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应用多元统计分析课后答案

应用多元统计分析课后答案 第二章 2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。 解:多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况, X ? ( X1 , X 2 , 联合分布密度函数是一个 p 维的函数,而边际分布讨论是 X ? ( X1 , X 2 , 概率分布,其概率密度函数的维数小于 p。 X p )? 的 X p )? 的子向量的 2.2 设二维随机向量 ( X1 解:设 ( X1 合分布密度函数为 X 2 )? 服从二元正态分布,写出其联合分布。 X 2 )? 的均值向量为 μ ? ? ?1 ? ? 2 ?12 ? ?2 ?? ,协方差矩阵为 ? 1 ,则其联 2 ? ? ? ? 21 2 ? 2 ? 1 ? ? ?1 ?12 ? f (x) ? ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ? 21 ? 2 ? 2 ?1/2 ?1 ? ? ? ?12 ?12 ? ? 1 ? exp ?? (x ? μ)? ? ( x ? μ ) ?。 2 ? 2 ? 21 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2.3 已知随机向量 ( X1 X 2 )? 的联合密度函数为 f ( x1 , x2 ) ? 2[(d ? c)( x1 ? a) ? (b ? a)( x2 ? c) ? 2( x1 ? a)( x2 ? c)] (b ? a)2 (d ? c)2 其中 a ? x1 ? b , c ? x2 ? d 。求 (1)随机变量 X 1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差; (2)随机变量 X 1 和 X 2 的协方差和相关系数; (3)判断 X 1 和 X 2 是否相互独立。 (1)解:随机变量 X 1 和 X 2 的边缘密度函数、均值和方差; f x1 ( x1 ) ? ? d c 2[(d ? c)( x1 ? a) ? (b ? a)( x2 ? c) ? 2( x1 ? a)( x2 ? c)] dx (b ? a)2 (d ? c) 2 d d 2[(b ? a )( x ? c ) ? 2( x ? a )( x ? c )] 2(d ? c)( x1 ? a) x2 2 1 2 ? ? dx2 (b ? a) 2 (d ? c) 2 c ?c (b ? a) 2 (d ? c) 2 2(d ? c)( x1 ? a) x2 ? (b ? a) 2 (d ? c) 2 2(d ? c)( x1 ? a) x2 ? (b ? a) 2 (d ? c) 2 所以 d c d ?? d ?c 0 2[(b ? a)t ? 2( x1 ? a )t ] dt (b ? a) 2 (d ? c) 2 d ?c c [(b ? a )t 2 ? 2( x1 ? a )t 2 ] ? (b ? a ) 2 (d ? c) 2 0 ? 1 b?a b?a ?b ? a ? 。 由于 X 1 服从均匀分布,则均值为 ,方差为 2 12 2 ? 1 ? 同理, 由于 X 2 服从均匀分布 f x2 ( x2 ) ? ? d ? c ? ?0 方差为 x1 ? ? c, d ? 其它 , 则均值为 d ?c , 2 ?d ? c? 12 2 。 (2)解:随机变量 X 1 和 X 2 的协方差和相关系数; cov( x1 , x2 ) ?? d c ? a ? b ?? d ? c ? 2[(d ? c)( x1 ? a) ? (b ? a)( x2 ? c) ? 2( x1 ? a)( x2 ? c)] ? x1 ? x2 ? dx1dx2 ? ?? ? a 2 ?? 2 ? (b ? a)2 (d ? c) 2 ? b ? (c ? d )(b ? a ) 36 ?? cov( x1 , x2 ) ?x ?x 1 ? 2 1 3 (3)解:判断 X 1 和 X 2 是否相互独立。 X1 和 X 2 由于 f ( x1, x2 ) ? f x1 ( x1 ) f x2 ( x2 ) ,所以不独立。 2.4 设 X ? ( X1 , X 2 , 互独立的随机变量。 解: 因为 X ? ( X1 , X 2 , p X p )? 服从正态分布,已知其协方差矩阵?为对角阵,证明其分量是相 X p )? 的密度函数为 ? 1 ? ?1/2 ? 1 ? ?1 f ( x1 ,..., x p ) ? ? ? Σ exp ?? 2 (x ? μ)?Σ (x ? μ) ? ? ? ? 2? ? ? ? 12 ? 2 ?2 ? 又由于 Σ ? ? ? ? ? 2 Σ ? ?12? 2 2 ?p ? ? ? ? ? 2? ?p? ? 1 ?? 2 ? 1 ? ? Σ ?1 ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 ? ?p ? 则 f ( x1 ,..., x p ) ? 1 ? 2 2 ?? ? Σ ? ?1 ? 2 ? 2? ? p ? ? 1 ? ?? 2 ? ? 1 ? ? ? 1/2 1 ? ? 2 ?p exp ?? (x ? μ)?Σ ?1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ( x ? μ) ? ? ? ? ? 1 ? ? 2 ? ? ?p ? ? ? 1 ? ?? ? ?? 1? 2 ? 2? ? p ? p ? exp ?? ?1 2 ? 1 ( x1 ? ?1 ) 2 1 ( x2 ? ?3 ) 2 ? 1 (xp ? ? p ) ? ? ? ? ... ? ? 2 2 2 2 ?2 2 ?p ? ? ? 2 ?1 ? ?? i ?1 p ? ( x ? ? )2 ? 1 exp ?? i 2 i ? ? f ( x1 )... f ( x

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