +1 D.3(9x+3) +1 3.已知 g(x)=1-2x,f[g(x)]= 1-x2 (x≠0),则 f(0.5)= x2





(2)求抽象函数的解析式常用配凑法(如题(2)的解法一) 、换元法(如题(2)的解法二) 、待定 系数法(如题(1)的解答)以及取倒相消法(如题(3)的解答)等; (3)在用换元法或配凑法求解析式时,应注意中间变量的取值范围,以确定函数 f(x)的定义域.在 题(2)中,由 f(x)的定义域是{x∣x≥1},则在 f(x+1)中必须 x+1≥1,即 x≥0,从而 f(x+1)的定义域 是{x∣x≥0}. 变题 已知 f(x)是定义在 R 上的函数,且 f(1)=1,对任意 x∈R 都有下列两式成立:

( )

A.1 B.3 C.15 D.30 4.若函数 f(x)满足 f(xy)= f(x)+ f(y),且 f(2)=m,f(3)=n,则 f(72)= A.6mn B. m3+n2 C.2m+3n D.3m+2n 5 . 函 数 y=f(x) 的 图 象 如 题 图 所 示 , 则 f(x) 的 解 析 式 为 ( ) A. x ? 2 x ? 1
2
2 B. x ? 2 | x | ?1





y 1 45? -1 O
第 5 题图

1

45? x 的定

(1)f(x+5)≥f(x)+5; (2)f(x+1)≤f(x)+1. 若 g(x)=f(x)+1-x,求 g(6)的值. 提示:反复利用条件(2) ,有

f(x+5) ≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5, (★)
结合条件(1)得

C.|x2 – 1| D.x2 – 2x+1 6. 若函数 f(x)的定义域为[a, 且 b>-a>0, b], 则函数 g(x)=f(x)-f(-x) 义域是( ) A.[a,b] B.[-b,-a] C.[-b,b] D.[a,-a] 7.若 f(2x+3)的定义域是{x|-4≤x<5=,则函数 f(2x-3)的定义域是 8.求函数 y = log 2 x ?1 (33 ? 2 x ) 的定义域.



f(x+5)=f(x)+5.

于是,由(★) ,可得 f(x+1) = f(x)+1. 故

9.动点 P 从边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A 出发顺次经过 B、C 移动一周回到 A 点,设 x 表示点 P 的行程,y 表示线段 PA 的长,试求 y 关于 x 的函数式. x-5 的定义域为 R,求实数 k 的取值范围. kx2+4kx+3
3

g(6)=f(6)+1-6= [f(1)+5 ]-5=1.
10.若函数 f(x) =

注意:数列{f(n)}(n∈N*)构成公差是 1 的等差数列. 【知能集成】 1.求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法,有时还要用到方程的思想. 2.求函数的定义域,主要涉及以下几个方面: ①分式的分母不为零;②对数函数的真数都必须大于零,底数必须大于零且不为 1;③偶次方根的被 开方数非负;④零次幂的底数不为零,等.

x 11.已知函数 f(x) = ax+b (a,b 为常数,且 a≠0)满足 f(2)=1,f(x)=x 只有惟一实数解,试求函数 y=f(x) 的解析式及 f[f(-3)]的值. 12.定义在(0,+∞)上的函数 f(x)满足: ①f(2)=1; ②f(xy)=f(x)+f(y),其中 x、y 为任意正实数; ③任意正实数 x、y 满足 x>y 时,f(x)>f(y). 试回答下列问题:

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(1)求 f(1)、f(4); (2)试判断函数 f(x)为单调性; (3)如果 f(x)+f(x-3)≤2,试求 x 的取值范围.

提示:

f ( f ( x))=

1 1 ? 1 ,∴ f ( x) ? 1 ?1 x ?1

? x ? ?1 ? ,解得 x ? ?1且x ? ?2 ,答案为 C. ? 1 ?1 ? x ? 1 ? 0 ?

参考答案: 【训练反馈】 1.B 2.A 3.C 4.D 5.B 6.D 7. {x|-1≤x<8} 8. (0,5] 9. y=
? x,0 ? x ? 1, ? 2 ? x ? 2 x ? 2 ,1 ? x ? 2, ? 2 ? x ? 6 x ? 10 ,2 ? x ? 3, ? ?4 ? x,3 ? x ? 4.
2

(3)函数= y ? kx 2 ? 6 x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是(B) A. k ? 0或k ? ?9 B. k ? 1 C. ?9 ? k ? 1 D. 0 ? k ? 1 2 提示:∵ kx ? 6 x ? k ? 8 ? 0 恒成立, k ? 0 显然不符, ∴
?k ? 0 , ? ??=36-4k (k ? 8) ? 0

解得: k ? 1 ,选 B.

(4)下列函数中,最小值是 2 的是__③_(正确的序号都填上). 10.提示:若 k=0,则函数的定义域为 R;若 k≠0,则对任意 x ① y? x?
x ?2 (5)若 x ? y ? 1 , 则 3x ? 4 y 的最大值是 _____5____ ( 提示:设 x ? cos? , y ? sin ? ,则 3x ? 4 y ? 3cos? ? 4sin ? ? 5sin ?+?) ,其最大值为 5.
2

1 x

? x ? 2) ;② y ?
2

x2 ? 3

;③ y ?

x 9 ? ? 1 ;④ y ? tan x ? cot x . 4 x

2

3 ∈R,kx +4kx+3≠0,从而,△<0,解得 0< k < .从而所求 k 的取值范围为{k|0≤k< 4 3 }. 4

例 2. (1)求下列函数的定义域: f ( x) ?

x 2 ? 5x ? 6 ?

( x ? 1) 0 x? x

的定义域.

x 11.提示: f(x) =x 只有惟一实数解,即 = x (*)只有惟一实数解, 当 ax+b
2x 3 , f[f(-3)] = , 当 x+2 2

ax2+(b-1)x=0 有相等的实数根 x0, 且 a x0+b≠0 时,解得 f(x)=

ax2+(b-1)x=0 有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得 f(x)= 1, f[f(-3)] =1. 12. (1)f(1) =0,f(4)=2; (2)增函数; (3)3<x≤4.
函数的定义域与值域 【知识网络】 1.函数的定义域;2.函数的值域. 【典型例题】 例 1. (1)函数 f ( x) ? A. ? ? , ? ) (
3x 2 1? x ? lg(3 x ? 1) 的定义域是( C )

(2)已知函数 f ( x) 的定义域是 (a, b) ,求函数 F ( x) ? f (3x ? 1) ? f (3x ? 1) 的定义域. 解:由函数解析式有意义,得 ?x 2 ? 5x ? 6 ? 0 ? x ? 3或x ? 2 ? ? ? 0 ? x ? 1或1 ? x ? 2或x ? 3 ? x ?1 ? 0 ? ?x ? 1 ?x ? 0 ? x? x ?0 ? ? 故函数的定义域是 (0,1) ? (1,2] ? [3,??) .
b ?1 ?a ?1 ? 3 ?x? 3 ?a ? 3x ? 1 ? b ? ?? (2)由 ? . ?a ? 3x ? 1 ? b ? a ?1 ? x ? b ?1 ? 3 3 ?

∵ 函数的定义域不可能为空集,∴ 必有 此时, D.( ? , ? ? )
1 3

a ?1 b ?1 a ?1 b ?1 , ?x? ,函数的定义域为( ) ; 3 3 3 3

a ?1 b ?1 ? ,即 b ? a ? 2 3 3

1 1 1 1 B.( ? , ) C.( ? ,1) 3 3 3 3 ?1 ? x ? 0 1 提示:由 ? 解得 ? ? x ? 1 .答案为 C. 3 ?3x ? 1 ? 0

例 3.求下列函数的值域: (1) y ? 4 ? 3 ? 2 x ? x 2 ; (3) y ?
x2 ? x ? 1 ; 2 x2 ? 2 x ? 3

(2) y ? x ? 1 ? 2 x ; (4) y ? x ? 3 ? 5 ? x ;

(2)已知 f ( x) = A. {x | x ? ?1}

1 ,则函数 f ( f ( x)) 的定义域是( C ). x ?1 B. {x | x ? ?2} C. {x | x ? ?1且x ? ?2}

解: (1) y ? 4 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 , D. {x | x ? ?1或x ? ?2} ∵ 0 ? ?( x ? 1)2 ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? ?( x ? 1) 2 ? 4 ? 2 ∴所给函数的值域为[2,4]
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∴2? 4?

?x (

?2 ) ? 4 ? 4 1

(2)令 1 ? 2x ? t ( t ? 0 ),则 x= ∴ y?

1? t2 . 2

2.函数 y ? A {y | y ? }
5 2

2x 的值域为( 5x ? 1

1 1? t2 ? t ? ? (t ? 1)2 ? 1 ,当 t ? 1 时, ymax ? 1 2 2 ∴所给函数的值域为(-∞,1 ] .

B. { y | y ? 0}

C. { y | y ? 2且y ? 5}

D. { y | y ? }

2 5

(3)由已知得: (2 y ? 1) x2 ? (2 y ? 1) x ? (3 y ? 1) ? 0 ????(*) ①当 2 y ? 1 ? 0 时, y ? ,代入(*)式,不成立,∴ y ? . ②当 2 y ? 1 ? 0 时,则:
1 ? 1 ? ?y ? 2 3 1 ?y ? ? ?? ? ? y? 2 ? 2 ?? ? (2 y ? 1) 2 ? 4(2 y ? 1)(3 y ? 1) ? 0 ? 3 ? y ? 1 10 ? ?10 2 ? 3 1 ∴ 所给函数的值域为 [ , ) . 10 2

1 2

1 2

2 2 2 2 , ∵ 提示:y= ? ≠0, ∴ y≠ 答案为 D. 5 5(5 x ? 1) 5(5 x ? 1) 5 3.若函数 f ( x) 的定义域为 [a, b] ,且 b ? ?a ? 0 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是(D) A. [a, b] B. [?b, ?a] C. [?b, b] D. [a, ?a]

提示:由 ?

?a ? x ? b ?a ? x ? b (b ? ?a ? 0) 即 ?a ? x ? a ,答案为 D. (b ? ? a ? 0) 得: ? ??b ? x ? ?a ?a ? ? x ? b

1 ? x2 的值域为(B) 1? x 2 A. [?1, 1] B. (?1, 1] C. [?1, 1) 1? y 2 1 ? x2 ? 0 ,解得: ?1 ? y ? 1 . 提示:由 y ? 得: x ? 1? y 1? x 2

4.函数 y ?

D. (??, ?1] ? [1, ??)

?x ? 3 ? 0 得3? x?5 (4)由 ? ?5 ? x ? 0 ∴函数定义域为[3,5]
2

5.函数 y ? x ? 1 ? x ? 3 的值域是 [?4, 4] 提示:作出函数的图象,得值域为 [?4, 4] . 6.函数 y ?
4 x 2 ? 8 x ? 13 ( x ? ?1 )的值域是 [2, ??) 6( x ? 1)

又? y ? 2 ? 2 ( x ? 3)(5 ? x) ? 2 ? 2 1 ? ( x ? 4)

2

提示: y ?

4( x ? 1)2 ? 9 2 3 ? ( x ? 1) ? ? 2, 6( x ? 1) 3 2( x ? 1)

当 x ? 4 时, y 2 max ? 4 ,当 x ? 3或5 时, y 2 min ? 2 ∴ 2 ? y2 ? 4 ? y ? 0 ∴ 2? y?2 ∴ 所给 函数的值域为 [ 2 , 2] 例 4.已知函数 y ? f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 在区间[ ? 1,1]上的最小值为 ? 3,求实数 a 的值. a a2 解: y ? f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 3 ? 2 4 (1) 当 ? ? ?1 ,即 a ? 2 时,ymin ? f (?1) ? 4 ? a ? ?3 ,解得: a ? 7 (2)当 ?1 ? ? ? 1 ,即 ?2 ? a ? 2 时, ymin ? f (? ) ? 3 ?
a 2
a 2 a2 ? ?3 ,解得 a ? ?2 6 (舍去) 4

? x ? ?1 1 ? 3 即 x ? 时取等号.又函数无最大值,故函数值域为 [2, ??) . 当且仅当 ? 2 2 ? 3 ( x ? 1) ? 2( x ? 1) ?

a 2

7.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”, 那么函数解析式为 y ? x 2 、值域为{1,4}的“同族函数”共有 9 个. 提示:设函数 y ? x 2 的定义域为 D,其值域为{1,4},D 的所有情形的个数,即是同族函数的 个数,D 的所有情形为: {?1,2},{?1, ?2},{1,2},{1, ?2},{?1,1,2},{?1,1, ?2}, {?1,2, ?2},{1,2, ?1} , {?1,1, 2, ?2} 共 9 个,答案为 9. 8.求下列函数的定义域:
3x ? x 2 (1) y ? ; x ?1 ?1

a (3)当 ? ? 1 ,即 a ? ?2 时, ymin ? f (1) ? 4 ? a ? ?3 ,解得: a ? ?7 . 2

(2)
2

y?

x log 1 (2 ? x) .
2

综合(1) (2) (3)可得:a=±7. 【课内练习】 1.函数 f ( x) ? 3 x ? x 2 的定义域为( B ) 3 A.[0,2 ] B.[0,3] C.[ ? 3,0] 提示:由 3x ? x2 ? 0 得: 0 ? x ? 3 ,答案为 B.

? 3x ? x ? 0 ? 0? x?3 , 得? , 即: 0 ? x ? 2 或 2 ? x ? 3 解: (1)由 ? ? x ? 0且x ? 2 ?| x ? 1 | ?1 ? 0 ∴ 函数的定义域是(0, 2)∪(2, 3] .

D. (0,3)

(2)由 log 1 (2 ? x) ? 0 ,得: 0 ? 2 ? x ? 1 ,即: 1 ? x ? 2 ,∴ 函数的定义域为 (1, 2) .
2

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9.求下列函数的值域:
2 ? sin x x2 ? 4x ? 3 (1) y ? ? x2 ? 4 x ? 2 (1 ? x ? 4) ; (2) y ? ; (3) y ? 2 . x ? x?6 2 ? sin x 解: (1) y ? ?( x ? 2)2 ? 2 ∵ 1 ? x ? 4 ,∴ 当 x ? 2 时, ymax ? 2 ,当 x ? 4 时, ymin ? ?2 ∴ 所给函数的值域为 [?2, 2] . 2 ? 2y 2 ? 2y 2 ? sin x |? 1 (2)由 y ? 解得: sin x ? ,由 | sin x |? 1 得 | y ?1 y ?1 2 ? sin x

又由

?x ?1 ? 0 得 x ? 2 ,∴ G=(2,+∞) ? ?x ? 2 ? 0

∴ GU C I F =[1,+∞],答案为 C.

2.已知函数 f (x) 的定义域为[0,4],求函数 y ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ) 的定义域为(C) A. [?2, ?1] B. [1, 2] C. [?2, 1] D. [?1, 2] 提示:由题意有 ?
?0 ? x ? 3 ? 4
2 ?0 ? x ? 4 1 3.若 a >1, 则 a ? 的最小值是(B) a ?1 3 1 A.2 B.3 C. D. 2 2

解得 ? 2 ? x ? 1 ,故此函数的定义域为[-2,1],答案为 C.

两边平方后整理,得: 3 y 2 ? 10 y ? 3 ? 0 ,解得: ? x ? 3 , 故所给函数的值域为 [ , 3] . (3)由已知得 ( y ? 1) x2 ? ( y ? 4) x ? (6 y ? 3) ? 0 (*) ① 若 y ? 1,代入(*)式 ?3x ? 9 ? 0 ,∴ x ? ?3 , 此时原函数分母 x2 ? x ? 6 的值为 0,∴y≠1;
?? ? ( y ? 4) 2 ? 4( y ? 1)(6 y ? 3) ? 0 ?(5 y ? 2) 2 ? 0 ? y ?1 ?? ② 若 y≠1,则 ? ?y ?1 ?y ?1 2 2 但当 y ? 时,代入(*)得: x ? ?3 ,∴ y ? 5 5 2 ∴函数的值域为: { y | y ? R, y ? 1 且 y ? } . 5 x ?1 x2 ? 4x ? 3 ( x ? ?3) . 评注:本题中需要检验的原因是:函数 y ? 2 可化简为 y ? x?2 x ? x?6 10.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1 在区间 [?1, 2] 上的最大值为 4,求 a 的值.

1 3

1 3

1 1 1 ? a ?1? ? 1 ? 2 (a ? 1) ? ?1 ? 3 . a ?1 a ?1 a ?1 1 ? ?a ? 1 ? 1 a ? 1 ,即 a ? 2 时取等号,∴ a ? 2 时, a ? 当且仅当 ? 的最小值是为 3. a ?1 ?a ? 1 ?

提示: a ?

4.函数 y ? 3 ? 2 x ? x 2 的值域为 [0, 2] 提示: y ? 3 ? 2 x ? x 2 = 4 ? ( x ? 1) 2 , ∴ 0 ? y ? 2 5.函数 y ? | x ? 1| ? | x ? 2 | 的值域为 [3, ??) 提示:作出函数的图象,可以看出函数值域为 [3, ??)
2 x2 ? 2 x ? 3 的值域 x2 ? x ? 1 2 x2 ? 2 x ? 3 , 得 (y―2)x 2 ―(y―2)x+y-3=0 解: y ? 2 x ? x ?1

6.求函数 y ?

解: y ? f ( x) ? ( x ? a)2 ? 1 ? a 2 (1)当 ?a ? ,即 a ? ? 时,在 x ? 2 时函数有最大值,
1 f (2) ? 5 ? 4a ? 4 ,解得 a ? ? ,适合; 4 1 1 (2)当 ?a ? ,即 a ? ? 时,在 x ? ?1 时函数有最大值, 2 2 f (?1) ? 2 ? 2a ? 4 ,解得 a ? ?1 ,适合. 1 综上所述: a ? ? 或 a ? ?1 . 4 作业本 A组 2 1.设 I=R,已知 f ( x) ? lg( x ? 3x ? 2) 的定义域为 F,函数 g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 2) 的定义域为 G,那么 GU C I F 等于( C ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(1,+ ∞) D.(1,2)U(2,+∞) 2 提示:由 x ? 3x ? 2 ? 0 得: x ? 2或x ? 1 ,∴ F ? (-∞,1) ? (2,+∞), C I F =[1,2],
1 2
1 2

当 y≠2 时, △=(y―2) 2 ―4(y―2)(y―3) ? 0, 解得 2<y ? 当 y=2 时, (*)不成立. 10 10 综上所述:2<y ? . . ∴ 函数的值域为 (2, ] 3 3 7.求函数 y ? 25 ? x 2 ? lg cos x 的定义域.
?? 5 ? x ? 5 ?25 ? x 2 ? 0 ? 解:由 ? 得: ? ? ? ?cos x ? 0 ?2k? ? 2 ? x ? 2k? ? 2 (k ? Z ) ?

10 ; 3

函数的定义域为 [?5, ?

3? ? ? 3? ) ? (? , ) ? ( , 5] . 2 2 2 2

8.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 3 在 [0, a] (a ? 0) 上的最大值为 3,最小值为 2,求实数 a 的取值 范围.

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解: f ( x) ? ( x ? 1)2 ? 2 , ,解得: a ? 2 或a ? 0(舍) ; 2 ? f ( a ) ? a ? 2a ? 3 ? 3 ? f (1) ? 2 a (2)当 ? 1 ? a ,即 1 ? a ? 2 时, ? ,适合题意; 2 ? f (0) ? 3 ? f (0) ? 3 (3)当 a ? 1 时, ? ,解得: a ? 1 (舍) . 2 ? f ( a ) ? a ? 2a ? 3 ? 2 综上所述: 1 ? a ? 2 (1)当 ? 1 ,即 a ? 2 时, ? B组 1.若函数 f ( x) 的定义域为[-2,2],则函数 f ( x ) 的定义域是( D ) A.[-4,4] B.[-2,2] C. [0,2] D. [0,4] 提示: f ( x ) 中的 x 相当于 f ( x) 中的 x ,则 ?2 ? x ? 2 ,∴ 0 ? x ? 4 ,答案为 D. 2.已知函数 f ( x) ? lg
1? x 的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 B,则下述 1? x

a 2

? f (1) ? 2

6.已知函数 f ( x) ? lg[(a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1], 若 f ( x) 的值域为 (??, ??) ,求实数 a 的取值范 围。 解:设 t ? (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 1 , ? f ( x )? ?? ?? , )∴ t ? (0, ??) ( , 即 t 只要能取到 (0, ??) 上的任何实数即满足要求。由右图
?a 2 ? 1 ? 0 5 ? ?1? a ? ; 若 (a ? 1) ? 0 ,则 ? 3 ? ? ( a ? 1) 2 ? 4( a 2 ? 1) ? 0 ? ?
2

若 a 2 ? 1 ? 0 ,则 a ? ?1 , 当 a ? 1时, t ? 2 x ? 1 满足要求 当 a ? ?1 时, t ? 1 (不合,舍去) . 5 综上所述: 1 ? a ? . 3 7.已知 f ( x) 的值域是 [ , 解:∵
3 4 ] ,试求函数 y ? g ( x) ? f ( x) ? 1 ? 2 f ( x) 的值域. 8 9

关于 A、B 的关系中,不正确的为(D) A.A?B B.A∪B=B C.A∩B=B 提示:由

? D.B≠A

?1 ? x ? 0 1? x ? 0 得: ?1 ? x ? 1 , ∴ A ? {x | ?1 ? x ? 1} ,由 ? 得: ?1 ? x ? 1 , 1? x ?1 ? x ? 0 ∴ A ? {x | ?1 ? x ? 1} , ∴ A ? B ,显然,答案为 D.

3.下列结论中正确的是(D)
1 x 1 C.当 x ? 0 时, x ? ? 2 x

A.当 x ? 2 时, x ? 的最小值为 2

B. 0 ? x ? 2 时, 2 x ? 2? x 无最大值 D.当 x ? 1 时, lg x ?
1 ?2 lg x

1 ? ?x ? 1 x 无解;B 中, 2 x ? 2? x 为增函数, x ? 2 时可取得最大值; 提示:A 中, x ? ? 2 ,但 ? x ?x ? 2 ? C 中, x ? 0 时不成立;D 为真,答案为 D. 4.函数 y ? x ? (6 ? 3x) (0 ? x ? 2) 的值域是 (0, 3]
?0 ? x ? 2 x ? (2 ? x) 2 ] ? 3 ,当且仅当 ? ,即 x ? 1 时取等号 2 ?x ? 2 ? x 又 y ? 0 ,故函数的值域为 (0, 3] . .

3 4 ? f ( x) ? 8 9 1 1 1 1 ∴ ? 1 ? 2 f ( x) ? ∴ ? 1 ? 2 f ( x) ? 9 4 3 2 1 1 1 令 1 ? 2 f ( x) ? t ( ? t ? ) ,则 f ( x) ? (1 ? t 2 ) 3 2 2 1 1 ∴ y ? (1 ? t 2 ) ? t ? ? (t ? 1)2 ? 1 2 2 1 7 1 7 ∴ 当 t ? 时,ymin ? ,当 t ? 时,ymax ? 3 9 2 8 7 7 ∴ y ?[ , ] 9 8

8. 已知二次函数 f ( x) ? x 2 ? bx ? c(b ? 0, c ? R) . f ( x) 的定义域为 [?1, 0] 时, 若 值域也是 [?1, 0] , 符合上述条件的函数 f ( x) 是否存在?若存在,求出 f ( x) 的解析式;若不存在,请说明理由. 解:假设符合条件的 f ( x) 存在

?函数图像的对称轴是 x ? ? ,又 b ? 0 ,∴ ? ? 0
1 b b (1)当 ? ? ? ? 0 时,即 0 ? b ? 1 ,函数当 x ? ? 时,有最小值 ?1 ,则 2 2 2 2 2 b ?b b ? ? f (? ) ? ?1, ? ? ? c ? ?1 ?b ? 0, ?b ? 4, ?? 4 2 ?? 或? (舍去). 2 ? ?c ? ?1 ?c ? 3 ? f (?1) ? 0 ?1 ? b ? c ? 0 ? ?

b 2

b 2

提示: y ? 3x ? (2 ? x) ? 3 [

5.已知函数 y ? ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 的定义域是 R , 则实数 a 的范围是 ?3 ? 2 2 ? a ? ?3 ? 2 2 提示:对 ?x , ax2 ? (a ? 1) x ? 1 ? 0 恒成立, a ? 0 时,显然不符合题意;
?a ? 0 ∴ ? ,解得: ?3 ? 2 2 ? a ? ?3 ? 2 2 2 ?? ? (a ? 1) ? 4a ? 0

2? x

(2)当 ?1 ? ? ? ? 时,即 1 ? b ? 2 时,则

b 2

1 2

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b ? ? f (? ) ? ?1, ?b ? 2, ?b ? ?2, ?? 或? (都舍去). 2 ? ?c ? 0 ?c ? 0 ? f (?1) ? 0 ? b (3)当 ? ? ?1 ,即 b ? 2 时,函数在 [?1, 0] 上单调递增,则 2 ? f (?1) ? ?1, ?b ? 2 ?? ? ? f (0) ? 0 ?c ? 0

和 , 1] 和 ? , 如图所示,单调增区间为 (? ?, ?1 ] [ 0,单调减区间为 [? 1 , 0 ] [ 1? 2 2 (2)当 ? x ? 2 x ? 3 ? 0, 得 ? 1 ? x ? 3 ,函数 y ? ? x ? 2 x ? 3 ? ?( x ? 1)2 ? 4 当 ? x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, 得x ? ?1或x ? 3 ,函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 ? ( x ? 1)2 ? 4
??( x ? 1) 2 ? 4 (?1 ? x ? 3) ? 即y?? 2 ?( x ? 1) ? 4 ( x ? ?1或x ? 3) ? 如图所示,单调增区间为 [?1,1]和[3, ??] ,单调减区间为 (??, ?1]和[1,3]

)

综上所述,符合条件的函数有 2 个: f ( x) ? x 2 ? 1或f ( x) ? x 2 ? 2 x . 本资料来源于《七彩教育网》http://www.7caiedu.cn 函数单调性 【知识网络】 1.函数单调性的定义,2.证明函数单调性;3.求函数的单调区间 4.利用函数单调性解决一些问题;5.抽象函数与函数单调性结合运用 【典型例题】 例 1.(1) 设函数f ( x) ? (2a ? 1) x ? b是R上的减函数, 则 a 的范围为( D)
1 1 1 1 B. a ? C. a ? ? D. a ? 2 2 2 2 提示:2 a ? 1<0 时该函数是 R 上的减函数.

A. a ?

(1) 例 3.根据函数单调性的定义,证明函数 证明:设 x1 , x2 ? R且x1 ? x2

(2) 在 上是减函数.

(2)函数 y ? x 2 ? bx ? c( x ? [0, ??) )是单调函数的充要条件是( A ) A. b ? 0 B. b ? 0 C. b ? 0 D. b ? 0 提示:考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象 (3)已知 f ( x) 在区间 (??, ??) 上是减函数, a, b ? R 且 a ? b ? 0 ,则下列表达正确的是 ( D ) A. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] B. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) C. f (a) ? f (b) ? ?[ f (a) ? f (b)] D. f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) 提示: a ? b ? 0 可转化为 a ? ?b 和 b ? ?a 在利用函数单调性可得. (4) 如下图是定义在闭区间上的函数 y ? f ( x) 的图象,该函数的单调增区间为 [-2,1]和[3,5] 提示:根据图象写出函数的单调区间.注意区间不能合并. (5) 函数 y ? x 2 ? 2 x ? 3 的单调减区间是 (??, ?3] 提示:结合二次函数的图象,注意函数的定义域. 例 2.画出下列函数图象并写出函数的单调区间 (1) y ? ? x 2 ? 2 | x | ?1 (2) y ?| ? x 2 ? 2 x ? 3 |
?? x 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? y?? 2 解:(1) ?? x ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ??( x ? 1 2) ? 2 x ( ? ? y?? 即 2 ? ? ?( x ? 1 ) ? 2 x ( ? 0) 0)

3 x ? 3x x ) 2 x ? 2 1x x ) 则 f ( x )? f ( 2 ) 2 ? 1x ? ( 2 ? 1x ( 2 ? 1x 2 1 因为x1 ? x2 所以x2 ? x1 ? 0 ,且在 x1 与 x2 中至少有一个不为 0, x 2 3 2 2 2 不妨设 x2 ? 0 ,那么 x2 ? x1 x2 ? x1 ? ( x1 ? 2 ) ? x2 ? 0 , 所以f ( x1 ) ? f ( x2 ) 2 4 故 f ( x) 在 (??, ??) 上为减函数 例 4.设 f (x) 是定义在 R 上的函数,对 m 、 n ? R 恒有 f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ,且当 x ? 0 时, 0 ? f ( x) ? 1 。 (1)求证: f (0) ? 1 ; (2)证明: x ? R 时恒有 f ( x) ? 0 ; (3)求证: f (x) 在 R 上是减函数; (4)若 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,求 x 的范围。 1 1 1 1 ? 解:(1)取 m=0,n= 则 f ( ? 0) ? f ( )?f (0) ,因为 f ( ) ? 0 所以 f ( 0 ) 1 2 2 2 2 (2)设 x ? 0 则 ? x ? 0 由条件可知 f (? x) ? o 又因为 1 ? f (0) ? f ( x ? x) ? f ( x)?f (? x) ? 0 ,所以 f ( x) ? 0 ∴ x ? R 时,恒有 f ( x) ? 0 (3)设 x1 ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) = f ( x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) f ( x1 ) = f ( x1 )[1 ? f ( x2 ? x1 )] 因为 x1 ? x2 所以 x2 ? x1 ? 0 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 1 即 1 ? f ( x2 ? x1 ) ? 0 1 ? 又因为 f ( x1 )? 0 ,所以 f ( x ) [? f (x ? 1x ) ] 0 1 2

所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即该函数在 R 上是减函数. (4) 因为 f ( x) ? f (2 ? x) ? 1 ,所以 f ( x) ? f (2 ? x) ? f (2 x ? x 2 ) ? f (0)
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所以 2 x ? x 2 ? 0 ,所以 x的范围为x ? 2或x ? 0 【课内练习】 1.下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是( D ). 3 A. y ? ?3x ? 2 B. y ? C. y ? x 2 ? 4 x ? 5 x 提示:根据函数的图象.

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

x x ?a a a a ) ? ( x1 ? x2 )( 1 2 ) ) ? ( x2 ? ) ? ( x1 ? x2 )(1 ? x1 x2 x1 x2 x1 x2

D. y ? 3x 2 ? 8 x ? 10

当 x1 ? x2 ? a 时 x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? a ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 a 所以函数 f ( x) ? x ? (a ? 0) 在 ( a , ??) 上是增函数. x 作业本 A组
x x ? 2 ,其中在 ; ② y ? x 2 ? x ; ③ y ? ?( x ? 1)2 ; ④ y ? x ?1 1? x (-?,0) 上为减函数的是( A )。 (A)① (B)④ (C)①、④ (D)①、②、④ 2.函数 f (x) 在 (a, b) 和 (c, d ) 都是增函数,若 x1 ? (a, b), x2 ? (c, d ) ,且 x1 ? x2 那么( D ) A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) B. f ( x1 ) ? f ( x2 ) C. f ( x1 ) ? f ( x2 ) D.无法确定 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ? 1) ? f (2m ? 1) ,实数 m 的取值范围为 3. 已知函数 ( B ) 3 1 3 A. m>0 B. 0<m< C. -1<m<3 D. ? ? m ? 2 2 2 2 f ( x ? 1) 的单调递减区间为 [?2,1] 4.已知 f ( x) ? ( x ? 2) , x ? [?1,3] ,函数 1 3 5.函数 y ? x ? 在 [1,2] 上的值域为 [0, ] x 2

2.函数 y ? ? x 2 ? 2 x ? 3 的增区间是( A ). A. [ ? 3, ? 1] B. [ ? 1,1] C. (??, ?3) D. [?1, ??) 提示:注意函数的定义域. 3. f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在 (??, 4] 上是减函数,则 a 的取值范围是( A ). A. a ? ?3 B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? 3 提示:考查二次函数图象的对称轴和区间端点. 4.若函数 f ( x) 在区间[ a ,b]上具有单调性,且 f (a)?f (b) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间[ a ,b] B.至多有一个实数根 C.没有实数根 D.必有 上(D)A.至少有一个实数根 唯一的实数根 提示:借助熟悉的函数图象可得. 5. 函数 y ? ? x 2 ? 6 x ? 10 的单调增区间是__ (??, ?3] __,单调减区间___ [?3, ??) ___。 提示:画出二次函数的图象,考虑函数对称轴. 6.若 f ( x) ? 2 x 2 ? mx ? 3 当 x ?[?2, ??) 时是增函数,当 x ? (??, ?2] 时是减函数,则 f (1) ? 13 提示:由题可知二次函数的对称轴是 x ? ?2 可求出 m 的值. 7.已知 f ( x) 在定义域内是减函数,且 f ( x) >0,在其定义域内下列函数为单调增函数的为 ② ③ 1 ① y ? a ? f ( x) (为常数) ;② y ? a ? f ( x) ( a 为常数) ;③ y ? ;④ y ? [ f ( x)]2 . f ( x) 提示:借助复合函数的单调性. 1 x ( x ?1) 在[0,1] 上的最大和最小值的和为 a ,则 a = 8.函数 f ( x) ? a ? log a 2 1 提示: f ( x) 是[0,1]上的增函数或减函数,故 f (0) ? f (1) ? a ,可求得 a = 2 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的单调增函数,满足 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (3) ? 1 9.设 求: (1)f(1)(2)当 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 时 x 的取值范围. ; x ? y ? 1 可得 f (1) ? 0 (2)又 2=1+1= f (3) ? f (3) ? f (9) 解:(1) 令 由 f ( x) ? f ( x ? 8) ? 2 ,可得 f [ x( x ? 8)] ? f (9) 因为 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, 所以有 x ? 0 且 x ? 8 ? 0 且 x( x ? 8) ? 9 ,解得: 8 ? x ? 9 a 10.求证:函数 f ( x) ? x ? (a ? 0) 在 ( a , ??) 上是增函数. x 证明:设 x1 ? x2 ? a 则

1.下列四个函数:① y ?

6.判断函数 f ( x) ?

ax ( a ≠0)在区间(-1,1)上的单调性。 x ?1 解:设 ?1 ? x1 ? x2 ? 1, 则 ax a( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ax f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 1 - 2 2 = , 2 2 x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ( x1 x 2 ? 1)( x 2 ? x1 ) ∵ x12 ? 1 ? 0 , x2 2 ? 1 ? 0 , x1 x2 ? 1 ? 0 , x2 ? x1 ? 0 , ∴ >0, 2 2 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ∴ 当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为减函数, 当 a ? 0 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 函数 y ? f ( x) 在(-1, 1)上为增函数.
2

7.作出函数 f ( x) ?| x 2 ? 1| ? x 的图象,并根据函数图象写出函数的单调区间. 1 2 5 解:当 x ? 1或x ? ?1 时, y ? x 2 ? x ? 1 ? ( x ? ) ? 2 4 y 1 2 5 2 当 ?1 ? x ? 1 时, y ? ? x ? x ? 1 ? ?( x _ ) ? 2 4 1 由函数图象可以知道函数增区间为 (??, ?1],[ ,1] -1 2 01 1 x 1 2 函数减区间为 [?1, ],[1, ??) 2

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8.设 f ( x) 是定义在 (0, ??) 上的增函数, f (2) ? 1,且 f ( xy) ? f ( x) ? f ( y) ,求满足不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 的 x 的取值范围. 解:由题意可知: f ( x) ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ? 3x) 又 2 ? 2 f (2) ? f (2) ? f (2) ? f (4) , 于是不等式 f ( x) ? f ( x ? 3) ? 2 可化为 f ( x 2 ? 3x) ? f (4) 因为函数在 (0, ??) 上为增函数,所以不等式可转化为: ,解得: 3 ? x ? 4 所以 x 的取值范围是 (3, 4] . B组 1.函数 y ? ? x 2 ? | x | 的单调递减区间为(
1 1 A. [? , 0]和[ , ??) 2 2 1 B. [ ? , 0] 2

因为 x1 ? x2 ? 0

x1 ? x2 ? 0 ,所以

x1 ? x2 x1 ? x2

? 0 ,即 y1 ? y2 .

所以函数 y ? x 在 [0, ??) 上是增函数. (2) f ( x) ? x, g ( x) ? x 在 [0, ??) 上都是增函数, 所以 y ? f ( x) ? g ( x) ,即 y ? x ? x 在 [0, ??) 上是增函数. (3)由(2)可以知道该函数在区间[1,4]上为增函数 则由函数单调性可以知道,该函数的值域为[1,3] 1 7.如果二次函数 f ( x) ? x 2 ? (a ? 1) x ? 5 在区间 ( ,1) 上是增函数,求 f (2)的范围。 2 1 解:二次函数 f (x)在区间 ( ,1) 上是增函数 2 a ?1 1 1 因为图象开口向上,故其对称轴 x ? 与 x ? 重合或者位于 x ? 的左侧 2 2 2 a ?1 1 ? ,所以 a ? 2 所以有 2 2 f (2) ? ?2 ? 2 ? 11 ? 7 ,即 f (2) ? 7 所以 x 8.若 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且对于 x ? 0 满足 f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) 。 y 1 (1)求 f (1) 的值;(2)若 f (6) ? 1 ,试求解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 。 x x ? y ? 0 ,则 f (1) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 。 解:(1)令 (2)因为 f (6) ? 1 ,所以 1 1 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 ? f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 f (6) x x ? f [ x( x ? 3)] ? f (6) ? f (6) ? f [ x( x ? 3)] ? f (6) ? f (6) ? x( x ? 3) ? ? f? ? ? f (6) ? 6 ? x( x ? 3) x( x ? 3) ? 0 ,所以 ?6, 由于 f (x) 是定义在 (0,??) 上的增函数,且 6 6 ? 3 ? 3 17 解得: 0 ? x ? 。 2

A

)
1 D. [?1, 0]和[ , ??) 2

1 1 C. [? , 0]和[ ,1] 2 2

2.单调增函数 f ( x) 对任意 x, y ? R , 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), 若f (k ? 3x ) ? f (3x ? 9 x ? 2) ? 0 恒成立, 则 k 的取值范围是 A. (?2 2 ? 1,2 2 ? 1) 3.函数 y= A. (??, ?8)
1 x 2 ? 2 x ? 80



B

) C. (0,2 2 ? 1] A ) D. [2 2 ? 1,??)

B. (??,2 2 ? 1) 的单调递增区间为( C. (1, ??)

B. (??,1)

D. (?8, ??)

1? x 1? x 的递减区间是 (―∞, ―1)、(―1, +∞) ;函数 y= 的递减区间是 1? x 1? x (-1, +1]

4.函数 y=

5.已知函数 f ( x) 在[0, π )上是递减函数,那么下列三个数 f (lg100) , f ( ), f ( ? ),
? 2 3 2 6.(1) 证明:函数 y ? x 在 [0, ??) 上是增函数,

? 2

2 3

从大到小的顺序是 f ( )> f (lg100) > f ( ? )

(2)并判断函数 y ? x ? x 在 [0, ??) 上的单调性 (3)求函数 y ? x ? x 在区间[1,4]上的值域. 证明:(1)设 0 ? x1 ? x2 ,则由已知 y ? x ,有 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ?
x1 ? x2 x1 ? x2

函数的奇偶性 【知识网络】 1.奇函数、偶函数的定义及其判断方法;2.奇函数、偶函数的图象.3.应用奇函数、偶 函数解决问题.
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【典型例题】 例 1. (1)下面四个结论中,正确命题的个数是(A) ①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) ? 0 ;③偶函数的 图象关于 y 轴对称;④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是 f(x)=0(x∈R) . A.1 B.2 C.3 D.4
1 提示:①不对,如函数 f ( x) ? 2 是偶函数,但其图象与 y 轴没有交点;②不对,因为奇函 x

2 ?1 ? x 2 ? 0 lg(1 ? x 2 ) ? (3)由 ? 2 得定义域为 (?1,0) ? (0,1) ,∴ f ( x) ? lg(1 ? x ) ? ? , x2 ?( x 2 ? 2) ? 2 ?| x ? 2 | ?2 ? 0 ?

∵ f (? x) ? ?

lg[1 ? (? x) 2 ] lg(1 ? x 2 ) ? f ( x) ?? (? x) 2 x2

∴ f ( x) 为偶函数

数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函数的函数可以为 f(x) =0〔x∈(- a , a ),答案为 A. 〕 (2)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为[ a ? 1, 2a ] ,则( ) 1 A. a ? ,b=0 B. a ? ?1 ,b=0 C. a ? 1 ,b=0 D. a ? 3 ,b=0 3 提示:由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,得 b=0.
1 3 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ,则 f ( x) )在 R 上的 (3)已知

(4)当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? ?(? x)2 ? x ? ?( x 2 ? x) ? ? f ( x) , 当 x ? 0 时, ? x ? 0 ,则 f (? x) ? (? x)2 ? x ? ?(? x 2 ? x) ? ? f ( x) , 综上所述,对任意的 x ? (??, ??) ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,∴ f ( x) 为奇函数. 例 3.若奇函数 f ( x) 是定义在( ?1 ,1)上的增函数,试解关于 a 的不等式: f (a ? 2) ? f (a 2 ? 4) ? 0 . 解:由已知得 f (a ? 2) ? ? f (a 2 ? 4) 因 f(x)是奇函数,故 ? f (a 2 ? 4) ? f (4 ? a 2 ) ,于是 f (a ? 2) ? f (4 ? a 2 ) . 又 f ( x) 是定义在( ? 1,1)上的增函数,从而
? ?3 ? a ? 2 ? a ? 2 ? 4 ? a2 ? ? ? 3?a?2 ? ?1 ? a ? 2 ? 1 ? ?1 ? a ? 3 ? ?1 ? a 2 ? 4 ? 1 ? ? ? ? 5 ? a ? 3或 3 ? a ? 5

又定义域为[ a ? 1, 2a ] ,∴ (a ? 1) ? 2a ? 0 ,∴ a ? .故答案为 A.

表达式是( ) y ? x( x ? 2) A. B. y ? x(| x | ?2) C. y ?| x | ( x ? 2) D. y ? x(| x | ?2) 2 提示:由 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 2 x , f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得: 当 x<0 时, ? x ? 0 , f ( x) ? ? f (? x) ? ?( x 2 ? 2 x) ? x(? x ? 2)

即不等式的解集是 ( 3, 2) . 例 4. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 对任意实数 x 、y , 恒有 f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) , 且当 x ? 0 时,
2 f ( x) ? 0 ,又 f (1) ? ? . 3

( x ? 0) ? x( x ? 2) ∴ f ( x) ? ? ,即 f ( x) ? x(| x | ?2) ,答案为 D. ? x(? x ? 2) ( x ? 0) (4)已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f(2)等于 ?26 提示: f ( x) ? 8 ? x5 ? ax3 ? bx 为奇函数, f (?2) ? 8 ? 18 ,∴ f (2) ? 8 ? ?18 ,∴ f (2) ? ?26 .

(1)求证: f ( x) 为奇函数; (2)求证: f ( x) 在 R 上是减函数; (3)求 f ( x) 在[ ?3 ,6]上的 最大值与最小值. (1)证明:令 x ? y ? 0 ,可得 f (0) ? f (0) ? f (0 ? 0) ? f (0) ,从而,f(0) = 0. 令 y ? ?x ,可得 f ( x) ? f (? x) ? f ( x ? x) ? f (0) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. (2)证明:设 x1 , x2 ∈R,且 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,于是 f ( x1 ? x2 ) ? 0 .从而
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f [( x1 ? x2 ) ? x2 ] ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 0

,则 f ( x) 的解析式为 x ?1 1 1 提示:由 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,可得 f ( x) ? g ( x) ? ,联立 f ( x) ? g ( x) ? , x ?1 ? x ?1 1 1 1 1 1 ? )? 2 得: f ( x) ? ( , ∴ f ( x) ? 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 ?x ?1 例 2.判断下列函数的奇偶性: 1? x (1) f ( x) ? ( x ? 1) ;(2) f ( x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 ; 1? x (3) f ( x) ?
?x ? x ( x ? 0) lg(1 ? x ) ? ; (4) f ( x) ? ? 2 . 2 ( x ? 0) | x ? 2 | ?2 ?? x ? x ?
2
2

(5)已知 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ?

1

所以, f ( x) 为减函数. (3)解:由(2)知,所求函数的最大值为 f (?3) ,最小值为 f (6) .
f (?3) ? ? f (3) ? ?[ f (2) ? f (1)] ? ?[2 f (1) ? f (1)] ? ?3 f (1) ? 2 f (6) ? ? f (?6) ? ?[ f (?3) ? f (?3)] ? ?4

1? x 解: (1)由 ? 0 ,得定义域为 [?1,1) ,关于原点不对称,∴ f ( x) 为非奇非偶函数. 1? x

于是, f ( x) 在[-3,6]上的最大值为 2,最小值为 -4. 【课内练习】 1.下列命题中,真命题是( C )

(2) ?

?1 ? x 2 ? 0 ? ? x 2 ? 1 ? x ? ?1 ,∴ f ( x) ? 0 ∴ f ( x) 既是奇函数又是偶函数. 2 ?x ?1 ? 0 ?

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1 x B.函数 y ? x3 ( x ? 1)0 是奇函数,且在定义域内为增函数

A.函数 y ? 是奇函数,且在定义域内为减函数

C.函数 y ? x 2 是偶函数,且在( ? 3,0)上为减函数 D.函数 y ? ax 2 ? c(ac ? 0) 是偶函数,且在(0,2)上为增函数
1 x 当 a ? 0 时, y ? ax 2 ? c(ac ? 0) 在(0,2)上为减函数,答案为 C. 2. 若 ? (x) , g ( x) 都是奇函数, f ( x) ? a? ( x) ? bg ( x) ? 2 在(0,+∞)上有最大值 5,则 f ( x)

提示:A 中, y ? 在定义域内不具有单调性;B 中,函数的定义域不关于原点对称;D 中,

7.若 f ( x) 是偶函数,当 x ∈ [0,+∞)时, f ( x) ? x ? 1 ,则 f ( x ? 1) ? 0 的解集是 {x | 0 ? x ? 2} 提示:偶函数的图象关于 y 轴对称,先作出 f ( x) 的图象,由图可知 f ( x) ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} ,∴ f ( x ? 1) ? 0 的解集为 {x | 0 ? x ? 2} . 8.试判断下列函数的奇偶性: |x| 1? x 2 ( x ? 1) 0 . (1) f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ; (2) f ( x) ? ; (3) f ( x) ? x?3 ?3 x 解: (1)函数的定义域为 R, f (? x) ?| ? x ? 2 | ? | ? x ? 2 |?| x ? 2 | ? | x ? 2 |? f ( x) , 故 f ( x) 为偶函数.
?1 ? x 2 ? 0 (2)由 ? 得: ?1 ? x ? 1且x ? 0 ,定义域为 [?1, 0) ? (0, 1] ,关于原点对称, ?| x ? 3 | ?3 ? 0
f ( x) ?
2 1 ? x2 1 ? x2 ? , f (? x) ? 1 ? x ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为奇函数. x?3 ?3 x ?x

在(-∞,0)上有( ) A.最小值-5 B.最大值-5

C.最小值-1

D.最大值-3

提示: ? (x) 、 g ( x) 为奇函数,∴ f ( x) ? 2 ? a? ( x) ? bg( x) 为奇函数. 又 f ( x) 有最大值 5, ∴-2 在(0,+∞)上有最大值 3.

∴ f ( x) -2 在 (??, 0) 上有最小值-3,∴ f ( x) 在 (??, 0) 上有最小值-1.答案为 C. 3.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 在(0,+∞)上是增函数,又 f (?3) ? 0 ,则不等式 xf ( x) ? 0 的 解集为(A) A. (-3,0)∪(0,3) B. (-∞,-3)∪(3,+∞) C. (-3,0)∪(3,+∞) D. (-∞,-3)∪(0,3) 提示:由奇偶性和单调性的关系结合图象来解.答案为 A. 4.已知函数 y ? f ( x) 是偶函数, y ? f ( x ? 2) 在[0,2]上是单调减函数,则(A) A. f (0) ? f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) ? f (0) B. f (?1) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (?1) ? f (0)

(3)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞),它不关于原点对称,故函数既非奇函数, 又非偶函数. 9.已知函数 f ( x) 对一切 x, y ? R ,都有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若 f (?3) ? a ,用 a 表示 f (12) . 解:显然 f ( x) 的定义域是 R ,它关于原点对称.在 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) 中, 令 y ? ?x ,得 f (0) ? f ( x) ? f (? x) , 令 x ? y ? 0 ,得 f (0) ? f (0) ? f (0) ,∴ f (0) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (? x) ? 0 ,即 f (? x) ? ? f ( x) , ∴ f ( x) 是奇函数. ∵ f (?3) ? a , ∴ f (12) ? 2 f (6) ? 4 f (3) ? ?4 f (?3) ? ?4a .
ax 2 ? 1 (a, b, c ? Z ) 是奇函数,又, f (1) ? 2 , f (2) ? 3 ,求 a 、 b 、 c 的值. bx ? c 解:由 f (? x) ? ? f ( x) 得 ?bx ? c ? ?(bx ? c) ∴c=0. 又 f (1) ? 2 ,得 a ? 1 ? 2b , 4a ? 1 ? 3 ,解得 ?1 ? a ? 2 . 而 f (2) ? 3 ,得 a ?1 又 a ? Z ,∴ a ? 0 或 a ? 1 . 1 若 a ? 0 ,则 b= ? ? Z ,应舍去; 若 a ? 1 ,则 b=1∈Z. 2 a ? 1, b ? 1, c ? 0 . ∴

10.已知函数 f ( x) ?

提示:由 f(x-2)在[0,2]上单调递减,∴ f ( x) 在[-2,0]上单调递减. ∵ y ? f ( x) 是偶函数,∴ f ( x) 在[0,2]上单调递增. 又 f (?1) ? f (1) ,故应选 A.
1 5.已知 f ( x) 奇函数,当 x ∈(0,1)时, f ( x) ? lg ,那么当 x ∈(-1,0)时, f ( x) 的 1? x

表达式是 lg(1 ? x) .

提示:当 x?(-1,0)时, ?x ∈(0,1) ,∴ f ( x) ? ? f (? x) ? ? lg 6.已知 f ( x) ? log 3
2?a? x 是奇函数,则 a 2007 + 2007a = 2008. a?x

1 ? lg(1 ? x) . 1? x

数形结合思想的应用 1.若奇函数 f(x)在[3,7]上是增函数且最小值为 5,那么 f(x)在区间 [-7,-3]上是( C ) A.增函数且最小值为-5; B.减函数且最小值为-5; C.增函数且最大值为-5; D.增函数且最小值为-5; 2.已知函数 f ( x) ? 3 ? x 2 , g ( x) ? f (1 ? x 2 ) ,则 g(x)的一个单调减区间为( B A.(-2,0) B.(-1,0) C.(0,1) D.(0,2) )

2?a 2?a ?0, ? 1 ,解得: a ? 1 ,经检验适合, a2007 ? 2007a ? 2008 . 提示: f (0) ? log3 a a

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3.如图已知二次函数 y ? ax 2 ? bx ? c 的系数满足 abc<0,则 ( C )
y y X

该二次函数的图象可能是
y

o A

o B

X

O C

X D

o

X

D 4.若方程 x 2 ? ax ? (a 2 ? 1) ? 0 的一根大于 1,一根小于 1,则 a 的取值范围 是 (0,1) . ;

小结 1:数形结合方法在解决与函数性质有关的问题时,常常画出该函数的草图或示意图, 即以形助数; 如果给定了函数图象, 我们可以联想到与之相对应的函数解析式, 即由数思形. (二)数形结合在方程中的应用 4.方程 lgx=sinx 的根的个数是 3个 ; 5.讨论关于 x 的方程 x 2 ? 2 | x | ?1 ? a 的实根的个数; 6.已知方程 x 2 ? 2 x ? k 在[-1,2]上有实根,则 k 的范围是 [-1,3] .

5.函数 f ( x) ? ? x 2 ? 4 x ? 2 在区间[1,4]上的最小值是-2

若方程 f(x)=k 在区间[1,4]上有两解,则 k 的取值范围是 [1,2) . 小结 1:数形结合方法在解决与函数性质有关的问题时,常常画出该函数的草图或示意图, 即以形助数; 如果给定了函数图象, 我们可以联想到与之相对应的函数解析式, 即由数思形. 小结 2:在确定超越方程的根的个数或含参数的方程的根的情况时,应由数思形,观察该方 程 对 应 的 在同 一 坐 标系 中 两 个 函数 图 象 的交 点 个 数 或交 点 的 情况 即 可 ; 如果 已知含 参数的方程的根的情况,应由数思形,画出该方程对应的函数的示意图,再由形思数,挖掘 出不等式或不等式组,从而求出参数的取值范围.

? 7? 7.(1)k 是什么实数时,方程 x 2 ? kx ? 3 ? k ? 0 的两根分别在(0,1)与(1,2)内; ? 2, ? ? 3? ? 7? (2)k 是什么实数时,方程 x 2 ? kx ? 3 ? k ? 0 的两根均在(0,2)内; ? 2, ? ? 3?

三角函数的图象与周期性
【知识网络】1.正弦、余弦、正切函数的图象; 2.正弦、余弦、正切函数的周期性; 【典型例题】 1 [例 1](1)若 sin x ? ,则 x 的范围是 2 若 3 ? 2cos x ? 0 ,则 x 的范围是 若 tan x ? 1,则 x 的范围是 若 sin 2 x ? cos2 x ,则 x 的范围是 (1) 2k? ? ; .

; ;

小结 2:在确定超越方程的根的个数或含参数的方程的根的情况时,应由数思形,观察该方 程 对 应 的 在同 一 坐 标系 中 两 个 函数 图 象 的交 点 个 数 或交 点 的 情况 即 可 ; 如果 已知含 参数的方程的根的情况,应由数思形,画出该方程对应的函数的示意图,再由形思数,挖掘 出不等式或不等式组,从而求出参数的取值范围. 三.数形结合—限时训练 1.sinx=sin2x 在区间(0,2π )内解的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知方程 A.|b|<3
9 ? x 2 =x+b 有解,则 b 的取值范围是(

C ) D. ?3 ? b ? 3 2

B.|b| ? 3 2

C. ?3 ? b ? 3 2

5? 5? 7? , k ? Z , 2 k? ? ? x ? 2 k? ? ,k ?Z 6 6 6 6 ? ? ? 3? k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , k? ? ? x ? k? ? ,k ?Z 2 4 4 4 提示:观察三角函数图象 ? x ? 2 k? ?

?

(2)函数 f ( x) ? sin x ?

1 16 ? x 2

的定义域为



?0 ,? ? ? ? ?
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4?,? ?

?sin x ? 0 ? 2 k? ? x ? 2 k? ? ? ?? ? ?4 ? x ? ?? 或0 ? x ? ? (2)提示: ? 2 ?16 ? x ? 0 ??4 ? x ? 4

(3) .函数 ( ) (A)0

f ( x) ? tan ?x(? ? 0) 图象的相邻两支截直线 y ?

?
4

所得线段长为 ? ,则
4

f ( ) 的值是 4

?

? ? ? ? 2 k? ? 3 ? x ? 2 k? ? 3 ? ∴ ? x ? k? (k ? Z ) , ? ? ? ? k? ? ? x ? k? ? 4 2 ?
∴原函数的定义域为 (2k? ?

(B)1

(C)-1

(D)

(3)A 提示:周期 T ?

? ? ? ,? ? 4 ? 4
x ? y ? tan( ? ) 的图象的对称中心的是 2 6

, 2k? ) ? (2k? , 2k? ? )(k ? Z ) . 4 3 [例 3]求下列函数的周期:

?

?

(4) .下列坐标所表示的点不是函数 (A) ? ,0) (
3





(B) ? 5? ,0) (
3

(C) 4? ,0) (
3

(D) 2? ,0) (
3

x ? k? ? ? (4)D提示:令 ? ? ,即x ? k? ? (k ? Z ) ,函数图象的对称中心为 (k? ? , 0)(k ? Z ) 2 6 2 3 3

(5)如果函数 y ? sin 2 x ? a cos 2 x 的图象关于直线 x ? ?

?
8

对称,则 a ?



(5)-1

提示:根据 f (0) ? f (? ) 4

?

[例 2]求下列函数的定义域: (1) f ( x) ?
3 ? tan x ; (2) f ( x) ? tan(sin x) ; (3) f ( x) ?

2 cos x ? 1 . lg(tan x ? 1)

解: (1)由 3 ? tan x ? 0 ,得 tan x ? 3 ,∴ k? ? ∴ f ( x) 的定义域为 (k? ? (2)∵ ?

?
2

? x ? k? ?

?
3

(k ? Z ) .

?

?
2

, k? ? ](k ? Z ) . 2 3

?

? ?1 ? sin x ? 1 ?

?

2

,∴ x ? R .即 f ( x) 的定义域为 R .

1 ? ? 2 cos x ? 1 ? 0 ?cos x ? 2 ?lg(tan x ? 1) ? 0 ? ? ? tan x ? 0 ? (3)由已知 ? tan x ? 1 ? 0 ,得 ? , ? tan x ? ?1 ? ? ? x ? k? ? ? ( k ? Z ) ? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) ? 2 ? 2

sin 2 x ? sin(2 x ? ) ? cos 4 x ? sin 4 x 3 ; (1) y ? (2) y ? 2sin( x ? )sin x ; (3) y ? . ? 2 cos 4 x ? sin 4 x cos 2 x ? cos(2 x ? ) 3 ? 1 3 3 sin(2 x ? ) sin 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 6 ? tan(2 x ? ? ) ,∴周期 T ? ? . 2 2 解: (1) y ? ? ? 2 6 1 3 3 cos(2 x ? ) cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x 6 2 2 (2) y ? ?2sin x cos x ? ? sin 2 x ,故周期 T ? ? . 1 ? tan 4 x ? ? (3) y ? ? tan(4 x ? ) ,故周期 T ? . 1 ? tan 4 x 4 4 π π [例 4]已知函数 f(x)= 3sin(2x- )+2sin2(x- ) (x∈R). 6 12 (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求使函数 f(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(1) f(x)= 3sin(2x- )+1-cos2(x- ) 6 12 π π 3 1 = 2[ sin2(x- )- cos2(x- )]+1 2 12 2 12 π π =2sin[2(x- )- ]+1 12 6 π = 2sin(2x- ) +1 3 2π ∴ T= =π 2 π π π (2)当 f(x)取最大值时, sin(2x- )=1,有 2x- =2kπ + 3 3 2 5π 5π 即 x=kπ + (k∈Z) ∴所求 x 的集合为{x∈R|x= kπ + , k∈Z} 12 12 【课内练习】
1. 给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是:①最小正周期是 ? ;②图象关 于点( ? ,0)对称
6

?





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(A) y ? cos(2x ? ? ) (B) y ? sin(2x ? ? )
6 6

(C) y ? sin( x ? ? )
2 6

(D) y ? tan(x ? ? )
3

7.若方程 cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? k ? 1 有解,则 k ?



1.D 2. 为了使函数 y ? sin?x(? ? 0) 在区间[0, 1]上至少出现 50 次最大值, ? 的最小值是 则 ( (A) 98?
1 4

7.[-3,1] 提示: cos 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 2cos(2 x ? ) , ?2 ? k ?1 ? 2 3 ) 8.求下列函数的定义域: (1) y ? 2 ? log 1 x ? tan x ;
2

?

(B) 197 ? 2 提示:49 ×T≤1,即

(C) 199 ? 2

(D) 100?

2.B

197 2π 197π × ≤1,∴ω ≥ . 4 ? 2 π π , ]上的最小值是 4 4

3.函数 f(x)=cos2x+sinx 在区间[-
2 ?1 2 1? 2 2





A.

B.-

C.-1
1 2 5 4

D.

1? 2 2

3.提示:f(x)=1-sin2x+sinx =-(sinx- )2+ ,当 x=-

π 时, f ( x) 取最小值 4

(2) y ? lg(2 sin x ? 2 ) ? 1 ? 2 cos x . ? 2 ? log 1 x ? 0 ? 2 ? 0? x?4 ? tan x ? 0 ? ? ? 解 (1)x 应 满 足 ? ,即为 ? 所以所求定义域为 k? ? x ? k? ? ?k ? z ? x?0 ? ? 2 ? ? ? ? x ? k? ? 2 ? k ? z ? ? ? ?? ? 0, ? ? ?? ,4? ? 2? ?2 sin x ? 2 ? 0 ? 3? (2)x 应满足 ? ,利用单位圆中的三角函数线可得 ? 2k? ? x ? ? 2k? 3 4 ? 1 ? 2 cos x ? 0

4.若 sin x ? cos x ? 1 ,则 sin x ? cos x 的值是(
n n



(A ) 1

( B )? 1

(C )? 1

( ( D) 不确定

?sin x ? cos x ? 1 ?sin x ? 0 ?sin x ? 1 或? 提示: ? 2 解得 ? 2 ?cos x ? 1 ?cos x ? 0 ?sin x ? cos x ? 1 n? 5.若 f (n) ? sin , (n ? N * ) ,则 f (1) ? f (2) ??? f (102) = 6 n? 5. 2+ 3 提示: f (n) ? sin , (n ? N * ) 的周期为 12, 6 ? 2? 12? 而 f (1) ? f (2) ? ? ? f (12) ? sin ? sin ? ? ? sin ? 0, 6 6 6 ∴ f (1) ? f (2) ?? ? f (96) ? 0 ,

4.A



? 3? ? ? 所以所求定义域为 ?2k? ? ,2k? ? ? ?k ? z ? 3 4? ? 2sin x cos 2 x 3 ? sin x 9.求下列函数的值域: (1) y ? ; (2) y ? log 2 ; 1 ? sin x 3 ? sin x 1 ? sin x (3) y ? . 3 ? cos x 解:由题意 1 ? sin x ? 0 , 2sin x(1 ? sin 2 x) 1 1 ? 2sin x(1 ? sin x) ? ?2(sin x ? ) 2 ? , ∴y? 1 ? sin x 2 2 1 1 ∵ ?1 ? sin x ? 1 ,∴ sin x ? 时, ymax ? ,但 sin x ? ?1,∴ y ? ?4 , 2 2 1 ∴原函数的值域为 (?4, ] . 2
(2)∵ ?1 ? sin x ? 1 ,又∵ ∴函数 y ? log 2 (3)由 y ?
3 ? sin x 6 1 3 ? sin x ? ? 1 ,∴ ? ? 2 ,∴ ?1 ? y ? 1 , 3 ? sin x 3 ? sin x 2 3 ? sin x

∴原式 ? f (97) ? f (98) ? ? ? f (102) ? f (1) ? f (2) ? ? ? f (6) ? 2 ? 3 6.函数 y=2sin(3x-
π )的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_______. 4

3 ? sin x 的值域为 [?1,1] . 3 ? sin x

6.

? 3

提示:T=

T 2π ,相邻对称轴间的距离为 3 2

1 ? sin x 得 sin x ? y cos x ? 3 y ? 1 ,∴ y 2 ? 1sin( x ? ? ) ? 3 y ? 1 , 3 ? cos x

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这里 cos ? ?

1 1? y
2

, sin ? ?

?y 1? y
2


3 , 4

所以 tan x ? 0 或 cos x ? 1
? ? ?? 2.函数 y ? log 2 ?1 ? sin x ? ? log 2 (1 ? sin x) ,当 x ? ? ? , ? 时的值域为( ? 6 4?

∵ | sin( x ? ? ) |? 1 ,∴ | 3 y ? 1|?



y 2 ? 1 .解得 0 ? y ?

3 ∴原函数的值域为 { y | 0 ? y ? } . 4 5 3 ? ?? 10.是否存在实数 a,使得函数 y ? sin 2 x ? a cos x ? a ? 在闭区间 ?0, ? 上的最大值是 1? 8 2 ? 2?

( A )? ? 1 ,? 0

( B )? ? 1 ,? 0

(C )? 0 , 1 ?

( D )? 0 ? 1 ,
)2x

1 sin log ? 2.A 提示: y ? log 2 ? ?sin x ??log (1 ? )x ? (12 sin 2

又 0 ? sin 2 x ?

3. 已知函数 f(x)=2sin ? x( ? >0)在区间[ ? A.

? ? , ]上的最小值是-2, ? 的最小值等于( 则
3 4

1 2

)

若存在,求出对应的 a 值?若不存在,试说明理由.
1 ? a 5 1 ? 解: y ? ?? cos x ? a ? ? ? a? 2 ? 4 8 2 ?
2 2

2 3 B. 3 2 3.B 提示:将四个选项代入验证

C.2

D.3

当0 ? x ?

?
2

时, 0 ? cos x ? 1 ,令 t ? cos x 则 0 ? t ? 1,
2

? 5 5? 4.设 f ( x) 是以 5 为周期的函数,且当 x ? ? ? , ? 时, f ( x) ? x ? 2 2?

a2 5 1 ? 1 ? y ? ?? t ? a ? ? ? a ? , 0 ? t ?1 4 8 2 ? 2 ?

则 f (6.5) ? _________________ . 4.
3 2

a a a a2 5 1 1? 0 ? ? 1,即0 ? a ? 2时, 则当t ? 即 cos x ? 时, y max ? ? a ? ?1 2 2 2 4 8 2 3 ? a ? 或a ? ?4(舍) 2
a 5 1 12 ? 0,即a ? 0时, 则当t ? 0即cos x ? 0时, y max ? a ? ? 1 ? a ? (舍) 2 8 2 5 a 5 3 20 3? ? 1,即a ? 2时, 则当t ? 1即cos x ? 1时, y max ? a ? a ? ? 1 ? a ? (舍) 2 8 2 13 3 综上知,存在 a ? 符合题意. 2 2?

提示: f ( x? 5 ) f ( x ) ?

5 . 已 知 y ? 2cos x(0 ? x ? 2? ) 的 图 象 和 y ? 2 的 图 象 围 成 一 个 封 闭 图 形 , 该 图 形 面 积 是 . 5. 4? 提示:采用割补法 ? ? 6. 求函数 y =2 cos(x ? ) cos(x ? ) + 3 sin 2 x 的值域和最小正周期. 4 4 ? ? 解:y=2cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 4 4 ? =cos2x+ 3 sin2x=2sin(2x+ ) 6 ? ? ∴函数 y=cos(x+ ) cos(x- )+ 3 sin2x 的值域是[-2,2],最小正周期是 π 4 4 7.已知函数 f ( x) ? 2a sin(2 x ? ) ? b 的定义域为 [0, ] ,值域为 [?5,1] ,求 a和b 的值. 3 2

?

?

作业本 A组 1.函数 y ? sin x 与 y ? tan x 的图象在 [?2? , 2? ] 上交点个数是 A. 3 个 B. 5 个 C. 8 个 D. 9 个 ( )

解:由 0 ? x ?

?
2

,?

?
3

? 2x ?

?
3

?

2? 3 ? 得? ? sin(2 x ? ) ? 1 3 2 3

(1) 当 a ? 0 时,值域为 [? 3a ? b, 2a ? b] ,由已知得

1.B 提示:由题意 sin x ? tan x ,即 cos x ? tan x ? tan x , tan x(cos x ? 1) ? 0
第 16 页 共 18 页

?a ? 12 ? 6 3 ?? 3a ? b ? ?5 ? ? 解得 ? ? ? 2a ? b ? 1 ?b ? ?23 ? 12 3 ? ?
(2)当 a ? 0 时,值域为 [2a ? b, ? 3a ? b] ,由已知得

3 3 5 ? 1 ? 3sin 2 x cos 2 x ? 1 ? sin 2 2 x ? cos 4 x ? 4 8 8

5. 函数 y ? log cos1 cos x 的定义域是 5. (?

; 值域是 提示:求值域时注意 0 ? c o s? 1



?
2

?a ? 6 3 ? 12 ?? 3a ? b ? 1 ? ? 解得 ? ? ?2a ? b ? ?5 ?b ? 19 ? 12 3 ? ?
8.求函数 y ? (sin x ? 2)(cos x ? 2) 的最大、最小值. 解:原函数可化为: y ? sin x cos x ? 2(sin x ? cos x) ? 4 , 令 sin x ? cos x ? t (| t |? 2) , 则 sin x cos x ?
t ?1 t ?1 1 3 ,∴ y ? ? 2t ? 4 ? (t ? 2) 2 ? . 2 2 2 2
2 2

? 2k? ,

?
2

? 2k? )(k ? z );[0, ??)

1

6.求函数 f(x)=

sin 4 x ? cos 4 x ? sin 2 x cos 2 x 的最小正周期、最大值和最小值. 2 ? sin 2 x

解:f(x)=

2 (sin 2 x ? cos 2 x) ? sin 2 x cos 2 x 2 ? 2 sin x cos x

∵ t ? 2 ? [? 2, 2] , 且函数在 [? 2, 2] 上为减函数, ∴当 t ? 2 时, x ? 2k? ? 即
ymin ? 9 3? 9 ? 2 2 ;当 t ? ? 2 时,即 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, ymax ? ? 2 2 . 2 4 2 B组

?
4

(k ? Z ) 时,

=

1 ? sin 2 x cos 2 x 1 = (1+sinxcosx) ( ? sin x cos x) 2 21
1 4 1 2

= sin2x+ , 所以函数 f(x)的最小正周期是π ,最大值是 ,最小值是 7. 求函数 f ( x) ?
sin 2 x 的定义域和值域. 1 ? sin x ? cos x
3 4 1 4

1.

函数 y ? sin x ? 2sin x 的值域为(



( A )? ? 3?, ? 1

( B )? ? 1 ,? 3

(C )? 0 ,? 3

( D )? ? 3 ,? 0

1.B 提示:讨论 sin x ? 0和sin x ? 0 2.函数 f ( x) ? cos(sin x)( x ? R) 的最小正周期 T 及最小值 m 分别为 A T ? ?,m ?1 C T ? ? , m ? cos1 2.C B T ? 2? , m ? cos1 D T ? 2? , m ? ?1 ( )

? 2 ? 解:由 1 ? sin x ? cos x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 0 得 sin( x ? ) ? ? 4 2 4
?x ? 5? ? 7? ? 2k? 且x ? ? ? 2k? 4 4 4 4 3? 即x ? ? ? 2k? 且x ? ? 2k? 2 ?

?

3.设函数 f ( x) ? 2sin( x ? ) ,若对 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 x1 ? x2 的 2 5 最小值是 ( ) 1 A 4 B 2 C 1 D 2 T 3.B 提示:周期 T ? 4 , x1 ? x2 的最小值是 2 6 6 4.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期为 . ? 4. 提示: y ? sin 6 x ? cos6 x ? (sin 2 x ? cos2 x)(sin 4 x ? cos4 x ? sin 2 x cos2 x) 2

?

?

? 3? ? ? 2k ? , k ? Z ? 所以函数 f ( x) 的定义域为 ? x x ? ? ? 2k? , k ? Z ? ? ? x x ? 2 ? ?

令 t ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), t ?[? 2, ?1) ? (?1, 2] 4 则 sin 2 x ? 2sin x cos x ? t 2 ?1
?y ? t 2 ?1 ? t ? 1? t ? [? 2, ?1) ? (?1, 2] 1? t

?

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? t ? 1? [? 2 ? 1, ?2) ? (?2, 2 ? 1]

③ f ? x ? a? ? ?

1 ,则 f ? x ? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; f ? x?

所以所求函数的值域为 [? 2 ? 1, ?2) ? (?2, 2 ? 1] 8.若函数 f ( x) ? 2cos(2 x ? ? ) 对任意实数 x 都有 f ( ? x) ? f ( ? x) . 6 6 (1) 求 f ( ) 的值; 6 (2) 求 ? 的最小正值;
? ? ?? (3) 当 ? 取最小正值时,求 f ( x)在 ? ? , ? 上的最大值和最小值. ? 6 6?

?

?

④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ? x ? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数; ⑤ f ( x ? a) ?
1 ? f ( x) ,则 f ? x ? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ? x ? 是以 T ? 4a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

?

⑥ f ( x ? a) ? ?

⑦ f ( x ? a) ?

解: (1)由 f ( ? x) ? f ( ? x) 可知 x ? 是 f ( x) 图象的一条对称轴 6 6 6
? f ( ) ? ?2或2 6

?

?

?

1 ? f ( x) ,则 f ? x ? 是以 T ? 4a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

?

(2)由 2cos( ? ? ) ? ?2得 ? ? ? k? , 即? ? k? ? , k ? Z .?? 3 3 3 2? 的最小正值为 3 2? ? ? (4) 由(2)知 f ( x) ? 2cos(2 x ? ),当 ? ? x ? , 3 6 6 ? 2? 2? 1 即 ? 2x ? ? ?时,-1 ? cos(2 x ? ) ? , 3 3 3 2
? ? ?? 所以 f ( x)在 ? ? , ? 上的最大值为1,最小值为-2 ? 6 6?

?

?

?

函数的周期性 教学目标:掌握周期函数的定义及最小正周期的意义 教学重点:了解常见的具有周期性的抽象函数 (一) 主要知识: 1. 周期函数的定义:对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x) 具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期, 则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x) 的周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x) 的最小正周期. 2. 几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数: 函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), ① f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; ② f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ? x ? 是以 T ? 2a 为周期的周期函数;

⑧函数 y ? f ( x) 满足 f (a ? x) ? f (a ? x) ( a ? 0 ) ,若 f ( x) 为奇函数,则其周期为 T ? 4a , 若 f ( x) 为偶函数,则其周期为 T ? 2a . ⑨函数 y ? f ( x) ? x ? R ? 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数; ⑩函数 y ? f ( x) ? x ? R ? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数; ⑾函数 y ? f ( x) ? x ? R ? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x) 是以 4 ? b ? a ? 为周期的周期函数; (二)主要方法: 1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的 x 恒有 f ( x ? T ) ? f ( x) ; 二是能找到适合这一等式的非零常数 T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集. 2. 解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用, 还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。 (三)典例分析: 问题 1.( 06 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的值为 A. ?1 B. 0 C. 1 D. 2 问题 2. ?1? ( 00 上海) 设 f ( x) 的最小正周期 T ? 2 且 y A ? 2 f ( x) 为偶函数,它在区间 ? 0, 1? 上的图象如右图所示的线段 1 yB AB ,则在区间 ?1, 2 ? 上, 2 0 f ( x) ? 1 2 x
x

0

1 2
x

第 18 页 共 18 页


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