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导数基础练习题[1] (1)


导数基础练习题 1 若曲线 y ? x 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A ) A. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 3 2 2 曲线 y=x -3x +1 在点(1,-1)处的切线方程为 B A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3 D.y=4x-5
4

3 函数 y ? ( x ? 1) 2 ( x ? 1) 在 x ? 1 处的导数等于( D A.1
2

) D.4
/

B.2

C.3

4 若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f (x)的图象是( A y y y y



o

x

o B

x

o C

x

o D

x

A

5 曲线 y ? x3 ? 2x ? 4 在点 (1 , 3) 处的切线的倾斜角为( A.30° B.45° C.60° D.120°

B )

6 设曲线 y ? ax2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( A ) A.1 B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1

7 已知曲线 y ? A.3 8 曲线 y ?

1 x2 ? 3lnx的一条切线的斜率为 ,则切点的横坐标为( A ) 2 4
B. 2 C. 1 B (B ) D. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. 1 2

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0 9.设曲线 y ? x 的值为(B) (A)
n?1

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

(1, 1) 处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 xn ,则 x1 ? x2 ??? xn (n ? N * ) 在点

1 n

(B)

1 n ?1

(C)

n n ?1

(D) 1

10 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时, f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g?? 3? ? 0 ,.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是(D ) A (?3,0) ? (3,??) D. (??,?3) ? (0,3) B. (?3,0) ? (0,3) C. (??,?3) ? (3,??)

12 已知函数 y ? xf ?( x) 的图像如右图所示(其中 f ?( x) 是函数 f ( x)的导函数) ,下面四个图 象中 y ? f ( x) 的图象大致是 ( C )
y
2 1 -2 -1 -2
o

y
2 1
1 23 x
o

y
4

y
4 2

y y=xf'(x)
1 -1
o

-1 -2

1 2 x
-2

2
o

1

x

1

x

-2

o

2

x

-1

13 设函数 f ? x ? ? x3 ? bx2 ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数,则函数 f(x)的解 析式为_____ f ? x ? ? x3 ? 3x2 ( x ? R) 14. 函 数 y = f (x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 时 , 有 极 值 10, 那 么 a , b 的 值 为 .?

?a ? 4 ?b ? ?11

15 .已知函数 f ( x) ? x3 ?12 x ? 8 在区间 [? 3, 3]上的最大值与最小值分别为 M , m ,则

M ? m ? ____.32
16.已知函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? 6 x( x ? R) ,若它的导函数 y ? f ?( x)在[2,?? )上是 3 2

单调递增函数,则实数 a 的取值范围是_____ (??,4] 17.确定下列函数的单调区间 3 2 3 (1)y=x -9x +24x (2)y=x-x

18. (满分 10 分) 设函数 f ( x ) ? x ?
3

1 2 x ? 2x ? 5, 若对于任意 x ? [?1,2] 都有 f (x) ? m 成立 , 求实数 m 2

的取值范围.
2 解: f ?(x) ? 3x ? x ? 2, 令 f ?( x) ? 0, 得 x ? ?

2 或 x ? 1. 3

2 2 或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0, ∴ y ? f ( x ) 在 ( ?? , ? ) 和 (1, ? ?) 上为增函数, 3 3 2 2 在 ( ? , 1) 上为减函数, ∴ f ( x ) 在 x ? ? 处有极大值, 在 x ? 1 处有极小值. 3 3 2 22 极大值为 f ( ? ) ? 5 , 而 f (2) ? 7 , ∴ f ( x ) 在 [?1, 2] 上的最大值为 7. 3 27
∵当 x ? ? 若对于任意 x ? [?1, 2] 都有 f (x) ? m 成立, 得 m 的范围 m ? 7 .
3 2 19 已 知 x ? 1 是 函 数 f (x) ? mx ? 3(m ? 1)x ? nx ? 1 的 一 个 极 值 点 , 其 中

m, n ? R , m ? 0,
(1) 求 m 与 n 的关系式; (2) 求 f ( x ) 的单调区间; (3) 当 x ? [?1,1] 时, 函数 y ? f ( x ) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m, 求 m 的取 值范围. 解:(1) f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1)x ? n 因为 x ? 1 是函数 f ( x ) 的一个极值点, 所以

f ?(1) ? 0 , 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6
(2) 由(1)知, f ?(x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1)x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? 当 m ? 0 时, 有 1 ? 1 ?

2 )] m

2 , 当 x 变化时, f ( x ) 与 f ?( x ) 的变化如下表: m

故有上表知 , 当 m ? 0 时 , f ( x ) 在 (?? ,1 ?

(1,??)
上单调递减. (3)

2 2 ) 单调递减 , 在 (1 ? ,1) 单调递增 , 在 m m

20.(满分 12 分)设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 2 分别在 x 1 、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平 面上点 A、B 的坐标分别为 ( x1 , f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 , 点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对称点.求(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ; (Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程 解: (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所以,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故 x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4 所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y) ,PA? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m ? 1 ? n ? 4n ? 4
2 2

1 y?n 1 y?m ?x?n ? k PQ ? ? , ?? , 所以 又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上, 所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ? 2 2 消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9


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