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2019届高考数学一轮复习(理)-单元过关检测-专题(22) 正弦定理和余弦定理

第 1 页 共 8 页 正弦定理和余弦定理 (二十三) 正弦定理和余弦定理 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 利用正、余弦定理解三角形 7 1.(2018·安徽合肥一模)△ABC 的角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 cos A= , 8 c-a=2,b=3,则 a=( A.2 C.3 解析:选 A ) B. D. 5 2 7 2 7 由题意可得 c=a+2,b=3,cos A= ,由余弦定理,得 cos A= 8 1 b2+c2-a2 7 9+ a+ 2-a2 · ,代入数据,得 = ,解方程可得 a=2. 2 bc 8 a+ 2.(2018·湖北黄冈质检)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 a= 5 2 b,A=2B,则 cos B=( A. 5 3 5 5 ) B. 5 4 5 6 C. D. 由正弦定理,得 sin A= 5 . 4 解析:选 B 5 sin B,又 A=2B,所以 sin A=sin 2B= 2 2sin Bcos B,所以 cos B= 3. (2018·包头学业水平测试)已知 a, b, c 分别为△ABC 内角 A, B, C 的对边, sin2B 1 a =2sin Asin C,且 a>c,cos B= ,则 =( 4 c A.2 C.3 B. 3 2 ) D.4 解析:选 A 由正弦定理可得 b2=2ac,故 cos B= a2+c2-b2 a2+c2-2ac 1 = = ,化 2ac 2ac 4 简得(2a-c)(a-2c)=0,又 a>c,故 a=2c, =2,故选 A. a c 第 2 页 共 8 页 正弦定理和余弦定理 4.(2018·湖南长郡中学模拟)若△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 已知 2bsin 2A=asin B,且 c=2b,则 =( A.2 C. 2 解析:选 A B.3 D. 3 由 2bsin 2A=asin B,得 4bsin A·cos A=asin B,由正弦定理得 a b ) 1 4sin B·sin A·cos A=sin A·sin B,∵sin A≠0,且 sin B≠0,∴cos A= ,由余 4 弦定理得 a2=b2+4b2-b2,∴a2=4b2,∴ =2.故选 A. 5.(2018·兰州一模)△ABC 中,内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,c=2a, a b bsin B-asin A= asin C,则 sin B 的值为( A. 2 2 3 7 4 B. 3 4 1 3 1 2 ) C. D. 1 解析:选 C 由正弦定理,得 b2-a2= ac,又 c=2a,所以 b2=2a2,所以 cos B= 2 a2+c2-b2 3 7 = ,所以 sin B= . 2ac 4 4 对点练(二) 正、余弦定理的综合应用 1.(2018·武汉调研)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 <cos A, 则△ABC 为( ) B.直角三角形 D.等边三角形 c b A.钝角三角形 C.锐角三角形 解析:选 A c sin C 根据正弦定理得 = <cos A, b sin B 即 sin C<sin Bcos A,∵A+B+C=π ,∴sin C=sin(A+B)<sin Bcos A,整理得 π sin Acos B<0,又三角形中 sin A>0,∴cos B<0, <B<π .∴△ABC 为钝角三角形. 2 2.(2018·湖南邵阳一模)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知三 个向量 m=?a,cos ?,n=?b,cos ?,p=?c,cos ?共线,则△ABC 的形状为( 2? 2? 2? ? ? ? ? A? ? B? ? C? ) 第 3 页 共 8 页 正弦定理和余弦定理 A.等边三角形 C.直角三角形 解析:选 A B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 ∵向量 m=?a,cos ?,n=?b,cos ?共线, 2? 2? ? ? ? A? ? B? ∴acos =bcos .由正弦定理得 sin Acos =sin Bcos . 2 2 2 2 ∴2sin cos cos =2sin cos cos ,∴sin =sin . 2 2 2 2 2 2 2 2 B A A B A A B B B A A B A π B π A B ∵0< < ,0< < ,∴ = ,∴A=B.同理可得 B=C,∴△ABC 为等边三角形.故 2 2 2 2 2 2 选 A. 3.(2018·福建八校联考)我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角 形面积的“三斜公式”,设△ABC 三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,面积为 S, 则“三斜求积”公式为 S= 2 1? 2 2 ?a +c -b ?2? ?a c -? ? ?.若 a2sin C=4sin A,(a+c)2=12 2 4? ? ?? ) 2 2 2 +b ,则用“三斜求积”公式求得△ABC 的面积为( A. 3 C.3 解析:选 A 入面积公式得 B.2 D. 6 由正弦定理得 a2c=4a,所以 ac=4,且 a2+c2-b2=12-2ac=4,代 1 4 -2 2 = 3. 4.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足 b= b 1-cos B c, = .若点 O 是△ABC 外一点,∠AOB=θ (0<θ <π ),OA= a cos A 2,OB=1,如图所示,则四边形 OACB 面积的最大值是( A. 4+5 3 4 B. 8+ 5 3 4 4+ 5 2 ) C.3 解析:选 B D. b 1-cos B 由 = 及正弦

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