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安徽省蚌埠市2014-2015学年高一下学期期末数学试卷


安徽省蚌埠市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.(不 用答题卡的,填在第 3 页相应的答题栏内) 1.以下四个数是数列{n(n+2)}的项的是 () A.98 B.99 C.100 D.101 2.在△ ABC 中,若 b=2asinB,则 A 为 () A. B. C. 或 D. 或

3.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=() A.12 B.14 C.16 4.在△ ABC 中,已知 a ﹣b ﹣c = A. B.
2 2 2

D.18

bc,则角 B+C 等于() C. D. 或

5.不等式(3﹣x) A.[3,+∞) D.[﹣1,3]

≤0 的解集为() B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)

C. {﹣1}∪[3,+∞)

6. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为() A.11 B.12 C.13 D.14 7.集合 A={4,5},B={3,4,5},从 A,B 中各任意取一个数,则这两个数之和等于 8 的 概率是() A. B. C. D.

8.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.7 B.15 C.25 D.35 9.若不等式(a﹣3)x +2(a﹣3)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 取值的集合为() A.(﹣∞,3) B.(﹣1,3) C.[﹣1,3] D.(﹣1,3] 10.已知第一象限的点 P(a,b)在一次函数 y=﹣ x+2 图象上运动,则 + 的最小值为()
2

A.

B.

C. 4

D.

11.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是()

A.2010

B.﹣1

C.

D.2

12.已知 an=( ) ,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状,

n

记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,13)=() A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案直接填在题中横线上. 13.北京地铁 2 号线到达时间相隔 5 分钟,某人在 2 号线等待时间超过 4 分钟的概率为 P1, 北京地铁 2 号公路到站时间相隔 8 分钟,某人在 2 路车等待时间超过 6 分钟的概率为 P2, 则 P1 与 P2 的大小关系为. 14.若关于 x 的方程 x +(a ﹣2)x+a﹣3=0 的一根比 2 小且另一根比 2 大,则 a 的取值范 围是. 15.在△ ABC 中,若 B= ,BC=5,AC=7,则△ ABC 的面积 S=.
2 2

16.数列{an}中,an=2n﹣1, (n≤4,n∈N) ,又 an+4=an,则 a2015=.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤. 17.已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以﹣ 为首项,q 为公差的等差数列,求{bn}的前 n 项和 Sn.

18.某中学 2015 届高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的 成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数 是 83. (1)求 x 和 y 的值; 2 (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.

19.经过长期的观测得到:在交通繁忙的时段内,蚌埠市解放路某路段汽车的车流量 y(千 辆/h)与汽车的平均速度 v(km/h)之间的函数关系为 y= (v>5) .

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量最大,最大车流量为多少?(精确 到 0.1 千辆/h) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/h,则汽车的平均速度应在什么范围内? 20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,已知(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc, 且 ? =﹣1.

(1)求角 A 的值; (2)若 b﹣c=1,求 a 的值. 21.某校高中三个年级共有学生 1800 名,各年级男生、女生的人数如表: 2014-2015 学年高一年级 2014-2015 学年高二年级 2015 届高三年级 男生 290 b 344 女生 260 c a 已知在高中学生中随机抽取一名同学时,抽到 2015 届高三年级女生的概率为 0.17. (1)求 a 的值;

(2)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则在 2014-2015 学年高二年级应抽取多少 名学生? (3)已知 b≥260,c≥200,求 2014-2015 学年高二年级男生比女生多的概率. 22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1= ,an+1= an.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; * * (Ⅱ)设 bn=n(2﹣Sn) ,n∈N ,若集合 M={n|bn≥λ,n∈N }恰有 5 个元素,求实数 λ 的取值 范围.

安徽省蚌埠市 2014-2015 学年高一下学期期末数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的 A、B、C、D 的四 个选项中,只有一个选项是符合题目要求的,请将正确答案的字母代号涂到答题卡上.(不 用答题卡的,填在第 3 页相应的答题栏内) 1.以下四个数是数列{n(n+2)}的项的是 () A.98 B.99 C.100 D.101 考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据数列的通项公式解方程即可. 解答: 解:当 n=8 时,8×10=80, 当 n=9 时,9×11=99, 当 n=10 时,10×12=120, 故选:B 点评: 本题主要考查数列的简单表示,比较基础. 2.在△ ABC 中,若 b=2asinB,则 A 为 () A. B. C. 或 D. 或

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用正弦定理,可把 b=2asinB 变形为 sinB=2sinAsinB,从而解出 sinA,进而求出 A 解答: 解:将 a=2RsinA,b=2RsinB 代入 b=2asinB 中, 得 2RsinB=2?2RsinAsinB, 解得 sinA= , ∵0°<A<180°,

∴A=30°或 150°. 故选:D. 点评: 本题利用了正弦定理的变形 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,比较简单,属于基 本知识的考查. 3.在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=() A.12 B.14 C.16

D.18

考点: 等差数列的通项公式. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的等差数列的两项做出等差数列的公差,写出等差数列的第十项的表示 式,用第三项加上七倍的公差,代入数值,求出结果. 解答: 解:∵等差数列{an}中,a2=2,a3=4, ∴d=a3﹣a2=4﹣2=2, ∴a10=a3+7d=4+14=18 故选 D. 点评: 本题考查等差数列的公差求法, 考查等差数列的通项公式, 这是一个等差数列基本 量的运算,是一个数列中最常出现的基础题. 4.在△ ABC 中,已知 a ﹣b ﹣c = A. B.
2 2 2

bc,则角 B+C 等于() C. D. 或

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由条件利用余弦定理球得 cosA 的值,可得 A 的值,从而求得 B+C=π﹣A 的值. 解答: 解:在△ ABC 中,由 a ﹣b ﹣c = ﹣ ∴A= , ,∴B+C=π﹣A= ,
2 2 2

bc,利用余弦定理可得 cosA=

=

故选:A. 点评: 本题主要考查余弦定理、诱导公式,属于基础题. 5.不等式(3﹣x) A.[3,+∞) D.[﹣1,3] ≤0 的解集为() B.(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞)

C. {﹣1}∪[3,+∞)

考点: 其他不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 根据负数没有平方根得到 x+1 大于等于 0,求出 x 的范围,同时得到大于等于 0, 根据两数相乘同号得正的取符号法则得到 3﹣x 小于等于 0,求出此时 x 的范围,找出两解 集的交集,再加上特殊情况 x=﹣1,即可得到原不等式的解集. 解答: 解:∵x+1≥0,即 x≥﹣1, ∴ ≥0, ∴3﹣x≤0,即 x≥3, 则原不等式的解集为{﹣1}∪[3,+∞) . 故选:C. 点评: 此题考查了其他不等式的解法,利用了转化的思想,是常考中常考的基本题型. 6. 某单位有 840 名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42 人做问卷调查, 将 840 人按 1, 2, …, 840 随机编号,则抽取的 42 人中,编号落入区间[481,720]的人数为() A.11 B.12 C.13 D.14 考点: 系统抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,那么从 20 人抽取 1 人.从而得出从编 号 481~720 共 240 人中抽取的人数即可. 解答: 解:使用系统抽样方法,从 840 人中抽取 42 人,即从 20 人抽取 1 人. 所以从编号 1~480 的人中,恰好抽取 =12 人. 故:B. 点评: 本题主要考查系统抽样的定义和方法,属于基础题. 7.集合 A={4,5},B={3,4,5},从 A,B 中各任意取一个数,则这两个数之和等于 8 的 概率是() A. B. C. D. =24 人,接着从编号 481~720 共 240 人中抽取

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 列举可得总的基本事件共 6 个, 其中满足两个数之和等于 8 的有 2 个, 由概率公式 可得. 解答: 解:∵集合 A={4,5},B={3,4,5}, ∴从 A,B 中各任意取一个数有(4,3) , (4,4) , (4,5) , (5,3) , (5,4) , (5,5)共 6 个基本事件, 其中两个数之和等于 8 的有(4,4) , (5,3)共 2 个基本事件, ∴所求概率 P= = 故选:C 点评: 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,属基础题.

8.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为 7 人,则样本容量为() A.7 B.15 C.25 D.35 考点: 分层抽样方法. 分析: 先计算青年职工所占的比例,再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可. 解答: 解:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3,所以样本容量为 .

故选 B 点评: 本题考查基本的分层抽样,属基本题. 9.若不等式(a﹣3)x +2(a﹣3)x﹣4<0 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 取值的集合为() A.(﹣∞,3) B.(﹣1,3) C.[﹣1,3] D.(﹣1,3] 考点: 其他不等式的解法;函数恒成立问题. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 当 a﹣3=0,不等式即为﹣4<0,对一切 x∈R 恒成立,当 a≠3 时 利用二次函数的性 质列出 a 满足的条件并计算,最后两部分的合并即为所求范围. 解答: 解:当 a﹣3=0,即 a=2 时,不等式即为﹣4<0,对一切 x∈R 恒成立 ① 当 a≠3 时,则须 ,
2

解得 即∴﹣1<a<3 ② 由①②得实数 a 的取值范围是(﹣1,3], 故选:D. 点评: 本题考查不等式恒成立的参数取值范围, 考查二次函数的性质. 注意对二次项系数 是否为 0 进行讨论. 10.已知第一象限的点 P(a,b)在一次函数 y=﹣ x+2 图象上运动,则 + 的最小值为() A. B. C. 4 D.

考点: 基本不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 第一象限的点 P(a,b)在一次函数 y=﹣ x+2 图象上运动,可得 3b+2a=6(a,b >0) .再利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵第一象限的点 P(a,b)在一次函数 y=﹣ x+2 图象上运动, ∴b=﹣ +2,化为 3b+2a=6(a,b>0) .

则 + = 当 b=a= 时取等号. ∴ + 的最小值为 .

=



=

,当且仅

故选:D. 点评: 本题考查了点与直线的位置关系、 “乘 1 法”与基本不等式的性质, 考查了计算能力, 属于中档题. 11.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是()

A.2010

B.﹣1

C.

D.2

考点: 设计程序框图解决实际问题. 专题: 操作型. 分析: 分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算 S 的值,并输出. 解答: 解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 是否继续循环 S k 循环前/2 0 第一圈 是﹣1 1 第二圈 第三圈 第四圈 … 第 3n 圈 第 3n+1 圈 是 2 是 2 是﹣1 4 3

是 是﹣1/

2/

第 3n+2 圈

是 /

… 第 2009 圈 是 2009

第 2010 圈 是 2 2010 第 2011 圈 否 故最后输出值为 2 故选 D 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)?②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 12.已知 an=( ) ,把数列{an}的各项排列成如下的三角形状,
n

记 A(m,n)表示第 m 行的第 n 个数,则 A(10,13)=() A. B. C. D.

考点: 归纳推理. 专题: 综合题;2015 届高考数学专题. 分析: 本题是数列题,已知数列的通项公式,根据条件给出的几何图形中的规律,求出某 个数在数列中的项数,从而求出该项. 解答: 解:将三角形状中各个数从上到下,从左到右依次展开,排成一列,得到 a1,a2, a3,a4… 设第 m 行的第 n 个数 A(m,n)是数列{an}中的第 k 项, 由于第一行有 1 个数,第二行有 3 个数,第三行有 5 个数,…,第(m﹣1)行有(2m﹣3) 个数. 其中 1,3,5,…(2m﹣3) ,成等差数列,首项为 1,公差为 2. 2 则:k=1+3+5+…+(2m﹣3)+n=(m﹣1) +n. 2 A(10,13)中,m=10,n=13,k=1+3+5+…+17+13=9 +13=94 由通项公式 an=( ) ,得:A(10,13)=( ) . 故选:C. 点评: 本题考查了归纳推理和数列通项公式的应用, 重点是用数列的通项公式求数列的某 一项,难点是项数的研究,要善于发现项数的规律.
n 94

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请将答案直接填在题中横线上. 13.北京地铁 2 号线到达时间相隔 5 分钟,某人在 2 号线等待时间超过 4 分钟的概率为 P1, 北京地铁 2 号公路到站时间相隔 8 分钟,某人在 2 路车等待时间超过 6 分钟的概率为 P2, 则 P1 与 P2 的大小关系为 p1<p2. 考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,得到某人在 2 号线等待时间超过 4 分钟的概率为 P1 为 ,某人在 2 路车 等待时间超过 6 分钟的概率为 P2 为 ,得到两个概率的大小.

解答: 解:由题意北京地铁 2 号线到达时间相隔 5 分钟,某人在 2 号线等待时间超过 4 分钟的概率为 P1= ,北京地铁 2 号公路到站时间相隔 8 分钟,某人在 2 路车等待时间超过 6 分钟的概率为 P2= ,所以 p1<p2; 故答案为:p1<p2 点评: 本题考查了几何概型,几何概型的概率的值是通过事件集合的长度、面积、或者体 积的比值得到. 14.若关于 x 的方程 x +(a ﹣2)x+a﹣3=0 的一根比 2 小且另一根比 2 大,则 a 的取值范 围是(﹣ ,1) .
2 2

考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设 f(x)=x +(a ﹣2)x+a﹣3,由题意可得 f(2)<0,由此求得 a 的范围. 2 2 2 2 解答: 解:设 f(x)=x +(a ﹣2)x+a﹣3,则由关于 x 的方程 x +(a ﹣2)x+a﹣3=0 的 一根比 2 小且另一根比 2 大, 可得 f(2)=2a +a﹣3<0,求得﹣ <a<1, 故答案为: (﹣ ,1) . 点评: 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系, 二次函数的性质应用, 属于基 础题. 15.在△ ABC 中,若 B= ,BC=5,AC=7,则△ ABC 的面积 S=
2 2 2



考点: 三角形的面积公式. 专题: 计算题. 分析: 利用余弦定理列出关系式,将 BC=5,AC=7 及 cosB 的值代入求出 AB 的值,再由 sinB 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 面积.

解答: 解:∵在△ ABC 中,B=
2 2 2

,BC=5,AC=7,
2 2 2

∴AC =BC +AB ﹣2BC?ABcosb,即 7 =5 +AB ﹣2×5AB×cos =25+AB +5AB, 整理,得 AB +5AB﹣24=0. 解得 AB=3(舍去负值) . 则 S= BC?ABsin 故答案是: . = ×5×3× = .
2 2

=25+AB ﹣10AB×(﹣ )

2

点评: 此题考查了正弦定理,三角形面积公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦 定理是解本题的关键. 16.数列{an}中,an=2n﹣1, (n≤4,n∈N) ,又 an+4=an,则 a2015=5. 考点: 数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 利用数列的周期性,结合通项公式求解即可. 解答: 解:数列{an}中,an=2n﹣1, (n≤4,n∈N) ,又 an+4=an,则 a2015=a2012+3=a3=6﹣1=5. 故答案为:5. 点评: 本题考查数列的应用, 数列的递推关系式以及数列的周期性的应用, 考查计算能力. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤. 17.已知{an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列. (1)求 q 的值; (2)设{bn}是以﹣ 为首项,q 为公差的等差数列,求{bn}的前 n 项和 Sn.

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)利用 an}是公比为 q(q≠1)的等比数列,且 a1,a3,a2 成等差数列,可得 2 =a1+a1q,即可求出 q;

(2)利用等差数列的求和公式,即可求{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)由题知:2 ∴q=﹣ 或 q=1(舍去) ,∴q=﹣ (2)∵b1= ,d=﹣ ,∴bn=﹣ , =a1+a1q,∴2q =1+q,
2

∴Sn=

=﹣



点评: 本题考查数列的求和,考查学生的计算能力,属于基础题. 18.某中学 2015 届高三年级从甲、乙两个班级各选出 7 名学生参加数学竞赛,他们取得的 成绩(满分 100 分)的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数 是 83. (1)求 x 和 y 的值; (2)计算甲班 7 位学生成绩的方差 s ; (3)从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,求甲班至少有一名学生的概率.
2

考点: 古典概型及其概率计算公式;茎叶图;极差、方差与标准差. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用平均数求出 x 的值,中位数求出 y 的值,解答即可. (2)根据所给的茎叶图,得出甲班 7 位学生成绩,做出这 7 次成绩的平均数,把 7 次成绩 和平均数代入方差的计算公式,求出这组数据的方差. (3) 设甲班至少有一名学生为事件 A, 其对立事件为从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取 两名学生,甲班没有一名学生;先计算出从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生的 所有抽取方法总数,和没有甲班一名学生的方法数目,先求出从成绩在 90 分以上的学生中 随机抽取两名学生,甲班没有一名学生的概率,进而结合对立事件的概率性质求得答案. 解答: 解: (1)∵甲班学生的平均分是 85, ∴ ,

∴x=5, ∵乙班学生成绩的中位数是 83,∴y=3; (2)甲班 7 位学生成绩的方差为 s=
2

=40;

(3)甲班成绩在 90 分以上的学生有两名,分别记为 A,B, 乙班成绩在 90 分以上的学生有三名,分别记为 C,D,E, 从这五名学生任意抽取两名学生共有 10 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (C,D) , (C,E) , (D,E) 其中甲班至少有一名学生共有 7 种情况: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (B,C) , (B,D) , (B,E) . 记“从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生, 甲班至少有一名学生”为事件 M,则 .

答:从成绩在 90 分以上的学生中随机抽取两名学生,甲校至少有一名学生的概率为



点评: 本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识,考查或然与必然的数 学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识. 19.经过长期的观测得到:在交通繁忙的时段内,蚌埠市解放路某路段汽车的车流量 y(千 辆/h)与汽车的平均速度 v(km/h)之间的函数关系为 y= (v>5) .

(1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量最大,最大车流量为多少?(精确 到 0.1 千辆/h) (2)若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/h,则汽车的平均速度应在什么范围内? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;不等式的解法及应用. 分析: (1)令 v1=v﹣5,由于 y= = ,根据基本不等式性质求得

y 的最大值.根据等号成立的条件求得此时的平均速度. (2)依题意可知 >10,整理求得 v 的范围.

解答: 解: (1)令 v1=v﹣5,由于 y=

=

(v1>0) ,

且 v1+

≥2

,当且仅当 v1=

,即 v=35 时等号成立,

所以 y≤

≈10.8,即当汽车的平均速度为 v=35km/h 时,车流量最大 …

且最大车流量为 10.8 千辆/h. (2)由条件知 >10,解得 25<v<50

所以若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/h,则汽车的平均速度应在(25,50)范围内.… 点评: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用.要特别留意等号取得的条件. 20.在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对边长分别为 a,b,c,已知(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc, 且 ? =﹣1.

(1)求角 A 的值; (2)若 b﹣c=1,求 a 的值. 考点: 余弦定理.

专题: 解三角形. 分析: (1)将(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc 化简为 b +c ﹣a =bc,根据余弦定理的推论求出 cosA 的值,由内角的范围求出角 A; (2)根据向量的数量积运算化简 用余弦定理求出边 a 的值. 解答: 解: (1)因为(a+b+c) (b+c﹣a)=3bc,所以 b +c ﹣a =bc, 由余弦定理的推论得, 由 0<A<π,所以 (2)因为 ,
2 2 2 2 2 2

,求出 bc,再结合条件求出 b 和 c 的值,利

… ,所以 ,

解得 bc=2 ① 又 b﹣c=1 ②, 由①②解得 b=2,c=1, 由余弦定理得 解得 … ,

点评: 本题考查余弦定理以及推论,以及向量的数量积运算的应用,属于中档题. 21.某校高中三个年级共有学生 1800 名,各年级男生、女生的人数如表: 2014-2015 学年高一年级 2014-2015 学年高二年级 2015 届高三年级 男生 290 b 344 女生 260 c a 已知在高中学生中随机抽取一名同学时,抽到 2015 届高三年级女生的概率为 0.17. (1)求 a 的值; (2)现用分层抽样的方法在全校抽取 60 名学生,则在 2014-2015 学年高二年级应抽取多少 名学生? (3)已知 b≥260,c≥200,求 2014-2015 学年高二年级男生比女生多的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先根据抽到 2015 届高三年级女生的概率为 0.17,求出 2015 届高三女生的人 数,可求出 a 值, (2)再用全校的人数减去 2014-2015 学年高一和 2015 届高三的人数,得到 2014-2015 学年 高二的人数,全校要抽取 60 人,做出每个个体被抽到的概率,做出 2014-2015 学年高二被 抽到的人数. (3)设事件 A“2014-2015 学年高二年级男生比女生多”,b+c=600 则满足 b≥260,c≥200 的 (b,c) ,列举出基本事件空间包含的基本事件有共 141 个,事件 A 包含的基本事件数,根 据概率公式计算即可.

解答: 解: (1) 根据题意得 2015 届高三年级女生抽到的概率为

, 所以为

=0.17,

所以 a=1800×0.17=306(人) (2)由表格知 2014-2015 学年高二年级的总人数为 1800﹣(260+290)﹣(344+306)=600 人, 所以 2014-2015 学年高二年级应抽取的人数为 60× =20(人) ,

(3)设事件 A“2014-2015 学年高二年级男生比女生多”, 用 b 表示 2014-2015 学年高二年级男生的人数,用 c 表示 2014-2015 学年高二年级女生的人 数,且 b+c=600,则满足 b≥260,c≥200 的(b,c)配对的情况为(260,340) , (261,339)… (400,200) ,共有 141 种情况,而事件 A 发生的(b,c)配对的情况为(301,299) , (302, 298) ,…(400,200)共有 100 种情况, 所以 2014-2015 学年高二年级男生比女生多的概率为 P(A)= .

点评: 本题考查等可能事件的概率,考查分层抽样,是一个统计的综合题,题目运算量不 大,也没有难理解的知识点,是一个基础题.

22.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a1= ,an+1=

an.

(Ⅰ)求{an}的通项公式; * * (Ⅱ)设 bn=n(2﹣Sn) ,n∈N ,若集合 M={n|bn≥λ,n∈N }恰有 5 个元素,求实数 λ 的取值 范围. 考点: 数列的求和;数列递推式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (I)由已知得 (2)由(1)知 ,结合等比数列的通项公式可求 ,进而可求 an

,利用错位相减可求 sn,然后利用数列的单调性可

求 bn 的最大值与最小值,进而可求实数 λ 的取值范围 解答: 解: (I)由已知得 ∴数列 ∴ ∴ (2)由(1)知 , 两式相减可得, , , = ,其中 n∈N*

是公比为 的等比数列,首项

=

=

∴sn=2﹣

因此,



所以,当 n=1,b2﹣b1>0 即 b2>b1, n>2 时,bn+1﹣bn<0 即 bn+1﹣bn<0 要使得集合 M 有 5 个元素,实数 λ 的取值范围为 .

点评: 本题主要考查了等比数列的定义及通项公式求解的应用, 数列的错位相减求和方法 的应用,及数列单调性在求解数列的最值求解中的应用,试题具有一定的综合性


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