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高中数学必修4三角函数知识点总结归纳


高中数学必修 4 知识点总结
第一章 三角函数
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、象限角:角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落 在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、终边相等的角:与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ? 4、已知 ? 是第几象限角,确定

?

份,再从 x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 ? 原 ? 来是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域. n 例 4.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限 解.C B.第二象限

? n ? ? ? 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等 n
*

?
2

? ? cos

?
2

,则

? 角属于( 2



C.第三象限

D.第四象限

2 k? ?

?
2

? ? ? 2k? ? ? , (k ? Z ), k? ?

?
4

?

?
2

? k? ?

?
2

, (k ? Z ),

当 k ? 2n,(n ? Z ) 时, 而 cos

? ? 在第一象限;当 k ? 2n ? 1,(n ? Z ) 时, 在第三象限; 2 2
? 0 ,?

?
2

? ? cos

?
2

? cos

?
2

?
2

在第三象限;

5、1 弧度:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度.
-1-

6、 半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l , 则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ?

l . r

? 180 ? ,1 ? ? ? ? 57.3 . 180 ? ? ?

?

8、 若扇形的圆心角为 ? ??为弧度制? , 半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S ,
1 1 则弧长 l ? r ? ,周长 C ? 2r ? l ,面积 S ? lr ? ? r 2 . 2 2

9、设 ? 是一个任意大小的角,? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点
y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限 正切为正,第四象限余弦为正. 11、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? .

的距离是 r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y

17? 的正弦线和余弦线,则给出的以下 18 不等式: ① MP ? OM ? 0 ; ② OM ? 0 ?MP ; ③ OM ? MP ? 0 ; ④ MP ? 0 ? OM ,其中正确的是_____________________________。

例 7.设 MP 和 OM 分别是角

P T v O M A x

17? 17? ? MP ? 0, cos ? OM ? 0 18 18 12、同角三角函数的基本关系:
解.②

sin

平方关系: ?1? sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ; 商数关系: ? 2 ?
sin ? sin ? ? ? ? tan ? , ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. cos ? tan ? ? ?

13、三角函数的诱导公式:口诀:奇变偶不变,符号看象限.

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
? 5? sin ? ?
? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ? ? ?? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ? ?2 ?
-2-

?

? 6 ? sin ? ?

?

例 9.满足 sin x ?

3 的 x 的集合为_________________________________。 2

14、 先平移后伸缩: 函数 y ? sin x 的图象上所有点向左 (右) 平移 ? 个单位长度, 得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标 伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;

再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长 (缩短) 到原来的 ? 倍 (横 坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象. 先伸缩后平移:函数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的
1

?

倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上

所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函 ?

数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标 不变) ,得到函数 y ? ? sin ??x ? ? ? 的图象.

? 例 10. 将函数 y ? sin( x ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵坐标不变) , 3 ? 再将所得的图象向左平移 个单位,得到的图象对应的解析式是( C ) 3 1 1 ? 1 ? ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 2 2 2 6 6
函数 y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: (1)①振幅: ? ;②周期: ? ? ⑤初相: ? . (2)函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时, 取 得 最 大 值 为 ym
? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2
a x

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位: ? x ? ? ; ? 2?

, 则 ??

1 ? ym a ? x y 2

?m , i n

??

1 ? ymax ? ymin ? , 2

-3-

例 11.如图,某地一天从 6 时到 11 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b
(1) 求这段时间最大温差; (2) 写出这段曲线的函数解析式

解(1)20°; (2) y ? 10 sin( ? x - 5? ) ? 20
8 4

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质:
性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R

??1,1?
当 x ? 2 k? ?

??1,1?
? k ???
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

?
2

最 值

时, ymax ? 1 ; 当 x ? 2 k? ?

ymax ? 1 ;

?
2

? k ???

当 x ? 2k? ? ? ? k ??? 时,

既无最大值也无最小 值

时, ymin ? ?1. 周 期 性 奇 偶 性
2?

ymin ? ?1.
2?

?

奇函数

偶函数

奇函数

单 调 性

? ?? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?



?2k? ? ? , 2k? ?? k ???

上是增函数; 在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? ?? ? 在 ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是增函数;

? k ??? 上是增函数,
但在整个定义域上不 具有单调性。

? k ??? 上是减函数.
-4-

? 3? ? ? 在 ?2k? ? , 2k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.
对 对 称 对 性 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ???









称 轴 ? 对称轴 x ? k? ? k ??? x ? k? ? ? k ? ? ? 2

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

例 14.已知函数 y ? f ( x) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的 4 倍,横坐标扩大到原 来的 2 倍,然后把所得的图象沿 x 轴向左平移 相 同 , 则 已 知 函 数

? ,这样得到的曲线和 y ? 2 sin x 的图象 2
y ? f ( x)
的 解 析 式 为

____ y ?

1 ? sin( 2 x ? ) ___________________________. 2 2

第二章 平面向量 1.平面向量的知识点: (1) a ? b ? a b cos? , ?其中? ? [0, ? ]? (2) a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 , 其中a ? ( x1 , y1 ),b ? ( x2 , y2 ) (3) a在b方向上的投影: a cos? ? (4)两向量的夹角: cos? ?
2

a?b b

a?b ab

(5)向量的模: a ? a ? x 2 ? y 2 , 其中a ? ( x, y ) (6)
a // b ? a ? ? b(b ? 0) ? x1 y 2 ? x2 y1 a // b ? ?1 ? 2 ? ?2 ?1 (其中a ? ?1 e1 ? ?1 e2 , b ? ?2 e1 ? ? 2 e2 )

(7)向量三角不等式: | a |? | b | ? a ? b ?| a | ? | b |

第三章 三角恒等变换
-5-

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;⑵ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ; ⑶ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;⑷ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; ⑸ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) ;

⑹ tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? ? 1 ? tan ? tan ?

( tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ? ) .

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:

sin 2? ? 2sin ? cos ?



? 1 ? sin 2? ? sin 2 ? ? cos2 ? ? 2 sin ? cos? ? (sin? ? cos? ) 2

cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ?1 ? 1 ? 2sin 2 ?

?升幂公式 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?

2 2 cos 2 ? ? 1 1 ? cos 2 ? 2 , sin ? ? . ?降幂公式 cos 2 ? ? 2 2

,1 ? cos ? ? 2 sin 2

?

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

万能公式: α α 2 t an 1 ? t an2 2 ; cosα ? 2 sinα ? α α 1 ? t an2 1 ? t an2 2 2

-6-


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