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高中数学人教A版选修2-2第三章 数系的扩充和复数的引入 章末质量评估 (1)6

第三章 数系的扩充和复数的引入 章末质量评估 (时间:100 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选 项中只有一项是正确的) 1.a=0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( A.充分但不必要条件 C.充要条件 解析 答案 ). B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的充要条件是 a=0 且 b≠0. B ). ?1-i?2 ? =a+bi(a,b∈R,i 是虚数单位),则 a2-b2 的值为( 2.复数? 2 ? ? A.0 B.1 C.2 D.-1 解析 ?1-i?2 1-2i+i2 ? ?= =-i=a+bi. 2 ? 2? 所以 a=0,b=-1,所以 a2-b2=0-1=-1. 答案 D ). 3.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1·z2 是实数,则实数 t 等于( A. 3 4 4 3 4 B. 3 D.- 3 4 C.- 解析 z1·z2 =(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为 z1·z2 是实数,所以 4t-3 3 =0,所以 t= .因此选 A. 4 答案 A 4.如图在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别是 1+2i,-2+i,0, 那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为( ). A.3+i C.1-3i B.3-i D.-1+3i → 解析 答案 D → → OC=OA+OB=1+2i-2+i=-1+3i,所以 C 对应的复数为-1+3i. 5.设 z∈C,若 z2 为纯虚数,则 z 在复平面上的对应点落在( A.实轴上 C.直线 y=± x(x≠0)上 解析 设 z=x+yi(x,y∈R), B.虚轴上 D.以上都不对 ). 则 z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi. 2 2 ?x -y =0, ∵z 为纯虚数,∴? ?xy≠0. 2 ∴y=± x(x≠0). 答案 C 1 6.已知复数 z=x+yi(x,y∈R,x≥ ),满足|z-1|=x,那么 z 在复平面上对应 2 的点(x,y)的轨迹是( A.圆 C.双曲线 解析 ). B.椭圆 D.抛物线 1 ∵z=x+yi(x,y∈R,x≥ ),满足|z-1|=x, 2 ∴(x-1)2+y2=x2,故 y2=2x-1. 答案 D 1-i 时,z100+z50+1 的值等于( 2 B.-1 ). 7.当 z=- A.1 C.i 解析 ?1-i?2 -2i ?= ∵z2=? =-i. 2 ? 2? D.-i ∴z100+z50+1=(-i)50+(-i)25+1=i50-i25+1=-i. 答案 D π 8.复数 z 在复平面内对应的点为 A,将点 A 绕坐标原点,按逆时针方向旋转 , 2 再向左平移一个单位,向下平移一个单位,得到 B 点,此时点 B 与点 A 恰 好关于坐标原点对称,则复数 z 为( A.-1 C.i 解析 B. 1 D.-i 设 z=a+bi,B 点对应的复数为 z1,则 z1=(a+bi)i-1-i=(-b-1) ). +(a-1)i, ∵点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称, ?-b-1=-a, ∴? ?a-1=-b, ?a=1, ∴? ?b=0, 答案 B ). ∴z=1. 9.如果复数 z 满足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+1+i|的最小值是( A.1 C.2 解析 B. 2 D. 5 |z+i|+|z-i|=2,则点 Z 在以(0,1)和(0,-1)为端点的线段上,|z+1 +i|表示点 Z 到(-1,-1)的距离.由图知最小值为 1. 答案 A ). 10.设 z1,z2 是复数,则下列结论中正确的是( 2 2 2 A.若 z2 1+z2>0,则 z1>-z2 B.|z1-z2|= ?z1+z2?2-4z1z2 2 C.z1 +z2 2=0?z1=z2=0 - 2 D.|z1 |=| z 1|2 解析 A 错,反例:z1=2+i,z2=2-i; B 错,反例:z1=2+i,z2=2-i; C 错,反例:z1=1,z2=i; D 正确,z1=a+bi, - 2 2 2 2 2 则|z2 1|=a +b ,| z 1| =a +b , - 2 故|z2 1|=| z 1| . 答案 D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把正确的答案填在题中 横线上) 1 11.在复平面内,已知复数 z=x- i 所对应的点都在单位圆内,则实数 x 的取 3 值范围是________. 解析 1? ? ∵z 对应的点 Z?x,-3?都在单位圆内, ? ? ? 1? x2+?-3?2<1. ? ? ∴|OZ|<1,即 1 8 2 2 2 2 ∴x2+ <1,∴x2< ,∴- <x< . 9 9 3 3 答案 - 2 2 2 2 <x< 3 3 1? ?= 3 2i? ?a b? ?z ?=ad-bc,则对复数 z=x+yi(x,y∈R)符合条件? 12.定义运算? ?c d ? ?z +2i 的复数 z 等于________. 解析 ?z 由定义运算,得? ?z 1? 3+2i ? = 2zi - z = 3 + 2i , 则 z = = -1+2i 2i? ?3+2i??-1-2i? 1 8 = - i. ?-1+2i??-1-2i? 5 5 答案 1 8 - i 5 5 13.设 x,y 为实数,且 ________. 解析 x y 5 + = ,则 x+y= 1-i 1-2i 1-3i x?1+i? y?1+2i? 5?1+3i? x y 5 1 + = ? + = ? 1-i 1-2i 1-3i ?1-i??1+i? ?1+2i??1-2i? ?1-3i??1+3i? 2 ?x=-1, 解得? ?y=5,

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