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高中数学第四章知识点总结(精华版) 三角函数


高中数学第四章-三角函数
考试内容:
角的概念的推广.弧度制. 任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式.正弦、余弦的诱 导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数 y=Asin(ω x+φ )的图像.正切函数的图 像和性质.已知三角函数值求角. 正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.

考试要求:
(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算. (2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义;了解余切、正割、余割的定义;掌握同角三 角函数的基本关系式;掌握正弦、余弦的诱导公式;了解周期函数与最小正周期的意义. (3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式;掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4)能正确运用三角公式,进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质,会用“五点法”画正弦函数、余 弦函数和函数 y=Asin(ω x+φ )的简图,理解 A.ω 、φ 的物理意义. (6)会由已知三角函数值求角,并会用符号 arcsinx\arc-cosx\arctanx 表示. (7)掌握正弦定理、余弦定理,并能初步运用它们解斜三角形. (8)“同角三角函数基本关系式:sin2α +cos2α =1,sinα /cosα =tanα ,tanα ?cosα =1”.

§ 三角函数 知识要点 04.
1. ① 与 ? ( 0°≤ ? < 360°) 终 边 相 同 的 角 的 集 合 ( 角 ? 与 角
?

的终边重合):


?? | ?

? k ? 360

?

??,k ? Z

?
3

y
2 s in x 1 co sx

②终边在 x 轴上的角的集合:

?? | ?

? k ? 180

?

,k ? Z

?

s in x 4

③终边在 y 轴上的角的集合: ??

| ? ? k ? 180

?

? 90 , k ? Z

?

?

co sx co sx

x
co sx 4 s in x 2 s in x 3

④终边在坐标轴上的角的集合: ?? ⑤终边在 y=x 轴上的角的集合: ?? ⑥终边在 y
? ?x

| ? ? k ? 90 , k ? Z

?

?

1

| ? ? k ? 180

?

? 45 , k ? Z

?

? ?
? 360

S IN \C O S 三 角 函 数 值 大 小 关 系 图 1、 2、 3、 4表 示 第 一 、 二 、 三 、

轴上的角的集合: ??

四象限一半所在区域

| ? ? k ? 180

?

? 45 , k ? Z

?

⑦若角 ? 与角 ? 的终边关于 x 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑧若角 ? 与角 ? 的终边关于 y 轴对称,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑨若角 ? 与角 ? 的终边在一条直线上,则角 ? 与角 ? 的关系: ? ⑩角 ? 与角 ? 的终边互相垂直,则角 ? 与角 ? 的关系: ?
? 360
?

?

k ??

? 360

?

k ? 180

?

??

? 180

?

k ? ?

k ? ? ? 90

?

2. 角度与弧度的互换关系:360° ? 180° ? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ =2 = 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 、 弧度与角度互换公式: 1rad= 180 °≈57.30°=57°18ˊ.
?

1°=
1 2
y

?
180

≈0.01745 (rad)

3、弧长公式: l ? | ? | ? r .

扇形面积公式: s 扇 形 ?

1 2

lr ?

|? | ? r

2

4、三角函数:设 ? 是一个任意角,在 ? 的终边上任取(异于 原点的)一点 P(x,y)P 与原点的距离为 r,则
cos ? ? x r

sin ? ?

y r


r y

a的 终边
P(x,y)



tan ? ?

y x



cot ? ?

x y



sec ? ?

r x

;.

csc ? ?

.

r

o

x

5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦)
y y

+ + o x - 正弦、余割

- + o - + x
余弦、正割

y

y P T

- + o x + 正切、余切
O

M

Ax

6、三角函数线 正弦线:MP; AT. 余弦线:OM; 正切线:

16. 几个重要结论 : (1)
y

(2)

y

|sinx|>|cosx| sinx>cosx
O x |cosx|>|sinx| O |cosx|>|sinx| x

7. 三角函数的定义域:

cosx>sinx |sinx|>|cosx| ? (3) 若 o<x< ,则sinx<x<tanx 2

三角函数 f ( x ) ? sinx
f (x) ? f (x) ?

定义域 ?x | x ? R ?

cosx tanx cotx secx cscx
cos ? ? tan ?
c o s? s i n? ? c o t?

?x | x ? R ?
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ? f (x) ?

?x | x ? R 且 x

? k? , k ? Z ?

1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

f (x) ?

?x | x ? R 且 x

? k? , k ? Z ?

8、同角三角函数的基本关系式: sin ?
tan ? ? cot ? ? 1
sin
2

csc ? ? sin ? ? 1

s e c? ? c o s? ? 1
2

? ? cos

2

? ?1

sec

2

? ? tan ? ? 1

csc

2

? ? cot

2

? ?1

9、诱导公式:
把 k? 2 ? ?的 三 角 函 数 化 为 ?的 三 角 函 数 , 概 括 为 :

“奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的公式:(一)基本关系
公式组一 sin x · c sc x = 1 ta n x =
sin x cos x

公式组二
sin x + c o s x = 1
2 2 2 2

公式组三
s i n ? x ) ? ? s i nx ( c o s ? x ) ? c o sx ( t a n ? x ) ? ? t a nx ( c o t ? x ) ? ? c o tx (

sin( 2 k ? ? x ) ? sin x cos( 2 k ? ? x ) ? cos x

c o sx · se c x = 1 ta n x · c o tx = 1

x=

cos x sin x

1 + ta n x = se c x 1 + c o t x = c sc x
2 2

tan( 2 k ? ? x ) ? tan x cot( 2 k ? ? x ) ? cot x

公式组四
sin( ? ? x ) ? ? sin x cos( ? ? x ) ? ? cos x tan( ? ? x ) ? tan x cot( ? ? x ) ? cot x

公式组五
s i n 2 ? ? x ) ? ? s i nx ( c o s 2 ? ? x ) ? c o sx ( t a n 2 ? ? x ) ? ? t a nx ( c o t 2? ? x ) ? ? c o tx (

公式组六
s i n? ? x ) ? s i nx ( c o s ? ? x ) ? ? c o sx ( t a n ? ? x ) ? ? t a nx ( c o t ? ? x ) ? ? c o tx (

(二)角与角之间的互换

公式组一
cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ?

公式组二
s i n2? ? 2 s i n c o s? ?

c o s2? ? c o s ? ? s i n ? ? 2 c o s ? ? 1 ? 1 ? 2 s i n ?
2 2 2 2

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

t a n2 ? ?

2 t a n? 1? t an ?
2

sin( ? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ?

sin

?
2

? ?

1 ? c o s? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

cos

?
2

? ?

1 ? cos ? 2

tan( ? ? ? ) ?

tan

?
2

? ?

1 ? cos ? 1 ? cos ?

?

sin ? 1 ? cos ?

?

1 ? cos ? sin ?

公式组三
2 tan sin ? ? 1 ? tan

?
2
2

sin ? cos ? ? cos ? sin ? ?

公式组四 1
2 1 2

?sin ?? ?sin ?? ?cos ??

? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ? ? sin ?? ? ?

??
cos(

公式组五
1 2 sin( 1 2 tan( 1 2

? ? ? ) ? sin ?
? ? ? ) ? cos ? ? ? ? ) ? cot ?

?
2

?? ?? ??

cos ? cos ? ?

1 2

? ? ? ? cos ?? ? ?

1 ? tan cos ? ? 1 ? tan

2

?
2

sin ? sin ? ? ?

1 2

?cos ??

? ? ? ? cos ?? ? ?
cos sin cos sin

2

?
2

sin ? ? sin ? ? 2 sin sin ? ? sin ? ? 2 cos cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ? ?
2 ? ? ? 2 ? ? ?

? ??
2 ? ??

cos(

1 2

? ? ? ) ? ? sin ?

2 tan tan ? ? 1 ? tan

?
2
2

? ??
? ??
2
?

2

tan(

1 2

? ? ? ) ? ? cot ?
? ? ? ) ? cos ?
?

?
2

cos ? ? cos ? ? ? 2 sin
2

? ? ?
2

2

2

sin(
? 2?

1 2

sin 15

?

? cos 75

?

?

6 ? 4

, sin

75

?

? cos 15

?

?

6 ? 4

2

, tan 15 ?

? cot 75

3

, tan

75

? cot 15

?

? 2?

3

.

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:
y ? sin x
y ? cos x

y ? tan x
1 ? ? ? x | x ? R 且 x ? k? ? ? , k ? Z ? 2 ? ?

y ? cot x

y ? A sin ?? x ? ?

?

(A、 ? >0) 定义域 值域 周期性 奇偶性 R
[ ? 1, ? 1 ]

R
[ ? 1, ? 1 ]

?x | x ? R 且 x

? k? , k ? Z ?

R

R
?

R
?

??

A, A?
2?

2?

2?

?

奇函数
?
2

偶函数
[ ? 2 k ? 1 ?? , 2 k? ]

奇函数
? ? ? ? ? k? , ? k? ? ?? 2 ? 2 ?

奇函数

当? 当?

? 0, ?

非奇非偶 0 , 奇函数

[?

? 2 k? ,



?k ? , ?k

? 1 ??

? 上为减函

数( k ? Z )

?
2

? 2 k? ]

上为增函 数
[2 k? ,

上 为 增 函 数 (k ? Z )

上为增函 数 ; 单调性
[

?2 k

? 1 ?? ]

? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 ? (? A)? ? ? ?

?
2

? 2 k? , ? 2 k? ]

3? 2

上为减函 数 (k ? Z )

上为增函数;
? ? ? ?? ? 2 k? ? ? 2 ( A ), ? ? ? ? ? ? ? 3 ? 2 k? ? ? ? ? ? 2 (? A)? ? ? ? ?

上为减函 数 k?Z ) (

上 为 减 函 数 (k ? Z ) 注意:① y ? ? sin x 与 y ? sin x 的单调性正好相反; y ? ? cos x 与 y ? cos x 的单调性也同样相 反.一般地,若 y ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递增(减),则 y ? ? f ( x ) 在 [ a , b ] 上递减(增).


②y ? ③y

sin x

与y

? cos x

的周期是 ? . (?
? 0

y

? sin( ? x ? ? ) 或 y ? cos( ? x ? ? )
x 2

)的周期 T

?

2?

?

.
x O

y ? tan

的周期为 2 ? ( T

?

? ?

? T ? 2?

,如图,翻折无效).
?
2

④y

? sin( ? x ? ? ) 的对称轴方程是 x ? k ? ?
? k?

( k ? Z ),对称中心( k ? , 0 ); y
? 1 2

? cos( ? x ? ? )

的对称轴方程是 x (
k? 2 , 0 ).
原点对称

( k ? Z ),对称中心( k ?

? ,0

); y ? tan( ? x ? ? ) 的对称中心

y ? cos 2 x ? ? ? ? y ? ? cos( ? 2 x ) ? ? cos 2 x ?

⑤当 tan

?

tan · ?

? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

; tan

?

tan ·

? ? ? 1, ? ? ? ? k ? ?

?
2

(k ? Z )

.

⑥y

? cos x

与y

? ? ? ? sin ? x ? ? 2 k? ? 2 ? ?
1 2

是同一函数,而 y

? (? x ? ? )

是偶函数,则

y ? (? x ? ? ) ? sin( ? x ? k ? ?

? ) ? ? cos( ? x ) .

⑦函数 y ? tan x 在 R 上为增函数.(× [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域, )
y ? tan x 为增函数,同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是 f ( x ) 具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定 义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数: f (? x) ? ? f ( x) ) 奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如: y ? tan x 是奇函数, y 义域不关于原点对称) 奇函数特有性质:若 0 ? x 的定义域,则 f ( x ) 一定有 质)


f (? x) ? f ( x)

,奇函数:

? tan( x ?

1 3

? ) 是非奇非偶.(定

f (0) ? 0

.( 0 ? x 的定义域,则无此性



⑨y

? sin x

不是周期函数; y

? sin x

为周期函数( T ? ? ); 为周期函数( T ? ? );

y

y

x

1 /2 x

y ? cos x

是周期函数(如图); y
1 2

? cos x

y = c o s |x |图 象

y ? cos 2 x ?

的周期为 ? (如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如: .
2

y = |c o s 2 x + 1 /2 |图 象

y ? f ( x ) ? 5 ? f ( x ? k ), k ? R

⑩y

? a cos ? ? b sin ? ?

a ?b
2

sin( ? ? ? ) ? cos ? ?

b a



a ?b
2

2

? y

.

11、三角函数图象的作法:
1)、几何法: 2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切 曲线). 3)、利用图象变换作三角函数图象. 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等. 函数 y=Asin(ω x+φ)的振幅|A|,周期 T
? 2? |? |

,频率 f

?

1 T

?

|? | 2?

,相位 ? x ? ? ; 初相 ?

(即当 x=0 时的相位).(当 A>0,ω >0 时以上公式可去绝对值符号), 由 y=sinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当 0<|A| <1)到原来的|A|倍,得到 y=Asinx 的图象,叫做振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变换.(用 y/A 替换 y) 由 y=sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变, 横坐标伸长 (0<|ω |<1) 或缩短 (|ω |>1) 到原来的 |
1

?

|

倍,得到 y=sinω x 的图象,叫做周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩变换.(用ω x

替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向左 (当 φ>0) 或向右 (当 φ<0) 平行移动|φ|个单位, 得到 y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移.(用 x+φ 替换 x) 由 y=sinx 的图象上所有的点向上(当 b>0)或向下(当 b<0)平行移动|b|个单位, 得到 y=sinx+b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移.(用 y+(-b)替换 y) 由 y=sinx 的图象利用图象变换作函数 y=Asin(ω x+φ)(A>0,ω >0)(x∈R) 的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的 区别。 4、反三角函数: 函数 y=sinx, ? x ? ? ? ? , ? ? 的反函数叫做反正弦函数,记作 y=arcsinx,它的定义域是[-1, ? ? ?
? ? ? ? 2 ? 2 ?? ?

1],值域是 ?- ? , ? . ?
? ? 2 2? ?

函数 y=cosx,(x∈[0,π ])的反应函数叫做反余弦函数,记作 y=arccosx,它的 定义域是[-1,1],值域是[0,π ]. 函数 y=tanx, x ? ? ? ? , ? ? ?
? ? ? ? 2
? ?

?? ? ?? 2 ??

的反函数叫做反正切函数, 记作 y=arctanx, 它的定义域是 (-

∞,+∞),值域是 ? ? ? , ? . ?
2 ? 2 ?

函数 y=ctgx,[x∈(0,π )]的反函数叫做反余切函数,记作 y=arcctgx,它的定义 域是(-∞,+∞),值域是(0,π ). II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数: ?反正弦函数 y ? arcsin x 是奇函数, arcsin( ? x ) ? ? arcsin x , ? ?? 1,1(一 故 ? x 定要注明定义域,若 x ? ? ? ? , ?? ? ,没有 x 与 y 一一对应,故 y ? sin x 无反函数) 注: sin(arcsin
x) ? x

, x ? ?? 1,1? , arcsin

? ? ? ? x? ? , ? 2 2? ? ?

.

?反余弦函数 y ? arccos x 非奇非偶,但有 arccos( ? x ) ? arccos( x ) ? ? ? 2 k ? , x ? ?? 1,1? . 注:① cos(arccos x ) ? x , x ? ?? 1,1? , arccos x ? ?0 , ? ? . ② y ? cos x 是偶函数, y ? arccos x 非奇非偶,而 y ? sin x 和 y ? arcsin x 为奇函数. ?反正切函数: y
? arctan x

,定义域 ( ?? , ?? ) ,值域( ?

?
2

,

?
2

), y

? arctan x

是奇函数,

arctan( ? x ) ? ? arctan x

注: tan(arctan

x) ?

, x ? ( ?? , ?? ) . x , x ? ( ?? , ?? ) . ,定义域 ( ?? , ?? ) ,值域( ?
?
2 ,

?反余切函数: y 偶.

? arc cot x

?
2

), y ? arc cot x 是非奇非

arc cot( ? x ) ? arc cot( x ) ? ? ? 2 k ?

注:① cot(

arc cot x ) ?

, x ? ( ?? , ?? ) . x , x ? ( ?? , ?? ) .

② y ? arcsin x 与 y ? arcsin( 1 ? x ) 互为奇函数,y ? arctan 非奇非偶但满足 arccos( ? x ) ? arccos x ? ? ? 2 k ? , x ? [ ? 1,1] arc ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集: 解集 a 的取值范围 ① sin
x ? a

x

同理为奇而 y

? arccos

x

与y

? arc cot x

cot x ? arc cot( ? x ) ? ? ? 2 k ? , x ? [ ? 1,1] .

a

的取值范围
x ? a

解集

的解集
?

② cos
a

的解集
?

a >1

>1

a =1
a <1

?x | x

? 2 k ? ? arcsin

a, k ? Z ?

a =1

?x | x

? 2 k ? ? arccos

a, k ? Z ?

?x | x ? k ? ? ?? 1 ?

k

arcsin

a, k ? Z

?

a <1

?x | x

? k ? ? arccos

a, k ? Z ?

③ tan ③ cot

x ? a

的解集: ?x | x ? k ? ? arctan a , k ? Z ? 的解集: ?x | x ? k ? ? arc cot a , k ? Z ?

x ? a

二、三角恒等式. 组一? cos 2? cos 4? ... cos cos 组二

2 ? ?
n

sin 2 2
n ?1

n ?1

?

sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin cos 3? ? 4 cos
3

3

?

sin

2

? ? sin
2

2

? ? sin ?? ? ? ? sin ?? ? ?
2

?

sin ?

? ? 3 cos ?

? cos

? ? cos

?

?

n

cos

?
2
k

? cos

?
2

cos

?
4

cos

?
8

? cos

?
2
n

?

sin ? 2 sin
n

k ?1

?
2
n

? cos(
k ?0 n

n

x ? kd ) ? cos x ? cos( x ? d ) ? ? ? cos( x ? nd ) ?

sin(( n ? 1) d ) cos( x ? nd ) sin d

? sin( x ? kd ) ? sin
k ?0

x ? sin( x ? d ) ? ? ? sin( x ? nd ) ?

sin(( n ? 1 ) d ) sin( x ? nd ) sin d

tan( ? ? ? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan ?

组三 三角函数不等式
sin x

< x < tan
B?C ??

x, x ? (0,

?
2

)

f (x) ?

sin x x

在 ( 0 , ? ) 上是减函数

若A?

,则 x 2 ? y 2 ? z 2 ?

2 yz cos A ? 2 xz cos B ? 2 xy cos C


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