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2013高考数学复习课件 8.8 曲线与方程及圆锥曲线的综合应用 理 新人教版


1.曲线与方程 一般地,在平面直角坐标系中,如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建 曲线上点的坐标都是这个方程的解 立了如下关系: 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点 (1)_______________________________; (2)______________________________________ _, 那么这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫方 程的曲线.

2.常见的轨迹 (1)在平面内,到两定点的距离相等的点的轨迹是 连 结两定点的线段的垂直平分线 __ 这个角的 __________________________; 平分线 (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是 _________ 点为圆心,定长为半径的圆 _______; (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以 与这条直线平行的两条直线 定_________________________; (4)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨 迹是________________________.

1.方程4x2-y2+4x+2y=0表示的曲线是 ( ) A.一个点 B.两条互相平行的直线 C.两条互相垂直的直线 D.两条相交但不垂直的直线 解析:由4x2+4x+1-y2+2y-1=0, 得(2x+1)2-(y-1)2=0, 所以(2x+y)(2x-y+2)=0. 所以2x+y=0或2x-y+2=0. 曲线为两条相交但不垂直的直线.
答案:D

2.设线段 AB 的两个端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑 → 3→ 2→ 动,且|AB|=5,OM= OA+ OB,则点 M 的轨迹方程为 5 5 ( x2 y2 A. + =1 9 4 x2 y2 C. + =1 25 9 y2 x2 B. + =1 9 4 y2 x2 D. + =1 25 9 )

→ 3→ 2 解析:设 M(x,y),A(m,0),B(0,n),由OM= OA+ 5 5 → 3 2 5x 5 OB,得(x,y)= (m,0)+ (0,n), 所以 m= ,n= y, 又|AB| 5 5 3 2 5 2 5 2 x2 y2 =5,所以 m2+n2=25,( x) +( y) =25,即 + =1. 3 2 9 4

答案:A

3.已知A(0,7)、B(0,-7)、C(12,2),以C为一 个焦点作过A、B的椭圆,椭圆的另一个焦点F的轨 迹方程是 ( 2 x2 ) x2 2
A.y - =1(y≤-1) 48 x2 C.y - =-1 48
2

B.y - =1 48
2

y2 D.x - =-1 48

解析:由椭圆的定义: |AC|+|AF|=2a=|BC|+|BF|. 因为|AC|=13,|BC|=15,所以13+|AF|=15 +|BF|,所以|AF|-|BF|=2, 所以F点的轨迹是以A、B为两焦点的双曲线的 下支.

4.设圆(x-1)2+y2=1的圆心为C,过原点作 圆的弦OA,求OA中点B的轨迹方程.
解:方法一:(直接法)设 B 点坐标为(x,y), 由题意, 得|OB|2+|BC|2=|OC|2=1, 如图所示, 即 x2+y2+[(x-1)2+y2]=1, 即 OA 中点 B 的轨迹方程为 12 2 1 (x- ) +y = (去掉原点). 2 4 方法二:(几何法)设 B 点坐标为(x,y),

1 由题意知 CB⊥OA,OC 的中点记为 M( ,0),如图, 2 1 1 则|MB|= |OC|= , 2 2 12 1 2 故 B 点的轨迹方程为(x- ) +y = (去掉原点). 2 4 方法三:(代入法)设 A 点坐标为(x1,y1),B 点坐标为(x, y), x1 ? ?x= 2 , 由题意得? ?y= y1, ? 2
?x1=2x, ? 即? ?y1=2y. ?

又因为(x1-1)2+y2=1,所以(2x-1)2+(2y)2=1. 1 12 2 1 即(x- ) +y = (去掉原点). 2 4

1.用直接法求曲线方程是解析几何中最 重要的方法.解题的一般步骤是:①建系,设 点;②列式;③代入;④化简,证明. 2.定义法:如果动点的轨迹满足某种已 知曲线的定义,则可依定义写出轨迹方程. 3.代入法:如果动点P(x,y)依赖于另一 个动点Q(x1,y1),而Q(x1,y1)又在某已知曲线 上,则可先列出关于x、y、x1、y1的方程组, 利用x、y表示x1、y1 ,把x1、y1代入已知曲线 方程即得所求.

4.参数法:如果动点P(x,y)的坐标之间的关 系不易找到,可考虑将x、y用一个或几个参数来 表示,消去参数即得其轨迹方程. 5.交轨法:写出动点所满足的两个轨迹方程 后,组成方程组,消参即可得解,此法常适用于 求两动直线交点的轨迹方程. 6.求曲线的方程与求轨迹是有不同要求的, 若是求轨迹则不仅要求出方程,而且还需说明和 讨论所求轨迹是什么样的图形,在何处,即图形 的形状、位置、大小都需要说明、讨论清楚.求 “轨迹”时首先要求出“轨迹方程”,然后说明 方程的轨迹图形,最后“补漏”和“去掉增多” 的点.若轨迹有不同的情况,应分别讨论,以保 证它的完整性.

7.描绘曲线的图形要注意曲线范围的研究 及曲线的对称性,或利用基本的曲线图形. 8.解析几何与向量的交汇要紧紧抓住点的 坐标,利用平面向量的坐标表示法,将问题中的 向量关系转化为代数关系,再根据解析几何中已 有的知识与方法求解.

(即时巩固详解为教师用书独有)

考点一

曲线与方程的概念

【案例1】 若曲线l上的点的坐标满足f(x, y)=0,则下列说法正确的是 ( ) A.曲线l的方程是f(x,y)=0 B.方程f(x,y)=0的曲线是l C.坐标不满足方程f(x,y)=0的点都不在曲 线上 D.坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线上
关键提示:考查曲线与方程的对应关系.

解析:(方法1)上述说法写成命题的形式为 “若点M(x,y)是曲线l上的点,则M点的坐标适 合方程f(x,y)=0”.其逆否命题为“若点M的坐 标不适合方程f(x,y)=0,则M点不在曲线上”, 所以选C. (方法2)本题亦可考虑采用特值法.作直线l: y=1.考查l与f(x,y)=y2-1=0的关系知A、B、D 三种说法均不正确.选C.
答案:C

点评:(1)判断曲线与方程的对应关系有两种 方法:等价转换和特值讨论.它们使用的依据是 曲线的纯粹性和完备性. (2)处理“曲线与方程”的概念题,可采用直 接法(如上述题解),也可采用特殊值法.

【即时巩固1】 已知定点P(x0,y0)不在直线l: f(x,y)=0上,则方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一 条 ( ) A.过点P且垂直于l的直线 B.过点P且平行于l的直线 C.不过点P但垂直于l的直线 D.不过点P但平行于l的直线 解析:显然f(x0,y0)-f(x0,y0)=0,故排除C、 D,又两直线平行,故B正确.
答案:B

考点二

直接法求曲线方程

【案例2】 (2009· 海南、宁夏)已知椭圆C的 中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在x轴上,它 的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C的方程;
(2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴 |OP| 的直线上的点, =λ,求点 M 的轨迹方程,并说 |OM| 明轨迹是什么曲线.

关键提示:求出椭圆的方程后,对λ进行分类讨论.

解:(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a,c,
?a-c=1, ? 由已知得? ? a+c=7, ?

解得 a=4,c=3.

所以 b2=a2-c2=7. x2 y2 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1. 16 7 (2)设 M(x,y),其中 x∈[-4,4]. 9x2+112 2 |OP|2 2 由已知 2=λ 及点 P 在椭圆 C 上可得 2 2 =λ , |OM| 16?x +y ?

整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112,其中 x∈[-4,4]. 3 ①λ= 时,化简得 9y2=112, 4 4 7 所以点 M 的轨迹方程为 y=± (-4≤x≤4), 轨迹 3 是两条平行于 x 轴的线段. 3 x2 y2 ②λ≠ 时, 方程变形为 + =1, 其中 x∈[- 4 112 112 2 16λ2 16λ -9 4,4].

3 当 0<λ< 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴 4 上的双曲线满足-4≤x≤4 的部分; 3 当 <λ<1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴 4 上的椭圆满足-4≤x≤4 的部分; 当 λ≥1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上 的椭圆.

【即时巩固 2】 设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 → → x2+2y2=4 交于 A,B 两点,P 是 l 上满足PA· =1 的 PB 点,求点 P 的轨迹方程.

解:设 P 点的坐标为(x,y), 则由方程 x2+2y2=4,得 y=± 4-x2 , 2

由于直线 l 与椭圆交于 A,B 两点,故-2<x<2, 即 A,B 两点的坐标分别为 A(x, - 4-x2 ), 2 4-x2 ),B(x, 2

→ → 则PA· =(0, PB =1,

4-x2 -y)· (0,- 2

4-x2 -y) 2

4-x2 所以 y2- =1,即 x2+2y2=6, 2 所以点 P 的轨迹方程为 x2+2y2=6(-2<x<2).

考点三 定义法求曲线方程(轨迹) 【案例3】 已知动圆M恒过定点B(-2,0), 且与定圆C:(x-2)2+y2=4相切,求动圆圆心M 的轨迹方程.
关键提示:找准几何关系,用曲线定义解答.

解:定圆圆心C(2,0),半径为r=2. 设动圆圆心为M(x,y),半径为R, 当两圆外切时,|MC|=R+r=|MB|+r, 即|MC|-|MB|=2, 当两圆内切时,|MC|=R-r=|MB|-r, 即|MB|-|MC|=2,

所以点 M 的轨迹是以 B、 为焦点的双曲线, C 2a=2,2c =4, 所以 b2=c2-a2=3, y2 所以点 M 的轨迹方程为 x - =1. 3
2

【即时巩固3】 如图,已知圆 A:(x+2)2+y2=1与点A(-2,0), B(2,0),分别求出满足下列条件的动 点P的轨迹方程. (1)△PAB的周长为10; (2)圆P与圆A外切(P为动圆圆心)且过点B.
解: (1)根据题意, 知三角形的周长: |PA|+|PB|+|AB| =10,所以|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故 P 点的轨迹 是椭圆,且 2a=6,2c=4,即 a=3,c=2,b= 5, x2 y2 因此其方程为 + =1(y≠0). 9 5

(2)设圆 P 的半径为 r,则|PA|=r+1,|PB|=r, 因此|PA|-|PB|=1. 由双曲线的定义知,P 点的轨迹为双曲线的右支, 1 15 且 2a=1,2c=4,即 a= ,c=2,b= , 2 2
? 4 2 1? 因此其方程为 4x - y =1?x≥ ?. 15 2? ?
2

考点四 代入法求曲线方程
【案例 4】 已知 A(-1,0),B(1,4),在平面上动点 P → → 满足PA· =4,点 Q 是点 P 关于直线 l:y=2(x-4) PB 的对称点,求动点 Q 的轨迹方程.
关键提示:求出点P的轨迹是圆,因此点P关于直线y =2(x-4)的对称点Q的轨迹仍是圆,所以只求对称圆的圆 心即可;或求出点P的轨迹,设Q点的坐标为(u,v),利用 对称性,建立x、y与u、v的关系,将x、y代入点P的轨迹 可求点Q的轨迹方程.

解:方法一:设 P(x,y), → → 则PA=(-1-x,-y),PB=(1-x,4-y), → → 故由PA· =4?(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4, PB 即 x2+(y-2)2=32. 所以 P 的轨迹是以 C(0,2)为圆心,以 3 为半径的圆.

因为点Q是点P关于直线y=2(x-4)的对称点, 所以动点Q的轨迹是一个以C0(x0,y0)为圆心, 半径为3的圆, 其中C0(x0,y0)是点C(0,2)关于直线y=2(x-4) 的对称点, 即直线y=2(x-4)与CC0垂直,且过CC0的中点,

? y0-2 ? ×2=-1, ? x0-0 于是有? x0+0 ? y0+2 ? 2 =2? 2 -4?, ?
?2y0+x0-4=0, ? 即? ?y0-2x0+18=0 ? ?x0=8, ? ?? ?y0=-2. ?

故动点 Q 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9. 方法二:设 P(x,y),

→ → 则PA=(-1-x,-y),PB=(1-x,4-y), → → 故由PA· =4?(-x-1)(1-x)+(-y)(4-y)=4, PB 即 x2+(y-2)2=32(*), 设点 Q 的坐标为 Q(u,v), 因为 Q、P 关于直线 l:y=2(x-4)对称, v-y 1 所以 PQ 与直线 l 垂直,于是有 =- , 2 u-x 因为 PQ 的中点在 l 上, y+v x+u 所以有 =2( -4), 2 2 ② ①

1 ? ?x=5?-3u+4v+32?, 由①②可解得? ?y= 1?4u+3v-16?. ? 5 代入 方程(*)得 (- 3u+ 4v+ 32)2 +(4u+ 3v- 26)2 = (3×5)2,化简得 u2+v2-16u+4v+59=0?(u-8)2+(v+ 2)2=9. 故动点 Q 的轨迹方程为(x-8)2+(y+2)2=9.

【即时巩固 4】 如下图所示,长为 a 的线段 AB 上有 AP 一定点 P, =2,线段两端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上 PB 滑动,求点 P 的轨迹方程.

解:设 P 点坐标为(x,y),A、B 两点坐标分别为(t,0)、 t ? ?x=3, AP (0,b),由 =2 得? PB ?y=2b, ? 3 又因为 t2+b2=a2, 所以(3x)
2

?t=3x, ? 即? 3 ?b=2y. ?

?3 ? 2 +? y? =a2,即 ?2 ?

9 2 9x + y =a2, 4
2

所以 36x2+9y2=4a2.

考点五 综合运用
→ → 【案例 5】 已知△OFQ 的面积为 S,且OF· =1, 以 FQ O 为坐标原点,直线 OF 为 x 轴(F 在 O 的右侧)建立直角坐 标系. 1 → → (1)若 S= ,|OF|=2,求向量FQ所在的直线方程; 2 → 3 (2)设|OF|=c(c≥2),S= c,若以 O 为中心,F 为焦点 4 的椭圆过点 Q,求当|OQ|取得最小值时椭圆的方程.

→ → → 关键提示:设点 Q 的坐标,利用OF· =1 求出FQ的 FQ p 直线方程;第(2)问用到了函数 y=x+ 的单调性. x → 解:(1)设 Q(x0,y0),因为|QF|=2,所以 F(2,0), → → 所以OF=(2,0),FQ=(x0-2,y0), → → 5 所以OF· =1,得 x0= . FQ 2 1→ 1 1 而 S= |OF||y0 |= ,所以 y0=± , 2 2 2 5 1 所以 Q( ,± ), 2 2 → 所以FQ所在直线方程为 y=x-2 或 y=-x+2.

→ (2)设 Q(x0,y0),因为|OF|=c,所以 F(c,0), → 所以FQ=(x0-c,y0), → → 1 所以OF· =1,得 x0=c+ . FQ c 1 3 又 S= c|y0|= c, 2 4 3 1 3 所以 y0=± ,Q(c+ ,± ). 2 c 2 p 由函数 f(x)=x+ 的单调性, g(c)在[2, 知 +∞)上递增, x

5 所以 g(c)min=g(2)= , 此时 c=2,|OQ|取最小值, 2 5 3 所以 Q( ,± ), 2 2 x2 y2 设出椭圆方程后可得椭圆方程为 + =1. 10 6

【即时巩固 5】 已知平面上一定点 C(-1,0)和一定直 线 l:x=-4,P 为该平面上一动点,作 PQ⊥l,垂足为 Q, → → → → (PQ+2PC)· -2PC)=0. (PQ (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线方程; → (2)点 O 是坐标原点,A、B 两点在点 P 的轨迹上,若OA+ → → λOB=(1+λ)OC,求 λ 的取值范围.

→ → → → 解:(1)由(PQ+2PC)· -2PC)=0,得: (PQ →2 →2 PQ -4PC =0, 设 P(x,y),则(x+4)2-4[(x+1)2+y2]=0, x2 y2 化简得: + =1, 4 3 x2 y2 点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 4 3 (2)设 A(x1,y1)、B(x2,y2), → → → 由OA+λOB=(1+λ)OC得:

→ → CA+λCB=0,所以 A、B、C 三点共线,且 λ>0,得:
?x =-1-λ-λx , ? 1 2 (x1+1, 1)+λ(x2+1, 2)=0, ? y y 即 ?y1=-λy2. ?

x2 y2 因为 1+ 1=1, 4 3 ?-1-λ-λx2?2 ?-λy2?2 所以 + =1. 4 3 x2 y2 ?λx2?2 ?λy2?2 2 2 2 又因为 + =1,所以 + =λ , 4 3 4 3 2λ?λ+1?x2+?λ+1?2 由①-②得: =1-λ2, 4 ① ②

3-5λ 化简得:x2= . 2λ 3-5λ 因为-2≤x2≤2,所以-2≤ ≤2. 2λ 1 1 解得: ≤λ≤3,所以 λ 的取值范围为[ ,3]. 3 3


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