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2014届高考数学总复习 3.3正弦、余弦、正切函数的图像和性质提高分课时作业(含2013年模拟题) 新人教A版

【题组设计】2014 届高考数学(人教版)总复习“提高分”课 时作业 3.3 正弦、 余弦、 正切函数的图像和性质 (含 2013 年模拟题)
【考点排查表】 考查考点及角度 三角函数的单调性 三角函数的奇偶性、周 期 性及对称性 三角函数的值域与最 值 一、选择题 难度及题号 基础 4 1,2 中档 6,8 3,5 稍难 10 , 1 3 11 错题记录

7

9

12

?4 ? 1.(2013·长春模拟)函数 y=3cos(2x+φ )的图象关于点? π ,0?中心对称,则|φ | ?3 ?
的最小值为( A. C. π 6 π 3 ) B. D. π 4 π 2

2 π ? 4 ? ?2π ? 【解析】 由 3cos?2× π +φ ?=0 得 cos? +φ ?=0,即 π +φ = +kπ ,φ = 3 2 ? 3 ? ? 3 ? π π - +kπ ,当 k=0 时|φ |= . 6 6 【答案】 A 2.(2012·全国大纲高考)若函数 f(x)=sin ( ) A. C. π 2 3π 2 B. D. 2π 3 5π 3

x+φ
3

(φ ∈[0,2π ])是偶函数,则 φ =

【解析】 函数 f(x)=sin

x+φ
3

?x φ ? ?x φ ? =sin? + ?,因为函数 f(x)=sin? + ?为偶函数, ?3 3 ? ?3 3 ?

φ π 3π 3π 所以 = +kπ , 以 φ = +3kπ , ∈Z, φ ∈[0,2π ], 所 k 又 所以当 k=0 时, = , φ 3 2 2 2 选 C. 【答案】 C

1

π 5π 3.(2012·全国新课标高考)已知 ω >0,0<φ <π ,直线 x= 和 x= 是函数 f(x) 4 4 =sin(ω x+φ )图象中两条相邻的对称轴,则 φ =( A. C. π 4 π 2 B. D. π 3 3π 4 )

π 5π 5π π T T 【解析】 因为 x= 和 x= 是函数图象中相邻的对称轴,所以 - = ,即 = 4 4 4 4 2 2 2π π π ,T=2π .又 T= =2π ,所 以 ω =1,所以 f(x)=sin(x+φ ),因为 x= 是函 数的 ω 4 π π π π 对称轴,所以 +φ = +kπ ,所以 φ = +kπ ,因为 0<φ <π ,所以 φ = . 4 2 4 4 【答案】 A 4.若函数 f(x)同时满足下列三个条件:①最小正周期为 π ;②图象关于直线 x= π π 称;③在区间 [- , ]上是增函数.则 y=f(x)的解析式可以是( 6 3 π A.y=sin(2x- ) 6 π C.y=cos(2x- ) 6 ) π 对 3

x π B.y=sin( + ) 2 6
π D.y=cos(2x+ ) 3

【解析】 逐一验证,由函数 f(x)的周期为 π ,故排除 B; π π π π π 又∵cos(2× - )=cos =0,故 y=cos(2x- )的图象不关于直线 x= 对称, 3 6 2 6 3 故排除 C. π π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ , 2 6 2 π π 得- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 6 3 ∴函数 y=sin(2x- 【答案】 A π? ? 5.函数 y=sin?2x+ ?图象的对称轴方程可能是( 3? ? π A.x=- 6 π C.x= 6 π B.x=- 12 π D.x= 12 ) π π π )在[- , ] 上是增函数. 6 6 3

2

π π kπ π 【解析】 令 2x+ =kπ + (k∈Z),得 x= + (k∈Z),令 k=0 得该函数的一 3 2 2 12 π 条对称轴为 x= .本题也可用代入验证法来解. 12 【答案】 D π ? ?π ? ? 6.(2012·全国新课标高考)已知 ω >0,函数 f(x)=sin?ω x+ ?在? ,π ?上单调 4? ?2 ? ? 递减.则 ω 的取值范围是( )

?1 5? A.? , ? ?2 4? ? 1? C.?0, ? ? 2?
【解析】

?1 3? B.? , ? ?2 4?
D.(0,2] π π 3π π 5π 由题意得 +2kπ ≤ω x+ ≤ +2kπ , 即 +2kπ ≤ω x≤ +2kπ , 2 4 2 4 4

π 2kπ π 2kπ π 5π π π 所以 + ≤x≤ + ,k∈Z, k=0 时, ≤x≤ ,又 <x<π ,所以有 当 4ω ω 4ω ω 4ω 4ω 2 4ω π 5π 1 5 1 5 ≤ , ≥π ,解得 ω ≥ ,ω ≤ ,即 ≤ω ≤ . 2 4ω 2 4 2 4 【答案】 A 二、填空题

? π? 7.(2012·湖南高考)函数 f(x)=sinx-cos?x+ ?的值域为________. 6? ? ? π? 【解析】 f(x)=sinx-cos?x+ ? 6? ?
=sin x- 3 1 ? π? cos x+ sin x= 3sin?x- ?, 6? 2 2 ?

? π? ∵sin?x- ?∈[-1,1],∴f(x)值域为[ - 3, 3]. 6? ?
【答案】 [- 3, 3]

? π? 8.(2011·山东高考)若函数 f(x)=sin ω x(ω >0)在区间?0, ?上单调递增,在区 3? ?
间?

?π ,π ?上单调递减,则 ω =________. ? ?3 2?
【解析】 ∵y=sin ω x(ω >0)过原点, π π ∴当 0≤ω x≤ ,即 0≤x≤ 时,y=sin x 是增函数; 2 2ω 当 π 3π π 3π ≤ω x≤ ,即 ≤x≤ 时,y=sin ω x 是减函数. 2 2 2ω 2ω

3

π π ? π? ?π π ? 由 y=sin ω x(ω >0)在?0, ?上单调递增,在? , ?上单调递减,知 = ,∴ 3? 2ω 3 ? ?3 2? 3 ω= . 2 【答案】 3 2

?π ? 9.(2011·山西六校模考)若 f(x)=2sin(ω x+φ )+m,对任意实数 t 都有 f? +t?= ?8 ? ?π ? ?π ? f? -t?,且 f? ?=-3,则实数 m 的值等于________. ?8 ? ?8?
【解析】 依题意得,函数 f(x)的图象关于直线 x= 取得最值,因此有±2+m=-3,∴m=-5 或 m=-1. 【答案】 -5 或-1 三、解答题 10.(2012· 南通调研)设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)图象的一条 π 对称轴是 直线 x= . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调增区间. π π 【解】 (1)令 2× +φ =kπ + ,k∈Z, 8 2 π ∴φ = kπ + ,k∈Z, 4 5 1 又-π < φ <0,则- <k<- ,k∈Z, 4 4 3π ∴k=-1,则 φ =- . 4 3π ? (2)由(1)得:f(x)=sin?2x- 4 ? π π 对称,于是当 x= 时函数 f(x) 8 8

?, ? ?

π 3π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 4 2 π 5π 可解得 +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z, 8 8 因此 y=f(x)的单调增区间为?

?π +kπ ,5π +kπ ?,k∈Z. ? 8 ?8 ?

π π 11.设函数 f(x)=3sin(ω x+ ),ω >0,x∈(-∞,+∞),且以 为最小正周期. 6 2 (1)求 f(0);

4

(2)求 f(x)的解析式; α π 9 (3)已知 f( + )= ,求 sin α 的值. 4 12 5 【解】 (1)由题设可知 f(0)=3sin π 3 = . 6 2

π (2)∵f(x)的最小正周期为 ,ω >0, 2 2π ∴ω = =4. π 2 π ∴f(x)=3sin(4x+ ). 6 α π π π 9 (3)由 f( + )=3sin(α + + )=3cos α = , 4 12 3 6 5 3 4 2 ∴cos α = .∴sin α =± 1-cos α =± . 5 5 12.(文)(2010·湖南)已知函数 f(x)=sin 2x-2sin x. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 f(x)的最大值及 f(x)取最大值时 x 的集合. π? ? 【解】 (1)因为 f(x)=sin 2x-(1-cos 2x)= 2sin ?2x+ ?-1. 4? ? 2π 所以函数 f(x)的最小正周期为 T= =π . 2 π π (2)由(1) 知,当 2x+ =2kπ + , 4 2 π 即 x=kπ + (k∈Z)时,f(x)取最大值 2-1.因 此函数 f(x)取最大值时,x 的集合为 8 π {x|x=kπ + ,k∈Z}. 8 ( 理)已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >1)为偶函数, 图象关于点 M?
2

?3π ,0?对称,且在区间?0,π ?上是单调函数. ? ? ? 2? ? 4 ? ?

(1)求 f(x);

? π? (2)求 y=f?x- ?的单调递减区间. 6? ?
【解】 (1)f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) π? ? =2sin?ω x+φ - ?, 6? ? ∵f(x)为偶函数,

5

∴对任意 x∈R,f(-x)=f(x)恒成立, π? π? ? ? 由 sin?-ω x+φ - ?=sin?ω x+φ - ?整理得: 6? 6? ? ? π? ? sin ω xcos?φ - ?=0, 6? ? ∵上式对 ω >0,x∈R 恒成立, π? ? 则有:cos?φ - ?=0,而 0<φ <π , 6? ? π π ∴φ - = . 6 2 ∴f(x)=2cos ω x. ∵图象关于点 M? ∴f? ∴

?3π ,0?对称, ? ? 4 ?

?3π ?=2cos3π ω =0. ? 4 ? 4 ?

3π ω π = +kπ . 4 2

2 * 即:ω = (2k+1),(k∈N ) 3 ∵ω >1;

? π? 当 k=1 时,ω =2,f(x)=2cos 2x 在?0, ?上是减函数. 2? ?
10 当 k≥2 时,ω ≥ , 3 2π 3π T 3π π ∴T= ≤ , ≤ < . ω 5 2 10 2

? π? ∴f(x)在?0, ?上不单调,故 ω =2, 2? ?
∴f(x)=2cos 2x. π? ? π? ? (2)y=f?x- ?=2cos?2x- ?, 6? 3? ? ? π 令 2kπ ≤2x- ≤π +2kπ ,得: 3 π 2π +kπ ≤x≤ +kπ . 6 3 2π ? π? ?π ? ∴y=f?x- ?的单调递减区间为? +kπ , +kπ ?,(k∈Z). 6? 6 3 ? ? ? 四、选做题 π? ? ? π ? -5≤f(x)≤1. 13. 已知 a>0, 函数 f(x)=-2asin?2x+ ?+2a+b, x∈?0, ?时, 当 6? 2? ? ?

6

(1)求常数 a,b 的值;

? π? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg [g(x)]>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?
π ?π 7π ? ? π? 【解】 (1)∵x∈?0, ?,∴2x+ ∈? , ?. 2? 6 ? 6 ?6 ? π? ? 1 ? ? ∴sin?2x+ ?∈?- ,1?, 6? ? 2 ? ? π? ? ∴-2asin?2x+ ?∈[-2a,a]. 6? ? ∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2, b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, π? ? ∴f(x)=-4sin?2x+ ?-1, 6? ?

g(x)=f?x+ ?=-4sin?2x+ ?-1 2? 6 ? ? ?
π? ? =4sin?2x+ ?- 1, 6? ? 又由 lg [g(x)]>0 得 g(x)>1, π? ? ∴4sin?2x+ ?-1>1, 6? ? π? 1 ? ∴sin?2x+ ?> , 6? 2 ? π π 5π ∴2kπ + <2x+ <2kπ + ,k∈Z, 6 6 6 π π π π 其中当 2kπ + <2x+ ≤2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ <x≤kπ + , 6 6 2 6

?

π?

?

7π ?

k∈Z,
π? ? ∴g(x)的单 调增区间为?kπ ,kπ + ?,k∈Z. 6? ? π π 5π π 又∵当 2kπ + ≤2x+ <2kπ + ,k∈Z 时,g(x)单调递减,即 kπ + ≤x<kπ 2 6 6 6 π + ,k∈Z. 3 π π? ? ∴g(x)的单调减区间为?kπ + ,kπ + ?,k∈Z. 6 3? ?

7

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