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正弦定理(第1课时)课件7_图文

正 正正弦 弦弦定 定定理 理理

BC的长度与角A的 C3 大小有关吗?
三角形中角A与它的对 边BC的长度是否存在 定量关系?

C2 C1 C

A

B

在Rt△ABC中,各角与其对边的关系:

sin A ? a c
sinC ? 1 ? c
c

sin B ? b c

不难得到:

A
c b

a?b?c sin A sin B sin C C a B

在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? C

b
A c

a B

正弦定理:
在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等.
即 a?b?c sin A sin B sin C

证法1:

(1) 若直角三角形,已证得结论成立.

A

(2)若三角形是锐角三角形, 如图1,

过点A作AD⊥BC于D,
B

此时有

sin B

?

AD c

, sin C

?

AD b

所以AD=csinB=bsinC, 即

b? c, sin B sinC

c

b

图1 D

C

同理可得 a ? c ,
sin A sinC

即: a ? b ? c sin A sin B sinC

(3) 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 过点A作AD⊥BC, 交BC延长线于D,

此时也有

sin B

?

AD c



sin(?

? C)?

AD b

?

sinC

仿(2)可得 a ? b ? c
sin A sin B sin C
B 由(1)(2)(3)知,结论成立.

A c
b
图2 C D

思考

求证:

a

b

c





= 2R

sin A sin B sin C

(2R为△ABC外接圆直径)

证明:作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/,

??BAC? ? 90?, ?C ? ?C ' c

?sinC ? sinC' ? c 2R A

? c ? 2R

sin C

同理 a ? 2R, b ? 2R

sin A

sin B

? a ? b ? c ? 2R sin A sin B sin C

B

a

O

C

b

C/

证法2: 向量法

利用向量的数量积,产生边的长 与内角的三角函数的关系来证明.

A

c

b

B

a DC

剖析定理、加深理解
正弦定理可以解决三角形中哪类问题:
a?b?c sin A sin B sin C
① 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角,进而可求其他的边和角.
② 已知两角和一边,求其他角和边.

定理的应用

已知两角和任意边, 求其他两边和一角

例 1 在△ABC 中,已知c = 10,A = 45。, C = 30。

求 a , b (精确到0.01).

C

解:∵ a ? c
sin A sinC

b

a

∴a

=

c

? sin

A 10?
=

sin

45?

? 10

2 ?14.14A

c

B

sinC sin30?

∵b?c
sin B sin C

且 B ?180? ? (A ? C) ? 105?

? ∴

b=

c ?sin B
sin C =

10? sin 105?? 5( sin 30?

6?

2)

19.32

练习

sin 75? ? 6 ? 2 4

在△ABC中,已知 A=75°,B= 45°,c= 3 2 求a , b.

[ a ?3? 3

b?2 3
]

在△ABC中,已知 A=30°,B=120°,b=12 求a , c.
[a= 4 3 ,c= 4 3 ]

例2 用正弦定理证明三角形面积

1

1

1

S?ABC ? 2 ab sin C ? 2 bc sin A ? 2 ac sin B

A

c ha

b

B Da

同理

∴ S?ABC

证明:∵

S?ABC

?

1 2

aha

?S1?CA∴a而BbC s?Sihn?a12ACB?bC?cA?s1Di12nbcaA?scicnsi?nAsiB?n

B
?
1

? bsinC
1 absinC 2
ac sin B

2

2

2

例 3 已知a=16, b=16 3, A=30° .

求角B,C和边c 解:由正弦定理 a ? b
sin A sin B

已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
C

得 sin B ? bsin A ? 16 3 sin30? ? 3

a

16

2

16 3 16

16

A 300
所以B=60°,或B=120°

B

B

当B=60°时 C=90° c ? 32.

当B=120°时 C=30°

c ? asinC ?16. sin A

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c

解:由正弦定理 a ? b
sin A sin B

C

26

30

得 sin B ? bsin A ? 26sin30? ? 13 A 300

B

a

30 30

所以B=25.70, 或B=1800-25.70=154.30

由于154.30 +300>1800 故B只有一解 (如图)

C=124.30, c ? asinC ? 49.57
sin A

sin 25.7? ? 13 30

变式: a=30, b=26, A=30°求角B,C和边c

解:由正弦定理 a ? b
sin A sin B

C

26

30

得 sin B ? bsin A ? 26sin30? ? 13 A 300

B

a

30 30

∵a > b ∴ A > B ,

三角形中大边对大角

所以B=25.70, C=124.30,

c ? asinC ? 49.57 sin A

sin 25.7? ? 13 30

已知两边和其中一边的对角,求其他边和角 练习

1.根据下列条件解三角形 (1)b=13,a=26,B=30°.
[B=90°,C=60°,c=13 3 ]

(2) b=40,c=20,C=45°.

无解

注:三角形中角的正弦值小于1时,角可能有两解

课堂小结

(1)三角形常用公式:A ? B ? C ? ?

S?ABC

?

1 2

absin C

?

1 bc sin 2

A

?

1 2

ac sin

B

正弦定理: a ? b ? c = 2R sin A sin B sin C

(2)正弦定理应用范围:

① 已知两角和任意边,求其他两边和一角

② 已知两边和其中一边的对角,求另一边 的对角。(注意解的情况)

课后思考
已知两边和其中一边的对角,求其 他边和角时,三角形什么情况下有 一解,二解,无解?


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