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集合、函数及其表示、函数单调性测试题


标题

集合、函数及其表示、函数单调性测试题
班级: 一、选择题(每小题 5 分) 姓名:

1.若集合 A ? {x | ax2 ? ax ? 1 ? 0} 中只有一个元素,则 a ? A.4 B.2 C.0 D.0 或 4 2.已知集合 A ? {0,1, 2} ,则集合 B ? {x ? y | x ? A, y ? A} 中元素的个数是 A.1 B.3 C.5 D.9 3.已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1,0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为 A. ( ?1,1)
1? ? B. ? ?1, ? ? 2? ?

C. (?1,0)

?1 ? D. ? ,1 ? ?2 ?

? x 2 ? 1, x ? 1, ? 4.设函数 f ( x ) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? ? , x ? 1, ?x

1 2 B .3 C. 3 5 U ? R 5.设全集 ,下列集合运算结果为 R 的是
A. A. Z (? U N) B. N
(? U N)

D.

13 9
y

C. 痧 U(

U

?)

D. ? U {0}

6.如图所示,在函数 y ?| x | ( x ? [?1,1]) 的图象上有一点 P (t ,| t |) , 此函数图象与 x 轴、直线 x ? ?1 及直线 x ? t 围成的阴影图形的面积 为 S ,则 S 与 t 的函数关系图可表示为
S
1
?1

1 ?1

P t 1
x

O

S
1

S
1

S
1

O

1

t

?1

O

1

t

?1

O

1

t

?1

O

1

t

A

B

C

D

二、填空题(每小题 5 分) 7.设集合 A ? B ? {( x, y) | x ? R, y ? R} ,映射 f : A ? B 把集合 A 中的元素 ( x, y ) 映射成集合 . B 中的元素 ( x ? y, x ? y) ,则在映射 f 作用下,象 (2,1) 的原象应该是 8.已知集合 M ? {x | ?1 ? x ? a ? 2} , N ? {x | x2 ? x} ,若 M 是 . 答题卡
题号 选项 1 A 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B

N ? R ,则实数 a 的取值范围

1

标题 题 6:总体来看,在区间 [?1,1] 上, S 随 t 增大而增大,因而函数 S(t) 的图象应该是上升的;依题意,变化过程可分两个阶段,第 一阶段:直线 x ? t 在 y 轴左侧, S 值增大速度慢,反映到图象上应该是凹的;第二阶段,直线 x ? t 在 y 轴左侧, S 值增大速度快, 反映到图象上应该是凸的.选 B

7.

1? ? ? ?1, ? ? 2? ?



8.

[? 1 , 1 ]



三、解答题(本大题满分 40 分) 9. (本题满分 12 分)已知集合 A ? {?4, x2 ,2x ? 1} , B ? {x ? 5,1 ? x,9} ,若 A 的值.
解:因为 A B ? {9} ,所以 x2 ? 9 或 2x ?1 ? 9 ,解得 x ? ?3 或 x ? 3 或 x ? 5 . 检验可知, x ? 3 , x ? 5 不合题意,所以 x 的值为 ?3 . ( x ? 3 时, B ? {?2, ?2,9} ,不合题意; x ? 5 时, A ? {?4,25,9} , B ? {0, ?4,9} .

B ? {9} ,求 x

10. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) 满足条件 f ( x ? 1) ? x2 ? 3x ? 2 . (1)求 f ( x) 解析式; (2)若 f (a2 ? a ? 3) ? 6 ,求实数 a 的取值范围.
解: (1) (配凑法)因为 f ( x ? 1) ? x 2 ? 3x ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? 5( x ? 1) ? 6 ,所以 f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 . (2) 函数 f ( x) ? x 2 ? 5 x ? 6 在区间 [ , ??) 上单调递增, 因为 a2 ? a ? 3 ? (a ? )2 ? 解得 ?1 ? a ? 2 ,所以实数 a 的取值范围为 ?1 ? a ? 2 .
5 2
1 2 11 5 故 a2 ? a ? 3 ? 5 , 即 a2 ? a ? 2 ? 0 , ? ,6 ? f (5) , 4 2

11. (本题满分 14 分) 利用函数的单调性定义证明函数 f ( x) ? 并求该函数的值域.
解:任取 x1, x2 ?[2,4] ,且 x1 ? x2 .则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?
x1 x x2 ? x1 ? 2 ? . x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

x , x ?[2, 4] 是单调递减函数, x ?1

由 2 ? x1 ? x2 ? 4 可知, x2 ? x1 ? 0 , x1 ? 1 ? 0 , x2 ? 1 ? 0 ,所以 f (x1 ) ? f (x2 ) ? 0 ,即 f (x1 ) ? f (x2 ) . 所以函数 f ( x) 单调递减,因此 f (x)max ? f (2) ? 2 , f ( x)min ? f (4) ?
4 ?4 ? ,所以函数值域为 ? , 2 ? . 3 ?3 ?

2



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