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2017高考数学(理)一轮复习练习:第1章 集合与常用逻辑用语 第2讲


基础巩固题组 (建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.(2015· 重庆卷)“x>1”是“log1(x+2)<0”的(
2

)

A.充分必要条件 C.必要不充分条件 解析

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

当 x>1 时,x+2>3>1,又 y=log1x 是减函数,

∴log1(x+2)<log11=0,则 x>1?log1(x+2)<0;
2 2 2

当 log1(x+2)<0 时,x+2>1,x>-1,则 log1(x+2)<0?x>1.故“x>1”是“log1(x+2)<0”
2 2 2

的充分而不必要条件.选 B. 答案 B )

2.命题“若 x,y 都是偶数,则 x+y 也是偶数”的逆否命题是( A.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x+y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x+y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 解析

由于“x,y 都是偶数”的否定表达是“x,y 不都是偶数”, “x+y 是偶数”的否定表达是

“x+y 不是偶数”,故原命题的逆否命题为“若 x+y 不是偶数,则 x,y 不都是偶数”,故选 C. 答案 C )

3.已知 a,b,c∈R,命题“若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2≥3”的否命题是( A.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2<3 B.若 a+b+c=3,则 a2+b2+c2<3 C.若 a+b+c≠3,则 a2+b2+c2≥3 D.若 a2+b2+c2≥3,则 a+b+c=3 解析 答案 同时否定原命题的条件和结论,所得命题就是它的否命题. A

第1页

4.(2015· 天津卷)设 x∈R,则“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

|x-2|<1?-1<x-2<1?1<x<3;x2+x-2>0?x<-2 或 x>1.

由于(1,3)?(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x2+x-2>0”的充分而不必要条 件. 答案 A )

5.(2015· 长沙模拟)在△ABC 中, “A>B”是“sin A>sin B”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

a b a b 由正弦定理知sin A=sin B=2R(R 为△ABC 外接圆半径).若 sin A>sin B,则2R>2R,即 a

>b,所以 A>B;若 A>B,则 a>b,所以 2Rsin A>2Rsin B,即 sin A>sin B,所以“A>B”是 “sin A>sin B”成立的充要条件,故选 C. 答案 C )

6.(2015· 东北三省三校二模)若 p 是綈 q 的充分不必要条件,则綈 p 是 q 的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 解析 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

∵p 是綈 q 的充分不必要条件,∴綈 q 是 p 的必要不充分条件.而

“若綈 p,则 q”是“若綈 q,则 p”的逆否命题, ∴綈 p 是 q 的必要不充分条件,故选 B. 答案 B )

7.(2015· 湖北卷)l1,l2 表示空间中的两条直线,若 p:l1,l2 是异面直线;q:l1,l2 不相交,则( A.p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B.p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C.p 是 q 的充分必要条件 D.p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件 解析

直线 l1,l2 是异面直线,一定有 l1 与 l2 不相交,因此 p 是 q 的充分条件;若 l1 与 l2 不相交,

那么 l1 与 l2 可能平行,也可能是异面直线,所以 p 不是 q 的必要条件.故选 A.
第2页

答案

A )

8.(2016· 安庆调研)下列命题中为真命题的是( 1 A.若 x≠0,则 x+x ≥2

B.命题:若 x2=1,则 x=1 或 x=-1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠-1,则 x2≠1 C.“a=1”是“直线 x-ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件 D.命题“若 x<-1,则 x2-2x-3>0”的否命题为“若 x<-1,则 x2-2x-3≤0” 解析 1 A:当 x<0 时,x+ <2,错误;B:根据逆否命题的定义可知,命题:若 x2=1,则 x=1 x

或 x=-1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠-1,则 x2≠1,正确;C:“a=± 1”是“直线 x-ay=0 与直线 x+ay=0 互相垂直”的充要条件, 错误; D: 否命题应为“若 x≥-1, 则 x2-2x-3≤0”, 错误.故选 B. 答案 B

二、填空题 9. “若 a≤b, 则 ac2≤bc2” , 则命题的原命题、 逆命题、 否命题和逆否命题中真命题的个数是________. 解析 答案 其中原命题和逆否命题为真命题,逆命题和否命题为假命题. 2

1 10.“m<4”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的________条件(填“充分不必要、必要不 充分、充要”). 解析 答案 1 x2+x+m=0 有实数解等价于 Δ=1-4m≥0,即 m≤4. 充分不必要

11.函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=________. 解析 已知函数 f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称,则 m=-2;反之也成立.所以函数

f(x)=x2+mx+1 的图像关于直线 x=1 对称的充要条件是 m=-2. 答案 -2

12.下列命题: ①“全等三角形的面积相等”的逆命题; ②“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ③“若 ab=0,则 a=0”的否命题.
第3页

其中真命题的序号是________. 解析 ①“全等三角形的面积相等”的逆命题为“面积相等的三角形全等” ,显然该命题为假命

题;②原命题的逆命题为: “x,y 互为相反数,则 x+y=0”是真命题;③“若 ab=0,则 a=0” 的逆命题为“若 a=0,则 ab=0”,显然为真命题,所以其否命题是真命题. 答案 ②③ 能力提升题组 (建议用时:15 分钟) 13.(2015· 咸阳质量检测)下列结论错误的是( )

A.命题“若 x2-3x-4=0,则 x=4”的逆否命题为“若 x≠4,则 x2-3x-4≠0” B.“x=4”是“x2-3x-4=0”的充分条件 C.命题“若 m>0,则方程 x2+x-m=0 有实根”的逆命题为真命题 D.命题“若 m2+n2=0,则 m=0 且 n=0”的否命题是“若 m2+n2≠0,则 m≠0 或 n≠0” 解析 C 项命题的逆命题为“若方程 x2+x-m=0 有实根,则 m>0”.若方程有实根,则 Δ=1

+4m≥0, 1 即 m≥-4,不能推出 m>0.所以不是真命题,故选 C. 答案 C )

14.(2015· 浙江卷)设实数 a,b,t 满足|a+1|=|sin b|=t( A.若 t 确定,则 b2 唯一确定 B.若 t 确定,则 a2+2a 唯一确定 b C.若 t 确定,则 sin 2唯一确定 D.若 t 确定,则 a2+a 唯一确定 解析

若 t 确定,则 t2 确定,由|a+1|=t,得 a2+2a+1=t2,所以 a2+2a=t2-1 唯一确定;对于

b A,C,令 t=0,则 sin b=0,即 b=kπ,k∈Z,所以 b2,sin2都不确定;对于 D,令 t=1,则|a +1|=1,即 a=0 或 a=-2,此时 a2+a=0 或 a2+a=2,即 a2+a 的值不唯一确定.故选 B. 答案 B

15.设 n∈N+,一元二次方程 x2-4x+n=0 有整数根的充要条件是 n=________. 解析 已知方程有根,由判别式 Δ=16-4n≥0,解得 n≤4,又 n∈N+,逐个分析,当 n=1,2

时,方程没有整数根;而当 n=3 时,方程有整数根 1,3;当 n=4 时,方程有整数根 2.
第4页

答案

3或4

? ?1 ? 16.已知集合 A=?x?2<2x<8,x∈R?,B={x|-1<x<m+1,x∈R},若 x∈B 成立的一个充分不必 ? ? ?

要的条件是 x∈A,则实数 m 的取值范围是________. 解析
? ?1 ? A=?x?2<2x<8,x∈R?={x|-1<x<3}, ? ? ?

∵x∈B 成立的一个充分不必要条件是 x∈A,∴A?B,∴m+1>3,即 m>2. 答案 (2,+∞)

第5页


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