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专题 导数与函数的单调性、极值、最值


专题 1.函数的单调性

导数与函数的单调性、极值、最值

在某个区间(a,b)内,如果 f′(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f′(x)<0,那么函数 y= f(x)在这个区间内单调递减. 2.函数的极值 (1)判断 f(x0)是极值的方法 一般地,当函数 f(x)在点 x0 处连续时, ①如果在 x0 附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,那么 f(x0)是极大值; ②如果在 x0 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,那么 f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 ①求 f′(x); ②求方程 f′(x)=0 的根; ③检查 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得 极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数 f(x)在[a,b]上单调 递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求 f(x)在(a,b)内的极值; ②将 f(x)的各极值与 f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 1.函数 f(x)=x2-2ln x 的单调减区间是( A.(0,1) B.(1,+∞) )

C.(-∞,1) D.(-1,1) )

2.(2013· 浙江)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( A.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极小值 C.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极小值

B.当 k=1 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 D.当 k=2 时,f(x)在 x=1 处取到极大值 )

3.函数 f(x)的定义域为 R,f(-1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)>2x+4 的解集为( A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1)
2

D.(-∞,+∞)

ln x ln x ln x 4.设 1<x<2,则 ,( )2, 2 的大小关系是__________________.(用“<”连接) x x x

题型一 利用导数研究函数的单调性 例1 已知函数 f(x)=ex-ax-1.

(1)求 f(x)的单调增区间; (2)是否存在 a,使 f(x)在(-2,3)上为减函数,若存在,求出 a 的取值范围,若不存在,请说明理由.

1 (1) 设 函 数 f(x) = x3 - (1 + a)x2 + 4ax + 24a , 其 中 常 数 a>1 , 则 f(x) 的 单 调 减 区 间 为 3 1

_____________________. (2)已知 a>0,函数 f(x)=x3-ax 在[1,+∞)上是单调递增函数,则 a 的取值范围是________. 题型二 利用导数求函数的极值 例2 为-1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; (2)证明:当 x>0 时,x2<ex. (2014· 福建)已知函数 f(x)=ex-ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率

设 f(x)=

ex ,其中 a 为正实数. 1+ax2

4 (1)当 a= 时,求 f(x)的极值点; 3 (2)若 f(x)为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围.

题型三 利用导数求函数的最值 例3 (2014· 四川改编)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,b∈R,e=2.718 28?为自然对数的底数.

设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间[0,1]上的最小值.

已知函数 f(x)=(x-k)ex. (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值.

典例:(12 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值.

A组

专项基础训练

(时间:45 分钟) 2

1.函数 y=(3-x2)ex 的单调递增区间是( A.(-∞,0) B.(0,+∞)

) D.(-3,1) )

C.(-∞,-3)和(1,+∞)

2.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为(

3.设 a∈R,若函数 y=ex+ax 有大于零的极值点,则( A.a<-1 B.a>-1 C.a>- 1 e 1 D.a<- e

)

1 4.设函数 f(x)= x2-9ln x 在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数 a 的取值范围是( 2 A.1<a≤2 B.a≥4 C.a≤2 D.0<a≤3

)

5.已知函数 f(x)=-x3+ax2-4 在 x=2 处取得极值,若 m、n∈[-1,1],则 f(m)+f′(n)的最小值是( A.-13 B.-15 C.10 D.15

)

1 6.函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为________. 2 x3 7.函数 f(x)= +x2-3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 8.已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)(x-a),若 f(x)在 x=a 处取得极大值,则 a 的取值范围是________. 1 9.已知函数 f(x)= +ln x,求函数 f(x)的极值和单调区间. x

1 10.设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围.

B组

专项能力提升

(时间:30 分钟) 11.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意的 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 ex· f(x)>ex+1 的解集是( A.{x|x>0} B.{x|x<0} C.|x|x<-1 或 x>1| D.{x|x<-1 或 0<x<1} 3 )

12.已知 f(x)是可导的函数,且 f′(x)<f(x)对于 x∈R 恒成立,则( A.f(1)<ef(0),f(2 016)>e C.f(1)>ef(0),f(2 016)<e
2 016

)

f(0)

B.f(1)>ef(0),f(2 016)>e D.f(1)<ef(0),f(2 016)<e

2 016

f(0)

2 016

f(0)

2 016

f(0)

13.已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________. 14.(2013· 福建)已知函数 f(x)=x-aln x(a∈R). (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点 A(1,f(1))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的极值.

a 15.已知 a∈R,函数 f(x)= +ln x-1. x (1)当 a=1 时,求曲线 x=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间(0,e]上的最小值.

4


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