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新课标人教A版高中数学选修4-2知识点总结

高中数学选修 4-2 知识点总结 1、五种特殊变换
旋转变换

?cos a ?sin a ?

?si n a? coa s ? ? ?1 ?0 ?

' ? a ? ys i n a ?x ? x c o s ? ' ? a ? yc o s a ?y ? xs i n

反射变换

关于 X 轴对称

0 ? ? 1? ? ?? 1 ?0 ? ?0 ?1 ? 0? k? ? 0? 1? ?

' ? ?x ? x ? ' ? ?y ? ?y

关于 Y 轴对称

0? 1? ? 1? 0? ?

' ? ?x ? ? x ? ' ? ?y ? y ' ? ?x ? x ? ' ? ?y ? y

关于 Y=X 对称

伸缩变换

纵轴伸缩

?1 ?0 ? ?k ?0 ?

' ? ?x ? x ? ' ? ? y ? ky ' ? ? x ? kx ? ' ? ?y ? y

横轴伸缩

横纵均伸缩

? k1 ?0 ?

? x ' ? k1 x 0 ? ? ? ' k2 ? ? ? ? y ? k2 y

投影变换

关于 X 轴正投影

?0 ?0 ?

1? 0? ? ?0 ?0 ?

' ? ?x ? x ? ' ? ?y ? 0

关于 Y 轴正投影

0? 1? ?

' ? ?x ? 0 ? ' ? ?y ? y

? B2 ? 2 2 关于 AX+BY=0 投影 ? A ? B ? ? AB ? ? A2 ? B 2
切变变换

? AB ? A2 ? B 2 ? ? A2 ? A2 ? B 2 ? ?

? ' B2 AB x ? x? 2 y ? 2 2 ? A ?B A ? B2 ? 2 ? y ' ? ? AB x ? A y ? A2 ? B 2 A2 ? B 2 ?

?1 沿 X 轴平行方向移 ky 个单位 ? ?0
沿 Y 轴平行方向移 kx 个单位 ?

k? 1? ? ?1 ?k

' ? ? x ? x ? ky ? ' ? ?y ? y ' ? ?x ? x ? ' ? ? y ? kx ? y

0? 1? ?

2.矩阵的概念:形如 ?

? 2 3? ? 3 ? ? 、 ? ? 的矩形数字(或字母)阵列称为矩阵 . ? 4 1? ? m?

通常用大写黑体的拉丁字母 A、B、C…表示,或者用 (aij ) 表示,其中 i,j 分别 表示元素 aij 所在的行与列 .同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫 做矩阵的行,同一竖排中按原来次序排列的一行数(或字母)叫做矩阵的列. 组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素。 所有元素均为 0 的矩阵称谓零矩阵。 3.相等的矩阵:对于两个矩阵 A、B 的行数、列数分别相等,且对应位置的元 素也分别相等, A 和 B 才相等,记做 A=B。 4.二阶矩阵与平面列向量的乘法
矩阵 A= ?
? ?a b ? ? ? x ? ?a b ? ? x ? ?ax ? by? a A a ? 与 = 相乘, ? ?c d ? ? y ? = ?cx ? dy? , ? y? ?c d ? ? ?? ? ? ? ? ?

? ? ?a b ? ? ? x ? ? ?a b ? ??x ? ?a?x ? b?y ? ??ax ? ?by? A(? a ) ? ? =? =? = ?A a ?? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ? ?c d ? ? ? y ? ? ?c d ? ??y ? ?c?x ? d?y ? ??cx ? ?dy ?

A( a ? b ) ? A a ? A b
? ?

?

?

?

?

A(?1 a ? ?2 b ) ? ?1 A a ? ?2 A b

?

?

5.复合变换
A( B a ) ? ( AB) a
? ?

若向量 a 先经过矩阵 A 再经过矩阵 B 变换后 ? BA a

?

( AB)C ? A( BC)
A k A l ? A k ?l

AB ? BA (矩阵相乘没有交换律)
若 AC=AB 但 C ? B (没有消去律) 若 E2 A ? AE2 ? A

( Ak ) l ? Akl

E 2 为单位矩阵

6.逆矩阵 (五种特殊变换,除了投影变换外其他都有逆矩阵) 定义:设 A 是一个二阶矩阵,如果存在二阶矩阵 B,使得 BA=AB=E2,则称矩阵 A 可逆,并称 B 是 A

的逆矩阵。
已知矩阵 A= ?

?a b ? ?1 ,求逆矩阵 A ? ?c d ? a c

若 det A ? A ?

b ?a b ? = ad ? bc ? 0 则,detA 是二阶矩阵 ? ? 的行列式,且 d ?c d ?

?d ?A ?1 ? A 有逆矩阵 A = ?? c ? ? A

? b? A? ? , AA?1 ? E ?1 2 ? a ? ?0 ? A ?

0? 为单位矩阵 E 2 。 1? ?

逆矩阵的性质: (1)不是每个变换都有逆变换,不是每个矩阵都有逆矩阵。 (2)若二阶矩阵 A 可逆,则 A 的逆矩阵唯一,记为 A . (3)若二阶矩阵 A、B 可逆,则 AB 也可逆,且 (AB)?1 = A B .
-1 -1 ?1

7.用逆矩阵求二元一次方程组
已知 ?

?ax ? by ? e ?cx ? dy ? f

A= ?

?a b ? ? 为二元一次方程组的系数矩阵 ?c d ? ?a b ? ? x ? ?e ? ? ? ?=? ? ?c d ? ? y ? ? f ? ?e ? ? x ? A ?1 ? ? = ? ? ? f ? ? y?

这二元一次方程组可写成 ?

已知 ?

?ax ? by ? 0 ?cx ? dy ? 0
a c

(其中 a, b, c, d 是不全为 0 的常数) 则此二元一次方程组有非 0 解的充要条件是

b =0 d

8.特征值与特征向量
? ? ? ? ?a b ? 设矩阵 A= ? ,若存在实数 ? 及非零向量 ? ,使得 A ? = ? ? ,则称 ? 是矩阵 A 的一个特征值,? 是矩 ? ?c d ?

阵 A 属于特征值 ? 的一个特征向量。 特征值和特征向量的性质 (1)不是每个矩阵都有特征值与特征向量。 (2)属于矩阵不同特征值的特征向量不共线。 (3)设 ? 是矩阵 A 属于特征值 ? 的一个特征向量, 则对于任意的非零常数 k, k ? 也是矩阵 A 属于特征值
? ?

? 的一个特征向量。
特征值与特征向量的求法 已知 A= ?

?a b ? ? ?c d ?

?

?e ? a =? ? ?f? ?b

n 求特征值 ? 、特征向量 ? 和 A a

?

?

令 f (? ) ?

? ?a
?c

? ?d

=0

解出 ? ? ?1或? ? ?2



? ? ?1



? ? ?2

( ? ?1 ? a)x ? by ? 0 ? ?? cx ? (?1 ? d ) y ? 0
? ?x ? ??1 ? ? 1 ? ? y1 ? ? ?x ? ??1 ? ? 1 ? 是 A 属于 ? ? ?1 的一个 ? y1 ?

( ? ?2 ? a)x ? by ? 0 ? ?? cx ? (?2 ? d ) y ? 0
? ?x ? ?? 2 ? ? 2 ? ? y2 ? ? ?x ? ?? 2 ? ? 2 ? 是 A 属于 ? ? ?2 的一个 ? y2 ?

特征向量 设 a ? k1 ? 1 ? k 2 ? 2 得 ?
?

特征向量
?

?

?

?k1 ? ?k 2 ?
?

n ? 1 ? k 2 ?n ? A n a = k1?1 2 ?2

?


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