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数列通项公式的求法课件


等差数列的通项公式: 等比数列的通项公式:

an ? a1 ? (n ? 1)d

an ? a1q

n ?1

1、观察法

观察法就是观察数列特征,横向看各项之间 的结构,纵向看各项与项数n的内在联系。适 用于一些较简单、特殊的数列。

例1

写出下列数列的一个通项公式 a n
n 2

(1) -1,4,-9,16,-25,36,…… ;

解:

an ? ?? 1? ? n (如果数列是正负相间

的,把相应的关于n 的式子乘以 ? 1 或
n

? ? ?? 1?

n ?1

就可以了) (2)
解:

2, 3, 5, 9, 17, 33, ……;

an ? 2

n ?1

?1

1、累加法
若数列

{a n } ,满足an?1 ? an ? f (n)(n ? N )
是可求和数列,那么可用逐项作差后累加

其中

f (n)

的方法求

an

,适用于差为特殊数列的数列。

a1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 解:由 a n ?1 ? an ? 2n ? 1 得 an?1 ? an ? 2n ? 1


例1 已知数列 {a n } ,满足 an ?1 ? an ? 2n ? 1

an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ?? ? a3 ? a2)(a2 ? a1) a1 ( ? ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 3 ? ? ? 3 ? 1 ? n
所以数列
2

{a n }的通项公式 an ? n

2

2、累乘法

an ?1 ? f (n)( n ? N ) 若数列 a } ,满足 { n an

{ 其中数列 f

(n)} 前n项积可求,则通项 an

可用

逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。

a1 ? 3 ,an ?1 ? 2 an ,求通项公式 a n 例2、已知
n

an a2 n ?1 a4 1 a3 2 3 ?2 ? ? 2 , ? 2 , ? 2 ,…… an ?1 a1 a2 a3

解:? an ?1

? 2 an
n

an a2 a3 a4 2 3 n ?1 ? ? ???? ? 2 ? 2 ? 2 ???? 2 a1 a2 a3 an?1 n ( n ?1) an 1? 2 ? 3??? ( n ?1) ?2 ?2 2 a1 n ( n ?1) 2 即 an ? 3 ? 2

3、 利用数列前 数列前 n 项和
n

n

项和 S n 求通项公式:

S n 与 a n 之间有如下关系:

?a1 ? S1 , 由此即可由 S n 求 an . ? ?an ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

1 例 4、设数列{a n } 的前项的和 S n ? (an ? 1)( n ? N * ) 3 (1)、求 a1 ; a 2
1 1 解(1)、由 S n ? (an ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) 3 3 1 1 1 1 a1 ? ? ,又S2 ? (a2 ? 1),即a1 ? a2 ? (a2 ? 1), 得a2 ? 2 3 3 4
(2)、求证数列

{a n } 为等比数列。

1 1 (2)、当n ? 1时,an ? Sn ? S n?1 ? (an ? 1) ? (an?1 ? 1) 3 3 an 1 得 ?? an?1 2
1 1 所以{an }是首项 ? ,公比为? 的等比数列 2 2

例3

已知数列 {a n } 的前

n 项和 S n ? 2an ? 1

{ 求证: a n } 为等比数列并求通项公式。

解:a1 ? S1 ? 2a1 ? 1 ? a1 ? ?1

an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2an?1 ? 1 ? 2an ? 1
即an ?1 ? 2an 即{an }为首项 ? 1,公比为2的等比数列
an ? ?1? 2
n ?1

? ?2

n ?1

4、构造等差、等比数列法
对于一些递推关系较复杂的数列,可通过 对递推关系公式的变形、整理,从中构造出一 个新的等比或等差数列,从而将问题转化为前 面已解决的几种情形来处理。
(1)构造等差列法

若an ?1

pan 1 1 q ? 则 ? ? p ? qan an ?1 an p

a a 例5、已知数列{a n }中, 1 ? 1 , n ?1 1 (1)、求证 { } 是等差数列 an (2)、求 {a n } 的通项公式
解: (1)、 an ?1 ?
2 an ? an ? 2

2 an ? an ? 2

? an?1 ? an ? 2 ? an?1 ? 2 ? an

1 ?{ } 首项为1,公差为 1 的等差数列 an 2

2 2 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1? ? an ?1 an 2 an an ?1

1 1 n ?1 ( 2)、 ? 1 ? ( n ? 1) ? ? an 2 2 2 即an ? n ?1

变式题: 已知数列{an}中,a1=1, an+1+3an+1an-an=0, 求数列{an}的通项公式.
解: an?1 ? 3an?1an ? an ? 0 ? 1 1 1 1 ? ? ? ?3 ? ? ?3 an an ? 1 an ? 1 an
?1? 1 ? ? ? 是以 为首项,以3为公差的等差数列 a1 ? an ?
1 1 ? ? ? ( n ? 1) ? 3 an a1 ? 1 ? ( n ? 1) ? 3 ? 3n ? 2

1 ? an ? 3n ? 2

6.辅助数列法 (构造法或待定系数法)
这种方法类似于换元法, 主要用于形如an+1=c an+d(c≠0,a1=a)的已知递推关系式求通项公式。 (1)若c=1时,数列{an}为等差数列; (2)若d=0时,数列{an}为等比数列; (3)若c≠1且d≠0时,数列{an}为线性递推数列, 其通项可通过构造辅助数列来求.方法1:待定系数法 设an+1+m=c( an+m),得an+1=c an+(c-1)m, 与题设an+1=c an+d,比较系数得: (c-1)m=d, 所以有:m=d/(c-1) ? an ? d ? c (an?1 ? d )

d ? ? d 因此数列 ? a n ? 构成以 a1 ? 为首项,以c为公比的等比数列, ? c ? 1? ? c ?1 d d n ?1 d d )? c ? ? an ? ? (a1 ? ) ? c n?1 即:an ? (a1 ? c ?1 c ?1 c ?1 c ?1

c ?1

c ?1

方法2: ? an?1 ? can ? d ,

当n ? 2时, an ? can?1 ? d ,

an ? 1 ? an ? ?c an ? an ?1

两式相减,得:an?1 ? an ? c(an ? an?1 )

数列{an ? an?1 }是以a2 ? a1为首项,以c为公比的等比数列 an ? an?1 ? (a2 ? a1 ) ? c n? 2 ? an?1 ? an? 2 ? (a2 ? a1 ) ? c n? 3 ? ? 1 ? c n ?1 ??? ? ? an ? a1 ? (a2 ? a1 )(1 ? c ? ? ? cn? 2 )=(a2 ? a1 ) ? a3 ? a2 ? (a2 ? a1 ) ? c 1? c ? a2 ? a1 ? a2 ? a1 ? ?

方法三:迭代法 an?1 ? can ? d , 由 递推式 直接迭代得 an ? can?1 ? d ? c(can? 2 ? d ) ? d ? c 2an? 2 ? d (c ? 1)

= c an? 3 ? d (1 ? c ? c ) ? ? n ?1 2 n? 2 = c a1 ? d (1 ? c ? c ? ? ? c )
3 2

d n ?1 d = (a ? )c ? c ?1 c ?1

方法四:归纳、猜想、证明. ? 先计算出a1,a2,a3; ? 再猜想出通项an; ? 最后用数学归纳法证明.

例6:已知数列{an}中,a1=3,an+1=2an+3,求 数列的通项公式 解法1:由an+1=2an+3得 an+1+3=2(an+3) 所以{an+3}是以a1+3为首项,以2为公比的等 比数列,所以:an+3=( a1+3)× 2n-1 故an=6×2n-1-3
解法2:因为an+1=2an+3,所以n>1时, an=2an-1+3,两式相减,得:an+1 - an=2(an-an-1). 故{an-an-1}是以a2-a1=6为首项,以2为公比的等比数列. an-an-1=(a2-a1)· n-1=6×2n-1, 2 an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ …+(a2-a1)+a1 =6(2n-1-1)+3= 3(2n-1-1)

变式题:设二次方程an x ? an?1 x ? 1 ? 0( n ? N ) 有两根? , ? , 满足6? ? 2?? ? 6? ? 3. 2? ? 求证:an ? ? 是等比数列。 ? ? an+1 3? ? ?? +? =
2 *

? an 证:依题意,由韦达定理可知: ? 1 ?? ? ? ? an 又 ? 6? ? 2?? ? 6? ? 3 ? ?

6an?1 2 1 1 ? ? ? 3 ? an?1 ? an ? ( n ? N *) an an 2 3 2
an ? 1 ? 3?1 2 2 an ? 3

2 1 1 1 2 ? an ? 1 ? ? an ? ? ( an ? ) ? 3 2 3 2 3

2? 1 ? ? ? an ? ? 是以 为公比的等比数列 3? 2 ?

例7.已知 an?1 ? nan ? n ? 1, a1 ? ?1,

解: an?1 ? nan ? n ? 1, ? an?1 ? 1 ? nan ? n, ?
? an?1 ? 1 ? n(an ? 1) (1) ,
an ? 1 ? 1 由(1)得: ? n故由累乘法,得: , an ? 1
? (n ? 1) ? ( n ? 2) ? ( n ? 3) ? ? ? 2 ? 1 ? (a1 ? 1)

求数列{an}的通项公式.

又 ? a1 ? ?1 即a1 ? 1 ? 0

? an ? 1 ? 0

an ? 1 an ?1 ? 1 a 3 ? 1 a2 ? 1 an ? 1 ? ? ?? ? ? ? (a1 ? 1) an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 a2 ? 1 a1 ? 1

? an ? ( n ? 1)!? (a1 ? 1) ? 1

7.逐差法 形如an+1+an=f(n)的数列. (1)若an+1+an=d (d为常数),则数列{ an}为 “等和数列”,它是一个周期数列,周期为2, 其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若f(n)为n的函数(非常数)时,可通过构 造转化为an+1-an=f(n) 型,通过累加来求出通项; 或用逐差法(两式相减)转化为an+1-an-1=f(n)-f(n-1), 分奇偶项来分求通项.

例8. 数列{an}满足a1=0, an+1+an=2n, 求 数列{an}的通项公式.

分析1.构造转化为an?1 ? an ? f (n)型 n 解法1:令bn ? ( ?1) an
则 bn?1 ? bn ? (?1)n?1 an?1 ? (?1)n an ? (?1)n?1 (an?1 ? an ) ? (?1)n?1 ? 2n ? bn ? bn?1 ? ( ?1)n ? 2( n ? 1) ? bn?1 ? bn? 2 ? ( ?1)n?1 ? 2( n ? 2) ? ? 各式相加得: n ? 2时, ??? ? b2 ? b1 ? ( ?1)2 ? 2 ? 1 ? ? b1 ? ? a1 ? 0 ?

?( ?1)n ( n ? 1) ? ( ?1)n?1 ( n ? 2) ? ? ? ( ?1)3 ? 2 ? ( ?1)2 ? 1? bn ? 2 ? ?

n ? 2? ? 当n为偶数时,bn ? 2 ?( n ? 1) ? ( ?1) ? ??n 2 ? ?

n?1 当n为奇数时,bn ? 2(? ) ? ?n ? 1 2 此时,bn ? ?an

此时,an ? bn ? n

? an ? n ? 1

? n ? 1, n为奇数, 故an ? ? ? n, n为偶数.

解法2: ? an?1 ? an ? 2n 当n ? 2时, an ? an?1 ? 2( n ? 1)

两式相减,得:an?1 ? an?1 ? 2

? a1 , a3 , a5 ,? , 构成以a1为首项,以2为公差的等差数列 a2 , a4 , a6 ,? , 构成以a2为首项,以2为公差的等差数列

? a2k ?1 ? a1 ? (k ? 1)d ? 2k ? 2
a2k ? a2 ? (k ? 1)d ? 2k
? n ? 1, n为奇数, ? an ? ? ? n, n为偶数.

?

.

?

课时小结
这节课我们主要学习了数列的通项公式的求法, 大家需要注意以下几点: 1、若数列 {a n }满足an?1 ? an ? f (n)( n ? N ) 可用累加法
an ?1 来求通项公式;若数列{a n } 满足 a ? f (n)( n ? N ) n pan 可用累乘法来求通项公式;若数列 {a n } 满足 an ?1 ? p ? qa n

可用构造等差数列来求通项公式;若数列{a n } 满足,

an?1 ? pan ? q 可用构造等比数列来求通项公式;若数列{a n }

n项 an 和 S n 的关系可用 ?a 已知前 ?

1

? S1

?a1 ? S1 2、用? , 由 S n 求 an 时注意n ? 1要单独讨论. ?an ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

?an ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

课后作业

(1)、已知a1 ? 1,an?1 ? an ? 2n, 求an
an (2)、已知数列{an }中,a1 ? 1,an ?1 ? , (n ? N * ) 1 ? 2an 写出这个数列的通项公式并证明
1 1 1 (3)、已知数列 an }满足 a1 ? 2 a2 ? ?? ? n an ? 2n ? 5, 求an { 2 2 2
1 (4)、数列{an }的前n项和为Sn,且a1 ? 1,an ?1 ? Sn , n ? 1,2,3?? 3 求a2 , a3 , a4的值及数列{an }的通项公式.

(5)、数列?an ?中, sn是它的前n和, 并且满足 (1)设bn ? an?1 ? 2an , 求证 ?bn ? 是等比数列; an (2)设cn ? n , 求证数列?cn ? 是等差数列. 2 sn?1 ? 4an ? 2( n ? N ? ), a1 ? 1

(6)、已知数列?an ?的首项a1 ? 3, 通项an与 求数列?an ?的通项公式. 前n项和sn之间满足2an ? sn ? sn?1 ( n ? 2).

补充:
一、形如 a n ?1 (1)若 a n ?1

? a n ? f (n) 型

? a n ? p (p 为常数),则数列{ a n }为“等积数列”,它是一个周期数列,周期为 2,

其通项分奇数项和偶数项来讨论; (2)若 f(n)为 n 的函数(非常数)时,可通过逐差法得 a n 奇偶项来分求通项. 例 1. 已知数列 {a n }满足

? a n ?1 ? f (n ? 1) ,两式相除后,分

1 a1 ? 3, a n ? a n ?1 ? ( ) n , (n ? N * ) ,求此数列的通项公式. 2

提示:同前面的例 8

二、形如 a n ?1 ? pan ? f (n) 型

(1)若 f (n) ? kn ? b (其中 k,b 是常数,且 k ? 0 ) 方法:相减法 例 2.在数列 {a n } 中, a1 ? 1, a n?1 ? 3a n ? 2n, 求通项 a n . 解: ? a n?1 ? 3a n ? 2n, 两式相减得 ①? n ? 2 时, a n ? 3a n?1 ? 2(n ? 1) ,

a n ?1 ? a n ? 3(a n ? a n ?1 ) ? 2 .令 bn ? a n ?1 ? a n ,则 bn ? 3bn ?1 ? 2

利用待定系数法知 bn ? 5 ? 3 n?1 ? 2 即
a n ?1 ? a n ? 5 ? 3 n ?1 ? 1

②再由累加法可得 a n ? 5 ? 3 n?1 ? n ? 1 .
2 2

亦可联立



②解出 a n ? 5 ? 3 n?1 ? n ? 1 .
2 2

(2)若 f (n) ? q n (其中 q 是常数,且 n ? 0,1)
①若 p=1 时,即: a n ?1 ? ②若

a n ? q n ,累加即可.

p ? 1 时,即: a n ?1 ? p ? a n ? q n ,

求通项方法有以下三种方向:i. 两边同除以

p n ?1 .
,则 bn ?1

即:

a n ?1 p n ?1

?

an qn

?

an 1 p n ? ( ) ,令 bn ? n p q p

? bn ?

1 p n ?( ) , p q

然后用累加求通项.
n ?1

ii.两边同除以 q

.

即:

a n ?1 q n ?1

?

p an 1 ? ? , q qn q

令 bn

?

an qn

,则可化为 bn ?1

?

p 1 ? bn ? .然后转化为待定系数法来解, q q

iii.待定系数法: 设 a n ?1 ??

? q n ?1 ? p(a n ? ? ? p n ) .通过比较系数,求出 ? ,转化为等比数列求通项。

例 3.(2003 天津理)设 a 0 为常数,且 a n ? 3 n ?1 ? 2a n ?1 (n ? N ) .
证明:对任意 n ≥1, a n

1 ? [3 n ? (?1) n?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 ; 5
n

证法 1:两边同除以(-2) ,得

an (?2) n

?

a n ?1 (?2) n ?1

?

1 3 ? (? ) n 3 2

令 bn

?

an (?2) n

,则 bn

? bn ?1 ?

1 3 ? (? ) n 3 2

? bn ? (bn ? bn ?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1
1? 3 n 3 (? ) ? (? ) n ?1 3? 2 2 ?

=

3 3 (? ) 2 [1 ? (? ) n ?1 ] 3 ? a 1 1 2 ? ? ? (? ) 2 ? ? 1 = ? 2 ? (1 ? 2a 0 ) 3 2 ? ?2 3 2 1 ? (? ) 2

=? ?

1 3 [( ? ) n ? 1] ? a 0 5 2 1 ? a n ? (?2) n bn ? ? ? [3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a 0 . 5

证法 2:由 a n

?3

n ?1

? 2a n ?1 (n ? N ) 得

1 2 a n ?1 ? ? ? n ?1 n 3 3 3 3

an

.

2 1 设 bn ? n ,则 b n ? ? bn ?1 ? . 3 3 3

an

1 2 1 即: bn ? ? ? (bn ?1 ? ) , 5 3 5

1 2 1 2 1? ? 所以 ?bn ? ? 是以 b1 ? ? ( ? a 0 ) 为首项, ? 为公比的等比数列. 5 3 5 3 5? ? 1 2 1 2 n ?1 1 n ?1 2 n ? a 0 )( ?1) ( ) , 则 bn ? ? ( ? a 0 )( ? ) = ( 5 3 5 3 5 3
1 1 n ?1 2 n 即: n ? bn ? ( ? a 0 )( ?1) ( ) ? , 5 3 5 3
1 n n ?1 故 a n ? [3 ? (?1) ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 . 5

an

证法 3:用待定系数法 设 an

? ? ? 3 n ? ?2(a n ?1 ? ? ? 3 n ?1 ) ,

即: a n

? ?2a n ?1 ? 5? ? 3 n ?1 ,

比较系数得: ? 5?

? 1 ,所以 ? ? ?

1 5

所以 a n

?

1 n 1 ? 3 ? ?2(a n ?1 ? ? 3 n ?1 ) , 5 5

? 3 n ? 是公比为-2,首项为 3 所以数列 ?a ? ? a1 ? 的等比数列. n 5 5? ?

3n 3 ? an ? ? (1 ? 2a0 ? )( ?2) n ?1 (n ? N ). 5 5

1 n n ?1 即 a n ? [3 ? (?1) ? 2 n ] ? (?1) n ? 2 n a0 . 5

三、形如 a n ?1 ?

pan ? q 型 ra n ? s pan ?1 ra n ?1 ? s
取倒数法.

1.

p, r , s ? 0, q ? 0 即 a n ?

例 4. 已知数列

?a n ?中, a1 ? 2 , a n

?

a n ?1 (n ? 2) ,求通项公式 a n 。 2a n ?1 ? 1

解:取倒数:

1 1 1 1 ? ?2? ? ?2 an a n ?1 a n a n ?1

?

1 1 3 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? a n a1 2 2 . 4n ? 3

? an ?

2.形如 a n ?1 ?

ma n ? p (m, p, q为定值) 型 an ? q

方法:不动点法:

我们设

f ( x) ?

mx ? p ,由方程 f ( x) ? x 求得二根 x,y, x?q

由 a n ?1

ma n ? p ma n ? p mx ? p mq ? p a n ? x 有 a n ?1 ? x ? ? ? ? ? an ? q an ? q x?q x ? q an ? q ma n ? p my ? p mq ? p a n ? y ? ? ? an ? q y?q y ? q an ? q
a n ?1 ? x y ? q a n ? x ? ? ,两式相除有 a n ?1? y x ? q an ? y
,

同理 a n ?1 ? y ?

a n ?1 ? x y ? q n ?1 a1 ? x ?( ) ? 从而得 ,再解出 a n 即可. a n ?1 ? y x?q a1 ? y

例 5. 设数列{an}满足 a1

? 2, a n ?1 ?

5a n ? 4 ,求{an}的通项公式. 2a n ? 7

分析:此类问题常用参数法化等比数列求解. 解:对等式两端同时加参数 t,得:

a n ?1

7t ? 4 5a ? 4 (2t ? 5)a n ? 7t 2t ? 5 ?t ? n ?t ? ? (2t ? 5) 2a n ? 7 2a n ? 7 2a n ? 7 an ?

,

令t

?

7t ? 4 , 2t ? 5

解之得 t=1,-2

代入 a n ?1

? t ? (2t ? 5)

an ? t 得 2a n ? 7

a n ?1 ? 1 ? 3

an ? 1 an ? 2 , a n ?1 ? 2 ? 9 , 2a n ? 7 2a n ? 7

相除得

a n ?1 ? 1 1 a n ? 1 an ? 1 a1 ? 1 1 ,即{ }是首项为 ? ? ? , a n ?1 ? 2 3 a n ? 2 an ? 2 a1 ? 2 4
4 ? 3 n ?1 ? 2 解得 a n ? . n ?1 4 ? 3 ?1

a n ? 1 1 1? n 1 公比为 的等比数列, = ?3 , 3 an ? 2 4

四、形如 a n ?1 ? pan ? qan ?1 (其中 p,q 为常数)型
(1)当 p+q=1 时 用转化法

例 6.数列 { an } 中, a1 若 解:把 a n ? 2 则数列

? 8, a 2 ? 2 ,且满足 a n ? 2 ? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 ,求 a n .

? 4a n ?1 ? 3a n ? 0 变形为 a n ? 2 ? a n ?1 ? 3(a n ?1 ? a n ) .

?a n ?1 ? a n ?是以 a 2 ? a1 ? ?6 为首项,3 为公比的等比数列,则
利用类型 6 的方法可得

a n ?1 ? a n ? ?6 ? 3 n ?1

a n ? 11 ? 3 n .

(2)当

p 2 ? 4q ? 0 时

用待定系数法.

例 7. 已知数列 { an } 满足 a n ? 2 解:令 a n ? 2

? 5a n ?1 ? 6a n ? 0 ,且 a1 ? 1, a 2 ? 5 ,且满足,求 a n .

? xan ?1 ? y(a n ?1 ? xan ) ,即 a n ? 2 ? ( x ? y)a n ?1 ? xyan ? 0 ,与已知
?x ? y ? 5 ?x ? 2 ?x ? 3 ,故 ? 或? ? 6a n ? 0 比较,则有 ? ? xy ? 6 ?y ? 3 ?y ? 2

a n ? 2 ? 5a n ?1

?x ? 2 下面我们取其中一组 ? 来运算,即有 a n ? 2 ?2a n ?1 ? 3(a n ?1 ? 2a n ) , ?y ? 3
则数列

?a n?1 ? 2a n ? 是以 a 2 ? 2a1 ? 3 为首项,3 为公比的等比数列,故

a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 3 n ?1 ? 3 n ,即 a n ?1 ? 2a n ? 3 n ,利用前面的方法,可得

an ? 3n ? 2 n .

r 五、形如 a n ?1 ? pan (其中 p,r 为常数)型

(1)p>0, a n 例 8.

?0

用对数法.

设正项数列

2 ?a n ?满足 a1 ? 1 , a n ? 2a n?1 (n≥2).求数列 ?a n ? 的通项公式.

解:两边取对数得: log 2n 设 bn

a

? 1 ? 2 log an ?1 , log an ? 1 ? 2(log an ?1 ? 1) , 2 2 2
? log 1 ? 1 ? 1 2
2 n ? 1 ?1

?bn ? 是 以
an 2

? log an ? 1 ,则 bn ? 2bn?1 2
2 为 公 比 的 等 比 数 列 , b1
n ?1

bn ? 1 ? 2 n?1 ? 2 n?1 ,

log ? 1 ? 2
练习 数列 答案: a n

, log

?a n ? 中 , a1 ? 1 , a n ? 2
2?22? n

an 2

?2

n ?1

? 1 ,∴ a n ? 2
a n ?1

( n ≥2 ) ,求 数 列

?a n ? 的 通 项 公式 .

?2

(2)p<0 时

用迭代法.

例 9.(2005 江西卷) 已知数列 {a n } 的各项都是正数, 且满足 : (1)证明 an 解: (1)略

? an?1 ? 2, n ? N ;

1 a n (4 ? a n ), n ? N 2 (2)求数列 {a n } 的通项公式 a n . a 0 ? 1, a n ?1 ?



1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2 2 所以 2(a n ?1 ? 2) ? ?(a n ? 2) 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1? 2??? 2 2 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn ?1 ? ? (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) bn ?1 ? ? ? ?( ) bn 2 2 2 2 2 2
(2) a n ?1

?

2

n ?1

n

又 bn=-1,所以 bn

1 n 1 n ? ?( ) 2 ?1 ,即an ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 . 2 2

方法 2:本题用归纳-猜想-证明,也很简捷,请试一试.

1 2 解法 3:设 c n ? ?bn ,则 c n ? c n ?1 ,转化为上面类型(1)来解. 2


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