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苏教版必修五2.3等比数列、2.3.1等比数列的概念及通项公式ppt课件_图文

精品数学课件
苏教版

第2章 数列 2.3 等比数列
2.3.1 等比数列的概念及通项公式

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1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式并能 运用通项公式解决简单问题.
2.类比等差数列,探究等比数列的性质,并能运用这些 性质熟练解决相关问题.
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1.从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那 么这个数列叫等比数列,这个常数叫做等比数列的__公__比____.
2.等比数列{an}的通项公式an=_a_1_·q_n_-_1_(_q.≠0)
3.如果a、G、b三个数满足G2=ab.则G称为a与b的_等__比__中__项_.

4.等比数列的性质.





(1)若{an}为等比数列,则an____=____amqn-m.

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(2)若{an}为等比数列,且m+n=p+q,则_a_m_·_a_n_=__a.p·aq

(3)若{an}为等比数列,则a2,a5,a8也成_等__比__数__列_.

(等4于)若__{_a_nq}_2为__等_的比等数比列数,列且.公比为q,则a1a2,a2a3,a3a4也成公比

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知识点1 等比数列的定义

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于

同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做

等比数列的公比,通常用字母q(q≠0)表示.



这一定义常被简述为若=q(n∈N*),则数列{an}是等比数

目 链

列.关于定义理解应注意:(1)由于等比数列每一项都可能 接

作分母,故每一项均不为0,因此q也不能是0.(2)“从第2项起”

是因为首项没有“前一项”.(3)均为同一常数,即比值相

等,由此体现了公比的意义,同时还要注意公比是每一项与

其前一项之比,防止前后次序颠倒.

(4)如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第n(n>3,

n∈N*)项起每一项与它前一项的比都是同一个常数,则此数

列不是等比数列.这时可以说此数列从第2项起或从第n-1

项起是一个等比数列.(5)如果一个数列从第2项起,每一项

与它前一项的比尽管是一个与n无关的常数,但却是不同的 栏

常数,这时此数列不是等比数列.(6)常数列都是等差数列, 目

但却不一定是等比数列.若常数列是各项都为0的数列,它

链 接

就不是等比数列;当常数列各项不为0时,它就是等比数

列.

知识点2 等比数列的判定方法

(1)an=an-1·q(n≥2,q是不为零的常数,an-1≠0)?{an}是等

比数列.

(2)an2=an-1·an+1(n≥2;an-1,an,an+1≠0)?{an}是等比数列.

(3)an=c·qn(c、q均是不为零的常数)?{an}是等比数列.

知识点3 主要性质(设an=a1qn-1,a1、q≠0)

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(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时,{an}是递增数列;当q 链

>1,a1<0或0<q<1,a1>0时,{an}是递减数列;当q=1时,{an} 接

是常数列;当q<0时,{an}是摆动数列. (2)an=am·qn-m(m、n∈N*). (3)当m+n=p+q(m、n、q、p∈N*)时,有am·an=ap·aq.

(4)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数

列;若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an·bn}

是公比为qq′的等比数列;数列

?1?
??an??

是公比为

1
q

的等比数列;

{|an|}是公比为|q|的等比数列.

(5)当数列{an}是各项均为正数的等比数列时,数列{lg an}是公 栏

差为lg q的等差数列.



(6){an}中,公比q≠1,则连续取相邻两项的和(或差)构成公比

链 接

为q的等比数列.

(7)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时,am、an、ap成等比数

列.

学习本节内容应注意的问题

(1)熟练运用直接依据等比数列的定义思考并解决等比数列的问

题.

(2)注意灵活选设未知数.例如:三数成等比数列,可设这三数

分别为

a q

、a、aq;当四数成等比数列时,可设这四个数为

a q3



a q



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aq,aq3.



(3)在要求的几个数中,若有若干个数成等差数列,若干个数成 接

等比数列,应尽可能先考虑用等差数列的条件设未知数.

(4)学习时注意与等差数列进行对比,学会用类比、方程的思想

解决问题.

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题型1 等比数列的判断

例1已知Sn是数列{an}的前n项和,Sn=pn(p∈R,n∈N*), 那么数列{an}( )

A.是等比数列



B.当p≠0时是等比数列

目 链

C.当p≠0,p≠1时是等比数列



D.不是等比数列

分析:利用等比数列的概念进行判断.
解析:由 Sn=pn(n∈N*),有 a1=S1=p,并且当 n≥2 时,an=Sn -Sn-1=pn-pn-1=(p-1)pn-1.
故 a2=(p-1)p,因此数列{an}成等比数列

p≠0,

?? p-1≠0,

??? ?

p- p-

ppnn--12=p.

而aa12=

p- p

p=p-1.

栏 目 链

故满足此条件的实数 p 是不存在的,故本题应选 D.



答案:D

名师点评:此题易得出错误的判断,排除错误的办法是熟悉数列

{an}成等比数列的必要条件是 an≠0(n∈N*),还要注意对任意 n∈N*, n≥2,aan-n 1都为同一常数是其定义规定的准确含义.

变式 迁移

1.(2013·全国卷)若数列{an}的前n项和Sn=an+,求证 {an}是等比数列,并求出通项公式.

解析:当n=1时,由a1=S1=

2 3

a1+

1 3

,解得a1=1,当n≥2时,an=





Sn-Sn-1=

???32an+13???



???32an-1+13???

,整理得

an an-1

=-2,故数列{an}是以

链 接

1为首项,-2为公比的等比数列,其通项公式为an=(-2)n-1.

题型2 由a1,q确定an

例2已知等比数列{an},若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8, 求an.

分析:由等比数列通项公式,首先要求出 a1 和 q,由于 a1a3=a22, 所以 a2=2,再由已知条件易求得 a1 和 q;利用 a2=a1q,a3=a1q2,将

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已知等式化归成 a1 与 q 的关系进行求解;由题设,可得 a1=aq2,a3=

链 接

a2q,代入已知条件进行求解.下面给出第一种思路的解答,请读者
自己完成第二、三种思路的解答.

解析:∵a1a3=a22,∴a1a2a3=a32=8,∴a2=2.

从而?????aa11a+3=a34=.5,

解得 a1=1,a3=4 或 a1=4,a3=1.

当 a1=1 时,q=2;当 a1=4 时,q=12.

故 an=2n-1 或 an=23-n.

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名师点评:解答中易产生的错误是在求得 a1=1,a3=4 或 a1=4, a3=1 后,由 a3=a1q2 分别得出 q=±2 或 q=±12,故所求得的 an=2n

链 接

-1,an=(-2)n-1,an=23-n 或 an=(-2)3-n. 上述错误的原因在于忽视了由于 a2=2,a1>0 必有 q>0 这一隐
含条件的限制.

变式 迁移

2.(2013·北京卷)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40, 求{an}的首项、公比及 an.

解析:由?????aa23+ +aa45= =2400,

??a1q+a1q3=20, ? ???a1q2+a1q4=40.

栏 目

解得???a1=2, ??q=2,

an=2n.

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题型3 等差数列与等比数列的综合应用

例3三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们 分别加上1,3,9,就成为等比数列,求此三个数.

分析:因为所求三数成等差数列,且其和已知,故可

栏 目

设这三数为a-d,a,a+d,再根据已知条件寻找关于a, d的两个方程,通过解方程组即可获解.

链 接

解析:设所求之数为a-d,a,a+d,则由题设得

??a-d+a+a+d=15,

? ??

a+

2= a-d+

a+d+

解此方程组得?????da==25, 或?????da==-5,10. (舍去)

栏 目

∴所求三数为3,5,7.

链 接

名师点评:此类问题一般设等差数列的数为未知数,然后利用

等比数列知识建立等式求解,另外,对本题若设所求三数为a,b,

c,则列出三个方程求解,运算过程将繁冗些.因此,在计算过程

中,设的未知数个数应尽可能少.

变式 迁移

3.(2013·山东省实验中学诊断题)已知{an}是公比大于1的 等比数列,a1,a3是函数f(x)=x+-10的两个零点.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2) 若 数 列 {bn} 满 足 bn = log3an + n + 2 , 且 b1 + b2 + … +

bn≥80,求n的最小值.



解析:(1)f(x)=x+9x-10 的零点为 1 和 9,由题意 a1=1,a3

目 链 接

=9,∴q=3,an=3n-1.

n (2)bn=2n+1,∴b1+b2+…+bn=

+2n+
2

=n(n+2),

由 n(n+2)≥80 得 n 的最小值为 8.

知识点4 等比数列的应用题

例4从盛满a升(a>1)纯酒精的容器里倒出1升,然后填

满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,如此继续下去,

问第n次操作后溶液的浓度是多少?若a=2,至少应倒几次

后才能使酒精浓度低于10%?





分析:这是一道应用题,解决问题的关键是建立数学模型,使实际问





题数学化.注意到开始浓度是 1,操作一次后溶液的浓度是 a1=1-a1,

操作两次后溶液浓度是 a2=a1???1-1a???,…,由此可知,每次操作后溶 液浓度构成等比数列,由此便建立了数列模型.

解析:依题意,知每次操作后溶液浓度依次为:

1,a1=1-1a,a2=a1???1-1a???,…,an=an-1???1-1a???. {an}构成以首项 a1=1-1a,公比 q=1-1a的等比数列.

所以 an=a1qn-1=???1-1a??????1-1a???n-1=???1-1a???n,



故第 n 次操作后酒精浓度是???1-1a???n.

目 链 接

当 a=2 时,由 an=???12???n<110,得 n≥4.

因此,至少应操作 4 次后,才能使酒精浓度低于 10%.

名师点评:数学应用题的解答步骤一般有:①通过阅读,理解题

意;②寻找数量关系,建立数学模型;③运用数学知识、方法,

解决数学模型;④回答实际问题.

变式 迁移

4.某工厂2012年生产某种机器零件100万件,计划到2014年 把产量提高到121万件,如果每一年比上年增长的百分率相同, 这个百分率是多少?2013年生产这种零件多少万件?

解析:设增长的百分率为x,则工厂的产量依次排列组成以 栏

100为首项,公比为(1+x)的等比数列,由题意100(1+x)2 =121?x=0.1,

目 链 接

2013年的产量为100(1+0.1)=110(万件).

答:年增长率为10%,2013年产量为110万件.


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