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湖北省武汉市第二中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案


武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试

高二数学试卷
命题学校:武汉二中 命题教师:
试卷满分:150 分

审题教师:

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.在武汉二中选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 30 名,高二年级有 40 名.现用分层抽 样的方法在这 70 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 6 名,则在高 二年级的学生中应抽取的人数为( A、6 B、8 ) D、12 )

C、10

2.已知 a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ”的否命题是( A、若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 C、若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3

B、若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 D、若 a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3

3. 设 f ( x) 是区间 [ a, b] 上的函数, 如果对任意满足 a ? x ? y ? b 的 x, y 都有 f ( x) ? f ( y ) , 则称 f ( x) 是 [ a, b] 上的升函数,则 f ( x) 是 [ a, b] 上的非升函数应满足( A、存在满足 x ? y 的 x, y ?[a, b] 使得 f ( x) ? f ( y) B、不存在 x, y ?[a, b] 满足 x ? y 且 f ( x) ? f ( y ) C、对任意满足 x ? y 的 x, y ?[a, b] 都有 f ( x) ? f ( y) D、存在满足 x ? y 的 x, y ?[a, b] 都有 f ( x) ? f ( y ) 4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值为( A、3 B、4 C、5 D、6 ) ) 。

5.已知集合 A, B, C 满足 A ? B ? {a, b, c} ,则满足条件的组合

( A, B) 共有(
A、4

)组。 B、8 C、9 D、27

6.设 l , m , n 表示三条不同的直线, ? , ? , ? 表示三个不同的平面,给出下列四个命题:①若

l ? ? , m ? l , m ? ? ,则 ? ? ? ;②若 m ? ? , n 是 l 在 ? 内的射影, m ? n ,则 m ? l ;③
若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? 其中真命题的个数为( ) A、0 B、1 C、2 D、3

7 .“ a ? ?2 ”是“直线 (a ? 2)x ? 3ay ? 1 ? 0与直线 (a ? 2)x ? (a ? 2)y ? 3 ? 0 相互垂 直”的( A、充要 )条件。 B、充分非必要
0

C、必要非充分

D、既非充分也非必要

8. 已知 ?ABC 中,C ? 90 ,AB ? 2 AC , 在斜边 AB 上任取一点 P , 则满足 ?ACP ? 300 的概率为( A、 ) B、

1 2

1 3

C、

1 4

D、

1 5

9.如图,一只蚂蚁从点 A 出发沿着水平面的线条爬行到点 C , 再由点 C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点 B ,则 它可以爬行的不同的最短路径有( A、40 10.已知椭圆 x 2 ? B、60 C、80 )条。 D、120

y2 ?1 1? ?1 ? ? 1 和点 A ? , ? 、 B ? ,1? ,若椭圆的某弦的中点在线段 AB 上, 4 ?2 2? ?2 ?
) 。 D、 ? ?1, ? ? 2

且此弦所在直线的斜率为 k ,则 k 的取值范围为( A、 [?4, ?2] B、 [?2, ?1] C、 [?4, ?1]

? ?

1? ?

11.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 是边长为 4 的正三角形, 底面 ABCD 为正方形,侧面 PAD ⊥底面 ABCD , M 为底面 ABCD 内的一个动点,且满足 MP ? MC ? 0 ,则点 M 到直线 AB 的最短距 离为( A、 5 12.已知双曲线 )。 B、 4 ? 5 C、 3 ? 5 D、 4 ? 2 2

???? ???? ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的离心率为 2,过右焦点 F 作直线交该双曲线于 a 2 b2
) 。

A 、 B 两点, P 为 x 轴上一点,且 | PA |?| PB | ,若 | AB |? 8 ,则 | FP |? (
A、2 B、4 C、8 D、16

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.将 4034 与 10085 的最大公约数化成五进制数,结果为 。

14.我校篮球队曾多次获得全国中学生篮球赛冠军!在一次比赛中,需把包括我校篮球队在 内的 7 个篮球队随机地分成两个小组(一组 3 个队,一组 4 个队)进行小组预赛,则我校 篮球队和另 6 个队中实力最强的队分在同一小组的概率为 。

ABCD 为矩形, AB ? 3, AD ? 1, AA 15 .在四棱柱 ABCD ? A 1B 1C 1D 1 中,底面 1 ? 2 ,且

?BAA1 ? ?DAA1 ? 600 。则异面直线 AC 与 BD1 所成角的余弦值为
16.如图, A, B 为抛物线 y 2 ? 4 x 上的两点, F 为抛物线的焦点 且 FA ? FB , C 为直线 AB 上一点且横坐标为 ?1 ,连结



FC 。若 | BF |? 3 | AF | ,则 tan C ?



三、解答题(第 17 题 10 分,其余每题 12 分,共计 70 分)
17.用数字 0、2、3、4、6 按下列要求组数、计算: (1)能组成多少个没有重复数字的三位数? (2)可以组成多少个可以被 3 整除的没有重复数字的三位数? (3)求 2 ? 3 ? 4 ? 6 即 144 的所有正约数的和。 (注:每小题结果都写成数据形式)

18.已知命题 p :不等式 x 2 ? ax ? 8 ? 0 对任意实数 x ? [2, 4] 恒成立;命题 q :存在实数 ?

4 ? sin ? ? 2 ;命题 r :不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 有解。 (1)若 p ? q 为真命题, a ?1 求 a 的取值范围. (2)若命题 p 、 q r 恰有两个是真命题,求实数 a 的取值范围。
满足

19.水是万物之本、生命之源,节约用水,从我做起。我国是世界上严重缺水的国家,某市 政府为了鼓励居民节约用水, 计划调整居民生活用水收费方案, 拟确定一个合理的月用 水量标准 x (吨)、一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费,超出 x 的部分按 议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年 100 位居民每人的月均用水 量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5)分成 9 组,制成了如图所示的 频率分布直方图。(1)求直方图中 a 的值;(2)设该市有 30 万居民,估计全市居民

中月均用水量不低于 3 吨的人数,并说明理由;(3)若该市政府希望使 85%的居民每 月的用水量不超过标准 x (吨),估计 x 的值,并说明理由.

20 .如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD 平面 ABCD , PA ? PD , PA ? PD ,

AB ? AD , AB ? 1 ,AD ? 2 , AC ? CD ? 5 .(1)求证:PD ? PB ; ( 2) 求直线 PB
与平面 PCD 所成角的正弦值; (3)在棱 PA 上是否存在点 M ,使得 BM / / 平面 PCD ? 若存在,求

AM 的值;若不存在,说明理由。 AP
P

D B C

A

21.甲乙两人下棋比赛,规定谁比对方先多胜两局谁就获胜,比赛立即结束;若比赛进行完 6 局还没有分出胜负则判第一局获胜者为最终获胜且结束比赛。比赛过程中,每局比赛甲 获胜的概率为

2 1 ,乙获胜的概率为 ,每局比赛相互独立。求: (1)比赛两局就结束且 3 3

甲获胜的概率; (2)恰好比赛四局结束的概率; (3)在整个比赛过程中,甲获胜的概率。

x2 y 2 3 22. 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为 ,A( a, 0) ,B(0, b) ,O (0, 0) , a b 2
?OAB 的面积为 1。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)斜率为 2 的直线与椭圆交于 P 、 Q 两点
(3)在 x 上是否存在一点 E 使得过 E 的任一直线与椭圆若 OP ? OQ ,求直线 l 的方程; 有两个交点 M 、 N 则都有 定值。

1 1 为定值?若存在,求出点 E 的坐标及相应的 ? 2 | EM | | EN |2

武汉二中 2016—2017 学年度上学期期末考试

高二数学参考答案
一、 题号 答案 选择题 1 B 2 A 3 A 4 B 5 D 6 C 7 B 8 C 9 B 10 A 11 C 12 C

二、填空题 13、 31032(5) 三、解答题
17、解: (1)百位数子只能是 2、3、4、6 中之一,百位数字确定后,十位和个位
2 数字的组成共有 A4 种方法,所以可以组成没有重复数字的三位数共有 1 2 N1 ? C4 A4 ? 48 个

14、

3 7

15、

2 5

16、

1 2

?????? 3 分

(2)由题意,能被 3 整除的且没有重复数字的三位数只能是由 2、4、0 或 2、4、3 或 2、4、6 或 0、3、6 组成。共有
1 2 3 1 2 N2 ? C2 A2 ? 2 A3 ? C2 A2 ? 20 个

?????? 7 分

(3)? 144 ? 24 ? 32 ,

∴ 144 的所有正约数的和为

N3 ? (1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 )(1 ? 3 ? 32 ) ? 403
18、解: (1)若命题 p 为真命题,则 a ? x ?

?????10 分

8 对任意实数 x ? [2, 4] 恒成立 x



8? ? a ? ? x ? ? ? ?2 ,即 a ? ?2 。???????????????3 分 x ?min ?
4 ? ? sin ? ? 2 ?max ? ?1 , a ?1 4 a?3 ? ?1 ? ? 0 ? ?3 ? a ? 1 a ?1 a ?1


若命题 q 为真命题,则 ∴

又∵ p ? q 为真命题, 即 a 的取值范围为 [?3, ?2) 分

?3 ? a ? ?2

??????????6 分 ??????????? 7

(2)若不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解,则
2 2 当 a ? 0 时,显然有解;当 a ? 0 时, ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解; 2 当 a ? 0 时,∵ ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解, ∴ ? ? 4 ? 4 a ? 0 , ∴ ?1 ? a ? 0 ,

∴ ∴

不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有解等价于 a ? ?1 , ??????????10 分
2

若命题 p 、 q r 恰有两个是真命题,则必有 ?3 ? a ? ?2 或 ?1 ? a ? 1 即 a 的取值范围为 [?3, ?2) ? (?1,1) 。 ???????????????12 分

19、解:(1)由概率统计相关知识,各组频率之和的值为1 ∵ ∴ ∴ 分 (2)由图,不低于3吨人数所占百分比为 0.5 ? ? 0.12 ? 0.08 ? 0.04? =12% ∴ 全市月均用水量不低于3吨的人数为: 30 ? 12%=3.6 (万) (3)由图可知,月均用水量小于2.5吨的居民人数所占百分比为:
0.5 ? ? 0.08 ? 0.16 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.52 ? ? 0.73

频率=(频率/组距) ? 组距
0.5 ?? 0 . 0 ?8
a?0.3

0? . 1 6 ?0 . 4 ?0 . 5 2? 0 . 1?2

0a.? 0.04 ?0 8 ?

2

1

???? ???? ???????? ???? 4

???? 8分

即 73% 的居民月均用水量小于2.5吨, 同理,88%的居民月均用水量小于3吨,故 2.5 ? x ? 3

假设月均用水量平均分布,则 x ? 2.5 ? 0.5 ?

85% ? 73% ? 2.9 (吨). 88% ? 73%

注:本次估计默认组间是平均分布,与实际可能会产生一定误差。 分 20、 (1)证明:∵ 面 PAD ? 面 ABCD ? AD , AB ? AD , ∴ AB ? 面 PAD 又∵ PD ? PA ∴ PD ? AB ∴ PD ? 面 PAB ∴

???? 12

PD ? PB

???? 3 分

(2)取 AD 中点为 O ,连结 CO , PO , ∵ CD ? AC ? 5 ∴ CO ? AD ∵ PA ? PD ∴ PO ? AD

以 O 为原点,如图建系,易知 P(0, 0,1) , B(1,1, 0) , D(0, ?1, 0) , C (2,0,0) , 则 PB ? (1,1, ?1) , PD ? (0, ?1, ?1) , PC ? (2,0, ?1) , CD ? (?2, ?1,0) 。 设 n ? ( x0 , y0 ,1) 为面 PDC 的法向量,则

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?

? ??? ? ? ?n ? PD ? 0 ? ? 1 ? ? n ? ? , ?1,1? ,则 PB 与面 PCD 夹角 ? 有 ? ? ? ??? ?2 ? ? ?n ? PC ? 0

? ??? ? ? ??? ? n ? PB sin ? ? cos ? n, PB ? ? ? ??? ? ? n PB

1 ?1 ?1 2 1 ?1?1? 3 4

?

3 ???????? 7 分 3

(3) 假设存在 M 点使得 BM / / 面 PCD , 设

AM ? ? ,M ? 0, y ', z '? , 由 (2) 知 A? 0 1 ,,0 AP ??? ? ???? ? P ? 0,0,1? , AP ? ? 0, ?1,1? , B ?1,1,0? , AM ? ? 0, y '? 1, z ' ? , ???? ? ??? ? ???? ? ∴ AM ? ? AP ? M ? 0,1 ? ? , ? ? , BM ? ? ?1, ?? , ? ? ? ???? ? ? ∵ BM / / 面 PCD , n 为 PCD 的法向量, ∴ BM ? n ? 0
即?

?,

1 ?? ?? ?0 2

∴?=

1 4

综上所述,存在 M 点,即当

AM 1 ? 时, M 点即为所求。 ???? ???? 12 分 AP 4

21、解: (1)由题意可知比赛两局就结束且甲获胜必须第一、第二局比赛都是甲获胜,概率 为

P?


2 2 4 ? ? ; 3 3 9

???? ???? ???? ???? ???? 3

(2)由题意知前两局比赛为平手,第三、第四局比赛为同一个人胜,其概率为
2 2 ? ? 1 ? ? 20 1 ? 2 ?? 1 ? ? 2 ? P ? C2 ? ? ; ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 81 ? 3 ?? 3 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ?

???? ???? ???? 7

分 (3)由题意知在整个比赛过程中第一、第二局比赛两人为平手,第三、第四比赛两人 也为平手, 第五、 第六局都为甲获胜, 或者在第一、第二局比赛两人为平手,第三、 第四局比赛两人也为平手,第五、第六局比赛为平手但第一局是甲获胜。其概率为

? 1 ? 2 ? ? 1 ?? ? 2 ? ? 2 ? ? 1 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ?? 32 P ? ?C2 。 ???? 12 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?C2 ? ? ? ? ? ? 243 ? ? 3 ? ? 3 ?? ? 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? 3 ??
分 22、解: (1)由已知,

2

2

2

c 3 1 ? , ab ? 1 ,又 a 2 ? b2 ? c2 ,解得 a ? 2, b ? 1, c ? 3 , a 2 2
x2 ? y2 ? 1 。 4



椭圆的方程为

???? ???? ???? ???? 3 分

? x2 2 x2 ? ? y2 ? 1 ? y ? 2x ? 2 (2)设直线 l 的方程为 y ? 2 x ? t ,则由 ? 4 可得 ? y ?? ? , 4 t ? ? ? ? y ? 2x ? t
即 (4t 2 ? 4) ?

? y? ? y? 2 ? ? 16 ? ? ? (t ? 16) ? 0 ? x? ? x?


2



O P? O Q

t 2 ? 16 ? ?1 ? t 2 ? 4 ? t ? ?2 4t 2 ? 4



直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 2 即 2 x ? y ? 2 ? 0 。 ???? ???? 7 分

(3)设 E (m,0) 、 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y2 ) ,当直线 n 不为 x 轴时的方程为 x ? ty ? m ,

? x ? ty ? m ? 联立椭圆方程得: ? x 2 ? (t 2 ? 4) y 2 ? 2tmy ? (m2 ? 4) ? 0 2 ? y ?1 ? ?4
2tm m2 ? 4 ? y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? 2 t ?4 t ?4

???? ???? ???? 8 分

( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 2 | EA |2 | EB |2 (1 ? t 2 ) y12 (1 ? t 2 ) y2 (1 ? t 2 ) y12 y2
? 1 (32 ? 8m2 ) ? (2m2 ? 8)t 2 ? 1? t2 (m2 ? 4)2
???????? 10 分

∴ 值) 。 即

当且仅当 32 ? 8m2 ? 2m2 ? 8 即 m ? ?

1 1 2 15 ? ? 5 (定 时 2 | EA | | EB |2 5

在 x 轴上存在点 E 使得

? 2 15 ? 1 1 ? 为定值 5, 点 E 的坐标为 ? 2 2 ? 3 ,0? ?或 | EA | | EB | ? ?

? 2 15 ? ? ? ? 3 ,0? ?。 ? ?

经检验,当直线 AB 为 x 轴时上面求出的点 E 也符合题意。

???? ???? ???? ???? ???? ???? 12 分
(也可以通过特殊情形猜出定点坐标和定值然后再证明结论)


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