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利用基本不等式求最值


高一数学同步辅导 一.知识梳理 1.(1)若 a, b ? R ,则 a ? b ? 2ab
2 2

第2讲

基本不等式及其应用

(2)若 a, b ? R ,则 ab ?

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时 2

取“=”), (3) 若 a, b ? R ,则 ( 2. (1) 若 a, b ? R * , 则

a ? b 2 a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时取“=”)。 ) ? 2 2

a?b , (2) 若 a, b ? R * , 则 ? ab ( 当 且 仅 当 a ? b 时 取 “ = ”) 2
2

a ?b? ) , (3) 若 a, b ? R * ,则 ab ? ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a ? b 时取“=” ? ? ? 2 ?

(当且仅当

a ? b 时取“=) ”。
3.熟知结论; (1)若 x ? 0 , 则x?

1 1 ? 2 (当且仅当 x ? 1 时取“=) ” ; (2)若 x ? 0 , 则 x ? ?? 2 x x
(当且仅当 a ? b 时

1 1 (当且仅当 x ? ?1 时取“=” ) 若x ? 0, 则 x ? 1 ? 2即 x? ? 2 或 x ? ? 2 x x x
取“=) ”。

4.特别提醒: (1)当两个正数的积为定值时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为 定值时,可以求它们的积的最大值,正所谓“积定和最小,和定积最大” . (2)求最值必须注意条件“一正,二定,三相等”是否满足。 (3)利用基本不等式求最大最小值技巧性比较高,要对已知条件或目标函数进 行合理变形,使之符合, “一正,二定,三相等”的要求。常用的技巧有“凑项”, “凑 系数”,“分离”, “换元”, “整体代换”等。
二. 基础回归:

? ?), 1.已知 a, b ? (0, (1)若 ab ? 1 ,则当 a ? b =_____时, a ? b 取得最小值_______;
(2)若 a ? b ? 1 ,则当 a ? b =_____时, ab 取得最大值为________. 2.下列正确结论的有 ①若 x ? R , 则x? .(填序号)

1 的最小值为 2 ; x

②若 x ? 0 时,则

x?

1 ?2; x

③若 x ? ? 0, ? ? ,则

1 3.(1)若 a ? 1 那么 a ? a ? 1 的最小值是

1 sin x 2 最小值为 2; ④当 0 ? x ? 2 时, x ? 无最大值. ? x 2 sin x
. ;

( 2 )若 x,y ? R? ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是 值 .

x(1 ? x) 的最大

三. 例题选讲 题型一:

例 1:(1)当 x ?

3 8 时,函数 y ? x ? 的最大值 2 2x ? 3
x y

. .

(2) 已知点 P(x,y)在经过点 A(3,0)和点 B(1,1)的直线上, 则 2 ? 4 的最小值是 (3)已知 lg x ? lg y ? 1, 则

2 5 ? 的最小值为 x y

(4)已知正实数 x, y 满足 ( x ? 1)( y ? 1) ? 16 ,则 x ? y 的最小值为 题型二: 例 2:(1)已知 a ? 0,b ? 0 , a ? b ? 2 ,则 y ? (2) 已知: 0 ? x ? 2, 求y ?

1 4 ? 的最小值是______________. a b
.

1 4 ? 的最小值 x 2? x (3)已知 x , y 为正实数, x ? y ? xy ,则 x ? y 最小值为

(4)已知 x 为正实数,且 xy ? 2 x ? 2, 则错误!未找到引用源。 的最小值为 (5)在等式“1= 1 9 + ”两个括号内各填入一个正整数,使填入的这两个正整数的和 ? ? ? ?

最小,则填入的两个数依次是________. 题型三:

x2 ? x ? 1 ( x ? ?1) 的最小值 例 3:(1)求函数 f ( x) ? x ?1
(2)已知 x ? y ? 0, 且xy ? 1, 求

.

x2 ? y2 的最小值及此时 x,y 的值. x? y
y2 的最小值是 xz


(3)设 x, y , z 为正实数,满足 x ? 2 y ? 3z ? 0 ,则

1? x ( 4 ) 函 数 y? a ( a? , 0

a? 1 的 ) 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ?1 ? 0(mn ? 0) 上,则

1 1 ? 的最小值为 m n

例 4:已知正数 a , b 满足 a ? b ? 1 . ① 求 ab 的取值范围; ③ 求 2a ? 1 ? 2b ? 1 的最大值; ② 求 ab ? ④ 求

1 的最小值. ab

1 2 ? 的最小值. a b
4 1 ? 的最小 a ?1 b

例 5:① 已知函数 y ? a x ? b(b ? 0) 的图像经过点 P(1,3) ,如下图所示,则 值为 . ② 已知锐角 A,B 满足 tan(A+B)=2tanA,则 tanB 的最大值是 ③ 已知 ? , ? 均为锐角,且 cos(? ? ? ) ?

sin ? ,则 tan ? 的最大值是 sin ?

④ 若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是

(例 5① 图) 例 6:某学校为了支持生物课程基地研究植物生长,计划利用学校空地建造一间室内面积为 900m2 的矩形温室,在温室内划出三块全等的矩形区域,分别种植三种植物,相邻矩形区域 之间间隔 1m,三块矩形区域的前、后与内墙各保留 1m 宽的通道,左、右两块矩形区域分 别与相邻的左右内墙保留 3m 宽的通道,如图.设矩形温室的室内长为 x (m) ,三块种植 植物的矩形区域的总面积 为 S (m2) . ... (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)求 S 的最大值.

1
3

1

1
1

3

x
(?第17题?)

三.课后作业 1.已知 a, b, x, y ? R? ( a , b 为常数) , 2.当 0 ? x ?

a b ? ? 1 , x ? y 的最小值为 x y
.



1 时,求函数 y ? x 1 ? 4 x 2 的最大值 2

3 设 x, y为实数,若4x2 ? y 2 ? xy ? 1, 则2 x ? y的最大值是 4.设函数 f ( x ) ? 2 x ?
2

.

1 ? 1( x ? 0) ,则 f ( x) 的最大值为__________. x

5.当 x ? 2 x ? 8 时,函数 y ?

x2 ? x ? 5 的最小值是____________. x?2

6 . 函 数 y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0, a ? 1) 的 图 象 恒 过 定 点 A , 若 点 A 在 直 线

mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0, 则

1 2 ? 的最小值为_____________. m n

7.对于函数 f ( x) ,在使 f ( x) ≥M 恒成立的所有常数 M 中,我们把 M 中的最大值称为函 数 f ( x) 的“下确界”,则函数 f ( x) ?

x2 ?1 的下确界为 ( x ? 1) 2



8. 已知 0 ? b ? a ? c ? 10, ab ? 1,则

a2 ? b2 1 ? 的最小值是 a?b c

6. 若正实数 x,y满足2x+y+6=xy,则 3x ? y 的最小值是______. 9. 已知不等式 ( x ? y )( ? ___________. 10. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒, 现准备在该厂附近建一职工宿舍, 并对宿舍进行 防辐射处理,建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关.若建造宿舍的所有费用

1 x

a ) ? 9 对任意正实数 x, y 恒成立,则正实数 a 的最小值是 y

p(万元)和宿舍与工厂的距离 x(km)的关系为:p=

k (0≤x≤8),若距离为 1 km 时, 3x+5

测算宿舍建造费用为 100 万元.为了交通方便,工厂与宿舍之间还要修一条道路,已知 购置修路设备需 5 万元,铺设路面每公里成本为 6 万元,设 f(x)为建造宿舍与修路费用 之和. (1)求 f(x)的表达式; (2)宿舍应建在离工厂多远处,可使总费用 f(x)最小,并求最小值.


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