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2015解直角三角形高考精选


2014 高中数学解直角三角形
一.解答题(共 28 小题) 1. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= B=A+ . ,

(Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 2. (2014?东城区一模)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ )求 的值;

(Ⅱ )求 tan(A﹣B)的最大值. 3. (2014?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 2 cos A﹣cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积. ,

4. (2014?安徽) 设△ ABC 的内角为 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c, 且 b=3, c=1, A=2B. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求 sin(A+ )的值.

5. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= sinB= sinC, (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 cos(2A﹣ )的值.

b,

6. (2014?广东) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 已知 bcosC+ccosB=2b, 则 = _________ .

7. (2014?广西) △ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 3acosC=2ccosA, tanA= , 求 B.

1

8. (2014?辽宁) 在△ ABC 中,内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b,c, 且 a>c, 已知 cosB= ,b=3,求: (Ⅰ )a 和 c 的值; (Ⅱ )cos(B﹣C)的值. 9. (2014?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值.

?

=2,

10. (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ )若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ )若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

11. (2014?陕西)△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 12. (2014?北京) 如图, 在△ ABC 中, ∠ B= (1)求 sin∠ BAD; (2)求 BD,AC 的长. , AB=8, 点 D 在边 BC 上, 且 CD=2, cos∠ ADC= .

13. (2014?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ,求 cosA 与 a 的值. 14. (2014?湖南) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥ AB, DE=1, EC= ∠ BEC= . , EA=2, ∠ ADC= ,

(Ⅰ )求 sin∠ CED 的值; (Ⅱ )求 BE 的长.

2

15. (2014?河东区二模)在△ ABC 中, (Ⅰ )求 sinA 的值; (Ⅱ )设△ ABC 的面积 ,求 BC 的长.





16. (2014?湖南)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= (Ⅰ )求 cos∠ CAD 的值; (Ⅱ )若 cos∠ BAD=﹣ ,sin∠ CBA= ,求 BC 的长.



17. (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. 18. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 c 的值. ,∠ B=2∠ A.

b.

19. (2013?湖北) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c, 已知 cos2A﹣3cos (B+C) =1. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值. 20. (2013?山东) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c, 且 a+c=6, b=2, (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A﹣B)的值. 21. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0.
3



(1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 22. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a =b +c + bc. (Ⅰ )求 A; (Ⅱ )设 a= ,S 为△ ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的最值. 23. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值.
2 2 2

24. (2013?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsinA=3csinB, a=3, .

(Ⅰ ) 求 b 的值; (Ⅱ ) 求 的值.

25. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.

2

2

ab=c .

2

26. (2012?安徽)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 27. (2012?北京模拟)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 acosB=3, bsinA=4. (Ⅰ )求边长 a; (Ⅱ )若△ ABC 的面积 S=10,求△ ABC 的周长 l.

28. (2012?江西) △ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 3cos (B﹣C) ﹣1=6cosBcosC.
4

(1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为

,求 b,c.

5

2014 高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.解答题(共 28 小题) 1. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= B=A+ . ,

(Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理求 得 b 的值. (Ⅱ )利用 sinB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角 形面积公式求得答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ cosA= ,
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∴ sinA= ∵ B=A+ .

=



∴ sinB=sin(A+ 由正弦定理知 ∴ b= ?sinB=

)=cosA= = × =3 ,





(Ⅱ )∵ sinB= ∴ cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴ S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒 等变换的应用,注重了基础知识的综合运用.

6

2. (2014?东城区一模)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,且 . (Ⅰ )求 的值;

(Ⅱ )求 tan(A﹣B)的最大值. 考点: 正弦定理;两角和与差的正切函数. 分析: 本题考查的知识点是正弦定理及两角和与差的正切函数,
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(Ⅰ )由正弦定理的边角互化,我们可将已知中 sinAcosB=4cosAsinB,再利用弦化切的方法即可求 的值.

,进行转化得到

(Ⅱ )由(Ⅰ )的结论,结合角 A,B,C 为△ ABC 的内角,我们易得 tanA=4tanB>0, 则 tan(A﹣B)可化为 大值. 解答: 解: (Ⅰ )在△ ABC 中, 由正弦定理得 ,再结合基本不等式即可得到 tan(A﹣B)的最



即 sinAcosB=4cosAsinB, 则 (Ⅱ )由 tanA=4tanB>0 ; 得

当且仅当 故当 时,

时,等号成立,

tan(A﹣B)的最大值为 . 点评: 在解三角形时,正弦定理和余弦定理是最常用的方法,正弦定理多用于边角互化,使 用时要注意一般是等式两边是关于三边的齐次式. 3. (2014?浙江)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= 2 2 cos A﹣cos B= sinAcosA﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; ,

7

(Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积.

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )△ ABC 中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 (A+B)sin(A﹣B) . 求得 tan(A+B)的值,可得 A+B 的值,从而求得 C 的值.
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?cos

(Ⅱ )由 sinA=

求得 cosA 的值.再由正弦定理求得 a,再求得 sinB=sin[(A+B)﹣ 的值.
2 2

A]的值,从而求得△ ABC 的面积为 解答: 解: (Ⅰ )∵ △ ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ =

,cos A﹣cos B= sin2B,

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2A﹣

即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B, 即﹣2sin (A+B) sin (A﹣B) =2 sin(A﹣B) . ∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A﹣B)≠0, ∴ tan(A+B)=﹣ (Ⅱ )∵ sinA= < 由正弦定理可得, ,∴ A+B= ,C= = ,∴ C= . (舍去) ,∴ cosA=

?cos (A+B)

,∴ A< ,即

,或 A> =

= .

,∴ a= .

∴ sinB=sin[ (A+B) ﹣A]=sin (A+B) cosA﹣cos (A+B) sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × =

﹣ (﹣ ) × = .



点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题. 4. (2014?安徽) 设△ ABC 的内角为 A、 B、 C 所对边的长分别是 a、 b、 c, 且 b=3, c=1, A=2B. (Ⅰ )求 a 的值; (Ⅱ )求 sin(A+ )的值.

考点: 正弦定理;两角和与差的正弦函数. 专题: 综合题;三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )利用正弦定理,可得 a=6cosB,再利用余弦定理,即可求 a 的值;
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(Ⅱ )求出 sinA,cosA,即可求 sin(A+ 解答: 解: (Ⅰ )∵ A=2B, ∴ a=6cosB,
8

)的值.

,b=3,

∴ a=6



∴ a=2 ; (Ⅱ )∵ a=6cosB, ∴ cosB= ∴ sinB= , , ,cosA=cos2B=2cos B﹣1=﹣ , (sinA+cosA)= .
2

∴ sinA=sin2B= ∴ sin(A+ )=

点评: 本题考查余弦定理、考查正弦定理,考查二倍角公式,考查学生的计算能力,属于中 档题. 5. (2014?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a﹣c= sinB= sinC, (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 cos(2A﹣ )的值.

b,

考点: 正弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )已知第二个等式利用正弦定理化简,代入第一个等式表示出 a,利用余弦定理表 示出 cosA,将表示出的 a,b 代入计算,即可求出 cosA 的值; (Ⅱ )由 cosA 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,进而利用二倍 角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A 与 cos2A 的值,原式利用两角和与差的余弦函数 公式及特殊角的三角函数值化简,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ )将 sinB= sinC,利用正弦定理化简得:b= c,
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代入 a﹣c=

b,得:a﹣c=c,即 a=2c,

∴ cosA=

=

=



(Ⅱ )∵ cosA= ∴ sinA=
2

,A 为三角形内角, = , , + × = .

∴ cos2A=2cos A﹣1=﹣ ,sin2A=2sinAcosA= 则 cos(2A﹣ )=cos2Acos +sin2Asin
9

=﹣ ×

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,同角三角函数间的基本关系,二倍角的正弦、余弦函数 公式,以及两角和与差的余弦函数公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 6. (2014?广东) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c, 已知 bcosC+ccosB=2b, 则 = 2 .

考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,再 利用正弦定理变形即可得到结果. 解答: 解:将 bcosC+ccosB=2b,利用正弦定理化简得:sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 即 sin(B+C)=2sinB, ∵ sin(B+C)=sinA, ∴ sinA=2sinB, 利用正弦定理化简得:a=2b,
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则 =2. 故答案为:2 点评: 此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题 的关键. 7. (2014?广西) △ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 已知 3acosC=2ccosA, tanA= , 求 B. 考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: 由 3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函 数基本关系式可得 tanC,利用 tanB=tan[π﹣(A+B)]=﹣tan(A+B)即可得出. 解答: 解:∵ 3acosC=2ccosA, 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA, ∴ 3tanA=2tanC,
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∵ tanA= , ∴ 2tanC=3× =1,解得 tanC= .

∴ tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣ ∵ B∈(0,π) , ∴ B=
10

=﹣

=﹣1,

点评: 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式 等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题.

8. (2014?辽宁) 在△ ABC 中,内角 A、 B、 C 的对边分别为 a,b,c, 且 a>c, 已知 cosB= ,b=3,求: (Ⅰ )a 和 c 的值; (Ⅱ )cos(B﹣C)的值.

?

=2,

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )利用平面向量的数量积运算法则化简 ? =2,将 cosB 的值代入求出 ac=6,
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再利用余弦定理列出关系式,将 b,cosB 以及 ac 的值代入得到 a +c =13,联立即可 求出 ac 的值; (Ⅱ )由 cosB 的值,利用同角三角函数间基本关系求出 sinB 的值,由 c,b,sinB, 利用正弦定理求出 sinC 的值,进而求出 cosC 的值,原式利用两角和与差的余弦函数 公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ ? =2,cosB= , ∴ c?acosB=2,即 ac=6① , ∵ b=3, 2 2 2 2 2 ∴ 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB,即 9=a +c ﹣4, 2 2 ∴ a +c =13② , 联立① ② 得:a=3,c=2; (Ⅱ )在△ ABC 中,sinB= 由正弦定理 = = = = , ,

2

2

得:sinC= sinB= ×

∵ a=b>c,∴ C 为锐角, ∴ cosC= = = ,

则 cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × +

×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,平面向量的数量积运算,以及同角三角函数间的基本关 系,熟练掌握定理是解本题的关键. 9. (2014?陕西)△ ABC 的内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,求 cosB 的最小值. 考点: 余弦定理;正弦定理.

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11

专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简, 再利用诱导公式变形即可得证; (Ⅱ )由 a,bc 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示 出 cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出 cosB 的最小值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a,b,c 成等差数列, ∴ 2b=a+c, 利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC, ∵ sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , ∴ sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C) ; (Ⅱ )∵ a,b,c 成等比数列, 2 ∴ b =ac, ∴ cosB= = ≥ = ,

当且仅当 a=c 时等号成立, ∴ cosB 的最小值为 . 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练 掌握定理是解本题的关键. 10. (2014?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,且 a+b+c=8. (Ⅰ )若 a=2,b= ,求 cosC 的值; (Ⅱ )若 sinAcos
2

+sinBcos

2

=2sinC,且△ ABC 的面积 S= sinC,求 a 和 b 的值.

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a+b+c=8,根据 a=2,b= 求出 c 的长,利用余弦定理表示出 cosC,将三边长
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代入求出 cosC 的值即可; (Ⅱ )已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简,整理后利用两角和与差的正弦 函数公式及诱导公式变形,再利用正弦定理得到 a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值,利用三角形的面积公式列出关系式,代入 S= sinC 求出 ab 的值,联立即可求 出 a 与 b 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a=2,b= ,且 a+b+c=8, ∴ c=8﹣(a+b)= ,

12

∴ 由余弦定理得:cosC=

=

=﹣ ;

(Ⅱ )由 sinAcos

2

+sinBcos

2

=2sinC 可得:sinA?

+sinB?

=2sinC,

整理得:sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC, ∵ sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, ∴ sinA+sinB=3sinC, 利用正弦定理化简得:a+b=3c, ∵ a+b+c=8, ∴ a+b=6① , ∵ S= absinC= sinC, ∴ ab=9② , 联立① ② 解得:a=b=3. 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题 的关键. 11. (2014?陕西)△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c. (Ⅰ )若 a,b,c 成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点: 余弦定理;等差数列的通项公式;等差关系的确定. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )由 a,b,c 成等差数列,利用等差数列的性质得到 a+c=2b,再利用正弦定理及 诱导公式变形即可得证; (Ⅱ )由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,将 c=2a 代入表示出 b,利用余弦定理表示出 cosB,将三边长代入即可求出 cosB 的值. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a,b,c 成等差数列, ∴ a+c=2b, 由正弦定理得:sinA+sinC=2sinB, ∵ sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C) , 则 sinA+sinC=2sin(A+C) ; (Ⅱ )∵ a,b,c 成等比数列,
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∴ b =ac, 2 2 将 c=2a 代入得:b =2a ,即 b= ∴ 由余弦定理得:cosB=

2

a, = = .

点评: 此题考查了余弦定理,等差、等比数列的性质,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 12. (2014?北京) 如图, 在△ ABC 中, ∠ B=

, AB=8, 点 D 在边 BC 上, 且 CD=2, cos∠ ADC= .
13

(1)求 sin∠ BAD; (2)求 BD,AC 的长.

考点: 余弦定理的应用. 专题: 解三角形. 分析: 根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. 解答: 解: (1)在△ ABC 中,∵ cos∠ ADC= ,
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∴ sin∠ ADC=

=

=

, × ﹣

则 sin∠ BAD=sin(∠ ADC﹣∠ B)=sin∠ ADC?cosB﹣cos∠ ADC?sinB= = .

(2)在△ ABD 中,由正弦定理得 BD=

=



在△ ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +CB ﹣2AB?BCcosB=8 +5 ﹣2×8×

2

2

2

2

2

=49,

即 AC=7. 点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难 度不大. 13. (2014?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,且 b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ,求 cosA 与 a 的值. 考点: 余弦定理的应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 利用三角形的面积公式,求出 sinA=
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,利用平方关系,求出 cosA,利用余弦定理

求出 a 的值. 解答: 解:∵ b=3,c=1,△ ABC 的面积为 ∴ ∴ sinA= , = ,



14

又∵ sin A+cos A=1 ∴ cosA=± , 由余弦定理可得 a= =2 或2 .

2

2

点评: 本题考查三角形的面积公式、余弦定理,考查学生的计算能力,属于中档题.

14. (2014?湖南) 如图, 在平面四边形 ABCD 中, DA⊥ AB, DE=1, EC= ∠ BEC= .

, EA=2, ∠ ADC=



(Ⅰ )求 sin∠ CED 的值; (Ⅱ )求 BE 的长.

考点: 余弦定理的应用;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论. (Ⅱ )利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论. 解答: 解: (Ⅰ )设 α=∠ CED,
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在△ CDE 中,由余弦定理得 EC =CD +ED ﹣2CD?DEcos∠ CDE, 2 2 即 7=CD +1+CD,则 CD +CD﹣6=0, 解得 CD=2 或 CD=﹣3, (舍去) , 在△ CDE 中,由正弦定理得 ,

2

2

2

则 sinα= 即 sin∠ CED= .



(Ⅱ )由题设知 0<α< 而∠ AEB= ∴ cos∠ AEB=cos ( ,

,由(Ⅰ )知 cosα=



) =cos

cosα+sin ,

sinα=



在 Rt△ EAB 中,cos∠ AEB= 故 BE= .

15

点评: 本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难 度不大. 15. (2014?河东区二模)在△ ABC 中, (Ⅰ )求 sinA 的值; (Ⅱ )设△ ABC 的面积 ,求 BC 的长.





考点: 三角形中的几何计算. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )由 cosB,cosC 分别求得 sinB 和 sinC,再通过 sinA=sin(B+C) ,利用两角和公 式,进而求得 sinA. (Ⅱ )由三角形的面积公式及(1)中的 sinA,求得 AB?AC 的值,再利用正弦定理求 得 AB,再利用正弦定理进而求得 BC. 解答: 解: (Ⅰ )由 ,得 ,
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由 所以 (Ⅱ )由 由(Ⅰ )知

,得

. . 得 , ,

故 AB×AC=65, 又 故 所以 , , . .

点评: 本题主要考查了正弦定理及三角形的面积公式在解三角形中的应用.属基础题. 16. (2014?湖南)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= (Ⅰ )求 cos∠ CAD 的值; (Ⅱ )若 cos∠ BAD=﹣ ,sin∠ CBA= ,求 BC 的长. .

16

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用余弦定理,利用已知条件求得 cos∠ CAD 的值. (Ⅱ )根据 cos∠ CAD,cos∠ BAD 的值分别,求得 sin∠ BAD 和 sin∠ CAD,进而利用两角 和公式求得 sin∠ BAC 的值,最后利用正弦定理求得 BC. 解答: 解: (Ⅰ )cos∠ CAD= = = .
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(Ⅱ )∵ cos∠ BAD=﹣ ∴ sin∠ BAD= ∵ cos∠ CAD= ∴ sin∠ CAD= , = =

, ,

∴ sin∠ BAC=sin(∠ BAD﹣∠ CAD)=sin∠ BADcos∠ CAD﹣ cos∠ BADsin∠ CAD= ∴ 由正弦定理知 ∴ BC= × = ?sin∠ BAC= × + × , =3 = ,

点评: 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的综合运用,三角函数恒等变换的应用.考查了 学生对基础知识的综合运用. 17. (2013?浙江)在锐角△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2asinB= (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 a=6,b+c=8,求△ ABC 的面积. b.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用正弦定理化简已知等式,求出 sinA 的值,由 A 为锐角,利用特殊角的三角 函数值即可求出 A 的度数;
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17

(Ⅱ )由余弦定理列出关系式,再利用完全平方公式变形,将 a,b+c 及 cosA 的值代 入求出 bc 的值,再由 sinA 的值,利用三角形面积公式即可求出三角形 ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ )由 2asinB= b,利用正弦定理得:2sinAsinB= sinB, ∵ sinB≠0,∴ sinA= 又 A 为锐角, 则 A= ;
2 2 2 2 2 2



(Ⅱ )由余弦定理得:a =b +c ﹣2bc?cosA,即 36=b +c ﹣bc=(b+c) ﹣3bc=64﹣3bc, ∴ bc= ,又 sinA= , .

则 S△ABC= bcsinA=

点评: 此题考查了正弦定理,三角形的面积公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 18. (2013?北京)在△ ABC 中,a=3,b=2 (Ⅰ )求 cosA 的值; (Ⅱ )求 c 的值. ,∠ B=2∠ A.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )由条件利用正弦定理和二倍角公式求得 cosA 的值. (Ⅱ )由条件利用余弦定理,解方程求得 c 的值. 解答: 解: (Ⅰ ) 由条件在△ ABC 中, a=3, , ∠ B=2∠ A, 利用正弦定理可得
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即 解得 cosA=

= .
2 2



(Ⅱ )由余弦定理可得 a =b +c ﹣2bc?cosA,即 9=
2

2

+c ﹣2×2

2

×c×



即 c ﹣8c+15=0. 解方程求得 c=5,或 c=3. 当 c=3 时,此时 a=c=3,根据∠ B=2∠ A,可得 B=90°,A=C=45°, 2 2 2 △ ABC 是等腰直角三角形,但此时不满足 a +c =b ,故舍去. 综上,c=5. 点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理,以及二倍角公式的应用,注意把 c=3 舍去,这是 解题的易错点,属于中档题. 19. (2013?湖北) 在△ ABC 中, 角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c, 已知 cos2A﹣3cos (B+C) =1. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若△ ABC 的面积 S=5 ,b=5,求 sinBsinC 的值.

18

考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (I)利用倍角公式和诱导公式即可得出;
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(II)由三角形的面积公式
2 2 2

即可得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4.由余弦

定理得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,即可得出 a.又由正弦定理得即可得到 即可得出.
2 解答: 解: (Ⅰ )由 cos2A﹣3cos(B+C)=1,得 2cos A+3cosA﹣2=0,

即(2cosA﹣1) (cosA+2)=0,解得 因为 0<A<π,所以 (Ⅱ )由 S=
2 2

(舍去) .

. =
2

=

,得到 bc=20.又 b=5,解得 c=4. . .

由余弦定理得 a =b +c ﹣2bccosA=25+16﹣20=21,故 又由正弦定理得

点评: 熟练掌握三角函数的倍角公式和诱导公式、三角形的面积公式、余弦定理得、正弦定 理是解题的关键. 20. (2013?山东) 设△ ABC 的内角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c, 且 a+c=6, b=2, (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A﹣B)的值. 考点: 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (1)利用余弦定理列出关系式,将 b 与 cosB 的值代入,利用完全平方公式变形,求 出 acb 的值,与 a+c 的值联立即可求出 a 与 c 的值即可; (2)先由 cosB 的值,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinB 的值,再由 a,b 及 sinB 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,进而求出 cosA 的值,所求式子利用两角和 与差的正弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵ a+c=6① ,b=2,cosB= ,
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∴ 由余弦定理得:b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣2ac﹣ 整理得:ac=9② , 联立① ② 解得:a=c=3; (2)∵ cosB= ,B 为三角形的内角,

2

2

2

2

ac=36﹣

ac=4,

∴ sinB=

=



19

∵ b=2,a=3,sinB=



∴ 由正弦定理得:sinA= ∵ a=c,即 A=C,∴ A 为锐角, ∴ cosA= = ,

=

=



则 sin(A﹣B)=sinAcosB﹣cosAsinB=

× ﹣ ×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,两角和与差的正弦函数公式,以及同角三角函数间的基 本关系,熟练掌握定理及公式是解本题的关键. 21. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+(cosA﹣ sinA)cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 考点: 余弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整 理后根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数 值即可求出 B 的度数; 2 (2)由余弦定理列出关系式,变形后将 a+c 及 cosB 的值代入表示出 b ,根据 a 的范 2 围,利用二次函数的性质求出 b 的范围,即可求出 b 的范围. 解答: 解: (1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0, 即 sinAsinB﹣ sinAcosB=0, ∵ sinA≠0,∴ sinB﹣ cosB=0,即 tanB= , 又 B 为三角形的内角,
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则 B=



(2)∵ a+c=1,即 c=1﹣a,cosB= , ∴ 由余弦定理得:b =a +c ﹣2ac?cosB,即 b =a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac=1﹣3a(1﹣a) =3(a﹣ ) + , ∵ 0<a<1,∴ ≤b <1, 则 ≤b<1. 点评: 此题考查了余弦定理, 二次函数的性质, 诱导公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 22. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,且 a =b +c +
20
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

bc.

(Ⅰ )求 A; (Ⅱ )设 a= ,S 为△ ABC 的面积,求 S+3cosBcosC 的最大值,并指出此时 B 的最值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )由余弦定理表示出 cosA,将依照等式变形后代入求出 cosA 的值,由 A 为三角 形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数; (Ⅱ )由(Ⅰ )求出 sinA 的值,由三角形的面积公式及正弦定理列出关系式,表示出 S, 代入已知等式中提取 3 变形后, 利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函 数,由余弦函数的图象与性质即可求出 S+3cosBcosC 的最大值,以及此时 B 的值. 解答:
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解: (Ⅰ )由余弦定理得:cosA= ∵ A 为三角形的内角,∴ A= ;

=

=﹣



(Ⅱ )由(Ⅰ )得 sinA= ,由正弦定理得:b= S= bcsinA= ? ?asinC=3sinBsinC,

,csinA=asinC 及 a=

得:

则 S+3cosBcosC=3(sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B﹣C) , 则当 B﹣C=0,即 B=C= = 时,S+3cosBcosC 取最大值 3.

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及余弦函数的图象与性质,熟练 掌握定理及公式是解本题的关键. 23. (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1. (1)求证:a,b,c 成等差数列; (2)若 C= ,求 的值.

考点: 余弦定理;等差数列的通项公式. 专题: 解三角形. 2 分析: (1)由条件利用二倍角公式可得 sinAsinB+sinBsinC=2 sin B,再由正弦定理可得 2 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,由此可得 a,b,c 成等差数列.
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(2) 若 C=

, 由 (1) 可得 c=2b﹣a, 由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣2ab?cosC,
2

2

2

2

化简可得 5ab=3b ,由此可得

的值.

解答: 解: (1)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, ∵ 已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1, 2 ∴ sinAsinB+sinBsinC=2 sin B. 2 再由正弦定理可得 ab+bc=2b ,即 a+c=2b,故 a,b,c 成等差数列.

21

(2)若 C=
2 2

,由(1)可得 c=2b﹣a,由余弦定理可得 (2b﹣a) =a +b ﹣

2

2

2

2ab?cosC=a +b +ab. 化简可得 5ab=3b ,∴ = . 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,二倍角公式、余弦定理的应用,属于中档题. 24. (2013?天津)在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsinA=3csinB, a=3, .
2

(Ⅰ ) 求 b 的值; (Ⅱ ) 求 的值.

考 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数;两角和与差的正弦函 点:数;二倍角的正弦;正弦定理. 专 计算题;三角函数的图像与性质. 题: 分 (Ⅰ ) 直接利用正弦定理推出 bsinA=asinB,结合已知条件求出 c,利用余弦定理直接 析:求 b 的值; (Ⅱ ) 利用(Ⅰ )求出 B 的正弦函数值,然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值,
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利用两角差的正弦函数直接求解

的值.

解 解: (Ⅰ )在△ ABC 中,有正弦定理 ,可得 bsinA=asinB, 答: 又 bsinA=3csinB,可得 a=3c,又 a=3,所以 c=1. 由余弦定理可知:b =a +c ﹣2accosB, 即 b =3 +1 ﹣2×3×cosB, 可得 b= . (Ⅱ )由 ,可得 sinB=
2 2 2 2 2 2 2





所以 cos2B=2cos B﹣1=﹣ , sin2B=2sinBcosB= 所以 = . 点 本题考查余弦定理,正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数,两角和与差的三角函 评:数,同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力. = = ,

22

25. (2013?重庆)在△ ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 a +b + (1)求 C; (2)设 cosAcosB= , = ,求 tanα 的值.

2

2

ab=c .

2

考 余弦定理;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的余弦函数. 点: 专 解三角形. 题: 分 (1)利用余弦定理表示出 cosC,将已知等式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 为三角 析: 形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (2)已知第二个等式分子两项利用两角和与差的余弦函数公式化简,再利用同角三角 函数间的基本关系弦化切, 利用多项式乘多项式法则计算, 由 A+B 的度数求出 sin (A+B) 的值,进而求出 cos(A+B)的值,利用两角和与差的余弦函数公式化简 cos(A+B) , 将 cosAcosB 的值代入求出 sinAsinB 的值,将各自的值代入得到 tanα 的方程,求出方程 的解即可得到 tanα 的值. 2 2 2 2 2 2 解 解: (1)∵ a +b + ab=c ,即 a +b ﹣c =﹣ ab, 答:
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∴ 由余弦定理得:cosC= 又 C 为三角形的内角, 则 C= ;

=

=﹣



(2)由题意 =

=



∴ (cosA﹣tanαsinA) (cosB﹣tanαsinB)=
2


2

即 tan αsinAsinB﹣tanα (sinAcosB+cosAsinB) +cosAcosB=tan αsinAsinB﹣tanαsin (A+B) +cosAcosB= ∵ C= , ,cosAcosB= , ﹣sinAsinB= ,即

,A+B=

∴ sin(A+B)= sinAsinB= ∴ tan α﹣
2

,cos(A+B)=cosAcosB﹣sinAsinB=

, tanα+ = ,即 tan α﹣5tanα+4=0,
23
2

解得:tanα=1 或 tanα=4. 点 此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,同角三角函数间的基本关系,熟练 评: 掌握余弦定理是解本题的关键. 26. (2012?安徽)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,且有 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC. (Ⅰ )求角 A 的大小; (Ⅱ )若 b=2,c=1,D 为 BC 的中点,求 AD 的长. 考点: 余弦定理;三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )根据 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC,可得 2sinBcosA=sin(A+C) ,从而可得 2sinBcosA=sinB,由此可求求角 A 的大小;
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(Ⅱ )利用 b=2,c=1,A=

,可求 a 的值,进而可求 B=

,利用 D 为 BC 的中点,

可求 AD 的长. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC ∴ 2sinBcosA=sin(A+C) ∵ A+C=π﹣B ∴ sin(A+C)=sinB>0 ∴ 2sinBcosA=sinB ∴ cosA= ∵ A∈(0,π) ∴ A= ;

(Ⅱ )∵ b=2,c=1,A= ∴ a =b +c ﹣2bccosA=3 2 2 2 ∴ b =a +c ∴ B= ∵ D 为 BC 的中点, ∴ AD= .
2 2 2

点评: 本题考查余弦定理的运用, 考查三角函数知识, 解题的关键是确定三角形中的边与角. 27. (2012?北京模拟)设△ ABC 的内角 A、B、C 所对的边长分别为 a、b、c,且 acosB=3, bsinA=4. (Ⅰ )求边长 a; (Ⅱ )若△ ABC 的面积 S=10,求△ ABC 的周长 l.

24

考点: 余弦定理. 专题: 计算题. 分析: (I)由图及已知作 CD 垂直于 AB,在直角三角形 BDC 中求 BC 的长. (II)由面积公式解出边长 c,再由余弦定理解出边长 b,求三边的和即周长. 解答: 解: (I)过 C 作 CD⊥ AB 于 D,则由 CD=bsinA=4,BD=acosB=3
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∴ 在 Rt△ BCD 中,a=BC=

=5

(II)由面积公式得 S= ×AB×CD= ×AB×4=10 得 AB=5 又 acosB=3,得 cosB= 由余弦定理得:b= △ ABC 的周长 l=5+5+2 =10+2 答: (I)a=5; (II)l=10+2 点评: 本题主要考查了射影定理及余弦定理. 28. (2012?江西) △ ABC 中, 角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 3cos (B﹣C) ﹣1=6cosBcosC. (1)求 cosA; (2)若 a=3,△ ABC 的面积为 ,求 b,c. 考点: 余弦定理;诱导公式的作用;两角和与差的余弦函数;正弦定理. 专题: 计算题. 分析: (1)利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式左边的第一项,移项合并后再利 用两角和与差的余弦函数公式得出 cos(B+C)的值,将 cosA 用三角形的内角和定理 及诱导公式变形后,将 cos(B+C)的值代入即可求出 cosA 的值; (2)由 cosA 的值及 A 为三角形的内角,利用同角三角函数间的基本关系求出 sinA 的值,利用三角形的面积公式表示出三角形 ABC 的面积,将已知的面积及 sinA 的值 代入,得出 bc=6,记作① ,再由 a 及 cosA 的值,利用余弦定理列出关于 b 与 c 的关系 式,记作② ,联立① ② 即可求出 b 与 c 的值. 解答: 解: (1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC, 化简得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC, 变形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1,
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=

=2

即 cos(B+C)=﹣ ,

25

则 cosA=﹣cos(B+C)= ; (2)∵ A 为三角形的内角,cosA= , ∴ sinA= 又 S△ABC=2 = , ,解得:bc=6① ,

,即 bcsinA=2

又 a=3,cosA= , ∴ 由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 得:b +c =13② , 联立① ② 解得: 或 .
2 2 2 2 2

点评: 此题考查了余弦定理,三角形的面积公式,两角和与差的余弦函数公式,诱导公式, 以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握公式及定理是解本题的关键.

26



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