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江苏省无锡一中2012-2013学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案


江苏省无锡一中 2012-2013 学年高二下学期期中考试数学文 试题
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,把结果直接填在题中的横线上) 1.命题“ ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 ”的否定是_____________________________. 2.已知复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则复数 z 的虚部为______________.
2 3 3. x ? x ”是“ x ? 1 ”的__________________条件. “

1 2 5.函数 f ( x) ? 1 ? 2 log4 ( x ? 1) 的定义域为_______________.
0.7 6

4.已知 f ( x ? 1) ? 2 x ? 3 ,且 f (m) ? 6 ,则实数 m 等于______________.

6.已知三个数 a ? 6 , b ? 0.7 , c ? log0.7 6 ,则 a, b, c 从小到大的顺序为___________. 7.函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 1 的值域为___________________. 8.已知定义在 R 上的奇函数 y ? f (x) 在 (0,??) 上单调递增,且 f (1) ? 0 ,则不等式

f (2 x ? 1) ? 0 的解集为______________________.
9.已知复数 z 满足 z ? 2 ? 2i ? 1 ,则 z ? 2 ? 2i 的最大值是_______________. 10.对于函数 f (x) ,在使 f (x) ≥M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函 数 f (x) 的“下确界” ,则函数 f ( x) ?

x2 ? 1 的下确界为_______________. ( x ? 1) 2

11.若函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 2a ? 1( x ? R) 有四个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 _______________. 12. 函数 f ( x ) 的定义域为 A , x1、x2 ? A 且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 时总有 x1 ? x2 , 若 则称 f ( x ) 为 单函数.例如,函数 f ( x) ? 2 x ? 1( x ? R) 是单函数.下列命题: ① 若函数 f ( x ) 是 f ( x) ? x2 ( x ? R) ,则 f ( x ) 一定是单函数; ② f ( x ) 为单函数, x1、x2 ? A 且 x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; 若 ③ 若定义在 R 上的函数 f ( x ) 在某区间上具有单调性,则 f ( x ) 一定是单函数; ④ 若函数 f ( x ) 是周期函数,则 f ( x ) 一定不是单函数; ⑤若函数 f ( x ) 是奇函数,则 f ( x ) 一定是单函数. 其中的真命题的序号是_______________. 13.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ( x) ? ? _______________. 14. 已知 f ( x ) ? 4 ?

?log2 (1 ? x), x ? 0 ) ,则 f (2013 的值为 ? f ( x ? 1) ? f ( x ? 2), x ? 0

1 1 , 若存在 [a, b] ? ( ,?? ) , 使得 {y y ? f ( x), x ?[a, b]} ? [ma, mb] , x 3


则实数 m 的取值范围是

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 已 知 集 合 A ? {x y ?

x 2 ? 7 x ? 18} , 集 合 B ? {x y ? ln(4 ? 3x ? x2 )} , 集 合

C ? {x m ? 2 ? x ? 2m ? 3} .
(Ⅰ)设全集 U ? R ,求 CU A ? B ; (Ⅱ)若 A ? C ? C ,求实数 m 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax 2 ? x ?

任意 x ? R 恒成立. (Ⅰ)如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围.

1 a ) 的定义域为 R;命题 q:不等式 3x ? 9 x ? a 对 16

17. (本题满分 14 分)

? 2x ? b 已知定义域为 [?2,2] 的函数 f ( x) ? x ?1 是奇函数. 2 ?a (Ⅰ)求实数 a, b 的值; (Ⅱ)解关于 m 的不等式 f (m) ? f (m ? 1) ? f (0) .

18. (本题满分 16 分)

为了提高产品的年产量,某企业拟在 2013 年进行技术改革.经调查测算,产品当年的 产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元( m ? 0 )满足 x ? 3 ?

k ( k 为常数) .如果不 m ?1

搞技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2013 年生产该产品的固定收入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均能 销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定 投入和再投入两部分资金) . (Ⅰ)试确定的 k 值,并将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为技术改革费用 m 万元的函数 (利润=销售金额―生产成本―技术改革费用) ; (Ⅱ)该企业 2013 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

19. (本题满分 16 分)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0 且 a, b 为常数 ) 上关于原 a 2 b2 点对称的两点, P 是椭圆上的任意一点, 点 若直线 PA 和 PB 的斜率都存在, 并分别记为 k PA ,
已知椭圆具有性质: A, B 是椭圆 C : 若

k PB ,那么 k PA 与 k PB 之积是与点 P 位置无关的定值 ?
试对双曲线

b2 . a2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0 且 a, b 为常数 ) 写出类似的性质,并加以证明. a2 b2

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2 , x ? R . (Ⅰ)解方程: f (2 x) ? f ( x ? 1) ? 8 ;
x

(Ⅱ)设 a ? R ,求函数 g ( x) ? f ( x) ? a ? 4 x 在区间 ?0,1? 上的最大值 M (a) 的表达式;

(Ⅲ)若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) , f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x3 ? ,求

x3 的最大值.

参考答案

1 ;5. (2,3] ; 4 1 1 6. c ? a ? b ;7. [1,??) ;8. (0, ) ? (1,?? ) ;9. 5 ;10. ; 2 2 1 11. ? 1 ? a ? ? ;12.②;13. 0 ;14. (3,4) ; ④ 2
1. ?x ? 0 , x ? 3x ? 2 ? 0 ;2. ? 1 ;3.必要不充分;4. ?
2

15. (本题满分 14 分) 已 知 集 合 A ? {x y ?

x 2 ? 7 x ? 18} , 集 合 B ? {x y ? ln(4 ? 3x ? x2 )} , 集 合

C ? {x m ? 2 ? x ? 2m ? 3} .
(Ⅰ )设全集 U ? R ,求 CU A ? B ; 解: ) A ? (??,?2] ? [9,??) , (Ⅰ (Ⅱ)若 A ? C ? C ,求实数 m 的取值范围.

B ? (?4,1) ,

CU A ? (?2,9) , CU A ? B ? (?2,1) .
A C (Ⅱ)∵ ? C ? C ,∴ ? A ,
当 C ? ? 时, m ? 2 ? 2m ? 3 ? m ? 5 , 当 C ? ? 时, ?

?m ? 2 ? 2m ? 3 ?m ? 2 ? 2m ? 3 或? ,解得: m ? 7 , ?2m ? 3 ? ?2 ?m ? 2 ? 9

综上:实数 m 的取值范围是 m ? 5 或 m ? 7 . 16. (本题满分 14 分) 设命题 p:函数 f ( x) ? lg(ax 2 ? x ?

1 a ) 的定义域为 R;命题 q:不等式 3x ? 9 x ? a 对 16

任意 x ? R 恒成立. (Ⅰ )如果 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )如果命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 解: )由题意: ax ? x ? (Ⅰ
2

1 a ? 0 对任意 x ? R 恒成立, 16

当 a ? 0 时,不符题意,舍去,

?a ? 0 ? 当 a ? 0 时, ? ? a ? 2, 1 ? ? 1 ? 4a ? a ? 0 ? 16 ?
所以实数 a 的取值范围是 a ? 2 .
x (Ⅱ)设 t ? 3 (t ? 0) , g (t ) ? ?t ? t ? ?(t ? ) ?
2 2

1 2

1 , 4

g (t ) max ?

1 1 ,当 q 为真命题时,有 a ? , 4 4

∵ 命题“p 或 q”为真命题且“p 且 q”为假命题,∴p 与 q 一个为真,一个为假,

?a ? 2 ? 当 p 真 q 假,则 ? 1 ,无解, ?a ? 4 ? ?a ? 2 1 ? 当 p 假 q 真,则 ? 1 ? ? a ? 2, 4 ?a ? 4 ?
综上,实数 a 的取值范围是 17. (本题满分 14 分) 已知定义域为 [?2,2] 的函数 f ( x) ? (Ⅰ )求实数 a, b 的值;

1 ?a?2. 4

? 2x ? b 是奇函数. 2 x ?1 ? a

(Ⅱ )解关于 m 的不等式 f (m) ? f (m ? 1) ? f (0) .

解: )由 f ( x) ? f (? x) ? 0 得: (2b ? a) ? (2 x )2 ? (2ab ? 4) ? 2x ? (2b ? a) ? 0 , (Ⅰ 所以 ?

?2b ? a ? 0 , ?2ab ? 4 ? 0 ?a ? 2 ?a ? ?2 或? (舍去) , ?b ? 1 ?b ? ?1

解得: ?

因此 ?

?a ? 2 . ?b ? 1
? 2x ?1 1 2 ? (?1 ? x ?1 ) , x ?1 2 ?2 2 2

(Ⅱ)∵f ( x) ?

∴ 函数 f (x) 在 [?2,2] 上单调递减, 由 f (m) ? f (m ? 1) ? f (0) 得: f (m) ? f (1 ? m) ,

?? 2 ? m ? 2 ? 所以 ?? 2 ? m ? 1 ? 2 , ?m ? 1 ? m ?
解得: ? 1 ? m ?

1 , 2

所以原不等式的解集为 [?1, ) . 18. (本题满分 16 分) 为了提高产品的年产量,某企业拟在 2013 年进行技术改革.经调查测算,产品当年的 产量 x 万件与投入技术改革费用 m 万元( m ? 0 )满足 x ? 3 ?

1 2

k ( k 为常数) .如果不 m ?1

搞技术改革,则该产品当年的产量只能是 1 万件.已知 2013 年生产该产品的固定收入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元.由于市场行情较好,厂家生产的产品均能 销售出去.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的 1.5 倍(生产成本包括固定 投入和再投入两部分资金) . (Ⅰ )试确定的 k 值,并将 2013 年该产品的利润 y 万元表示为技术改革费用 m 万元的函数 (利润=销售金额―生产成本―技术改革费用) ; (Ⅱ)该企业 2013 年的技术改革费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解: )由题意知,当 m ? 0 时, x ? 1 ,所以 k ? 2 , (Ⅰ

8 ? 16 x ? (8 ? 16 x) ? m ? 4 ? 8 x ? m , x 16 ? 28 ? m ? (m ? 0) . m ?1 16 16 m y ? 29 ? [( m ? 1) ? ] ? 29 ? 2 16 ? 21 , (Ⅱ)∵ ? 1 ? 1 ,∴ ? 28 ? m ? m ?1 m ?1 16 当且仅当 m ? 1 ? ,即 m ? 3 时,上式取等号, m ?1
所以 y ? 1.5 x ? 所以,该企业 2013 年的技术改革费用投入 3 万元时,厂家的利润最大. 19. (本题满分 16 分) 已知椭圆具有性质: A, B 是椭圆 C : 若

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0 且 a, b 为常数 ) 上关于原 a 2 b2

点对称的两点, P 是椭圆上的任意一点, 点 若直线 PA 和 PB 的斜率都存在, 并分别记为 k PA ,

k PB ,那么 k PA 与 k PB 之积是与点 P 位置无关的定值 ?

b2 . a2

试对双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0 且 a, b 为常数 ) 写出类似的性质,并加以证明. a2 b2 x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0 且 a, b 为常数 ) 上关于 a2 b2

解:双曲线类似的性质为:若 A, B 是双曲线

原点对称的两点,点 P 是双曲线上的任意一点,若直线 PA 和 PB 的斜率都存在,并分别记 为 k PA , k PB ,那么 k PA 与 k PB 之积是与点 P 位置无关的定值 证明:设 P( x0 , y0 ) , A( x1 , y1 ) ,则 B(? x1 ,? y1 ) ,

b2 . a2



2 2 x0 y0 x2 y2 ? 2 ? 1 ①, 12 ? 1 ? 1 ②, a2 b a b2

2 2 2 2 两式相减得: b2 ( x0 ? x1 ) ? a2 ( y0 ? y1 ) ? 0 ,
2 y0 ? y1 y0 ? y1 y0 ? y12 b 2 ? ? ? 2 ? 是与点 P 位置无关的定值. x0 ? x1 x0 ? x1 x0 ? x12 a 2

所以 k PA ? k PB

20. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? 2x , x ? R . (Ⅰ )解方程: f (2 x) ? f ( x ? 1) ? 8 ; (Ⅱ )设 a ? R ,求函数 g ( x) ? f ( x) ? a ? 4 x 在区间 ?0,1? 上的最大值 M (a) 的表达式; (Ⅲ )若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x2 ) , f ( x1 ) ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? f ? x1 ? f ? x2 ? f ? x3 ? ,求

x3 的最大值.
解: ) (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? 8 ? 0 , (Ⅰ

2 x ? 4 或 2 x ? ?2 (舍去) ,
所以 x ? 2 . (Ⅱ g ( x) ? 2 ? a ? 4 , x ? [0,1] , )
x x

令 t ? 2 ,则 t ?[1,2] ,
x

① a ? 0 时, M (a) ? 2 , 当
2 ② a ? 0 时, h(t ) ? at ? t ? a (t ? 当

1 2 1 ) ? , 2a 4a

若 a ? 0 ,则 M (a) ? h(2) ? 4a ? 2 ,

1 1 ? 1 ,即 a ? ? 时, M (a) ? h(1) ? a ? 1 , 2a 2 1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? 0 时, M (a) ? h(2) ? 4a ? 2 , 当? 2a 4 1 1 1 1 1 ? 2 ,即 ? ? a ? ? 时, M (a) ? h(? ) ? ? 当1 ? ? , 2a 2 4 2a 4a
若 a ? 0 ,当 0 ? ?

1 ? ?4a ? 2, a ? ? 4 ? 1 ? 综上, M ( a ) ? ?a ? 1, a ? ? . 2 ? 1 1 ? 1 ?? 4 a , ? 2 ? a ? ? 4 ?
?2 x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ? x2 ? ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 ? 2 x1 ? x2 ? 2 x3 , x3 x1 ? x2 ? x3 x1 x2 ?2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

(Ⅲ )由题意知: ? 所以 2
x3

?

2 x1 ? x2 t ? , x1 ? x2 2 ?1 t ?1

? 2x1 ? 2x2 ? 2 2x1 ? x2 ? 2 t ,所以 t ? 4 , 4 t 1 x x 由2 3 ? 知 2 的最大值是 ,又 y ? 2 x 单调递增, ? 3 t ?1 1 ? 1 t 4 所以 x3 ? log 2 ? 2 ? log 2 3 . 3
其中 t ? 2 1
3

x ? x2

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