【名师一号】2014-2015学年高中数学 第一章 数列双基限时练5(含解析)北师大版必修5

双基限时练(五)
一、选择题 1．在等差数列{an}中，a1＝1，公差 d＝2，则等差数列{an}的前 10 项的和为( A．100 C．－90 10×9 解析 S10＝10a1＋ d＝10＋90＝100. 2 答案 A 2．在等差数列{an}中，S10＝120，则 a2＋a9 的值为( A．12 C．36 B．24 D．48 ) B．90 D．－100 )

?a1＋a10?×10 解析 由 S10＝ ＝120，得 a1＋a10＝24，又 a1＋a10＝a2＋a9，故答案为 B. 2 答案 B 3．如果等差数列的前 7 项之和 S7＝315，a1＝81，则 a7 等于( A．9 C．8 ?a1＋a7?×7 解析 由 S7＝ ＝315， 2 得 a1＋a7＝90，又 a1＝81，∴a7＝9. 答案 A 4．在公差为 d 的等差数列{an}中，Sn＝－n ＋n，则( A．d＝－1，an＝－n＋1 B．d＝－2，an＝－2n＋2 C．d＝1，an＝n－1 D．d＝2，an＝2n－2 解析 由 Sn＝－n ＋n，{an}为等差数列， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－n ＋n＋(n－1) －(n－1)＝－(2n－1)＋1＝－2n＋2， ∴d＝－2. 答案 B 5．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当 Sn 取得最小值时，
2 2 2 2

)

B．10 D．11

)

n 等于(
A．6 C．8

) B．7 D．9

解析 设公差为 d，由 a4＋a6＝2a5＝－6，
1

得 a5＝－3＝a1＋4d，得 d＝2， ∴Sn＝－11n＋

n?n－1?
2

×2＝n －12n，

2

∴当 n＝6 时，Sn 取得最小值． 答案 A 6．设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，若 a4＝9，S5＝35.则数列{an}的通项公式为 an＝ ( ) A．2n－3 C．2n＋1 B．2n－1 D．2n＋3
? ?a1＝3， ?d＝2， ?

a1＋3d＝9， ? ? 解析 由? 5×4 5a1＋ d＝35， ? 2 ?
答案 C 二、填空题

得?

∴an＝2n＋1.

7．已知数列的通项 an＝－5n＋2，则其前 n 项和 Sn＝________. ?－3＋2－5n?n －5n －n 解析 Sn＝ ＝ . 2 2 －5n －n 答案 2 8．在等差数列{an}中，a5＝2，an－4＝30，Sn＝240，则 n 的值为________． 解析 ∵a5＋an－4＝a1＋an＝30＋2＝32， ?a1＋an?n 32n 又 Sn＝ ＝ ＝16n＝240， 2 2 ∴n＝15. 答案 15 9．设在等差数列{an}中，3a4＝7a7，且 a1>0，Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 Sn 取得最大 值，则 n＝___________________________. 4a1 －2n ＋35n 解析 由 3a4＝7a7，得 d＝－ ，Sn＝ a1， 33 33 ∴当 n＝9 时，Sn 取得最大值． 答案 9 三、解答题 10．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝kn ＋n，n∈N＋，其中 k 是常数，求 a1 及 an. 解 由 Sn＝kn ＋n，得 a1＝S1＝k＋1，
2 2 2 2 2

an＝Sn－Sn－1＝2kn－k＋1(n≥2)．
又 a1＝k＋1 也满足上式．
2

∴an＝2kn－k＋1，n∈N＋. 11．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S12＝84，S20＝460，求 S28. 解 设此等差数列的前 n 项和 Sn＝an ＋bn，
2

∵S12＝84，S20＝460， ∴?
? ?a·12 ＋b·12＝84， ? ?a·20 ＋b·20＝460.
2 2 2

解得 a＝2，b＝－17，∴Sn＝2n －17n. ∴S28＝2×28 －17×28＝1092.(注此题的解题方法很多，此处只列举一种) 12．已知等差数列{an}中，a1＝1，a3＝－3. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk＝－35，求 k 的值． 解 (1)∵{an}为等差数列，∴其公差 d＝
2

a3－a1 －3－1
2 ＝ 2

＝－2.∴an＝a1＋(n－1)d＝1

－2(n－1)＝3－2n. ?a1＋ak?k ?1＋3－2k?k 2 2 (2)由(1)知 an＝3－2n，∴Sk＝ ＝ ＝2k－k .由 2k－k ＝－35， 2 2 得 k －2k－35＝0，得 k＝7 或 k＝－5(舍)．∴k 的值为 7. 思 维 探 究 3 1 1 * 13．已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ (n≥2，n∈N )，数列{bn}满足 bn＝ (n∈ 5 an－1 an－1 N )． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． 解 (1)∵an＝2－ 1
* 2

an－1

(n≥2，n∈N )，bn＝ 1 1

*

1

an－1

，

∴bn＋1－bn＝

1 1 － ＝ an＋1－1 an－1

1 an 1 － ＝ － ＝1. an－1 an－1 an－1 ?2－ ?－1

an

又 b1＝

1

a1－1

5 ＝－ . 2

5 ∴数列{bn}是以－ 为首项，以 1 为公差的等差数列． 2 7 1 2 (2)由(1)知 bn＝n－ ，则 an＝1＋ ＝1＋ . 2 bn 2n－7 2 7 7 设 f(x)＝1＋ ，则 f(x)在区间(－∞， )和( ，＋∞)上为减函数． 2x－7 2 2 ∴当 n＝3 时，an 取得最小值－1，当 n＝4 时，an 取得最大值 3.
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