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浙江省宁波市2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析


宁波市 2017 学年第一学期期末考试 高一数学试卷 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 若集合 A. 【答案】C 【解析】由交集的定义可得: 进行补集运算可得: 本题选择 C 选项. 2. 下列函数中,在定义域内单调递增的是( ) A. 【答案】C 【解析】注意考查所给函数的性质: B. C. D. . , B. C. , , D. ,则 ( )

A. B. C. D.

在定义域内单调递减; 在定义域内没有单调性; 在定义域内单调递增; 在定义域内没有单调性;

本题选择 C 选项. 3. 若幂函数 A. 1 B. 的图像过点 C. D. 3 ,则 的值为( )

【答案】D 【解析】由题意可得: 则幂函数的解析式为: 本题选择 D 选项. , .

4. 若角 的终边经过点 A. C. 【答案】A B. D.

,则( )

【解析】由点 P 的坐标计算可得:

,则:

, 本题选择 A 选项.



.

点睛:利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异 于原点的点的横坐标 x、 纵坐标 y、 该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上, 此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同). 5. 在 A. C. 【答案】A 【解析】由题意结合平面向量的运算法则可得: . 本题选择 A 选项. 6. 下列函数中,最小正周期为 ,且图像关于直线 A. C. 【答案】B 【解析】函数的最小正周期为 ,则 考查选项 BD: 当 当 时, 时, ,满足题意; ,不满足题意; ,据此可得选项 AC 错误; B. D. 对称的是( ) 中,点 为边 B. D. 的中点,则向量 ( )

本题选择 B 选项. 7. 函数 的图像大致是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】令 ,则 ,函数为偶函数,排除 AB 选项;



时,

,而

,则



排除选项 C. 本题选择 D 选项. 点睛:函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函 数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的 奇偶性,判断图象的对称性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、 筛选选项. 8. 已知函数 为奇函数, 为偶函数,且 ,则 ( )

A. 【答案】A

B.

C.

D.

【解析】由题意可得: ,① ,②

..................... 本题选择 A 选项. 9. 对于非零向量 ,定义运算“ ) ”: ,其中为 的夹角.设 为非零向

量,则下列说法错误 的是( .. A. C. 若 【答案】B ,则 B. D.

【解析】利用排除法.由题中新定义的运算结合向量的运算法则有: ,A 选项正确; 若 ,则 ,结合 可得: 或 ,均有 ,C 项正确;

,D 选项正确; 本题选择 B 选项.

10. 已知



,且

,则

( )

A. 【答案】C 【解析】

B. 0

C.

D.





, 构造函数 ,很明显函数 在区间 上单调递增,

则: 据此可得: 本题选择 C 选项.

, .

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每小题 6 分,单空题每小题 4 分,共 36 分. 11. 已知 【答案】 ,则 (1). __________(用表示) , (2). 3 , , (2). 2 ,则 . ,且 ,则 . __________, __________. __________.

【解析】由题意可得: 12. 已知 【答案】 , (1).

【解析】由题意可得: . 13. 已知函数 数 的图像可以由

一部分图像如图所示,则

__________,函

的图像向左平移至少__________ 个单位得到.

【答案】

(1). 2

(2). ,

【解析】由函数图象可得,函数的最小正周期为 结合最小正周期公式有: 令 令 有: 可得: ,函数的解析式为: 的图象如图所示, 观察可得函数 ; ,

绘制函数

的图像可以由



图像向左平移至少 个单位得到.

14.

是定义在 上的偶函数, 当

时,

, 且关于 的方程 __________.

在 上

有三个不同的实数根,则 【答案】 (1). 2 (2). 3

__________,

【解析】由偶函数的性质可得: 关于 的方程 方程的根为奇数个,结合 而 ,则:

, 在 上有三个不同的实数根,

为偶函数可知 .

为方程的一个实数根,

15. 弧度制是数学上一种度量角的单位制,数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提 出把圆的半径作为弧长的度量单位.已知一个扇形的弧长等于其半径长,则该扇形圆心角的弧 度数是__________. 【答案】1 【解析】设扇形的弧长和半径长为,由弧度制的定义可得,该扇形圆心角的弧度数是 16. 已知向量 【答案】2 【解析】由题意可得: 则: ,则: . , 的夹角为 , , ,则 __________. .

17. 函数 __________. 【答案】 【解析】绘制函数 且:

.若存在

,使得

,则

的最大值为

的图象如图所示,观察可得: , 在区间 上的最大值,



原问题等价于考查二次函数: 函数的对称轴 则函数的最大值为: 综上可得: 的最大值为 . ,

.

点睛:本题的实质是二次函数在给定区间上求最值.二次函数、二次方程与二次不等式统称 “三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题,数形结合,密切联系图象是探求 解题思路的有效方法.一般从:①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值符号 四个方面分析. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. 已知集合 (Ⅰ)若 ,求 ; , , , .

(Ⅱ)若

,且

,求的取值范围. ;(Ⅱ) .

【答案】(Ⅰ) 【解析】试题分析: (Ⅰ)当 时,

, ,其中 .

.则 ,而 时,

. .求解不等式

(Ⅱ)由题意可知

结合题意可得 试题解析: (Ⅰ)由题可得 ∴ (Ⅱ)∵ 时, ∴ ∴ . , ,∴ . . 时, . ,



.

.

点睛:(1)已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行 分类讨论,做到不漏解. (2)在解决两个数集关系问题时,避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解, 另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论. 19. 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若 的最小正周期; ,求函数 的最大值以及取得最大值时 的值. .此时 . .

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) 【解析】试题分析:

(Ⅰ)由题意整理三角函数的解析式可得 最小正周期 (Ⅱ)由 即 . ,可得

, 结合最小正周期公式可得函数



,由正弦函数的性质结合(Ⅰ)中函数的解析式可得当

时函数取得最大值 2.

试题解析: (Ⅰ) ∴函数 (Ⅱ)∵ 此时 的最小正周期 , ,∴ . 是边长为 2 的菱形, . . ,∴ ∴ . .

20. 如图所示,四边形

(Ⅰ)求

的值; 及 上运动,求 的最大值.

(Ⅱ)若点 在线段

【答案】(Ⅰ)6;(Ⅱ)18. 【解析】试题分析: (Ⅰ)以 为坐标原点, 运算法则可得 所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系,由平面向量数量积的坐标 . ,则 的最大值为 18.

(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)中建立的平面直角坐标系可知 ,由线性规划的结论可知 试题解析: (Ⅰ)以 为坐标原点, ∴ (Ⅱ) 设 ,∴ , , , . 的值最大,最大值为 18.

所在的直线为 轴,建立平面直角坐标系, , .∴ .

所以当点 在点 处时,

点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几 何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用. 21. 已知 (Ⅰ)求 , 的值; , .

(Ⅱ) 是否存在 若存在,求出

, 使得下列两个式子: ① 的值;若不存在,请说明理由. ,

; ②

同时成立?

【答案】(1) ;(2)存在 【解析】试题分析:

满足①②两式成立的条件.

(Ⅰ)由题意结合同角三角函数基本关系可得



,然后利用两角和的余弦公

式可得

(Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论可知

,则

,满足题意时

,则 计算可得存在 试题解析: (Ⅰ)∵ , ,



是方程

的两个根,结合二次方程的特点

满足①②两式成立的条件.









.

∴ (Ⅱ)∵ ,∴ ,∴ .





∵ ∴ ∵ ∴ , ,

,∴ 是方程 ,∴ .即存在 ,∴ , ,

. 的两个根. , .

满足①②两式成立的条件. .

22. 已知函数

(Ⅰ)若

为奇函数,求的值并判断 ,总存在唯一的

的单调性(单调性不需证明) ; ,使得 成立,求正实数 的取值 ...

(Ⅱ)对任意 范围. 【答案】(Ⅰ) .

在 上单调递增.(Ⅱ)

.

【解析】试题分析: (Ⅰ)函数为奇函数,则 在 上单调递增. (Ⅱ)由题意可知 ①当 ②当 ③当 时有 时有 时不成立. . ; ; ,而 .据此分类讨论: 恒成立.据此可得 .此时 ,

则正实数的取值范围是 试题解析: (Ⅰ)∵ ∴ (Ⅱ) .此时 , . ①当 ②当 ∴ ③当 时, 时, 时, , 在 在 在 为奇函数,∴

恒成立.

,在 上单调递增. ,∴

上单调递增,∴ 上单调递减,在 ,∴ 上单调递增,在

, 上单调递增.

,∴

上单调递减,在

上单调递增.





,不成立.

综上可知,

.


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