3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

1.2.1导数的计算复合函数的导数)3


1.2复合函数的导数

基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c,则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n,则f(x)=nx (n ? R) ' 3.若f(x)=sinx,则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx,则f(x)=-sinx

5.若f(x)=a ,则f(x)=a ln a 6.若f(x)=e ,则f(x)=e
' x ' x

x

'

x

1 7.若f(x)=logax,则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx,则f(x)= x

导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即: ?

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x) ? g ?( x)

法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:

? f ( x) g ( x)?? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:

? f ( x) ?? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ( g ( x) ? 0) ? g ( x) ? ? 2 ? ? ? g ( x) ?

想一想 ???

1). 求函数y=(3x-2)2的导数 把平方式展开,利用导数的四则运算法则求导. 是否还有用其它的办法求导呢? 2).又如我们知道函数y=1/x2的导数是y’=- 2/x 3 那么函数y=1/(3x-2)2的导数又是什么呢?

二、新课——复合函数的导数:
1.复合函数的概念: 对于函数y=f(u)和u=g(x),如果通过变量u,y可以示 成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x) 的复合函数. 记作y=f(g(x)) 函 数
复合函数 内圈函数 外圈函数 定义域 x∈A x∈A U∈D 值 域

y=f(g(x))

y∈B U∈D y∈B

u=g(x) y=f(u)

组合

问题1:指出下列函数的复合关系

1) y ? (a ? bx )

n m

2) y ? sin(x ?

1

y 解: 1)

? u m , u ? a ? bx n 1 2) y ? sin u , u ? x ? x
3

x

)

3) y ? ln e

x

?2
3

4) y ? 3

log2(x 2 ? 2x ? 3)

3) y ? ln u ,u ?

v ,v ? e x ? 2

4) y ? 3u ,u ? log2 v ,v ? x 2 ? 2x ? 3

2.复合函数的导数: 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x) ? f x?[? ( x)] ? f ?(u) ? ?( x). 的导数间关系为 y?x ? y? u ? ux ; 或 注:1)y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数 的乘积. 如:求函数y=(3x-2)2的导数, 令y=u2,u=3x-2, ? ? ? 2u , u?x ? 3, 从而 y?x ? y? 则 yu u ? ux ? 18 x ? 12 2)法则可以推广到两个以上的中间变量.

y ? f ( g (u ( x )))

y ? f g g u ux
' ' '

'

3)在书写时不要把 f x?[? ( x )] 写成 f ?[? ( x )],两者是 不完全一样的,前者表示对自变量x的求导,而 后者是对中间变量? ( x ) 的求导.

问题2:求下列函数复合的导数

1) y ? (a ? bx n )m
解:

1)因y = u
而y
又y
' u
' x

m

, u = a + bx
m-1
' x

n
n- 1

= mg u
' u

,u

' x

= nbx
n

= y g u

∴y

' x

= nmbx (a + bx )

n- 1

m-1

问题2:求下列函数复合的导数
解:

1 2)因y = sinu , u = x + x 1 ' ' 而y u = cosu,u x = 1 - 2 x ' ' ' 又y x = y u u x ∴ yx
'

2) y ? sin(x ?

1

x

)

1 1 = (1 - 2 )cos(x + ) x x

问题2:求下列函数复合的导数

3) y ? ln e x ? 2
3

解:

3) 因y ? ln u ,u ? v ,v ? e
3

x

?2

而y u ?
'

1

u

,y u ?
'

1 3 v
' x
3 2

,v x ' ? e x

又y

' x

? yu yu v
' '

? yx ?
'

1

ex ? 2 3 3 (e x ? 2)2 ex ? x 3(e ? 2 )
3

?

1

?e

x

课本


推荐相关:

1.2导数的运算_图文

1.掌握四个公式,理解公式的证明过程; 2. 利用公式解决简单的问题; 3. 理解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数 的导数; 4. 掌握导数的运算法则。 基础...


浅谈复合函数的求导运算_图文

浅谈复合函数的求导运算_数学_自然科学_专业资料。...准确地找到函数的导数,更好 地理解自变量和函数的...1.2.1-1.2.2基本初等函数... 38页 5下载券 ...


高二 数学 选修2-2 导数的计算

0) ? ? 典型题导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数. (1) y ? x ? 2 x ? 3 3 ' (2) y ?...


导数或微分的计算典型例题

导数或微分的计算典型例题 熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有 (1)利用导数(或微分)的基本公式 (2)利用导数(或微分)的四则运算法则 (3)利用复合函数微分...


导数的运算法则及基本公式应用

四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 ...●案例探究 [例 1]求函数的导数: (1) y ? 1? x (1 ? x 2 ) cos ...


高等数学偏导数第四节复合函数求导法则题库

1 (10 分) 【090403】 【计算题】 【较易 0.3】 【多元复合函数的求导法则】 【多元复合函数的求导法则】 2 【试题内容】设 z ? ln[ xy ? y ? ( ...


1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

复合函数的求导 法则是导数的计算节的最后小节内容.教材在基本初等函数的...的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 3.情感、态度...


《导数的计算(第3课时)》教学设计

3.2.3 导数的计算(第 3 课时)(周雪敏) 一、教学目标 1.核心素养 通过学习复合函数的导数,培养学生的数学运算能力,提升学生的逻辑推理能力. 2.学习目标 (1...


导数的运算_图文

1.2 导数的计算 1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数...利用公式解决简单的问题; 3. 理解复合函数的求导法则,会求某些简单复合函数 的...


高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则...

高中数学1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(三)导学案新人教A版...(3)y=cos ( 3x+1). 探究点二 复合函数的导数 问题 如何求复合函数的导数...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com