3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

高一数学下学期期末考试复习要点 教师版


高一数学下学期期末考试考点归纳
数列:求通项,求和,求参数范围,增减性,比较大小,构造新形式数列; 直线与圆:倾斜角,直线与圆的交点问题,圆系方程,位置关系,设而不求,定值定点; 立体几何:表面积与体积计算,线面关系判定,平行与垂直的证明; 不等式:解不等式方程,分类讨论,基本不等式应用,不等式证明;

考点 1:数列
1.1 基本量——破解等差、等比数列的法宝
1.已知{an}为等差数列, 其公差为-2, 且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项,Sn 为{an}的前 n 项和, * n∈N ,则 S10 的值为________. 答案 110 解析 ∵a3=a1+2d=a1-4,a7=a1+6d=a1-12,a9=a1+8d=a1-16,又∵a7 1 是 a3 与 a9 的等比中项,∴(a1-12)2=(a1-4)· (a1-16),解得 a1=20.∴S10=10×20+ ×10 2 ×9×(-2)=110. 2.(2014· 课标全国Ⅱ改编)等差数列{an}的公差为 2,若 a2,a4,a8 成等比数列,则{an}的前 n 项和 Sn=________. 2 答案 n(n+1) 解析 由 a2,a4,a8 成等比数列,得 a4 =a2a8, n?n-1? 即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),∴a1=2.∴Sn=2n+ ×2=2n+n2-n=n(n+1). 2 3.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 2S4=S5+S6,则数列{an}的公比 q 的值为________. 答案 -2 解析 由 2S4=S5+S6,得 2(1-q4)=1-q5+1-q6,化简得 q2+q-2=0,解得 q =1(舍去),q=-2. 4. (2014· 大纲全国改编)等比数列{an}中, a4=2, a5=5, 则数列{lg an}的前 8 项和为________. 答案 4 解析 数列{lg an}的前 8 项和 S8=lg a1+lg a2+?+lg a8=lg(a1· a2· ?· a8)=lg(a1· a8)4 =lg(a4· a5)4=lg(2×5)4=4. 5. (2014· 大纲全国改编)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若 S2=3, S4=15, 则 S6=________. 答案 63 解析 在等比数列{an}中,S2、S4-S2、S6-S4 也成等比数列,故(S4-S2)2=S2(S6 -S4),则(15-3)2=3(S6-15),解得 S6=63. An 7n+45 an 6.已知两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且 = ,则使得 为整 Bn n+3 bn 数的正整数 n 的个数是________. 1 ?a +a - ? an 2 1 2n 1 答案 5 解析 由等差数列的前 n 项和及等差中项,可得 = bn 1 ?b +b ? 2 1 2n-1 1 ?2n-1??a1+a2n-1? 2 A2n-1 7?2n-1?+45 14n+38 7n+19 12 = = = = = =7+ (n∈N*), 1 B2n-1 ?2n-1?+3 2n+2 n+1 n+1 ?2n-1??b1+b2n-1? 2 an 故 n=1,2,3,5,11 时, 为整数.即正整数 n 的个数是 5. bn
1

2 1 7. (2013· 课标全国Ⅰ)若数列{an}的前 n 项和 Sn= an+ , 则{an}的通项公式是 an=________. 3 3 答案 (-2)n 1 解析 当 n=1 时,a1=1;


2 2 an - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an- an-1,故 =-2,故 an=(-2)n 1. 3 3 an-1 8.(2014· 江苏)在各项均为正数的等比数列 {an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,则 a6 的值是 ________. 答案 4 解析 因为 a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2,所以由 a8=a6+2a4 得 a2q6=a2q4+2a2q2,消去 a2q2,得到关于 q2 的一元二次方程(q2)2-q2-2=0,解得 q2=2,a6=a2q4=1×22=4. 9.(2014· 安徽)数列{an}是等差数列,若 a1+1,a3+3,a5+5 构成公比为 q 的等比数列,则 q=________. 答案 1 解析 设等差数列的公差为 d,则 a3=a1+2d,a5=a1+4d,∴(a1+2d+3)2=(a1+1)(a1+4d a3+3 a1-2+3 +5),解得 d=-1,∴q= = =1. a1+1 a1+1 10.在数列{an}中,如果对任意 n∈N*都有 an+2-an+1 =k(k 为常数),则称数列{an}为等差比 an+1-an

数列,k 称为公差比.现给出下列问题: ①等差比数列的公差比一定不为零; ②等差数列一定是等差比数列; ③若 an=-3n+2,则数列{an}是等差比数列; ④若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比. 其中正确命题的序号为________. 答案 ①③④ 解析 若 k=0, {an}为常数列, 分母无意义, ①正确; 公差为零的等差数列不是等差比数列, + an+2-an+1 an+2-an+1 a1qn 1-a1qn n-1 ②错误; =3, 满足定义, ③正确; 设 an=a1q (q≠0), 则 = - an+1-an an+1-an a1qn-a1qn 1 =q,④正确. 11.(2014· 课标全国Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4 是方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; an (2)求数列{ n}的前 n 项和. 2 解 (1)方程 x2-5x+6=0 的两根为 2,3,由题意得 a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为 d,则 1 3 1 a4-a2=2d,故 d= ,从而 a1= .所以{an}的通项公式为 an= n+1. 2 2 2 an an n+2 (2)设{ n}的前 n 项和为 Sn.由(1)知 n= n+1 ,则 2 2 2 n+1 n+2 1 n+1 n+2 3 4 3 4 Sn= 2+ 3+?+ n + n+1 , Sn= 3+ 4+?+ n+1 + n+2 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n+ 2 3 1 n+ 2 n+4 1 3 1 1 1 两式相减得 Sn= +( 3+?+ n+1)- n+2 = + (1- n-1)- n+2 .所以 Sn=2- n+1 . 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2 12.(2014· 北京)已知{an}是等差数列,满足 a1=3,a4=12,数列{bn}满足 b1=4,b4=20, 且{bn-an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式;
2

(2)求数列{bn}的前 n 项和. a4-a1 12-3 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,由题意得 d= = =3, 3 3 所以 an=a1+(n-1)d=3n(n=1,2,?).设等比数列{bn-an}的公比为 q,由题意得 b4-a4 20-12 - - q3= = =8,解得 q=2.所以 bn-an=(b1-a1)qn 1=2n 1. b1-a1 4-3 从而 bn=3n+2n 1(n=1,2,?).


3 - - (2)由(1)知 bn=3n+2n 1(n=1,2,?).数列{3n}的前 n 项和为 n(n+1),数列{2n 1}的前 n 项 2 1-2n n 3 和为 =2 -1.所以,数列{bn}的前 n 项和为 n(n+1)+2n-1. 2 1-2

1.2 常考的递推公式问题的破解方略
a3 1.在数列{an}中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),则 的值是________. a5 3 答案 4 1 1 1 解析 由已知得 a2=1+(-1)2=2,∴a3· a2=a2+(-1)3,∴a3= ,∴ a4= +(-1)4,∴a4 2 2 2 =3, 2 a3 1 3 3 ∴3a5=3+(-1)5,∴a5= ,∴ = × = . 3 a5 2 2 4 2.学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A,B 两种菜可供选择.调查资料表明, 凡是在星期一选 A 种菜的,下星期一会有 20%改选 B 种菜;而选 B 种菜的,下星期一会有 30%改选 A 种菜.用 an,bn 分别表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的人数, 如果 a1=300,则 a10=________. 4 3 ? ?an+1=5an+10bn, 1 答案 300 解析 依题意,得? 消去 bn,得 an+1= an+150.由 a1=300, 2 ? ?an+bn=500, 得 a2=300;由 a2=300,得 a3=300;??从而得 a10=300. n-1 x 1 2 3.已知 f(x)=log2 +1,an=f( )+f( )+?+f( ),n 为正整数,则 a2 015=________. n n n 1-x 答案 2 014 解析 因为 f(x)=log2 1-x x x +1,所以 f(x)+f(1-x)=log2 +1+log2 +1 x 1-x 1-x

n-1 n-2 n-1 1 2 1 =2.所以 f( )+f( )=2,f( )+f( )=2,?,f( )+f( )=2, n n n n n n 由倒序相加,得 2an=2(n-1),an=n-1,所以 a2 015=2 015-1=2 014. 4.在正项数列{an}中,a1=2,an+1=2an+3×5n,则数列{an}的通项公式为________. - 答案 an=5n-3×2n 1 an+1 2 an 3 + 解析 在递推公式 an+1=2an+3×5n 的两边同时除以 5n 1,得 n+1= × n+ ,① 5 5 5 5 an 2 3 2 令 n=bn,则①式变为 bn+1= bn+ ,即 bn+1-1= (bn-1),所以数列{bn-1}是等比数列, 5 5 5 5 a1 3 2 3 2 - 3 2 - an 其首项为 b1-1= -1=- , 公比为 .所以 bn-1=(- )×( )n 1, 即 bn=1- ×( )n 1= n, 5 5 5 5 5 5 5 5 故 an=5n-3×2n 1.


3

5.数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 2SnSn-1=an(n≥2,n∈N*),且 a1=1,则数列{an}的通项公 式为________. 1?n=1?, ? ? 答案 an=? 2 * ??2n-3??2n-5??n≥2,n∈N ? ? 1 1 1 1 解析 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,则 2SnSn-1=Sn-Sn-1,即 - =-2,又 = =1, Sn Sn-1 S1 a1 1 1 故{ }是首项为 1,公差为-2 的等差数列,则 =1+(n-1)(-2)=-2n+3,所以 Sn= Sn Sn 1 1 1 2 .当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - = , -2n+3 -2n+3 -2?n-1?+3 ?2n-3??2n-5? 1?n=1?, ? ? 验证 a1=1 不满足,故所求通项公式 an=? 2 * ??2n-3??2n-5??n≥2,n∈N ?. ? 1 - 6.设函数 f(x)=a1+a2x+a3x2+?+anxn 1,f(0)= ,数列{an}满足 f(1)=n2an(n∈N*),则数 2 列{an}的通项 an=________. 1 答案 n?n+1? 1 1 解析 由 f(0)= ,得 a1= ,由 f(1)=n2an(n∈N*),得 Sn=a1+a2+?+an=n2an. 2 2 an n- 1 a2 a3 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1,整理得 = ,所以 an=a1× × ×? a1 a2 an-1 n+1 × n-1 an 1 1 2 3 1 1 1 = × × × ×?× = ,显然 a1= 也符合.即{an}的通项为 an= . 2 3 4 5 2 an-1 n+1 n?n+1? n?n+1?

7.若 f(n)为 n2+1(n∈N*)的各位数字之和,如 62+1=37,f(6)=3+7=10,f1(n)=f(n),f2(n) =f(f1(n)),?,fk+1(n)=f(fk(n)),k∈N*,则 f2 014(4)=________. 答案 8 解析 因为 42+1=17,f(4)=1+7=8, 则 f1(4)=f(4)=8,f2(4)=f(f1(4))=f(8)=11,f3(4)=f(f2(4))=f(11)=5, f4(4)=f(f3(4))=f(5)=8,?,所以 fk+1(n)=f(fk(n))为周期数列.可得 f2 014(4)=8. 1 8.数列{an},{bn}满足 an=ln n,bn= ,则数列{an· bn}中第________项最大. n 1-ln x 1 答案 3 解析 设函数 f(x)= ln x,则 f′(x)= ,令 f′(x)=0,得 x=e. x x2 1 6 分析知函数 f(x)在(0,e]上是增函数,在[e,+∞)上是减函数,又 f(2)= ln 2=ln 8<f(3) 2 1 1 6 = ln 3=ln 9,所以 an· bn= ln n(n∈N*)在 n=3 时取得最大值,即数列{an· bn}中第 3 项最 3 n 大. n 9.对于正项数列{an},定义 Hn= 为{an}的“光阴”值,现知某数列 a1+2a2+3a3+?+nan 2 的“光阴”值为 Hn= ,则数列{an}的通项公式为________. n+2 2n+1 答案 an= 2n

4

解析 由 Hn=

n n n?n+2? 可得 a1+2a2+3a3+?+nan= = ,① H 2 a1+2a2+3a3+?+nan n ?n-1??n+1? n?n+2? ?n-1??n+1? ②①-②得 nan = - = 2 2 2

a1 + 2a2 + 3a3 + ? + (n - 1)an - 1 = 2n+1 2n+1 ,所以 an= . 2 2n

1 10.(2014· 课标全国Ⅱ)数列{an}满足 an+1= ,a =2,则 a1=________. 1-an 8 1 答案 2 1-an-1 1-an-1 1 1 1 1 解析 ∵an+1= ,∴an+1= = = = =1- 1 1-an 1-an 1-an-1-1 -an-1 an-1 1- 1-an-1 =1- 1 =1-(1-an-2)=an-2,∴周期 T=(n+1)-(n-2)=3.∴a8=a3×2+2=a2=2. 1 1-an-2

1 1 而 a2= ,∴a1= . 2 1-a1 11.(2014· 大纲全国)数列{an}满足 a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设 bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列; (2)求{an}的通项公式. (1)证明 由 an+2=2an+1-an+2, 得 an+2-an+1=an+1-an+2, 即 bn+1=bn+2.又 b1=a2-a1=1,所以{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列. (2)解 由(1)得 bn=1+2(n-1)=2n-1, 即 an+1-an=2n-1.于是 ? (ak+1-ak)= ? (2k-1),
k =1 k=1 n n

所以 an+1-a1=n2,即 an+1=n2+a1.又 a1=1,所以{an}的通项公式为 an=n2-2n+2. 12.(2014· 湖南)已知数列{an}满足 a1=1,|an+1-an|=pn,n∈N*. (1)若{an}是递增数列,且 a1,2a2,3a3 成等差数列,求 p 的值; 1 (2)若 p= ,且{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2 解 (1)因为{an}是递增数列,所以 an+1-an=|an+1-an|=pn.而 a1=1,因此 a2=p+1,a3= 1 p2+p+1.又 a1,2a2,3a3 成等差数列,所以 4a2=a1+3a3,因而 3p2-p=0,解得 p= ,p=0. 3 1 当 p=0 时,an+1=an,这与{an}是递增数列矛盾.故 p= . 3 1 (2)由于{a2n-1}是递增数列,因而 a2n+1-a2n-1>0,于是(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0.①但 2n 2 1 1 - < 2n-1,所以|a2n+1-a2n|<|a2n-a2n-1|.②由①②知,a2n-a2n-1>0,因此 a2n-a2n-1=( )2n 1= 2 2
2n 1 ?-1?2n 1 2n ?-1? . ③因为 { a } 是递减数列,同理可得 a - a <0 ,故 a - a =- ( ) = . 2 n + + - 2n 2n 1 2n 2n 1 2n 2 2 22n 1


?-1?n 1 ④由③④可知,an+1-an= .于是 an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+?+(an-an-1) 2n


5

1 - 1-?- ?n 1 n 2 ?-1?n 1 1 1 4 1 ?-1? 4 =1+ - 2+?+ n-1 =1+ · = + · n-1 .故数列{an}的通项公式为 an= + 2 2 2 1 3 3 2 3 2 1+ 2 1 ?-1? · . 3 2n-1
n

1.3 数列求和问题大全
2 1.若数列{an}的通项公式为 an= ,则其前 n 项和 Sn 为________. n?n+2? 3 1 1 答案 - - 2 n+1 n+2 2 1 1 1 1 1 1 1 解析 因为 an= = - ,所以 Sn=a1+a2+?+an=1- + - + - +?+ 3 2 4 3 5 n?n+2? n n+2 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 - + - =1+ - - = - - . 2 n+1 n+2 2 n+1 n+2 n-1 n+1 n n+2 1 1 1 1 2.已知数列 1 ,3 ,5 ,7 ,?,则其前 n 项和 Sn 为________. 2 4 8 16 1 答案 n2+1- n 2 1 ?1- 1n?· 2 ? ? 2 1 + 2 n - 1 1 1 解析 因为 an=2n-1+ n,则 Sn= n+ =n2+1- n. 2 2 1 2 1- 2 3.(2013· 课标全国Ⅰ改编)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, 则 m=________. 答案 5 m?m-1? m-1 解析 am=2,am+1=3,故 d=1,因为 Sm=0,故 ma1+ d=0,故 a1=- , 2 2 因为 am+am+1=5,故 am+am+1=2a1+(2m-1)d=-(m-1)+2m-1=5,即 m=5. 4.在数列{an}中,若存在一个确定的正整数 T,对任意 n∈N*满足 an+T=an,则称{an}是周 期数列,T 叫作它的周期.已知数列{xn}满足 x1=1,x2=a(a≤1),xn+2=|xn+1-xn|,当数列 {xn}的周期为 3 时,则{xn}的前 2 013 项和 S2 013=________. 答案 1 342 解析 由 xn+2=|xn+1-xn|,得 x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,x4=|x3-x2|=|1-2a|, 因为数列{xn}的周期为 3,所以 x4=x1,即|1-2a|=1,解得 a=0 或 a=1.当 a=0 时,数列 {xn}为 1,0,1,1,0,1,?,所以 S2 013=2×671=1 342.当 a=1 时,数列{xn}为 1,1,0,1,1,0,?, 所以 S2 013=2×671=1 342.综上,S2 013=1 342. 5.已知数列 2 008,2 009,1,-2 008,-2 009,?,这个数列的特点是从第二项起,每一项 都等于它的前后两项之和,则这个数列的前 2 014 项之和 S2 014=________. 答案 2 010 解析 由已知得 an=an-1+an+1(n≥2), ∴an+1=an-an-1.故数列的前 8 项依次为 2 008,2 009,1, -2 008,-2 009,-1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列,周期为 6,且 S6=0.∵2 014 =6×335+4,∴S2 014=S4=2 008+2 009+1+(-2 008)=2 010. 6.数列{an}满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则{an}的前 60 项和为________. 答案 1 830
6

解析 ∵an+1+(-1)nan=2n-1,∴a2=1+a1,a3=2-a1,a4=7-a1,a5=a1,a6=9+a1, a7=2-a1,a8=15-a1,a9=a1,a10=17+a1,a11=2-a1,a12=23-a1,?,a57=a1,a58 =113+a1,a59=2-a1,a60=119-a1,∴a1+a2+?+a60=(a1+a2+a3+a4)+(a5+a6+a7 15×?10+234? +a8)+?+(a57+a58+a59+a60)=10+26+42+?+234= =1 830. 2 ? 1 ? 7.在等比数列{an}中,a1=3,a4=81,若数列{bn}满足 bn=log3an,则数列?b b ?的前 n ? n n+1? 项和 Sn=________. n 答案 n+1 a4 - - 解析 设等比数列{an}的公比为 q, 则 =q3=27, 解得 q=3.所以 an=a1qn 1=3×3n 1=3n, a1 ? 1 ? 1 1 1 1 1 1 1 故 bn=log3an=n,所以 = = - .则数列?b b ?的前 n 项和为 1- + - n 2 2 3 + bnbn+1 n?n+1? n+1 ? n n 1? 1 1 1 n +?+ - =1- = . n n+1 n+1 n+1 8.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列” ,若 a1=1.{an}的“差数列” n 的通项公式为 an+1-an=2 ,则数列{an}的前 n 项和 Sn=________. + 答案 2n 1-n-2 解析 因为 an+1-an=2n,应用累加法可得 an=2n-1,所以 Sn=a1+a2+a3+?+an=2+22 2?1-2n? + +23+?+2n-n= -n=2n 1-n-2. 1-2 9.定义:若数列{An}满足 An+1=A2 .已知数列{an}中, n,则称数列{An}为“平方递推数列” 2 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=2x +2x 的图象上,其中 n 为正整数. (1)证明:数列{2an+1}是“平方递推数列” ,且数列{lg(2an+1)}为等比数列; (2)设(1)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn,即 Tn=(2a1+1)· (2a2+1)· ?· (2an+1),求数 列{an}的通项公式及 Tn 关于 n 的表达式. 2 2 (1)证明 由题意得 an+1=2a2 n+2an,得 2an+1+1=4an+4an+1=(2an+1) . 所以数列{2an+1}是“平方递推数列” .令 cn=2an+1,所以 lg cn+1=2lg cn.因为 lg(2a1+1) lg?2an+1+1? =lg 5≠0,所以 =2.所以数列{lg(2an+1)}为等比数列. lg?2an+1? 1 - - (2)解 因为 lg(2a1+1)=lg 5,所以 lg(2an+1)=2n 1· lg 5,所以 2an+1=52n 1,即 an= (52n 2
-1

lg 5· ?1-2n? -1).因为 lg Tn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1)= =(2n-1)lg 5. 1-2

所以 Tn=52n-1. n2+n 10.(2014· 湖南)已知数列{an}的前 n 项和 Sn= ,n∈N*. 2 (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=2an+(-1)nan,求数列{bn}的前 2n 项和. 解 (1)当 n=1 时,a1=S1=1; n2+n ?n-1?2+?n-1? 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - =n.故数列{an}的通项公式为 an=n. 2 2 (2)由(1)知 an=n,故 bn=2n+(-1)nn.记数列{bn}的前 2n 项和为 T2n,则 T2n=(21+22+?+22n)+(-1+2-3+4-?+2n).记 A=21+22+?+22n,B=-1+2-3
7

2?1-22n? 2n+1 +4-?+2n, 则 A= =2 -2.B=(-1+2)+(-3+4)+?+[-(2n-1)+2n]=n, 1-2 故数列{bn}的前 2n 项和 T2n=A+B=22n 1+n-2. 11.(2014· 课标全国Ⅱ)已知数列{an}满足 a1=1,an+1=3an+1. 1 (1)证明{an+ }是等比数列,并求{an}的通项公式; 2 1 1 1 3 (2)证明 + +?+ < . a1 a2 an 2 1 1 1 3 1 3 证明 (1)由 an+1=3an+1 得 an+1+ =3(an+ ).又 a1+ = ,所以{an+ }是首项为 ,公比 2 2 2 2 2 2 n n 3 -1 1 3 为 3 的等比数列.an+ = ,因此{an}的通项公式为 an= . 2 2 2 1 2 1 1 - (2)由(1)知 = n .因为当 n≥1 时,3n-1≥2×3n 1,所以 n ≤ - . an 3 -1 3 -1 2×3n 1 1 1 1 1 1 3 1 3 1 1 1 3 于是 + +?+ ≤1+ +?+ n-1= (1- n)< .所以 + +?+ < . a1 a2 an 3 2 3 2 a1 a2 an 2 3


12.(2014· 山东)已知等差数列{an}的公差为 2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; 4n - (2)令 bn=(-1)n 1 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. anan+1 2×1 4×3 解 (1)因为 S1=a1,S2=2a1+ ×2=2a1+2,S4=4a1+ ×2=4a1+12, 2 2 由题意得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得 a1=1,所以 an=2n-1. 4n 4n 1 1 - - - (2)bn=(-1)n 1 =(-1)n 1 =(-1)n 1( + ). anan+1 ?2n-1??2n+1? 2n-1 2n+1 当 n 为偶数时, 1 1 1 1 1 1 1 1 2n Tn=(1+ )-( + )+?+( + )-( + )=1- = . 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 当 n 为奇数时, 2n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=(1+ )-( + )+?-( + )+( + )=1+ = . 3 3 5 2n-3 2n-1 2n-1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+2 ? ?2n+1,n为奇数, 所以 T =? 2n ?2n+1,n为偶数. ?
n

2n+1+?-1? (或 Tn= 2n+1

n-1

)

考点 2 直线与圆
2.1 直线和圆的位置关系
1.直线(1+3m)x+(3-2m)y+8m-12=0(m∈R)与圆 x2+y2-2x-6y+1=0 的交点个数为 ________. 答案 2 解析 将含参直线方程分离变量可得 m(3x-2y+8)+x+3y-12=0,不论 m 取何值,直线

8

? ?3x-2y+8=0, 恒过两直线? 的交点 A(0,4),又易知定点 A 在圆内,故直线必与圆恒相交. ?x+3y-12=0 ?

2.(2014· 浙江改编)已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则 实数 a 的值为________. 答案 -4 解析 由圆的方程 x2+y2+2x-2y+a=0 可得,圆心为(-1,1),半径 r= 2-a.圆心到直线 |-1+1+2| 4 x+y+2=0 的距离为 d= = 2.由 r2=d2+( )2,得 2-a=2+4,所以 a=-4. 2 2 3.(2014· 北京改编)已知圆 C:(x-3)2+(y-4)2=1 和两点 A(-m,0),B(m,0)(m>0),若圆 C 上存在点 P,使得∠APB=90° ,则 m 的最大值为________. 答案 6 解析 根据题意,画出示意图,如图所示,

则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r=1,且|AB|=2m.因为∠APB=90° ,连结 OP, 1 易知|OP|= |AB|=m.要求 m 的最大值,即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离. 2 因为|OC|= 32+42=5,所以|OP|max=|OC|+r=6,即 m 的最大值为 6. 4.(2014· 福建改编)直线 l:y=kx+1 与圆 O:x2+y2=1 相交于 A,B 两点,则“k=1”是“△ 1 OAB 的面积为 ”的________条件. 2 答案 充分不必要 解析 将直线 l 的方程化为一般式得 kx-y+1=0,所以圆 O:x2+y2=1 的圆心到该直线的 1 2|k| 1 1 2|k| |k| 1 1- 2 = 2 , 所以 S△OAB= · 2 · 2 = 2 = , 2 2 k +1 k + 1 k +1 k +1 k +1 1 解得 k=± 1.因此可知“k=1”是“△OAB 的面积为 ”的充分不必要条件. 2 距离 d=
2

1 .又弦长为 2 k +1

5.直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长度为________. 答案 2 3 |0+ 3×0-2| 解析 ∵圆心到直线 x+ 3y-2=0 的距离 d= =1,半径 r=2, 12+? 3?2 ∴弦长|AB|=2 r2-d2=2 22-12=2 3. 6. “a=b”是“直线 y=x+2 与圆(x-a)2+(x-b)2=2 相切”的________条件. 答案 充分不必要 |a-b+2| 解析 根据已知得直线与圆相切的充要条件为: = 2?|a-b+2|=2?a=b 或 a-b 2 =-4,故“a=b”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 7.已知圆 C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0 与圆 C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若圆 C1 与圆 C2 相外切,则实数 m=________. 答案 -5 或 2 解析 对于圆 C1 与圆 C2 的方程,配方得圆 C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆 C2:(x+1)2+(y-
9

m)2=4,则 C1(m,-2),r1=3,C2(-1,m),r2=2.如果圆 C1 与圆 C2 相外切,那么有 C1C2 =r1+r2,即 ?m+1?2+?m+2?2=5,则 m2+3m-10=0,解得 m=-5 或 m=2, 所以当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2 相外切. 8.已知圆 C 关于 y 轴对称,经过点 A(1,0),且被 x 轴分成的两段弧长比为 1∶2,则圆 C 的 方程为______________. 4 3 答案 x2+?y± ?2= 3 ? ? 3 解析 ∵圆 C 关于 y 轴对称,∴圆 C 的圆心在 y 轴上,可设 C(0,b),设圆 C 的半径为 r, 1 +?-b? =r , ?r =3, ? ? 2 2 2 则圆 C 的方程为 x +(y-b) =r .依题意,得? 解得? 1 3 ? ?|b|=2r, ?b=± 3 .
2 2 2 2

4

4 3 ∴圆 C 的方程为 x2+?y± ?2= . ? 3? 3 9. (2014· 江苏)在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 x+2y-3=0 被圆(x-2)2+(y+1)2=4 截得的 弦长为________. 答案 2 55 5

|2+2×?-1?-3| 3 5 解析 圆心为(2,-1),半径 r=2.圆心到直线的距离 d= = , 5 1+4 所以弦长为 2 r2-d2=2 3 5 2 2 55 22-? ?= . 5 5

10.(2014· 山东)圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切,圆 C 截 x 轴所得弦的 长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________________. 答案 (x-2)2+(y-1)2=4 解析 设圆 C 的圆心为(a,b)(b>0),由题意得 a=2b>0,且 a2=( 3)2+b2,解得 a=2,b= 1.所以,所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=4. 11.已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值. 解 (1)圆心 C(1,2),半径为 r=2,当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=3.由圆心 C(1,2) 到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知,此时,直线与圆相切.当直线的斜率存在时,设方 |k-2+1-3k| 3 程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0.由题意知 =2,解得 k= .所以直线方 2 4 k +1 3 程为 y-1= (x-3),即 3x-4y-5=0.综上所述,过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y 4 -5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 |a+2|
2

|a+2| 2 32 3 ,∴( 2 )2+( ) =4,解得 a=- . 2 4 a +1 a +1

12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 x2+y2-12x+32=0 的圆心为 Q,过点 P(0,2)且斜率 为 k 的直线与圆 Q 相交于不同的两点 A,B.
10

(1)求 k 的取值范围; → → → (2)是否存在常数 k,使得向量OA+OB与PQ共线?如果存在求 k 的值;如果不存在,请说明 理由. 解 方法一 (1)圆的方程可写成(x-6)2+y2=4,所以圆心为 Q(6,0).过 P(0,2)且斜率为 k 的直线方程为 y=kx+2,代入圆的方程得 x2+(kx+2)2-12x+32=0,整理得(1+k2)x2+4(k -3)x+36=0.①直线与圆交于两个不同的点 A, B 等价于 Δ=[4(k-3)]2-4×36(1+k2)=42(- 3 3 8k2-6k)>0,解得- <k<0,即 k 的取值范围为(- ,0). 4 4 4?k-3? → → (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则OA+OB=(x1+x2,y1+y2),由方程①得,x1+x2=- . 1+k2 → → → → ②又 y1+y2=k(x1+x2)+4.③而 P(0,2),Q(6,0),PQ=(6,-2).所以OA+OB与PQ共线等价 3 3 于-2(x1+x2)=6(y1+y2),将②③代入上式,解得 k=- .由(1)知 k∈(- ,0),故不存在符 4 4 合题意的常数 k. 方法二 (1)∵Q(6,0),直线 AB 的方程:y=kx+2,∴Q 到 AB 的距离 d= 3 =2),∴k∈(- ,0). 4 → → → → → → (2)∵OA+OB=2OC(C 为 AB 中点),∴OC∥PQ.而PQ=(6,-2),过 Q 与 AB 垂直的直线为 y=kx+2, ? ? 1 y=- (x-6),∴? 1 k ? ?y=-k?x-6?, 6-2k 6k+2 6-2k 6k+2 → 解得 C( 2 , ),即OC=( 2 , ). k +1 k2+1 k +1 k2+1 |6k+2| <2(圆半径 r 1+k2

6k+2 1 3 3 ∴ =- ,k=- ?(- ,0),故不存在符合题意的常数 k. 3 4 4 6-2k

2.2 与直线和圆有关的最值问题
1.若动点 A,B 分别在直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 上移动,则 AB 的中点 M 到 原点的距离的最小值为________. 答案 3 2 解析 依题意知,AB 的中点 M 的集合是与直线 l1:x+y-7=0 和 l2:x+y-5=0 距离都相 等的直线,则 M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点 M 所在直线的方程为 |m+7| |m+5| l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得 = ?|m+7|=|m+5|?m=-6, 2 2 |-6| 即 l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得 M 到原点的距离的最小值为 =3 2. 2 2.已知点 M 是直线 3x+4y-2=0 上的动点,点 N 为圆(x+1)2+(y+1)2=1 上的动点,则 MN 的最小值是________. 4 答案 5 |-3-4-2| 解析 圆心(-1, -1)到点 M 的距离的最小值为点(-1, -1)到直线的距离 d= = 5 9 4 ,故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d-1= . 5 5 3.已知 P 是直线 l:3x-4y+11=0 上的动点,PA,PB 是圆 x2+y2-2x-2y+1=0 的两条
11

切线,C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________. 答案 3

解析 如图所示,圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为 C(1,1),半径为 r=1. 1 根据对称性可知四边形 PACB 面积等于 2S△APC=2× PA· r=PA, 故 PA 最小时, 四边形 PACB 2 的面积最小,由于 PA= PC2-1,故 PC 最小时,PA 最小,此时,直线 CP 垂直于直线 l: |3-4+11| 10 3x-4y+11=0, 故 PC 的最小值为圆心 C 到直线 l: 3x-4y+11=0 的距离 d= = 5 32+42 =2,所以 PA= PC2-1= 22-1= 3.故四边形 PACB 面积的最小值为 3. 4. (2013· 江西改编)过点( 2, 0)引直线 l 与曲线 y= 1-x2相交于 A、 B 两点, O 为坐标原点, 当△AOB 的面积取最大值时,直线 l 的斜率为________. 答案 - 3 3

1 解析 ∵S△AOB= OA· OB· sin∠AOB 2

1 1 = sin∠AOB≤ . 2 2 π 2 当∠AOB= 时, S△AOB 面积最大. 此时 O 到 AB 的距离 d= .设 AB 方程为 y=k(x- 2)(k<0), 2 2 即 kx-y- 2k=0.由 d= | 2k| 2 3 = ,得 k=- . 2 3 k +1 2

5.过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差 最大,则该直线的方程为________. 答案 x+y-2=0 解析 由题意知,当圆心与 P 的连线和过点 P 的直线垂直时,符合条件.圆心 O 与 P 点连 线的斜率 k=1,所以直线 OP 垂直于 x+y-2=0.

? ??y≥0, ? 6.已知 Ω=??x,y??? 2 ??y≤ 4-x ? ?

? ? ?,直线 y=mx+2m 和曲线 y= 4-x2有两个不同的交 ? ?

点, 它们围成的平面区域为 M, 向区域 Ω 上随机投一点 A, 点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M), π - 2 ? 若 P(M)∈? ? 2π ,1?,则实数 m 的取值范围是________. 答案 [0,1]

12

解析 画出图形,不难发现直线恒过定点(-2,0),圆是上半圆, 直线过(-2,0),(0,2)时,向区域 Ω 上随机投一点 A,点 A 落在区域 M 内的概率为 P(M), π-2 此时 P(M)= ,当直线与 x 轴重合时,P(M)=1,故直线的斜率范围是[0,1]. 2π 7.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x2+y2-8x+15=0,若直线 y=kx-2 上至少 存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 4 答案 3 解析 可转化为圆 C 的圆心到直线 y=kx-2 的距离不大于 2.圆 C 的标准方程为(x-4)2+y2 |4k-2| =1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到 kx-y-2=0 的距离应不大于 2,即 2 ≤2. k +1 4 4 整理,得 3k2-4k≤0,解得 0≤k≤ .故 k 的最大值是 . 3 3 8.直线 l 过点(0,-4),从直线 l 上的一点 P 作圆 C:x2+y2-2y=0 的切线 PA,PB(A,B 为切点),若四边形 PACB 面积的最小值为 2,则直线 l 的斜率 k 为________. 答案 ± 2 解析 易知圆的半径为 1,因为四边形 PACB 的最小面积是 2,此时切线段长为 2,圆心(0,1) 5 到直线 y=kx-4 的距离为 5,即 = 5,解得 k=± 2. 1+k2 9.若直线 ax+by=1 过点 A(b,a),则以坐标原点 O 为圆心,OA 长为半径的圆的面积的最 小值是________. 答案 π 1 解析 ∵直线 ax+by=1 过点 A(b,a),∴ab+ab=1.∴ab= .又 OA= a2+b2,∴以 O 为 2 圆心,OA 为半径的圆的面积为 S=π·OA2=(a2+b2)π≥2ab·π=π,∴面积的最小值为 π. 10.与直线 x-y-4=0 和圆 A:x2+y2+2x-2y=0 都相切的半径最小的圆 C 的方程是 _______________. 答案 (x-1)2+(y+1)2=2 解析 易知所求圆 C 的圆心在直线 y=-x 上,故设其坐标为 C(c,-c),又其直径为圆 A 6 的圆心 A(-1,1)到直线 x-y-4=0 的距离减去圆 A 的半径, 即 2r= - 2=2 2?r= 2, 2 |2c-4| 即圆心 C 到直线 x-y-4=0 的距离等于 2,故有 = 2?c=3 或 c=1, 2 结合图形当 c=3 时圆 C 在直线 x-y-4=0 下方,不符合题意,故所求圆的方程为(x-1)2 +(y+1)2=2. 11.已知点 P(x,y)是圆(x+2)2+y2=1 上任意一点. (1)求点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值和最小值; y-2 (2)求 的最大值和最小值. x-1
13

|3×?-2?+4×0+12| 6 解 (1)圆心 C(-2,0)到直线 3x+4y+12=0 的距离为 d= = . 5 32+42 6 11 所以点 P 到直线 3x+4y+12=0 的距离的最大值为 d+r= +1= , 5 5 6 1 最小值为 d-r= -1= . 5 5 y-2 |-3k+2| (2)设 k= ,则直线 kx-y-k+2=0 与圆(x+2)2+y2=1 有公共点,∴ ≤1,∴ x-1 k2+1 3- 3 3+ 3 3+ 3 3- 3 y-2 3+ 3 3- 3 ≤k≤ , ∴kmax= , kmin= .即 的最大值为 , 最小值为 . 4 4 4 4 4 4 x-1 12. (2014· 苏州模拟)已知圆 M 的方程为 x2+y2-2x-2y-6=0, 以坐标原点 O 为圆心的圆 O 与圆 M 相切. (1)求圆 O 的方程; → → (2)圆 O 与 x 轴交于 E,F 两点,圆 O 内的动点 D 使得 DE,DO,DF 成等比数列,求DE· DF 的取值范围. 解 (1)圆 M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故圆心 M(1,1),半径 R=2 2. 圆 O 的圆心为 O(0,0),因为 MO= 2<2 2,所以点 O 在圆 M 内,故圆 O 只能内切于圆 M. 设圆 O 的半径为 r,因为圆 O 内切于圆 M,所以 MO=R-r,即 2=2 2-r, 解得 r= 2.所以圆 O 的方程为 x2+y2=2. (2)不妨设 E(m,0),F(n,0),且 m<n.故 E(- 2,0),F( 2,0).设 D(x,y),由 DE,DO,DF 成等比数列,得 DE×DF=DO2,即 ?x+ 2?2+y2× ?x- 2?2+y2=x2+y2, → → → → 整理得 x2-y2=1.而DE=(- 2-x,-y),DF=( 2-x,-y),所以DE· DF=(- 2-x)( 2
2 2 ? ?x +y <2, 1 ? -x)+(-y)(-y)=x +y -2=2y -1.由于点 D 在圆 O 内,故有 2 2 得 y2< , 2 ?x -y =1, ? 2 2 2

→ → 所以-1≤2y2-1<0,即DE·DF∈[-1,0).

考点 3 不等式
3.1 如何用好基本不等式
1.小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则 a, ab, v 的大小关系为________. 答案 a<v< ab 解析 设甲、 乙两地之间的距离为 s.∵a<b, ∴v= 2s 2sab 2ab 2ab = = < = ab.又 v-a s s ?a+b?s a+b 2 ab + a b

ab-a2 a2-a2 2ab = -a= > =0,∴v>a. a+b a+b a+b 1 2.若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a=________. x-2 答案 3 1 1 解析 ∵x>2,∴f(x)=x+ =x-2+ +2≥2 x-2 x-2
14

1 ?x-2?× +2=4, x-2

1 当且仅当 x-2= ,即 x=3 时等号成立,即 a=3,f(x)min=4. x-2 1 1 3. (2014· 南通模拟)设 a>0, b>0, 若 3是 3a 与 3b 的等比中项, 则 + 的最小值为________. a b 答案 4 1 1? 1 1 b a ba 解析 因为 3a· 3b=3,所以 a+b=1. + =(a+b)? ·=4,当且 ?a+b?=2+a+b≥2+2 a b ab b a 1 仅当 = ,即 a=b= 时等号成立. a b 2 1 1 - 4.已知 m=a+ (a>2),n=x 2(x≥ ),则 m 与 n 之间的大小关系为________. 2 a-2 答案 m≥n 1 1 1 解析 m=a+ =(a-2)+ +2≥4(a>2),当且仅当 a=3 时,等号成立.由 x≥ 得 x2 2 a-2 a-2 1 1 - ≥ ,∴n=x 2= 2≤4 即 n∈(0,4],∴m≥n. 4 x 5.已知正数 x,y 满足 x+2 2xy≤λ(x+y)恒成立,则实数 λ 的最小值为________. 答案 2 解析 ∵x>0,y>0,∴x+2y≥2 2xy(当且仅当 x=2y 时取等号).又由 x+2 2xy≤λ(x+y) x+2 2xy x+2 2xy x+?x+2y? ?x+2 2xy? 可得 λ≥ ,而 ≤ =2,∴当且仅当 x=2y 时,? ? =2. x+y x+y x+y ? x+y ?max ∴λ 的最小值为 2. m 3 1 6.已知 a>0,b>0,若不等式 - - ≤0 恒成立,则 m 的最大值为________. 3a+b a b 答案 16 m 3 1 3 1 3b 3a 解析 因为 a>0,b>0,所以由 - - ≤0 恒成立得 m≤( + )(3a+b)=10+ + 恒 a b a b 3a+b a b 3b 3a 成立.因为 + ≥2 a b 3b 3a 3b 3a · =6,当且仅当 a=b 时等号成立,所以 10+ + ≥16, a b a b

所以 m≤16,即 m 的最大值为 16. 7.若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 答案 18 解析 ∵x>0,y>0,2x+y+6=xy,∴2 2 xy+6≤xy,即 xy-2 2 xy-6≥0, 解得 xy≥18.∴xy 的最小值是 18. 8.已知 a>0,b>0,函数 f(x)=x2+(ab-a-4b)x+ab 是偶函数,则 f(x)的图象与 y 轴交点纵 坐标的最小值为________. 答案 16 解析 根据函数 f(x)是偶函数可得 ab-a-4b=0, 函数 f(x)的图象与 y 轴交点的纵坐标为 ab. 由 ab-a-4b=0,得 ab=a+4b≥4 ab,解得 ab≥16(当且仅当 a=8,b=2 时等号成立), 即 f(x)的图象与 y 轴交点纵坐标的最小值为 16. x 9.若对任意 x>0, 2 ≤a 恒成立,则 a 的取值范围是________. x +3x+1 1 ? 答案 ? ?5,+∞? x 1 1 1 解析 ∵a≥ 2 = 对任意 x>0 恒成立,设 u=x+ +3,∴只需 a≥ 恒成立即 1 x u x +3x+1 x+ +3 x
15

可. 1 1 1 ∵x>0,∴u≥5(当且仅当 x=1 时取等号).由 u≥5 知 0< ≤ ,∴a≥ . u 5 5 2 10.(1)已知 0<x< ,求 y=2x-5x2 的最大值; 5 x2+7x+10 (2)求函数 y= (x>-1)的最小值. x+1 1 2 解 (1)y = 2x - 5x2 = x(2 - 5x) = · 5x· (2 - 5x) .∵ 0<x< ,∴ 5x<2,2 - 5x>0 ,∴ 5x(2 - 5x) ≤ 5 5 5x+2-5x 2 1 1 1 ( ) =1,∴y≤ ,当且仅当 5x=2-5x,即 x= 时,ymax= . 2 5 5 5 (2)设 x+1=t,则 x=t-1(t>0), ?t-1?2+7?t-1?+10 4 ∴y= =t+ +5≥2 t t 4 4 t·+5=9.当且仅当 t= ,即 t=2,且此时 x=1 t t

时,取等号,∴ymin=9. 11.如图,建立平面直角坐标系 xOy,x 轴在地平面上,y 轴垂直于地平面,单位长度为 1 1 千米,某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程 y=kx- (1+k2)x2 (k>0)表示的曲 20 线上,其中 k 与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标. (1)求炮的最大射程; (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小),其飞行高度为 3.2 千米,试问它的横坐标 a 不超

过多少时,炮弹可以击中它?请说明理由. 1 解 (1)令 y=0,得 kx- (1+k2)x2=0,由实际意义和题设条件知 x>0,又 k>0, 20 20k 20 20 故 x= ≤ =10,当且仅当 k=1 时取等号.所以炮的最大射程为 10 千米. 2= 1 2 1+k k+ k 1 (2)因为 a>0,所以炮弹可击中目标?存在 k>0,使 3.2=ka- (1+k2)a2 成立?关于 k 的方 20 程 a2k2-20ak+a2+64=0 有正根?判别式 Δ=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0?0<a≤6.所以当 a 不超过 6 千米时,可击中目标. 12.为了响应国家号召,某地决定分批建设保障性住房供给社会.首批计划用 100 万元购得 一块土地,该土地可以建造每层 1 000 平方米的楼房,楼房的每平方米建筑费用与建筑高度 有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米建筑费用提高 20 元.已知建筑第 5 层楼房时,每 平方米建筑费用为 800 元. (1)若建筑第 x 层楼时,该楼房综合费用为 y 万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和),写 出 y=f(x)的表达式; (2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低,应把楼层建成几层?此时平均综合费用为 每平方米多少元? 解 (1)由题意知建筑第 1 层楼房每平方米建筑费用为 720 元,建筑第 1 层楼房建筑费用为 720×1 000=720 000(元)=72(万元),楼房每升高一层,整层楼建筑费用提高 x?x-1? 20×1 000=20 000(元)=2(万元), 建筑第 x 层楼时, 该楼房综合费用为 y=f(x)=72x+ 2
16

×2+100=x2+71x+100,综上可知 y=f(x)=x2+71x+100(x≥1,x∈Z). f?x?×10 000 10f?x? (2) 设 该 楼 房 每 平 方 米 的 平 均 综 合 费 用 为 g(x) , 则 g(x) = = = 1 000x x 10?x2+71x+100? 1 000 =10x+ +710≥2 x x 1 000 1 000 10x· +710=910.当且仅当 10x= , x x

即 x=10 时等号成立. 综上,可知应把楼层建成 10 层,此时平均综合费用最低,为每平方米 910 元.

3.2 处理好“线性规划问题”的规划
?y≥|x-1|, ? 1.实数 x,y 满足? 则不等式组所围成图形的面积为________. ? ?y≤1,

答案 1 解析 实数 x,y 满足
?y≥|x-1|, ? ? 它表示的可行域如图所示. ? ?y≤1,

不等式组所围成的图形是三角形,其三个顶点的坐标分别为(1,0),(0,1),(2,1), 1 所以所围成图形的面积为 ×2×1=1. 2 x+y≥2, ? ? 2.已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1),若点 M(x,y)为平面区域?x≤1, ? ?y≤2 → → 上的一个动点,则OA· OM的取值范围是________. 答案 [0,2] → → 解析 作出可行域,如图所示,由题意OA· OM=-x+y. 设 z=-x+y,作 l0:x-y=0,易知,过点(1,1)时 z 有最小值,zmin=-1+1=0;过点(0,2) → → 时 z 有最大值,zmax=0+2=2,∴OA· OM的取值范围是[0,2]. y≤x, ? ? 3.若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1, ? ?y≥-1, 则 m-n=________. 答案 6 解析 画出可行域,如图阴影部分所示.
?y=x, ?x=-1, ? ? 由 z=2x+y,得 y=-2x+z.由? 得? ? ? ?y=-1 ?y=-1, ?x+y=1, ?x=2, ? ? ∴A(-1,-1).由? 得? ? ? ?y=-1 ?y=-1,

且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,

∴B(2,-1).当直线 y=-2x+z 经过点 A 时,zmin=2×(-1)-1=-3=n.当直线 y=-2x +z 经过点 B 时,zmax=2×2-1=3=m,故 m-n=6.

17

y≥x, ? ? 4.设 m>1,在约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1 范围为________. 答案 (1,1+ 2)

下,目标函数 z=x+my 的最大值小于 2,则 m 的取值

1 z 1 解析 变形目标函数为 y=- x+ ,由于 m>1,所以-1<- <0,不等式 m m m 组表示的平面区域如图中阴影部分所示.根据目标函数的几何意义,只有直 1 z 线 y=- x+ 在 y 轴上的截距最大时,目标函数取得最大值.显然在点 A m m
? 1 m ?y=mx, 处取得最大值,由? 得交点 A?1+m,1+m?,所以目标函数的最 ? ? ?x+y=1, ?

1 m2 大值是 + <2,即 m2-2m-1<0,解得 1- 2<m<1+ 2,故 m 的取值范围是(1,1 1+m 1+m + 2). y≤x, ? ? 5.若 P 是满足不等式组?x+y-2≤0, 表示的平面区域内的任意一点,点 P 到直线 3x+ ? ?y>0 4y-12=0 的距离为 d,则 d 的取值范围是________. 12 答案 [1, ) 5 解析 作出可行域为△AOB(但不包括 OB 上的点)及直线 3x+4y-12=0,如图所示. 结合图形,可知点 A(1,1)到直线 3x+4y-12=0 的距离最小, |3+4-12| 最小值 dmin= =1; 原点 O(0,0)到直线 3x+4y-12=0 的距离最 5 |0×3+0×4-12| 12 12 大,最大值 dmax= = .又 y>0,所以 d∈[1, ). 5 5 5

2x-y+1>0, ? ? 6.设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0

表示的平面区域内存在

点 P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,则 m 的取值范围是________. 2 答案 (-∞,- ) 3 解析 问题等价于直线 x-2y=2 与不等式组所表示的平面区域存在 公共点,由于点(-m,m)不可能在第一和第三象限,而直线 x-2y=2 经过第一、三、四象 限,则点(-m,m)只能在第四象限,可得 m<0,不等式组所表示的平面区域如图中阴影部 分所示,要使直线 x-2y=2 与阴影部分有公共点,则点(-m,m)在直线 x-2y-2=0 的下 2 方,故-m-2m-2>0,即 m<- . 3 x-y+2≥0, ? ? 7. 设变量 x, y 满足约束条件?x-5y+10≤0, ? ?x+y-8≤0,
18

则目标函数 z=3x-4y 的最大值为________.

答案 3 解析 3 1 如图所示,作出不等式组所表示的可行域,故当直线 y= x- z 4 4

在 x 轴上的截距取得最大值时,目标函数取得最大值.由图,可知当 y=
? ? ?x-5y+10=0, ?x=5, 3 1 x- z 经过点 C 时 z 取得最大值,由? 解得? 即 4 4 ?x+y-8=0, ?y=3, ? ?

C(5,3),故目标函数的最大值为 z=3×5-4×3=3. x≤1, ? ? 8.已知不等式组?x+y+2≥0, ? ?kx-y≥0 表示的平面区域为 Ω,其中 k≥0,则

当 Ω 的面积取得最小值时,k 的值为________. 答案 1 解析 依题意作图,如图所示,要使平面区域 Ω 的面积最小,即使 S△OAD +S△OBC 最小,又直线 x+y+2=0 与 y 轴的交点的坐标为 A(0,-2),直线 2 2k x+y+2=0 与 y=kx 的交点的坐标为 D(- ,- ),直线 y=kx 与 x k+1 k+1 1 1 2 1 =1 的交点的坐标为 C(1,k),k≥0,所以 S△OAD+S△OBC= |OA|· |xD|+ |OB|· |yC|= + · k 2 2 k+1 2 = k+1 1 k+1 2 1 k 1 2 1 3 2 + + - = + - ≥2- = ,当且仅当 = 时取等号,即 k=1 或 k 2 2 2 2 2 k+1 2 2 2 k+1 k+1

=-3(舍去).所以满足条件的 k 的值为 1. 9.4 件 A 商品与 5 件 B 商品的价格之和不小于 20 元,而 6 件 A 商品与 3 件 B 商品的价格 之和不大于 24,则买 3 件 A 商品与 9 件 B 商品至少需要________元. 答案 22

解析 设 1 件 A 商品的价格为 x 元,1 件 B 商品的价格为 y 元,买 3 件 A 商品与 9 件 B 商 4x+5y≥20, ? ?6x+3y≤24, 品需要 z 元,则 z=3x+9y,其中 x,y 满足不等式组? x≥0, ? ?y≥0,

作出不等式组表示

10 4 的平面区域,如图所示,其中 A(0,4),B(0,8),C( , ). 3 3 1 1 当 y=- x+ z 经过点 C 时,目标函数 z 取得最小值. 3 9 10 4 所以 zmin=3× +9× =22. 3 3 10 4 因此当 1 件 A 商品的价格为 元,1 件 B 商品的价格为 元时,可使买 3 件 A 商品与 9 件 B 3 3
19

商品的费用最少,最少费用为 22 元. 2x-y+2≥0, ? ?8x-y-4≤0, 10.设 x,y 满足约束条件? x≥0, ? ?y≥0, 8,则 a+b 的最小值为________. 答案 4

若目标函数 z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为

解析 由 z=abx+y,得 y=-abx+z,所以直线的斜率为-ab<0,作出可行域,如图,由 图象,可知当 y=-abx+z 经过点 B 时,z 取得最大值.
? ? ?2x-y+2=0, ?x=1, 由? 得? ? ? ?8x-y-4=0, ?y=4,

即 B(1,4),代入 z=abx+y=8,得 ab+4=8,即 ab=4,所以 a+b≥2 ab=4,当且仅当 a =b=2 时取等号,所以 a+b 的最小值为 4. x+4y≥4, ? ? 11.给定区域 D:?x+y≤4, ? ?x≥0. 令点集 T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是 z=x+y 在 D

上取得最大值或最小值的点},则 T 中的点共确定________条不同的直线. 答案 6 解析 线性区域为图中阴影部分, 取得最小值时点为(0,1), 最大值时点为(0,4), (1,3), (2,2), (3,1),(4,0),故共可确定 6 条.

x+y≤t, ? ? 12.(2014· 盐城模拟)已知 t 是正实数,如果不等式组?x-y≤0, ? ?x≥0 径为 1 的圆,则 t 的最小值为________. 答案 2+2 2

表示的区域内存在一个半

20

解析 画出不等式组表示的平面区域,当 t 是正实数时,所表示的区域为第一象限的一个等 腰直角三角形. 依题意, 它有一个半径为 1 的内切圆, 不妨设斜边|OB|=t, 则两直角边长|AB| 2 2 t+ t-t 2 2 2 2 =|OA|= t,所以 =1,求得 t= =2 2+2,即 tmin=2+2 2. 2 2 2-1 考点 4 立体几何 4.1 立体几何中的计算问题 1. (2014· 大纲全国改编)正四棱锥的顶点都在同一球面上, 若该棱锥的高为 4, 底面边长为 2, 则该球的表面积为________. 81π 答案 4

解析 如图,设球心为 O,半径为 r, 则 Rt△AOF 中,(4-r)2+( 2)2=r2, 9 解得 r= , 4 9 81 所以,该球的表面积为 4πr2=4π×( )2= π. 4 4 2.(2014· 福建改编)以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所 得圆柱的侧面积为________. 答案 2π 解析 以正方形的一边所在直线为轴旋转得到的圆柱底面半径 r=1,高 h=1,所以侧面积 S=2πrh=2π. 3.(2013· 辽宁改编)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上.若 AB=3, AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为________. 13 答案 2 解析 因为 AB⊥AC,且 AA1⊥底面 ABC, 将直三棱柱补成内接于球的长方体,则长方体的对角线 l= 13 32+42+122=2R,R= . 2

4. 在三棱柱 ABC—A1B1C1 中, 各棱长相等, 侧棱垂直于底面, 点 D 是侧面 BB1C1C 的中心, 则 AD 与平面 BB1C1C 所成角的大小是________. 答案 60°

21

解析 取 BC 中点 E,连结 AE,则 AE⊥平面 BCC1B1,故∠ADE 为直线 AD 与平面 BB1C1C 所成的角.设各棱长为 a,则 AE= ∴∠ADE=60° . 3 1 a,DE= a.∴tan∠ADE= 3. 2 2

5.如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面 ABCD,E 为 PC 的中点,则 BE 与平面 PAD 的位置关系为________. 答案 平行

1 解析 取 PD 的中点 F,连结 EF,在△PCD 中,EF 綊 CD.又∵AB∥CD 且 CD=2AB, 2 ∴EF 綊 AB, ∴四边形 ABEF 是平行四边形, ∴EB∥AF.又∵EB?平面 PAD, AF?平面 PAD, ∴BE∥平面 PAD. 6.已知两球 O1 和 O2 在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的内部,且互相外切,若球 O1 与过点 A 的正方体的三个面相切,球 O2 与过点 C1 的正方体的三个面相切,则球 O1 和球 O2 的表面积之和的最小值为________. 答案 (6-3 3)π 解析 设球 O1, O2 的半径分别为 r1, r2, 由题意知 O1A+O1O2+O2C1= 3, 而 O1A= 3r1, O1O2=r1+r2,O2C1= 3r2,∵ 3r1+r1+r2+ 3r2= 3.∴r1+r2= ?r1+r2?2 2 2 2 从而 S1+S2=4πr2 + 4 π r = 4 π ( r + r ) ≥ 4 π · =(6-3 3)π. 1 2 1 2 2 3- 3 , 2

7.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF ∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度为______. 答案 2 解析 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2.又 E 为 AD 的中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC,平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F 为 DC 的中点,∴
22

1 EF= AC= 2. 2 8.(2014· 江苏)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1,S2,体积分别为 V1,V2,若它们的侧 S1 9 V1 面积相等,且 = ,则 的值是________. S2 4 V2 3 答案 2 2 S1 9 πr1 9 r1 3 解析 设两个圆柱的底面半径和高分别为 r1,r2 和 h1,h2,由 = ,得 2= ,则 = . S2 4 πr2 4 r2 2 2 V1 πr1h1 r1 3 由圆柱的侧面积相等,得 2πr1h1=2πr2h2,即 r1h1=r2h2,所以 = 2 = = . V2 πr2h2 r2 2

9.(*)如图所示,在正三角形 ABC 中,D,E,F 分别为各边的中点,G,H 分别为 DE, AF 的中点,将△ABC 沿 DE,EF,DF 折成正四面体 PDEF(点 A、B、C 重合 后记为 P),则四面体中异面直线 PG 与 DH 所成角的余弦值为________. 2 答案 3 解析 折成的正四面体如图所示, 连结 HE, 取 HE 的中点 K, 连结 GK, PK, 则 GK∥DH,故∠PGK 即为所求的异面直线所成角或其补角.设这个正四面 体的棱长为 2,在△PGK 中,PG= 3,GK= 3 , 2

3 7 ? 3?2+? ?2-? ?2 2 2 ? ? ? ? 2 7 3 PK= 12+? ?2= , 故 cos∠PGK= = .即异面直线 PG 与 DH 所 3 ?2? 2 3 2× 3× 2 2 成角的余弦值为 . 3

10. (2013· 安徽)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A , P , Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S. 则下列命题正确的是 ________(写出所有正确命题的编号). 1 1 ①当 0<CQ< 时,S 为四边形;②当 CQ= 时,S 为等腰梯形; 2 2 3 1 3 ③当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ;④当 <CQ<1 时,S 为六边形; 4 3 4 ⑤当 CQ=1 时,S 的面积为 答案 ①②③⑤
23

6 . 2

1 解析 ①当 0<CQ< 时,如图(1).在平面 AA1D1D 内,作 AE∥PQ,显然 E 在棱 DD1 上,连 2 结 EQ,则 S 是四边形 APQE.

1 ②当 CQ= 时,如图(2).显然 PQ∥BC1∥AD1,连结 D1Q,则 S 是等腰梯形. 2 3 ③当 CQ= 时,如图(3). 4 1 作 BF∥PQ 交 CC1 的延长线于点 F,则 C1F= . 2 1 作 AE∥BF,交 DD1 的延长线于点 E,D1E= ,AE∥PQ,连结 EQ 交 C1D1 于点 R, 2 1 ∵Rt△RC1Q∽Rt△RD1E,∴C1Q∶D1E=C1R∶RD1=1∶2,∴C1R= . 3

3 ④当 <CQ<1 时,如图(3),连结 RM(点 M 为 AE 与 A1D1 交点),显然 S 为五边形 APQRM. 4 ⑤当 CQ=1 时,如图(4). 同③可作 AE∥PQ 交 DD1 的延长线于点 E,交 A1D1 于点 M,显然点 M 为 A1D1 的中点, 1 1 6 ∴S 为菱形 APQM,其面积为 MP×AQ= × 2× 3= . 2 2 2 11.已知一个圆锥的底面半径为 R,高为 H,在其内部有一个高为 x 的内接圆柱. (1)求圆柱的侧面积; (2)x 为何值时,圆柱的侧面积最大? 解 (1)

作圆锥的轴截面,如图所示.设内接圆柱的半径为 r. r H-x R 2πR 2 因为 = ,所以 r=R- x,所以 S 圆柱侧=2πrx=2πRx- x (0<x<H). R H H H
24

2πR 2πR H (2)因为- <0,所以当 x= = 时,S 圆柱侧最大. H 4πR 2 H H 故当 x= ,即圆柱的高为圆锥高的一半时,圆柱的侧面积最大. 2

12. (2014· 北京)如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 侧棱垂直于底面, AB⊥BC, AA1=AC=2, BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面 ABE; (3)求三棱锥 E-ABC 的体积.

(1)证明 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,BB1⊥底面 ABC,所以 BB1⊥AB.又因为 AB⊥BC,BB1 ∩BC=B,所以 AB⊥平面 B1BCC1,又因为 AB?平面 ABE,所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明 取 AB 的中点 G,连结 EG,FG.因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC.因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1,所以 FG∥EC1,且 FG=EC1, 2 所以四边形 FGEC1 为平行四边形.所以 C1F∥EG.又因为 EG?平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)解 因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC,所以 AB= AC2-BC2= 3. 1 1 3 1 所以三棱锥 E-ABC 的体积 V= S△ABC· AA1= × × 3×1×2= . 3 3 2 3

4.2 完美破解立体几何证明题
1.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中与 a 平行的直线 的条数为________. 答案 一条 解析 由直线 a 与 B 确定的平面与 β 有唯一交线.故存在唯一与 a 平行的直线. 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上的动点,则直线 A1D 与直线 C1E 所成的角 为________. 答案 90° 解析 在正方体中,显然有 A1D⊥AB,A1D⊥AD1,所以 A1D⊥平面 AD1C1B,又 C1E?平面 AD1C1B,故 A1D⊥C1E. 3.已知 α、β 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β;②
25

存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存 在两条异面直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,可以推出 α∥β 的是________. 答案 ①④ 解析 对于②,平面 α 与 β 还可以相交;对于③,当 a∥b 时,不一定能推出 α∥β,所以② ③是错误的,易知①④正确. 4.已知 α,β,γ 是三个不重合的平面,a,b 是两条不重合的直线,有下列三个条件:①a ∥γ,b?β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a?γ.如果命题“α∩β=a,b?γ,且________,那么 a ∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是________. 答案 ①或③ 解析 由定理 “一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的任一个平面与此平面的交线与该 直线平行”可得,横线处可填入条件①或③.

5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面 APC;③点 B 到平面 PAC 的距 离等于线段 BC 的长.其中正确的是________. 答案 ①②③ 解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC.∵AB 为⊙O 的直径,∵PA∩AC=A, ∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC,又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点,∴OM∥PA,∵PA?平面 PAC,∴OM∥平面 PAC; 对于③,由①知 BC⊥平面 PAC,∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都 正确. 6.设 α 和 β 为两个不重合的平面,给出下列四个命题: ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线,则 α 平行于 β; ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行,则 l 和 α 平行; ③设 α 和 β 相交于直线 l,若 α 内有一条直线垂直于 l,则 α 和 β 垂直; ④直线 l 与 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 其中为真命题的是________.(写出所有真命题的序号) 答案 ①② 解析

由①知 α 内两条相交直线分别平行于平面 β,则两条相交直线确定的平面 α 平行于平面 β, 故①为真命题;由线面平行的判定定理知,②为真命题;对于③,如图,α∩β=l,a?α,a ⊥l,但不一定有 α⊥β,故③为假命题;对于④,直线 l 与平面 α 垂直的充分必要条件是 l 与 α 内的两条相交直线垂直,故④为假命题. 综上所述,真命题的序号为①②.

26

AM AN 7.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 = ,则直线 MN 与平面 BDC MB ND 的位置关系是________. 答案 平行 AM AN 解析 在平面 ABD 中, = ,∴MN∥BD.又 MN?平面 BCD,BD?平面 BCD,∴MN MB ND ∥平面 BCD. 8.底面直径和母线长相等的圆柱称为等边圆柱.已知一等边圆柱的底面半径为 2,则其体 积为________. 答案 16π 解析 由题意,圆柱的高为 4,则 V=π·22· 4=16π.

9.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA=2AB,则下列结 论中:①PB⊥AE;②平面 ABC⊥平面 PBC;③直线 BC∥平面 PAE;④∠PDA=45° . 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 答案 ①④ 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE,又由正六边形的性质得 AE⊥AB, PA∩AB=A,得 AE⊥平面 PAB,又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB,①正确;∵平面 PAD⊥平 面 ABC, ∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错;由正六边形的性质得 BC∥AD,又 AD?平面 PAD, BC?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD,∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错; 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45° ,∴④正确. 10.给出命题: ①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行; ②设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; ③已知 α,β 表示两个不同平面,m 为平面 α 内的一条直线, “α⊥β”是“m⊥β”的充要条 件; ④在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥BC,SB⊥AC,则 S 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的垂心; ⑤a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一 条平行. 其中,正确的命题是________.(只填序号) 答案 ②④ 解析 ①错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交; ③错误, “α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件; ⑤错误,只有当异面直线 a,b 垂直时才可以作出满足要求的平面;易知②④正确.
27

11.如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点.

求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

证明 (1)如图所示,连结 NK. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形,∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD. ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点,∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形.∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥ KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K. ∵A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK,∴AN∥平面 A1MK. (2)如图所示,连结 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB∥C1D1, AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点,∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴ 四 边 形 BC1KM 为 平 行 四 边 形 . ∴ MK ∥ BC1. 在 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中, A1B1⊥平面 BB1C1C, BC1?平面 BB1C1C, ∴A1B1⊥BC1.∵MK∥BC1, ∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形, ∴BC1⊥B1C.∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C, B1C?平面 A1B1C, A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C.又∵MK?平面 A1MK,∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK.

5.期末备考题精选
5.1 直线与圆
一、 填空题 1.圆x2-2x+y2-3=0的圆心到直线x+ 3 y-3 =0的距离为 . 1 . 在圆外

2.若直线l:ax+by=1与圆C:x2+y2=1相交,则点P(a,b)与圆C的位置关系是

3. 若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为
28

(x-2) +(y+3) =5

2

2

.

4.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆C:(x -1)2+y2=4上的任意一点,已知点Q(2a,a-3)(a∈R),则 线段PQ长度的最小值为 . [ 5 -2来源:Z。xx。k.Com]

5.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2-(6-2m)x-4my+5m2-6m=0,直线l经过点(1,0).若对任 意的实数m,定直线l被圆C截得的弦长为定值,则直线l的方程为 . 2x+y-2=0 6. 已知圆C过点(1,0),且圆心在x轴的正半轴上,直线l:y=x-1被该圆所截得的弦长为2 2 ,则圆 2 2 C的 标准方程为 . (x-3) +y =4

7.已知圆C:(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点,若∠PCQ=90° ,则a=

5 . 2

8. 已知圆x2+y2+x-6y+3=0上的两点P,Q关于直线kx-y+4=0对称,且OP⊥OQ(O为坐标原点),则 直线PQ的方程为 二、 解答题 9. 已知圆x2+y2+2ax-2ay+2a2-4a=0(0<a≤4)的圆心为C,直线l:y=x+m.[来源:学§科§网] (1) 若m=4,求直线l被圆C所截得弦长的最大值; (2) 若直线l是圆心C下方的切线,当a在(0,4]上变化时,求m的取值范围. 解

1 3 1 5 . y=- 2 x+ 2 或y=- 2 x+ 4

10. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=64,圆O1与圆O相交,圆心为O 1(9,0),且圆O1上的 点与圆O上的点之间的最大距离为21. (1) 求圆O1的标准方程;
29

(2) 过定点P(a,b)作动直线l与圆O,圆O1都相交,且直线l被圆O,圆O1截得的弦长分别为d,d1.若d 与d1的比值总等于同一常数λ,求点P的坐标及λ的值. 解答:

11.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=a(其中r和a均为常数,且0<r<a),M为l 上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q. (1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程; (2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.

30

5.2 数列
1.数列{an}中,a1=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1-an,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=|a1|+|a2|+?+|an|,求 Sn; 1 (3)设 bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+??+bn(n∈N*),是否存在最大的整数 m,使得对 n (12 ? a n ) 任意 n∈N*均有 Tn>

m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 32 解:解:(1)由 an+2=2an+1-an ? an+2-an+1=an+1-an 可知{an} a ? a1 d= 4 =-2,∴an=10-2n. 4 ?1
(2)由 an=10-2n≥0 可得 n≤5,当 n≤5 时,Sn=-n2+9n,当 n>5 时,Sn=n2-9n+40,
2 ? ?? n ? 9 n 2 ? ?n ? 9n ? 40

故 Sn= ?

1? n ? 5 n?5

(3)bn=

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) n(12 ? an ) n(2n ? 2) 2 n n ? 1

1 1 1 1 1 1 n m ?Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? ; 要使 Tn> 总成 2 2 2 3 n n ?1 2(n ? 1) 32

1 m <T1= 成立,即 m<8 且 m∈Z,故适合条件的 m 的最大值为 7. 4 32 2.已知数列 ?an ? 是公差为 d (d ? 0) 的等差数列, 数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列
立,需
2 若函数 f ( x) ? x ,且 a1 ? f (d ? 1), a5 ? f (2d ? 1) , b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q) ,

31

(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 S n ,对一切 n ? N ? ,都有 求 Sn 解 : (1) 数 列 ?an ? 是 公 差 为 d (d ? 0) 的 等 差 数 列 f ( x) ? x 2 , 且 a1 ? f (d ? 1),

c c1 c2 ? ? ? ? n ? an?1 成立, b1 2b2 nbn

a5 ? f (2d ? 1) ? (d ? 1) 2 ? 4d ? (2d ? 1) 2 ? d ? 2 a1 ? 1 ? q 2 ? q 2 (q ? 2) 2
(2)

? an ? 2n ? 1

数列 ?bn ? 是公比为 q 的(q∈R)的等比数列 f ( x) ? x 2 ,且, b1 ? f (q ? 2) , b3 ? f (q)

q ? 3或 1

b1 ? 1

bn ? 3n?1 或 bn ? 1….8 分

c1 c2 ? ? b1 2b2

?

cn ? an?1 nbn

n ?1 n?2

c1 ? a2 b1

c1 ? 3 , S1 ? 3 ……….10 分
, cn ? 2n ? 3n?1 或 cn ? 2n ……….12 分

cn ? a n?1 ? a n ? 2 nbn

① cn ? 2n ? 3n?1 S n ? c1 ? c2 ? ? ? cn ? 3 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 32 ? ?2 ? n ? 3n?1

? 2(1? 30 ? 2 ? 31 ? 3 ? 32 ? ?n ? 3n?1 ) ? 1
0 1 2 n ?1 设 x ? 1? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 ? ? ? n ? 3

3? x ?

1? 31 ? 2 ? 32 ? ? ? (n ? 1) ? 3n?1 ? n ? 3n
3n ? 1 1 3 ? S n ? (n ? ) ? 3 n ? 2 2 2

2x ? n ? 3n ? (3n?1 ? 3n?2 ? ?30 ) ? n ? 3 n ?
② cn ? 2n

2 ? 2n n ? n(n ? 1) ……….14 分 2 1 3 2 ? 2n n ? n ? n(n ? 1) …….16 分 综上 S n ? ( n ? ) ? 3 ? , n ? N 或 Sn ? 2 2 2 3. 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 且点 P?an , an?1 ??n ? N ? ?在直线 x ? y ? 1 ? 0 上. Sn ?
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若函数 f (n) ?

1 1 1 ? ? ? n ? a1 n ? a2 n ? a3

?

1 ? n ? N , 且n ? 2? ,求函数 f (n) 的 n ? an

最小值 ; (3)设 bn ?

写出 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立? 若存在,

1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和.问:是否存在关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an

g ?n ? 的解析式,并 加以证明;若不存在,试说明理由.
即 an?1 ? an ? 1,--------2 分

解: (1)由点 P (an , an?1 ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上, 且 a1 ? 1 ,数列{ an }是以 1 为首项,1 为公差的等差数列

an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2) , a1 ? 1 同样满足,所以 an ? n -------4 分
32

1 1 1 ? ??? n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? ? ? ?? ? -----6 分 n?2 n?3 n?4 2n ? 1 2n ? 2 1 1 1 1 1 1 f (n ? 1) ? f (n) ? ? ? ? ? ?0 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 2n ? 2 2n ? 2 n ? 1 7 所以 f ( n) 是单调递增,故 f ( n) 的最小值是 f ( 2) ? -------10 分 12 1 1 1 1 1 (3) bn ? ,可得 S n ? 1 ? ? ? ? ? , S n ? S n ?1 ? ( n ? 2) -------12 分 n 2 3 n n nSn ? (n ? 1)S n?1 ? S n?1 ? 1,
(2) f ( n) ?

(n ? 1)S n?1 ? (n ? 2)S n?2 ? S n?2 ? 1
……

S 2 ? S1 ? S1 ? 1
nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? n ? 1 S1 ? S 2 ? S3 ? ? ? S n?1 ? nSn ? n ? n(S n ? 1) ,n≥2--14 分 g (n) ? n
故存在关于 n 的整式 g(x)=n,使得对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立----16 分 4. 已知等比数列 {an } 的首项 a1 ? 2011 ,公比 q ? ? 项积记为 Tn . (1)证明: S2 ? Sn ? S1 ; (2)判断 Tn 与 Tn ?1 的大小,并求 n 为何值时, Tn 取得最大值; (3)证明:若数列 {an } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从小 到大的顺序依次记为 d1 , d2 , 列.

1 ,数列 {an } 前 n 项和记 为 Sn ,前 n 2

, dn ,则数列 {dn } 为等比数

33


推荐相关:

高一数学必修一、必修二期末考试教师版试卷[1]201...

高一数学必修一、必修二期末考试教师版试卷[1]2013116 - 高一数学必修一、必修二期末复习 一、选择题: 1.点 P(7, ?4) 关于直线 l : 6 x ? 5 y ? 1...


三角函数期末难题复习-教师版

三角函数期末难题复习-教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。博翰教育,专注...D 【点评】 本题考查的知识点是集合中元素的个数及分段函数的函数值, 其中...


【期末复习系列资料】高一数学(必修一、必修二)学...

期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(4)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。【期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试...


【期末复习系列资料】高一数学(必修一、必修二)学...

期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(2)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。【期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试...


【期末复习系列资料】高一数学(必修一、必修二)学...

期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(5)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。【期末复习系列资料高一数学学业水平测试试题(5) (湘教...


高2017级高一下默写复习资料(教师版)

高2017级高一下默写复习资料(教师版)_数学_高中教育_教育专区。高 2017 级高一下默写复习资料 一、 《劝学》 1、荀子在《劝学》中连用了“冰,水为之而寒于水...


学大教育期末高一立体几何复习考题教师版

学大教育期末高一立体几何复习考题教师版_数学_高中教育_教育专区。学大教育期末高一立体几何复习考题教 师版第 I 卷(选择题)评卷人 得分 一、选择题(题型注释)...


师大附中高一第二学期期中考试(教师版)

师大附中高一第二学期期中考试(教师版) - 湖南师大附中 2014-2015 学年度第二学期高一期中考试 数学 第一卷(必修 3 模块结业考试, ,满分 100 分) 一、 选择...


第二学期数学老师理论学习内容

第二学期数学学习内容 第一次集中学习内容 (3 月 ...③评教师的教学机智, 重点观察对课上偶发事件的处理...1、注意及时复习 概念的巩固是在对概念的理解和应用...


【期末复习系列资料】高一数学(必修一、必修二)学...

期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试试题(3)(教师版)_数学_高中教育_教育专区。【期末复习系列资料高一数学(必修一、必修二)学业水平测试...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com