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一元二次不等式解法及含参不等式恒成立问题探究


一元二次不等式解法及含参不等式恒成立问题探究 晋江养正中学 郑明铿 2014.5.29 整理
【关键词】 : 一元二次不等式 二次项系数 分类讨论 含参数 恒成立 一元二次方程 因 式分解 一元二次函数 最值问题 解集

专题一:含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?对含参 一元二次不等式常用的分类方法有三种: 一、按 x 项的系数 a 的符号分类,即 a ? 0, a ? 0, a ? 0 ;
2

分析:本题二次项系数含有参数, ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0 ,故只需对二次 项系数进行分类讨论。
2

例 1 解不等式: ax2 ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0

解:∵ ? ? ?a ? 2? ? 4a ? a 2 ? 4 ? 0
2
2

? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 , x2 ? 2a 2a ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ? 或x ? ∴当 a ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? 2a 2a ? ? ? ? 1? ? 当 a ? 0 时,不等式为 2 x ? 1 ? 0 ,解集为 ? x | x ? ? 2? ? 2 ? ? a ? 2 ? a2 ? 4 ? ? ?a?2? a ?4 ? ?x? 当 a ? 0 时, 解集为 ? x | ? 2a 2a ? ? ? ? 2 例 2 解不等式 ax ? 5ax ? 6a ? 0?a ? 0? 分析 因为 a ? 0 , ? ? 0 ,所以我们只要讨论二次项系数的正负。 2 解 ? a( x ? 5x ? 6) ? a?x ? 2??x ? 3? ? 0 ? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | x ? 2或x ? 3?;当 a ? 0 时,解集为 ?x | 2 ? x ? 3?
解得方程 ax ? ?a ? 2?x ? 1 ? 0 两根 x1 ? 二、按判别式 ? 的符号分类,即 ? ? 0, ? ? 0, ? ? 0 ; 例 3 解不等式 x ? ax ? 4 ? 0
2

分析 本题中由于 x 的系数大于 0,故只需考虑 ? 与根的情况。
2

解:∵ ? ? a ? 16 ∴当 a ? ?? 4,4?即 ? ? 0 时,解集为 R ;
2

当 a ? ?4 即Δ =0 时,解集为 ? x x ? R且x ?

? ?

a? ?; 2?

1

当 a ? 4 或 a ? ?4 即 ? ? 0 , 此 时 两 根 分 别 为 x1 ?

? a ? a 2 ? 16 , 2

? a ? a 2 ? 16 ,显然 x1 ? x 2 , 2 ? ? a ? a 2 ? 16 ? a ? a 2 ? 16 ? ? ? ∴不等式的解集为 ? x x ? 或x〈 ? 2 2 ? ? ? ? 2 2 例 4 解不等式 m ? 1 x ? 4 x ? 1 ? 0?m ? R? 解 因 m 2 ? 1 ? 0, ? ? (?4) 2 ? 4 m 2 ? 1 ? 4 3 ? m 2 1? ? 所以当 m ? ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x | x ? ? ; 2? ? ? 2 ? 3 ? m2 2 ? 3 ? m2 ? 当 ? 3 ? m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 ? x x ? 或 x 〈 m2 ? 1 m2 ? 1 ? ? 当 m ? ? 3或m ? 3 ,即 ? ? 0 时,解集为 R。 x2 ?

?

?

?

? ?

?

? ? ?; ? ?

三 、 按 方 程 ax ? bx ? c ? 0 的 根 x1 , x 2 的 大 小 来 分 类 , 即
2

x1 ? x2 , x1 ? x2 , x1 ? x2 ;
1 ) x ? 1 ? 0 (a ? 0) a 1 分析:此不等式可以分解为: ? x ? a ?( x ? ) ? 0 ,故对应的方程必有两解。本 a
例5 解不等式 x ? (a ?
2

题 只需讨论两根的大小即可。

1 1 ) ? 0 ,令 a ? ,可得: a ? ?1 a a 1 1? ? ∴当 a ? ?1 或 0 ? a ? 1 时, a ? ,故原不等式的解集为 ? x | a ? x ? ? ; a a? ? 1 当 a ? 1 或 a ? ?1 时, a ? ,可得其解集为 ? ; a 1 ? 1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 或 a ? 1 时, a ? ,解集为 ? x | ? x ? a ? 。 a ? a ? 2 2 例 6 解不等式 x ? 5ax ? 6a ? 0 , a ? 0 2 分 析 此 不 等 式 ? ? ?? 5a? ? 24a 2 ? a 2 ? 0 , 又 不 等 式 可 分 解 为 ?x ? 2a?( x ? 3a) ? 0 ,故只需比较两根 2a 与 3a 的大小. 解 原不等式可化为: ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 ,对应方程 ?x ? 2a ?( x ? 3a) ? 0 的两 根为 x1 ? 2a, x2 ? 3a ,
解:原不等式可化为: ? x ? a ?( x ?
2

当a

0 时,即 2a

当 a ? 0 时,即 2a

3a ,解集为 ?x | x ? 2a或x ? 3a?

3a ,解集为 ?x | x ? 3a或x ? 2a?;

作业(5.29):
1 例1 若 0<a<1,则不等式 (x-a)(x- ) < 0的解是 ( ) a 1 1 A.a<x< C.x> 或x<a a a 1 1 B. <x<a D.x< 或x>a a a 1 分析 比较a与 的大小后写出答案. a 1 1 解 ∵ 0<a<1,∴a< ,解应当在“两根之间”,得a<x< . a a 选A.
例 3 若 ax2+bx-1<0 的解集为{x|-1<x<2},则 a=___,b=_____. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1 和 2 是方程 ax2+bx-1= 0 的两个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2 应为方程 ax2+bx-1=0 的两根,则由韦达定理知

? b ? ? ( ?1) ? 2 ? 1 ? ? a 得 ? ?? 1 ? ( ?1) × 2 ? ?2 ? ? a 1 1 a ? ,b ? ? . 2 2 1 例5 不等式1+x> 的解集为 ( 1? x

)

A.{x|x>0} B.{x|x≥1} C.{x|x>1} D.{x|x>1 或 x=0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分.

1 > 0, 1? x ? x2 x2 通分得 > 0,即 > 0, 1? x x ?1 解 不等式化为1+x-
∵x2>0,∴x-1>0,即 x>1.选 C. 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解.

例 6 与不等式

x?3 ≥ 0同解的不等式是 ( 2?x

)

A.(x-3)(2-x)≥0 B.0<x-2≤1
3

C.

2?x ≥0 x?3

D.(x-3)(2-x)≤0

?( x ? 3)(2 ? x) ≥ 0, 解法一 原不等式的同解不等式组为 ? ? x ? 2 ≠ 0.
故排除 A、C、D,选 B.

解法二

x?3 ≥ 0化为x= 3或 (x- 3)(2 -x) > 0即 2 <x≤ 3 2?x
ax <1的解为{x|x<1或x> 2},则a的值为 x ?1
[ ]

两边同减去 2 得 0<x-2≤1.选 B. 说明:注意“零” .

例 7 不等式

1 2 (a ? 1) x ? 1 分析 可以先将不等式整理为 < 0,转化为 x ?1 D.a=-
[(a-1)x+1](x-1)<0,根据其解集为{x|x<1 或 x>2}

1 2 1 C.a= 2 A.a<

B.a>

1 2

可知a-1< 0,即a<1,且-

1 1 = 2 ,∴a= . a ?1 2

答 选 C. 说明:注意本题中化“商”为“积”的技巧.

例8 解不等式


3x ? 7 ≥2. x ? 2x ? 3
2

先将原不等式转化为
2

3x ? 7 ? 2≥0 x ? 2x ? 3 ? 2x 2 ? x ? 1 2x 2 ? x ? 1 即 2 ≥ 0,所以 2 ≤ 0. x ? 2x ? 3 x ? 2x ? 3 1 7 由于 2x 2 +x+1= 2(x+ ) 2 + > 0, 4 8
∴不等式进一步转化为同解不等式 x2+2x-3<0, 即(x+3)(x-1)<0,解之得-3<x<1.解集为{x|-3<x<1} . 说明:解不等式就是逐步转化,将陌生问题化归为熟悉问题. 例 10 解关于 x 的不等式(x-2)(ax-2)>0. 分析 不等式的解及其结构与 a 相关,所以必须分类讨论. 解 1° 当 a=0 时,原不等式化为
4

x-2<0 其解集为{x|x<2};

2 2 2 ° 当a< 0时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) < 0,其解 a a 集为 2 {x| <x< 2}; a 2 2 3° 当 0<a<1时,因 2 < ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集为 2 {x|x< 2 或x> }; a
4° 当 a=1 时,原不等式化为(x-2)2>0,其解集是{x|x≠2};

2 2 5° 当a>1时,由于 2 > ,原不等式化为 (x- 2)(x- ) > 0,其解 a a 集是 2 {x|x< 或x> 2}. a
从而可以写出不等式的解集为: a=0 时,{x|x<2} ;

2 a< 0时,{x| <x< 2 }; a 2 0<a<1时,{x|x< 2 或x> }; a
a=1 时,{x|x≠2};

2 a>1时,{x|x< 或x> 2}. a
说明:讨论时分类要合理,不添不漏.

例12 解关于x的不等式:

x <1-a(a∈R) . x ?1

分析 将一边化为零后,对参数进行讨论.

解 原不等式变为

x ax ? 1 ? a - (1-a) < 0,即 < 0, x ?1 x ?1

进一步化为(ax+1-a)(x-1)<0. (1)当 a>0 时,不等式化为

(x- <1};

a ?1 a ?1 a ?1 )(x-1) < 0,易见 <1,所以不等式解集为{x| <x a a a

(2)a=0 时,不等式化为 x-1<0,即 x<1,所以不等式解集为{x|x<1};

5

(3)a<0时,不等式化为(x- 不等式解集为{x|x<1或x>

a ?1 a ?1 ) ·(x-1) >0,易见 >1,所以 a a

a ?1 }. a

综上所述,原不等式解集为:

当a>0时,{x| a ?1 或x<1}. a

a ?1 <x<1};当a=0时,{x|x<1};当a<0时,{x|x> a

专题二:不等式中恒成立问题的解法研究
在不等式的综合题中, 经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围 内所有值都成立的恒成立问题。 恒成立问题的基本类型:

类型 1:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,
(1) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 ; (2) f ( x) ? 0在x ? R 上恒成立 ? a ? 0且? ? 0 。 例 1.关于 x 的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0 的解集为 R,求实数 a 的取值范围. 【解】 ①若 a2-1=0, 即 a=± 1 时, 若 a=1,不等式化为-1<0,解集为 R; 1 若 a=-1,不等式变为 2x-1<0,解集为{x|x< }.∴a=1 时满足条件. 2 原不等式解集为 R 的条件是 ?a2-1<0, ?
? 2 2 ?Δ=[-?a-1?] +4?a -1?<0, ?

3 解得- <a<1. 5 3 综上所述,当- <a≤1 时,原不等式解集为 R. 5

变式:本例若把不等式改为“(a2-1)x2-(a-1)x+1>0”,求 a 的 取值范围.
若 a=1,则原不等式化为 1>0,恒成立. 若 a=-1,则原不等式化为 2x+1>0, 1 即 x>- ,不符合题意,舍去. 2 2 ②当 a -1≠0,即 a≠± 1 时, 原不等式解集为 R 的条件是 ?a2-1>0 ? ? ’ 2 2 ? ?Δ=[-?a-1?] -4?a -1?<0 5 解得 a<- 或 a>1. 3
6

5 综上所述,当 a<- 或 a≥1 时,原不等式解集为 R. 3

作业: 1.已知函数 y ? lg[ x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ] 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围。 解 : 由 题 设 可 将 问 题 转 化 为 不 等 式 x 2 ? (a ? 1) x ? a 2 ? 0 对 x ? R 恒 成 立 , 即 有

1 ? ? (a ? 1) 2 ? 4a 2 ? 0 解得 a ? ?1或a ? 。 3 1 所以实数 a 的取值范围为 (?? ,?1) ? ( ,?? ) 。 3 若二次不等式中 x 的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。
2.若不等式 (m ? 1) x 2 ? (m ? 1) x ? 2 ? 0 的解集是 R,求 m 的范围。 解析:要想应用上面的结论,就得保证是二次的,才有判别式,但二次项系数含有参 数 m,所以要讨论 m-1 是否是 0。 (1)当 m-1=0 时,元不等式化为 2>0 恒成立,满足题意; (2) m ? 1 ? 0 时,只需 ?

?m ? 1 ? 0

2 ?? ? (m ? 1) ? 8(m ? 1) ? 0 所以, m ? [1,9) 。



类型 2:设 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)
( 1 ) 当

a?0





f ( x) ? 0在x ? [? , ? ]









b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? , ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? ? f (? ) ? 0 ?? ? 0 ? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0 f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? ? f (? ) ? 0

(2)当 a ? 0 时, f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ?

? f (? ) ? 0 ? f (? ) ? 0

b ? b ? ? b ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?? ?? f ( x) ? 0在x ? [? , ? ] 上恒成立 ? ? 2a 或? 或? 2a 2a ? ? ? f (? ) ? 0 ? ?? ? 0 ? f (? ) ? 0

7

例 2.设 f ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ,当 x ? [?1,??) 时, f ( x) ? m 恒成立,求实数 m 的取 值范围。 解:设 F ( x) ? x 2 ? 2mx ? 2 ? m ,则当 x ? [?1,??) 时, F ( x) ? 0 恒成立 当 ? ? 4(m ? 1)(m ? 2) ? 0即 ? 2 ? m ? 1时, F ( x) ? 0 显然成立; 当 ? ? 0 时,如图, F ( x) ? 0 恒成立的充要条件为: y x

? ?? ? 0 ? ? F ( ?1) ? 0 解得 ? 3 ? m ? ?2 。 ? ? 2m ?? ? ?1 2 ? 综上可得实数 m 的取值范围为 [?3,1) 。
变换主元法

-1 O

x

变式一(用一次函数的性质) 处理含参不等式恒成立的某些问题时,若能适时的把主元变量和参数变量进行“换 位”思考,往往会使问题降次、简化。 对于一次函数 f ( x) ? kx ? b, x ? [m, n] 有:

? f (m) ? 0 ? f (m) ? 0 f ( x) ? 0恒成立 ? ? , f ( x) ? 0恒成立 ? ? ? f (n) ? 0 ? f (n) ? 0
若不等式 2 x ? 1 ? m( x 2 ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的范围。 解析:我们可以用改变主元的办法,将 m 视为主变元,即将元不等式化为:
2 ; 令 f (m) ? m( x ? 1) ? (2x ? 1) , 则 ? 2 ? m ? 2 时 , m( x 2 ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 ,
2 ? f (?2) ? 0 ? ?? 2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0 f (m) ? 0 恒成立,所以只需 ? 即? , 2 ? ? f (2) ? 0 ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0

所以 x 的范围是 x ? (

?1? 7 1? 3 , )。 2 2

作业: 1 已知对于任意的 a∈[-1,1],函数 f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0 恒成立,求 x 的取值 范围. 解析 本题按常规思路是分 a=0 时 f(x)是一次函数, a≠0 时是二次函数两种情况讨论, 不容易求 x 的取值范围。因此,我们不能总是把 x 看成是变量,把 a 看成常参数,我们 可以通过变量转换,把 a 看成变量,x 看成常参数,这就转化一次函数问题,问题就变 得容易求解。令 g(a)=(x2+2x-1)a-4x+3 在 a∈[-1,1]时,g(a)>0 恒成立,则 ?
? 3 ? 13 ? x ? ?3 ? 13 .
8

? g (?1) ? 0 ,得 ? g (1) ? 0

点评 对于含有两个参数,且已知一参数的取值范围,可以通过变量转换,构造以 该参数为自变量的函数,利用函数图象求另一参数的取值范围。

2.

对任意 a ? [?1,1] ,不等式 x 2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求 x 的取值范围。 分析:题中的不等式是关于 x 的一元二次不等式,但若把 a 看成主元,则问题可转

化为一次不等式 ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 0 在 a ? [?1,1] 上恒成立的问题。 解 : 令 f (a) ? ( x ? 2)a ? x 2 ? 4 x ? 4 , 则 原 问 题 转 化 为 f (a ) ? 0 恒 成 立 ( a ? [?1,1] ) 。 当 x ? 2 时,可得 f (a ) ? 0 ,不合题意。

? f (1) ? 0 解之得 x ? 1或x ? 3 。 ? f (?1) ? 0 故 x 的取值范围为 (??,1) ? (3,??)
当 x ? 2 时,应有 ? 3. 已知 f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 解析 本题可以考虑 f(x)的零点分布情况进行分类讨论,分无零点、零点在区间的
?? ? 0 ?? ? 0 ? a ? a ? ? ? ? ? ?2 ?? ? 2 左侧、零点在区间的右侧三种情况,即 Δ≤0 或 ? 2 或? 2 ,即 a 的取值范 ? f (?2) ? 0 ? f (?2) ? 0 ? ? ? ? ? f ( 2) ? 0 ? f ( 2) ? 0

围为[-7,2].

若 x ?? ?2, 2? 时,不等式 x ? ax ? 3 ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

解:设 f ? x ? ? x ? ax ? 3 ? a ,则问题转化为当 x ?? ?2, 2? 时, f ? x ? 的最小值非负。
2

(1) 当 ?

a 7 ? ?2 即: a ? 4 时, f ? x ?min ? f ? ?2? ? 7 ? 3a ? 0 ? a ? 又 a ? 4 所 2 3

以 a 不存在;

a a2 ? a? (2) 当 ?2 ? ? 2 即 : ?4 ? a ? 4 时 , f ? x ?m i ? f ?? ? ? 3? a ? ? 0 n 2 4 ? 2? ??6 ? a ? 2 又 ?4 ? a ? 4 ??4 ? a ? 2 a (3) 当 ? ? 2 即 : a ? ?4 时 , f ? x ?m i n? f ? 2? ? 7 ? a ?0 ? a ? ?7 又 2 a ? ?4 ??7 ? a ? ?4 综上所得: ?7 ? a ? 2
点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑函数的 零点分布情况,要求对应闭区间上函数图象在 x 轴的上方或在 x 轴上就行了. 变式: f ( x) ? x 2 ? ax ? 3 ? a ,若 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 恒成立,求 a 的取值范围. 解 析 本 题 可 以 化 归 为 求 函 数 f(x) 在 闭 区 间 上 的 最 值 问 题 , 只 要 对 于 任 意 x ? [?2,2], f ( x) ? 2 x ? [?2,2], f ( x) min ? 2 . 若 恒 成 立
9

? ?x ? [?2,2], f ( x) min

? a ?? ? ?2 ?2 ? ? 2 ? ? f ( x) min ? f (?2) ? 7 ? 3a ? 2

a ? ?2? ? ? 2 ? a ? 2 ? ?? ? 2 或? 或 ,即 a 的取值范围为 ? 2 2 a a ? f ( x) ? ?2 ? f ( x) min ? f (2) ? 7 ? a ? 2 min ? f ( ? ) ? 3 ? a ? ? 2 4 ?

[?5,?2 ? 2 2 ] .

点评 对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题 ,可以 求 函 数 最 值 的 方 法 , 只 要 利 用 f ( x) ? m 恒 成 立 ? f ( x) min ? m ; f ( x) ? m 恒 成 立 ? f ( x) max ? m .本题也可以用零点分布策略求解.

类型 3: 1.最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有: 1) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) min 2) f ( x) ? a 恒成立 ? a ? f ( x) max

x 2 ? 2x ? a , x ? [1,??) ,若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, 例 3.函数 f ( x) ? x 求实数 a 的取值范围。 解:若对任意 x ? [1,??) , f ( x) ? 0 恒成立, x 2 ? 2x ? a ? 0 恒成立, x 2 考虑到不等式的分母 x ? [1,??) ,只需 x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立而得
即对 x ? [1,??) , f ( x) ? 而 抛 物 线 g ( x) ? x 2 ? 2 x ? a 在 x ? [1,??) 的 最 小 值 g m i n ( x) ? g (1) ? 3 ? a ? 0 得

a ? ?3

注:本题还可将 f ( x) 变形为 f ( x) ? x ?

a ? 2 ,讨论其单调性从而求出 f ( x) 最小值。 x

2.分离变量法 若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端,从而问题转化 为求主元函数的最值,进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值,但它思路更清 晰,操作性更强。一般地有: 1) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 2) f ( x) ? g (a)(a为参数) 恒成立 ? g (a) ? f ( x) max 实际上,上题就可利用此法解决。 略解: x ? 2 x ? a ? 0 在 x ? [1,??) 时恒成立,只要 a ? ? x ? 2 x 在 x ? [1,??)
2 2

时恒成立。而易求得二次函数 h( x) ? ? x ? 2 x 在 [1,??) 上的最大值为 ? 3 ,所以
2

a ? ?3 。
10

例 4、 已知函数 f ? x ? ? lg ? x ? 的取值范围。

? ?

a ? ? 2 ? ,若对任意 x ??2, ??? 恒有 f ? x ? ? 0 ,试确定 a x ?

a ? 2 ? 1 在 x ??2, ??? 上恒成立, x 2 即: a ? ? x ? 3x 在 x ??2, ??? 上恒成立,
解:根据题意得: x ?

3? 9 ? 设 f ? x ? ? ?x ? 3x ,则 f ? x ? ? ? ? x ? ? ? 2? 4 ? 当 x ? 2 时, f ? x ?max ? 2 所以 a ? 2
2

2

于不等式的两边, 即: 若 f ? a ? ? g ? x ? 恒成立, 只须求出 g ? x ?max , 则f? a ?? g x?

在给出的不等式中,如果通过恒等变形不能直接解出参数,则可将两变量分别置

然后解不等式求出参数 a 的取值范围;若 f ? a ? ? g ? x ? 恒成立,只须求出 g ? x ?min ,则
x 2 x 变式:已知 x ? ? ??,1? 时,不等式 1 ? 2 ? a ? a ? 4 ? 0 恒成立,求 a 的取值范围。

?m x a



f ?a ? ? g ?x ?min ,然后解不等式求出参数 a 的取值范围,问题还是转化为函数求最值。

?

?

解:令 2 ? t ,
x

x ? ? ??,1? ?t ? ? 0 , 2 ? 所以原不等式可化为: a 2 ? a ?

要使上式在 t ? ? 0, 2? 上恒成立,只须求出 f ? t ? ?
2 2

t ?1 在 t ? ? 0, 2? 上的最小值即可。 t2

t ?1 , t2

1 ?1 t ?1 ? 1 ? 1 ? 1 1 ? 1 ? ? ? , ?? ? f ?t ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? t ?2 t ? ?t ? t ?t 2? 4 3 3 1 3 ? f ? t ?min ? f ? 2 ? ? ? a2 ? a ? ?? ? a ? 4 4 2 2
作业 1.在 ? ABC 中,已知 f ( B) ? 4 sin B sin (
2

?
4

?

B ) ? cos 2 B, 且 | f ( B) ? m |? 2 恒成 2

立,求实数 m 的范围。 解析:由

B ) ? cos 2 B ? 2 sin B ? 1,? 0 ? B ? ? ,? sin B ? (0,1] , 4 2 ?m ? f ( B) ? 2 f ( B) ? (1,3] ,?| f ( B) ? m |? 2 恒成立,? ?2 ? f ( B) ? m ? 2 ,即 ? ?m ? f ( B) ? 2 恒成立,? m ? (1,3] 2.(1)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ? [0, ? ] 恒成立的实数 a 的范围。 ? ? 3? ] ,显然函数有 解析:由于函 a ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ? ), x ? ? ? [? , 4 4 4 4 最大值 2 ,? a ? 2 。 f ( B) ? 4 sin B sin 2 ( ?
如果把上题稍微改一点,那么答案又如何呢?请看下题:
11

?

(2)求使不等式 a ? sin x ? cos x, x ?

?

? (0, ) 恒成立的实数 a 的范围。 4 2

?

解析: 我们首先要认真对比上面两个例题的区别, 主要在于自变量的取值范围的变化, 这样使得 y ? sin x ? cos x 的最大值取不到

2 ,即 a 取 2 也满足条件,所以

a? 2。
所以,我们对这类题要注意看看函数能否取得最值,因为这直接关系到最后所求 参数 a 的取值。利用这种方法时,一般要求把参数单独放在一侧,所以也叫分离参数 法。

3.知函数 f ( x) ? ax ? 4 x ? x 2 , x ? (0,4] 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。 解: 将问题转化为 a ? 令 g ( x) ?

4x ? x 2 对 x ? (0,4] 恒成立。 x

4x ? x 2 ,则 a ? g ( x) min x 4x ? x 2 4 由 g ( x) ? ? ? 1 可 知 g ( x) 在 (0,4] 上 为 减 函 数 , 故 x x g ( x) min ? g (4) ? 0 ∴ a ? 0 即 a 的取值范围为 (??,0) 。
注:分离参数后,方向明确,思路清晰能使问题顺利得到解决。 恒成立问题的解题的基本思路是:根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化,正 确选用函数法、最小值法。

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