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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练5(含解析)北师大版必修5


双基限时练(五)
一、选择题 1.在等差数列{an}中,a1=1,公差 d=2,则等差数列{an}的前 10 项的和为( A.100 C.-90 10×9 解析 S10=10a1+ d=10+90=100. 2 答案 A 2.在等差数列{an}中,S10=120,则 a2+a9 的值为( A.12 C.36 B.24 D.48 ) B.90 D.-100 )

?a1+a10?×10 解析 由 S10= =120,得 a1+a10=24,又 a1+a10=a2+a9,故答案为 B. 2 答案 B 3.如果等差数列的前 7 项之和 S7=315,a1=81,则 a7 等于( A.9 C.8 ?a1+a7?×7 解析 由 S7= =315, 2 得 a1+a7=90,又 a1=81,∴a7=9. 答案 A 4.在公差为 d 的等差数列{an}中,Sn=-n +n,则( A.d=-1,an=-n+1 B.d=-2,an=-2n+2 C.d=1,an=n-1 D.d=2,an=2n-2 解析 由 Sn=-n +n,{an}为等差数列, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-n +n+(n-1) -(n-1)=-(2n-1)+1=-2n+2, ∴d=-2. 答案 B 5.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6,则当 Sn 取得最小值时,
2 2 2 2

)

B.10 D.11

)

n 等于(
A.6 C.8

) B.7 D.9

解析 设公差为 d,由 a4+a6=2a5=-6,
1

得 a5=-3=a1+4d,得 d=2, ∴Sn=-11n+

n?n-1?
2

×2=n -12n,

2

∴当 n=6 时,Sn 取得最小值. 答案 A 6.设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a4=9,S5=35.则数列{an}的通项公式为 an= ( ) A.2n-3 C.2n+1 B.2n-1 D.2n+3
? ?a1=3, ?d=2, ?

a1+3d=9, ? ? 解析 由? 5×4 5a1+ d=35, ? 2 ?
答案 C 二、填空题

得?

∴an=2n+1.

7.已知数列的通项 an=-5n+2,则其前 n 项和 Sn=________. ?-3+2-5n?n -5n -n 解析 Sn= = . 2 2 -5n -n 答案 2 8.在等差数列{an}中,a5=2,an-4=30,Sn=240,则 n 的值为________. 解析 ∵a5+an-4=a1+an=30+2=32, ?a1+an?n 32n 又 Sn= = =16n=240, 2 2 ∴n=15. 答案 15 9.设在等差数列{an}中,3a4=7a7,且 a1>0,Sn 为数列{an}的前 n 项和,若 Sn 取得最大 值,则 n=___________________________. 4a1 -2n +35n 解析 由 3a4=7a7,得 d=- ,Sn= a1, 33 33 ∴当 n=9 时,Sn 取得最大值. 答案 9 三、解答题 10.设 Sn 为数列{an}的前 n 项和,Sn=kn +n,n∈N+,其中 k 是常数,求 a1 及 an. 解 由 Sn=kn +n,得 a1=S1=k+1,
2 2 2 2 2

an=Sn-Sn-1=2kn-k+1(n≥2).
又 a1=k+1 也满足上式.
2

∴an=2kn-k+1,n∈N+. 11.等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S12=84,S20=460,求 S28. 解 设此等差数列的前 n 项和 Sn=an +bn,
2

∵S12=84,S20=460, ∴?
? ?a·12 +b·12=84, ? ?a·20 +b·20=460.
2 2 2

解得 a=2,b=-17,∴Sn=2n -17n. ∴S28=2×28 -17×28=1092.(注此题的解题方法很多,此处只列举一种) 12.已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 解 (1)∵{an}为等差数列,∴其公差 d=
2

a3-a1 -3-1
2 = 2

=-2.∴an=a1+(n-1)d=1

-2(n-1)=3-2n. ?a1+ak?k ?1+3-2k?k 2 2 (2)由(1)知 an=3-2n,∴Sk= = =2k-k .由 2k-k =-35, 2 2 得 k -2k-35=0,得 k=7 或 k=-5(舍).∴k 的值为 7. 思 维 探 究 3 1 1 * 13.已知数列{an}中,a1= ,an=2- (n≥2,n∈N ),数列{bn}满足 bn= (n∈ 5 an-1 an-1 N ). (1)求证:数列{bn}是等差数列; (2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由. 解 (1)∵an=2- 1
* 2

an-1

(n≥2,n∈N ),bn= 1 1

*

1

an-1



∴bn+1-bn=

1 1 - = an+1-1 an-1

1 an 1 - = - =1. an-1 an-1 an-1 ?2- ?-1

an

又 b1=

1

a1-1

5 =- . 2

5 ∴数列{bn}是以- 为首项,以 1 为公差的等差数列. 2 7 1 2 (2)由(1)知 bn=n- ,则 an=1+ =1+ . 2 bn 2n-7 2 7 7 设 f(x)=1+ ,则 f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞)上为减函数. 2x-7 2 2 ∴当 n=3 时,an 取得最小值-1,当 n=4 时,an 取得最大值 3.
3


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