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2013高考数学(文)二轮复习课件(解析版):专题1 集合与常用逻辑用语函数与导数不等式(课标专用)226张


专题一 集合与常 用逻辑用语、函数与 导数、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语 第2讲 函数、基本初等函数Ⅰ的 图象与性质

第3讲 函数与方程、函数模型及
其应用 第4讲 第5讲 不等式与简单的线性规划 导数在研究函数中的应用

专题一

集合与常用逻辑 用语、函数与导 数、不等式

第1讲 集合与常用逻辑用语

第1讲│ 云览高考
[云览高考]
考点统计 题型 (频率) 考例(难度)

考点 1 集合的基本关 系及其运算 考点 2 命题的认识及 其真假判断 考点 3 充分条件、必 要条件的推理与判断

2008 宁夏、海南卷 1(A), 2009 宁夏、 海南卷 1(A), 2010 选择 课程标准卷 1(A), (5) 2011 课程标准卷 1(A), 2012 课程标准卷 1(A) 选择 2009 宁夏、海南卷 4(A) (1) 选择 2008 宁夏、海南卷 9(B) (1)

说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第1讲│ 二轮复习建议

二轮复习建议
命题角度: 分析 2008~2009 宁夏、 海南卷及 2010~2012 课程标准卷,本讲主要以选择题或填空题的形式考查集合与 简易逻辑的基本知识,其中集合的考查形式有两种:一是考 查集合的概念,集合的关系、运算;二是与其他知识联系, 考查常见的数学思想方法. 常用逻辑用语的考查形式有三种: 一是对含有一个量词的命题的否定;二是对命题的认识及其 真假的判断;三是充分、必要条件的推理与判断.

第1讲│ 二轮复习建议

预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发 设计试题,同时会进一步加强以集合知识为背景的创新问题 的考查力度,增强对简易逻辑知识命题的灵活性,以此考查 学生对数学基础知识的准确记忆和深层次的理解,考查学生 的创新思维能力.试题会在知识网络交汇上下工夫,使试题 能够考查到更多的知识点,但试题的难度为容易或者中等.

第1讲│ 二轮复习建议

复习建议:1.集合:集合的关系和运算是考查的主要内 容,其中要注意区分集合的含义,即命题中的集合所表达的 数学意义是什么,特别是一类创新性的集合命题,理解其所 表达的数学意义尤为重要;另外一点还要注意数形结合是处 理集合问题的常用方法. 2.常用逻辑用语:对简易逻辑知识的考查,命题所出现 的知识点可能是中学数学的全部,但是主要还是落脚在对逻 辑联结词“或”“且”“非”含义的准确理解,对四种命题 关系的转换和真假判断以及充要条件的判断.

第1讲│ 主干知识整合
主干知识整合

第1讲│ 主干知识整合

1.集合的概念与运算 (1)集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性,求解 含参数的集合问题时要根据互异性进行检验. (2)集合与集合之间的关系:A?B,B?C?A?C,空集 是任何集合的子集,n 个元素的集合子集数为 2n. (3)集合的运算:?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB),?U(A∩B)= (?UA)∪(?UB),?U(?UA)=A.

第1讲│ 主干知识整合

2.四种命题及其关系 四种命题中原命题与逆否命题同真同假, 逆命题与否命题 同真同假, 遇到复杂问题正面解决困难可采用转化为反面情况 处理. 3.充分条件与必要条件 若 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件;若 p?q,则 p,q 互为充要条件.

第1讲│ 主干知识整合

4.简单的逻辑联结词 (1)命题 p∨q,只要 p,q 有一真,即为真;命题 p∧q,只有 p,q 均为真,才为真;綈 p 和 p 为真假对立的命题. (2)命题 p∨q 的否定是綈 p∧綈 q;命题 p∧q 的否定是綈 p∨綈 q. 5.全称量词与存在量词

“?x∈M,p(x)”的否定为“?x0∈M,綈 p(x0)”;“?x0∈M, p(x0)”的否定为“?x∈M,綈 p(x)”.

第1讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 集合的基本关系及其运算 例 1 (1)A={x|x≠1,x∈R}∪{y|y≠2,y∈R},B={z|z≠1 且 z≠2,z∈R},那么( ) A.A=B B.A?B C.A?B D.A∩B=? (2)[2012· 辽宁卷] 已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, 集合 A ={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( ) A.{5,8} B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6} [思考流程] (1)(分析)通过集合 A,B 的区间表示看包含关 系 ? (推理)将集合 A,B 在数轴上表示出来可以得到包含关系 ? (结论)通过包含关系得出结论.(2)(分析)理解集合 A,B 与全 集 U 的关系 ? (推理)求出 A, 相对于 U 的补集?UA、UB ? (结 B ? 论)用 Venn 图计算出?UA 与?UB 的交集.

第1讲│ 要点热点探究
[答案] (1)C (2)B

[解析] 集合中的代表元素用什么字母表示无关. 事实上 A =(-∞, 1)∪(1, +∞)∪(-∞, 2)∪(2, +∞)=(-∞, +∞), 集合 B=(-∞,1)∪(1,2)∪(2,+∞),所以 A?B. (2)法一:∵?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}, ∴(?UA)∩(?UB)={7,9}. 法二:∵A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8}, ∴(?UA)∩(?UB)=?U(A∪B)={7,9}.
[点评] 对于补集?UA、?UB 的求解是易错点,?UA、?UB 是 集合 A、B 相对于全集 U 的补集,注意全集 U 的不同,对应的 补集?UA、?UB 就不相同.

第1讲│ 要点热点探究
变式题 (1)设全集 U=R,集合 M={x|y= 3-2x},N ={y|y=3-2x},则下列图中阴影部分表示的集合是( )

图 1-1-1
? ?3 ? A.?x?2<x≤3 ? ? ? ? ?3 ? C.?x?2≤x<2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3 ? B.?x?2<x<3 ? ? ? ? ?3 ? D.?x?2<x<2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)已知集合 M={0,1}, 则满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 的 个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.8

第1讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B (2)C
? ? ? ? 3 ? 3 [解析] (1)由 3-2x≥0, x≤ , M=?x?x≤2 ?; 2x>0, 得 即 又 2 ? ? ? ? ? 得 3-2x<3,即 N={x|x<3}.因此图中阴影部分表示的集合是 ? ?3 ? ?UM∩N=?x?2<x<3? . ? ? ? (2)依题意满足 M∪N={0,1,2}的集合 N 有{2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2},共 4 个.

第1讲│ 要点热点探究

? 探究点二 命题的认识及其真假判断 例 2 [2012· 山东卷] 设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周 π π 期为 ;命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x= 对称.则下 2 2 列判断正确的是( ) A.p 为真 B.綈 q 为假 C.p∧q 为假 D.p∨q 为真

[思考流程] (分析)分别判断命题 p、q 的真假 ? (推理)依 据“或”“且”“非”复合命题的真假性判断 ? (结论)利用 命题真假对应选项找到正确结论.

第1讲│ 要点热点探究

[答案] C
[解析] 本题考查含逻辑联结词的命题间的真假及三角函 数的图像与性质,考查推理能力,容易题. ∵函数 y=sin2x 的最小正周期为 π , ∴命题 p 为假命题; 函数 y=cosx 的图像的对称轴所在直线方程为 x=kπ ,k∈Z, ∴命题 q 为假命题,由命题间的真假关系得 p∧q 为假命题.

第1讲│ 要点热点探究

[点评] 命题真假的判定方法:(1)一般命题 p 的真假由涉及的 相关知识辨别; (2)四种命题的真假判断依据是一个命题和它的逆否 命题同真假,而与它的其他两个命题的真假无此规律;(3)形如 p∨ q、p∧q、綈 p 命题真假根据真值表判断;(4)全称命题和特称命题 的否定具有特殊性.①全称命题 p:?x∈M,p(x),它的否定綈 p: ?x0∈M,綈 p(x0);②特称命题 p:?x0∈M,p(x0),它的否定綈 p: ?x∈M,綈 p(x).

第1讲│ 要点热点探究

变式题 已知命题 p: “?x∈[1,2], 2-a≥0”, x 命题 q: “?x0∈R,x2+2ax0+2-a=0”.若命题“(綈 p)∧q”是真 0 命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤-2 或 a=1 B.a≤2 或 1≤a≤2 C.a>1 D.-2≤a≤1

第1讲│ 要点热点探究

[答案] C
[解析] 命题 p 为真时 a≤1;“存在 x0∈R,x2+2ax0+2 0 -a=0”为真,即方程 x2+2ax+2-a=0 有实根,故 Δ=4a2 -4(2-a)≥0, 解得 a≥1 或 a≤-2.(綈 p)且 q 为真命题, 即綈 p 真且 q 真,即 a>1.

第1讲│ 要点热点探究

充分条件、必要条件的推理与判断 1 例 3 [2012· 天津卷] 设 x∈R,则“x> ”是“2x2+x-1 2 >0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?

探究点三

第1讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)求出不等式的解集后与已知条件对比 ? (推理)数形结合方法,利用数轴把两个解集分别表示出来 ? (结论)根据两个集合的包含关系得出结论.

第1讲│ 要点热点探究
[答案] A

1 [解析] 当 x> 时, 2+x-1>0 成立; 2x 但当 2x2+x-1>0 2 1 时,x> 或 x<-1, 2 1 ∴“x> ”是“2x2+x-1>0”的充分不必要条件. 2 [点评] 判断命题的充要关系常用方法有定义法,等价法 和利用集合间的包含关系判断, 另外特值法也是判断命题是否 成立的有效方法.

第1讲│ 要点热点探究

变式题 “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞) 上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[答案] A

第1讲│ 要点热点探究

[解析] 当 a=1 时,f(x)=|x-1|在[1,+∞)上为增函数; 反过来, f(x)=|x-a|在[1, 由 +∞)上为增函数不能得到 a=1, 如当 a=0 时,函数 f(x)=|x-a|在[1,+∞)上为增函数.因此 “a=1”是“函数 f(x)=|x-a|在区间[1,+∞)上为增函数” 的充分不必要条件.

第1讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 充分条件与必要条件的判断, 有下列几种常见的方法:(1) 定义法:判断 p?q 及 q?p 的真假,然后写出结论;(2)等价法: 将命题转化为另一个等价的又容易判断真假的命题;(3)集合法: 写出集合 A={x|p(x)}及 B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加 以判断. ?技巧 真假命题的判断, 应先分清所给命题是简单命题还是复合 命题,若是复合命题则要依据复合命题的真值表来判定. ?易错 解答集合有关的问题,关键是对合中元素的互异性、空集 是任何集合的子集等问题.处理集合问题时,要学会灵活地运用 数形结合、分类与整合、转化与化归等数学思想方法.

第1讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯

抽象概括能力——集合中的三种语言的转换 示例 已知集合 A={(x,y)|x,y 为实数,且 x2+y2=1},B= {(x,y)|x,y 为实数,且 x+y=1},则 A∩B 的元素个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1

第1讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为抽象概括数学语言的能力,数学语 言的考查体现在文字语言—符号语言—图形语言三者之间的互相 转化的处理方面.(条件 1)符号语言:x2+y2=1—文字语言:平面 坐标系中圆的方程—图形语言:平面坐标系中圆上的点的集合; (条件 2)符号语言:x+y=1—文字语言:平面坐标系中直线的方 程—图形语言:平面坐标系中的一条直线;结论:符号语言: A∩B—文字语言: 表示条件 1 与条件 2 图形的公共点—图形语言: 平面坐标系中直线与圆的交点.

第1讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)理解集合 A, 的几何意义 ? (推理)在直角 B 坐标系中作出对应的几何图形 ? (结论)由几何图形得出 A∩B 的 元素个数.

第1讲│ 命题立意追溯
[答案] B

[解析] 集合 A 表示圆 x2+y2=1 上的点构成的集合, 集合 B 表示直线 x+y=1 上的点构成的集合, A∩B 的元素个数即判断直 线 x+y=1 与圆 x2+y2=1 的交点个数,由图形可知交点个数有 2 个,作出图象,如图 1-1-2.

图 1-1-2

第1讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 1.集合 (
? ? x ? ? M=?x?x-1>0 ? ? ? ? ? ?,集合 ? ? ? ? ? 1 ?y?y=x N= 2 ? ? ? ? ? ?,则 ? ?

M∩N=

) A.(0,+∞) C.(0,1)

B.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)

第1讲│ 命题立意追溯

[答案] B

x >0 得 x<0 或 x>1,即 M= x-1 1 (-∞,0)∪(1,+∞).求函数 y=x 的值域得 y≥0,即 N= 2 [0,+∞).在数轴上画出不等式的解集得 M∩N=(1,+∞).故 选 B. [解析] 依题意,解不等式

第1讲│ 命题立意追溯

2. 已知集合

? ?x-b ? ? <0 A={x||x-1|<2}, ?x? B= ? ?x+2 ?

? ? ?, 若 ? ?

A∩B≠?,

则实数 b 的取值范围是________.

第1讲│ 命题立意追溯

[答案] (-1,+∞)

x-b [解析] 依题意,A={x|-1<x<3}, <0 等价于(x-b)(x+ x+2 2)<0,而方程(x-b)(x+2)=0 的两根为-2 和 b.由 A∩B≠?,画 出数轴,可知 b>-1.

第1讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:(1)创新定义是新课标高考的一个特点,这类题型 以基础知识为依托,考查考生理解知识运用知识的解题能力,例 1 就是一道创新定义复数集 C 上一个称为“序”的关系问题;(2) 集合包含关系或运算的试题一般都会有涉及几何意义的命题,例 2 就是一道以集合知识为背景研究平面直角坐标系中图形关系的 命题,旨在考查学生利用数形结合思想解题的能力.

第1讲│ 教师备用例题

例 1 在实数集 R 中, 我们定义的大小关系“>”为全体实数排 了一个“序”,类似地,我们在复数集 C 上也可以定义一个称为 “序”的关系,记为“>”.定义如下:对于任意两个复数 z1=a1+ b1i,z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2∈R,i 是虚数单位),“z1>z2”当且 仅当“a1>a2”或“a1=a2 且 b1>b2”.下列命题为假命题的是( ) A.1>i>0 B.若 z1>z2,z2>z3,则 z1>z3 C.若 z1>z2,则对任意 z∈C,z1+z>z2+z D.对复数 z>0,若 z1>z2,则 z·1>z·2 z z

第1讲│ 命题立意追溯

[答案]D

[解析] 对于 A,注意到 1=1+0×i,i=0+1×i,0=0+ 0×i,1>0,则 1>i,0=0 且 1>0,因此有 1>i>0,所以 A 正确.对于 B,由 z1>z2 得 a1>a2,或 a1=a2 且 b1>b2;由 z2>z3 得 a2>a3,或 a2 =a3 且 b2>b3;于是有 a1>a3,或 a1=a3 且 b1>b3,即有 z1>z3,所 以 B 正确. 对于 C, z=a+bi, z1>z2 得 a1>a2 或 a1=a2 且 b1>b2, 设 由 所以 a1+a>a2+a 或 a1+a=a2+a 且 b1+b>b2+b,即有 z1+z>z2 +z,所以 C 正确.对于 D,取 z=1-2i,z1=3,z2=3i,此时 z·1 z =3-6i,z·2=6+3i,z·1<z·2,所以 D 不正确. z z z

第1讲│ 教师备用例题

例 2 设 a>0, A={(x, 2+y2≤1}, y)|x B={(x, y)||x|+2|y|≤a}, 则 A?B 的充要条件是________.
[答案] a≥ 5

[解析] 依题意, A={(x, 2+y2≤1}的图形表示单位圆上及 y)|x 其内部区域内的点,a>0,B={(x,y)||x|+2|y|≤a}的图形表示一 个菱形上及其内部区域内的点, 它们的图形关于 x 轴和 y 轴对称, 因此只需研究第一象限的情况.当 x≥0,y≥0,x+2y≤a 时,要 使 A?B,圆心(0,0)到直线 x+2y=a 的距离大于或等于 1,即 a ≥1,解得 a≥ 5. 12+22

第2讲 函数、基本初等函 数Ⅰ的图象与性质

第2讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 函数的概念 选择(0) 及其表示 考点 2 函数的图象 2010 课程标准卷 6(B), 选择(2) 与认识 2011 课程标准卷 12(B) 2009 宁夏、 海南卷 12(B), 2010 课程标准卷 12(B), 考点 3 函数的性质 选择(4) 2011 课程标准卷 3(A), 与运用 填空(1) 2012 课程标准卷 11(B), 2012 课程标准卷 16(B) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第2讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议
命题角度:分析 2008~2009 宁夏、海南卷及 2010~2012 课 程标准卷,本讲主要以选择题或填空题的形式考查函数的概念、 图像及性质,其中函数的概念考查的是求定义域、函数值和值域, 求函数解析式,分段函数;函数的图像主要考查图像的辨别和图 像的应用;函数的性质考查奇偶性、单调性、周期性.函数的观 点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题. 预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计 试题,特别是加强以二次函数、分段函数、复合函数、对数函数 等为载体的题目,考查的形式涉及求函数的值、参数的取值范围, 研究函数的奇偶性、单调性、周期性和值域等,特别要强化函数 图像在研究奇偶性、单调性的作用,掌握结合周期性求函数值的 问题, 在问题的求解中渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想.

第2讲 │ 二轮复习建议

复习建议:1.函数的概念:理解函数的概念,把重点放 在构成它的三要素上,系统归纳求函数定义域、值域、解析 式的基本方法.在熟练掌握有关技能的同时,注意换元法、 待定系数法等数学方法的运用. 通过对分段函数、 复合函数、 抽象函数的认识,体会函数关系的本质. 2. 函数的图象与性质: 函数的图象体现在利用图象研究 函数的性质;函数的单调性是与“区间”相关的概念,因此 研究函数的单调性,必须先求函数的定义域;理解函数奇偶 性的关键是定义域关于原点对称和 f(-x)=f(x)或 f(-x)=- f(x)是定义域上的恒等式;函数周期性问题应牢牢把握其定 义,并掌握一些常见的确定函数周期性的条件和结论.

第2讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第2讲 │ 主干知识整合

1.函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函 数,定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数. 2.函数的性质 (1)单调性:单调性是函数在其定义域上的局部性质.证 明函数的单调性时,规范步骤为取值、作差、判断符号、下结 论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则; (2)奇偶性:奇偶性是函数在定义域上的整体性质.偶函 数的图象关于 y 轴对称, 在关于坐标原点对称的定义域区间上 具有相反的单调性; 奇函数的图象关于坐标原点对称, 在关于 坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性;

第2讲 │ 主干知识整合

(3)周期性:周期性是函数在定义域上的整体性质.若函 数满足 f(a+x)=f(x)(a 不等于 0),则其周期 T=ka(k∈Z)的绝 对值. 3.指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质 (1)指数函数 y=ax(a>0,a≠1)与对数函数 y=logax(a>0, a≠1)的图象和性质,分 0<a<1,a>1 两种情况,着重关注两函 数图象中的两种情况的公共性质; (2)幂函数 y=xα 的图象和性质,分幂指数 α>0,α<0 两种 情况.

第2讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 函数的概念及其表示

例 1

1 [2012· 山东卷] 函数 f(x)= + 4-x2的定义 ln?x+1?

域为( ) A.[-2,0)∪(0,2] B.(-1,0)∪(0,2] C.[-2,2] D.(-1,2]

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察所给函数解析式的形式 ? (推理)利 用对数、分式和根式有意义的条件列出不等式组 ? (结论)解不 等式组并求交集得出函数的定义域.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] B
[解析] 方法一(特值法):当 x=-2 时,ln(x+1)无意义,排 除 A,C;当 x=0 时,ln(0+1)=ln1=0,不能充当分母,所以排除 D.故选 B. ?x+1>0, ? 方 法 二 : 要 使 函 数 有 意 义 , 则 有 ?ln?x+1?≠0, ?4-x2≥0, ? ?x>-1, ? ?x≠0, ?-2≤x≤2, ? 即-1<x<0 或 0<x≤2.故选 B. 即

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 求函数定义域的主要依据:①分式的分母不为 零;②偶次方根被开方数不小于零;③对数函数的真数必 须大于零;④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不 等于 1.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 (1)已知函数

?1-x,x≤0, ? f(x)=? x ?a ,x>0, ?

若 f(1)=f(-1),则实数 a 的值等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2)已知函数 f(x)=2+log3x(1≤x≤9), 则函数 y=[f(x)]2+f(x2)的最大值为( ) A.33 B.22 C.13 D.6

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)B (2) C

[解析] (1)依题意,由 f(1)=f(-1)可得 a=1-(-1)=2. (2)依题意得, y=(2+log3x)2+2+log3x2=log2x+6log3x+6 3 =(log3x+3)2-3,因为 1≤x≤9,且 1≤x2≤9,所以 1≤x≤3, 所以 0≤log3x≤1,作出图像知,当 log3x=1 时,函数 y 取得最 大值 13.

第2讲│ 要点热点探究
? 探究点二 函数的图象与认识 例 2 已知定义在区间[0,2]上的函数 y=f(x)的图象如图 1 -2-1 所示,则 y=-f(2-x)的图象为( )

图 1-2-1

图 1-2-2

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察已知函数 y=f(x)的图象(特殊点、 单调性) ? (推理)通过已知函数与变换函数之间的关系进行 推理判断 ? (结论)利用特殊点、 特殊性的对应得到正确结论.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] B
[解析] y=f(x)→y=f(-x)→y=f[-(x-2)]→y=-f(2- x),即将 y=f(x)的图象关于 y 轴对称,再向右平移 2 个单位长 度,然后关于 x 轴对称,即为 B 图象.

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 本题考查函数的图象的识别,有些函数图象题, 从完整的性质理解上并不好去判断, 作为选择题, 可以利用特 殊值法(特殊点),特性法(奇偶性,单调性,最值)结合排除法 求解,既可以节约考试时间,又事半功倍.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 象是( )

?2x?x≤1?, ? (1)若函数 f(x)=? 1 则 y=f(-x)的图 ?log2x?x>1? ?

图 1-2-3

第2讲│ 要点热点探究

(2)已知函数 f(x)=e 致图象为( )

|lnx|

? 1? ?x- ?,则函数 - x? ?

y=f(x+1)的大

图 1-2-4

第2讲│ 要点热点探究

[答案] (1)D (2) A

[解析] (1)依题意, 先画出函数 y=f(x)的图象, 因为 y=f(- x)的图象与 y=f(x)图象关于 y 轴对称可知 D 选项正确.故选 D. (2) 据 已 知 关 系 式 可 得 f(x) = ? -lnx ? 1? ?e +?x-x?=x?0<x≤1?, ? ? ? 作出其图象然后将其向左平移 1 ? ? 1 ?elnx-?x-1?= ?x>1?, x? x ? ? 个单位即得函数 y=f(x+1)的图象.

第2讲│ 要点热点探究

? 探究点三 函数的性质与运用 例 3 [2012· 陕西卷] 下列函数中, 既是奇函数又是增函数 的为( ) 1 3 A.y=x+1 B.y=-x C.y=x D.y=x|x|

第2讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)观察四个选项中函数解析式的图象特点 ? (推理)先判断是否为奇函数,再判断是否为增函数 ? (结论) 得到满足条件的选项.

第2讲│ 要点热点探究

[答案] D
[解析] 本小题主要考查函数的单调性、奇偶性,解题的 突破口为单调性的定义、奇偶性的定义与函数图象的对应关 系.若函数为单调增函数,其图象为从左向右依次上升;若函 数为奇函数,其图象关于原点对称.经分析,A 选项函数的图 象不关于原点对称,不是奇函数,排除;B 选项函数的图象从 左向右依次下降,为单调减函数,排除;C 选项函数的图象从 左向右依次下降,为单调减函数,排除;故选 D.其实对于选 项 D,我们也可利用 x>0、x=0、x<0 讨论其解析式,然后画 出图象,经判断符合要求,故选 D.

第2讲│ 要点热点探究

[点评] 本题考查函数的性质,对于给定函数解析式判断其 奇偶性、单调性的方法是:①图象法,即能够画出函数图象的 一般通过画出图象可直观判断;②定义法,即利用函数的奇偶 性、单调性的定义给出判断.在利用定义判断奇偶性、单调性 时要注意给出的定义域条件.

第2讲│ 要点热点探究

变式题 (1)若 x∈(e

-1,

?1? 1), a=lnx, ?2?lnx, lnx, b= c=e 则( ? ?

)

A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a (2)如果存在正实数 a,使得 f(x-a)为奇函数,f(x+a)为偶 函数,我们称函数 f(x)为“亲和函数”.则对于“亲和函 数”f(x),给出下列四个命题: ①f(x-a)=-f(a-x);②f(a-x)=f(x+a);③f(x)的图象 关于点(a,0)对称;④f(x)是周期函数,且 8a 是它的一个周期. 其中正确命题的序号为________.(写出所有正确命题的 序号)

第2讲│ 要点热点探究
[答案](1) D(2) ②④
[解析] (1)x∈(e
-1,

?1? 1)时,a=lnx∈(-1,0),b=?2?lnx>1,c=elnx=x ? ?

∈(e-1,1).所以 b>c>a. (2)由 f(x-a)=-f(a-x)得 f[-(a-x)]=-f(a-x),可知 f(x)为 奇函数,所以①错误;由 f(x+a)为偶函数,得 f(-x+a)=f(x+a), 所以②正确;由 f(x-a)为奇函数,说明将 f(x)的图象向右平移 a 个 单位后其图象关于原点对称,则 f(x)的图象关于点(-a,0)对称,所以 ③错误; f(x-a)为奇函数, f(-x-a)=-f(x-a), x+a 代 x, 由 得 以 有 f(-x-2a)=-f(x),由 f(x+a)为偶函数,f(-x+a)=f(x+a),以 x-a 代 x, f(-x+2a)=f(x), 有 由此可得 f(-x-2a)=-f[(-x-2a) +4a],即 f(x)=-f(x+4a),于是 f(x+8a)=-f(x+4a)=-[-f(x)] =f(x),所以④正确.

第2讲│ 命题立意追溯
规律技巧提炼
?规律 由周期函数的定义“若函数 f(x)满足 f(x)=f(x+a)(a≠0), 则 f(x)是周期为 a 的周期函数”得:①若函数 f(x)满足 f(x)=-f(x+ 1 a)(a≠0),则 f(x)是周期为 2a 的周期函数;②f(x+a)= (a≠0)恒成 f?x? 1 立,则 T=2a;③若 f(x+a)=- (a≠0)恒成立,则 T=2a. f?x? ?技巧 给出函数解析式的作图问题要注意对解析式的化简, 并结合函 数的性质,运用平移、对称、伸缩、翻折等方法;没有给出解析式的 作图问题应充分运用题设条件与性质作出特殊图形. ?易错 函数的定义域是研究函数性质的基础和前提, 要树立“定义域 优先”的解题原则;求函数值域时,不仅要重视对应法则的应用,还 有特别注意定义域对值域的制约作用.

第2讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

数据处理能力——分段函数与抽象函数在函数求值中的应用 ? x,x≥0, ? 示例设函数 f(x)=??1?x 则 f(f(-4))=________. ? ? ,x<0, ??2? ?

第2讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为分段函数的运算求解能力, 其中给出的条件是一个分段函数的解析式,目标是一个复 合函数的求值. 求解时需要从目标入手, 先计算 f(-4)的值, 注意此时对应 x<0 的解析式,然后再由 f(-4)的值判断范 围,去对应分段函数解析式求 f(f(-4))的值.

第2讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)注意分段函数自变量的取值范围和对 应函数解析式的形式 ? (推理)注意复合函数求值的计算程 序 ? (结论)先计算 f(-4)的值,再由 f(-4)计算 f(f(-4))的 值.

第2讲│ 要点热点探究

[答案]4
[解析] 依题意,因为-4<0,所以 f(f(-4))=f(16)= 16=4.
?1?- f(-4)=?2? 4=16>0,于是 ? ?

第2讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] ?1,x>0, ? 1 . [2012·福 建 卷 ] 设 f(x) = ?0,x=0, ?-1,x<0, ?
?1,x为有理数, ? ? ?0,x为无理数, ?

g(x) =

则 f(g(π))的值为( D.π

)

A.1 B.0 C.-1

第2讲│ 要点热点探究

[答案]B
[解析] 解题的关键是求分段函数的值时,一定要认 真分析自变量所在的区间, 因为各段上的解析式是不相 同的.∵π 是无理数,∴g(π)=0,f(g(π))=f(0)=0,所 以选 B.

第2讲│ 命题立意追溯

2.对于定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=f(x),则 f(1) +f(2)+f(3)=( ) A.0 B.-1 C.3 D.2

第2讲│ 要点热点探究

[答案]A
[解析] 依题意,f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)= 0.由 f(x+3)=f(x), x=0 得 f(3)=f(0)=0; x=-1 令 令 得 f(-1+3)=f(-1)=-f(1), f(1)+f(2)=0.所以 f(1) 即 +f(2)+f(3)=0.

第2讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:(1)函数图象的变换是研究函数性质的直观表现, 例 1 通过给出 f(x)的同值变换 T, 研究函数的图象关于坐标轴, 特 殊点的对称变换,既考查函数图象的变换知识,又考查创新能力; (2)二次函数是基本初等函数中一类重要的模型函数,“三个二 次”的相互转化,数形结合思想的体现都较好地渗透在求解二次 函数的问题之中,例 2 就是一个关于二次函数的求参数取值范围 问题.

第2讲│ 教师备用例题

例1 定义:若函数 f(x)的图象经过变换 T 后所得图象对 应函数的值域与 f(x)的值域相同,则称变换 T 是 f(x)的同值变 换.下面给出四个函数及其对应的变换 T,其中 T 不属于 f(x)的 同值变换的是( ) A.f(x)=(x-1)2,T 将函数 f(x)的图象关于 y 轴对称 B.f(x)=2x-1-1,T 将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称 C.f(x)=2x+3,T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,1)对称 ? π? D.f(x)=sin?x+ 3 ?,T 将函数 f(x)的图象关于点(-1,0)对称 ? ?

第2讲│ 要点热点探究

[答案]B
[解析] 选项 B 中,f(x)=2x-1-1 的值域为(-1, +∞),将函数 f(x)的图象关于 x 轴对称后所得函数的 值域为(-∞,1),值域改变,不属于同值变换.经检 验,其他选项正确.

第2讲│ 教师备用例题

已知关于 x 的方程 x2-(2m-8)x+ 3 2 m -16=0 的两个实根 x1,x2 满足 x1< <x2,则实 2 数 m 的取值范围是________. 例2

第2讲│ 要点热点探究

[答案]
[

? ? 1 ? 7 ?m?- <m< 2 ? ? 2 ?

? ? ?. ? ?





]









得 即

?Δ=[-?2m-8?]2-4?m2-16?>0, ? ??3?2 3 ? ? -?2m-8?·+m2-16<0, ??2? 2 ?
?32m<2×64, ? ? ?4m2-12m-7<0, ?

?m<4, ? 1 7 即? 1 解得- <m< . 7 2 2 ?-2<m<2, ?

第3讲 函数与方程、函数 模型及其应用

第3讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 函数的零点的确 2011 课程标 选择(1) 定与应用 准卷 10(B) 考点 2 用二分法求方程 选择(0) 的近似解 考点 3 函数的实际应用 选择(0) 问题 考点 4 函数与其他知识 2009 宁夏、 海 选择(1) 的综合 南卷 12(B) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第3讲 │ 二轮复习建议

二轮复习建议

命题角度: 分析 2008~2009 宁夏、 海南卷至 2010~ 2012 课程标准卷,本讲内容的考查中,函数与方程主 要以选择题或填空题为主, 形式有三种: 一是求函数的 零点; 二是求方程根的个数, 三是用二分法求函数零点 的近似值. 函数模型以解答题为主, 函数的综合应用各 种题型都有, 考查形式往往是以生活材料为背景, 考查 函数的综合应用.

第3讲 │ 二轮复习建议

预测 2013 年高考中函数与方程仍将是考查的必考 内容,特别是函数与方程思想是中学数学的重要思想 方法之一,多数情况下与其他知识综合考查,复习时 应予以高度关注.函数模型及其应用体现在用数学知 识解决实际生活问题的能力上,同时函数是高中数学 的主干知识,经常与数列、导数、不等式等相结合, 考查时非常灵活,复习时要予以足够的重视. 复习建议:1.函数与方程:函数的零点其实质是方 程的根,该类问题常与函数的图象、性质交汇命题; 用二分法求函数的近似值或零点所在区间常以初等函 数为载体.因此函数与方程的复习应重点关注初等函

第3讲 │ 二轮复习建议

数图象与性质的理解,定位于函数与方程思想、数形 结合思想的应用. 2.函数模型及其应用:发展学生综合运用知识解 决问题的能力和数学应用意识是新课标的课程理念, 这在近几年的命题中得到了很好地体现,并有加强的 趋势.因此函数模型及其应用的复习重点突出应用意 识,落实解决实际问题的数学建模能力,以函数观点 为主体的综合运用能力.

第3讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第3讲 │ 主干知识整合

1.函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系: 函数 y=f(x)的零点就是方 程 f(x)=0 的实数根,即函数 y=f(x)的图象与 x 轴的交点的横 坐标.方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交 点?函数 y=f(x)有零点. (2)二分法:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的 函数 y=f(x), 通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.

第3讲 │ 主干知识整合

2.函数模型 解决函数模型的实际应用题,首先考虑题目考查的函数模 型,并要注意定义域. 其解题步骤是:(1)审清题意:分析出已知什么,求什么,从中 提炼出相应的数学问题;(2)数学建模:弄清题目中的已知条件 和数量关系,建立函数关系式;(3)解函数模型:利用数学方法 得出函数模型的数学结果;(4)检验数学结果是否满足实际情 况;(5)实际问题作答:将数学问题的结果转译成实际问题作出 解答.

第3讲│ 要点热点探究

要点热点探究

? 探究点一 例1

函数的零点的确定与应用 )

1 ?1?x [2012· 北京卷] 函数 f(x)=x -?2? 的零点个数为( 2 ? ? A.0 B.1 C.2 D.3

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解函数零点与方程根的关系 ? (推理) 在平面直角坐标系中分别作出对应函数的图象 ? (结论)由函 数图象的交点个数得出函数零点的个数.

第3讲│ 要点热点探究
[答案] B
[解析] 本题考查指数函数和幂函数的图象与性质,考查 数形结合的数学思想. 1 ?1?x 1 ?1?x 1 ? ? =0,可得 x =? ? ,令 h(x)=x ,g(x) 由 f(x)=x - 2 2 ? ? 2 ?2? 2 ?1? =?2?x, 所以函数 f(x)的零点个数就是函数 h(x)与 g(x)的交点个 ? ? 数,如图可知交点个数只有一个,所以函数 f(x)的零点个数为 1,答案为 B.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 求函数零点个数的两个基本方法:①直接求零点 法:令 f(x)=0,如果能求出解,则由几个解就有几个零点;② 画图象法:画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交 点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

第3讲│ 要点热点探究

变式题 函数 (

?lnx-x2+2x?x>0?, ? f(x)= ? ?2x+1?x≤0?, ?

的零点个数是

) A.0 B.1 C.2

D.3

第3讲│ 要点热点探究

[答案]D

[解析] 依题意,当 x>0 时,在同一个直角坐标系中分别作 出 y=lnx 和 y=x2-2x=(x-1)2-1 的图象,可知它们有两个 交点;当 x≤0 时,作出 y=2x+1 的图象,可知它和 x 轴有一 个交点.综合知,函数 y=f(x)有 3 个零点.

第3讲│ 要点热点探究

? 探究点二 用二分法求方程的近似解 例 2 在用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时, 已知一个根在区间(1,2)内,则下一步可判定该根所在区间为 ________.

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)由条件方程构造函数 f(x) ? (推理)判 3 断区间端点 f(1),f(2)和中间值 f 的函数值的符号 ? (结论) 2 由两个函数值异号得到下一步可判定该根所在区间.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] [解析] 记 f(x)=x3-2x-1,则 f(1)=1-2-1= ?3? 27 5 ? ?= -3-1=- <0, -2<0,f(2)=8-4-1=3>0,f 2 8 8 ? ? ?3? ?3 ? 由 f?2?· f(2)<0 知,下一步可判定该根在区间?2,2?内. ? ? ? ?

?3 ? ? ,2? ?2 ?

第3讲│ 要点热点探究

变式题 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,g(x)=[x] 2 为取整函数,x0 是函数 f(x)=lnx- x 的零点,则 g(x0)等于 ________.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] 2
2 [解析] 依题意, f(2)=ln2- =ln2-1<0, 得 f(3)=ln3 2 2 - >0,所以 2<x0<3.于是 g(x0)=2. 3

第3讲│ 要点热点探究
? 探究点三 函数的实际应用问题 例 3 [2012· 江西卷] 如图 1-3-1,|OA|=2(单位:m),|OB|=1(单位: π m),OA 与 OB 的夹角为 ,以 A 为圆心,AB 为半径作圆弧 BDC 与线段 6 OA 延长线交于点 C.甲、乙两质点同时从点 O 出发,甲先以速率 1(单位: m/s)沿线段 OB 行至点 B,再以速率 3(单位:m/s)沿圆弧 BDC 行至点 C 后 停止;乙以速率 2(单位:m/s)沿线段 OA 行至点 A 后停止,设 t 时刻甲、乙 所到达的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t)(S(0)=0), 则 函数 y=S(t)的图象大致是( )

图 1-3-1

图 1-3-2

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解甲、乙两个质点从点 O 出发后的路 径和速率 ? (推理)分别计算 t 时刻甲、乙所到达的两点连线与 它们经过的路径所围成图形的面积为 S(t) ? (结论)将所得出的 分段函数解析式与选择项中的图象对应判断.

第3讲│ 要点热点探究

[答案] A
[ 解 析 ] 在 △ OAB 中 , 由 余 弦 定 理 得 AB = 12+22-4cos30° 5-2 3.当 0<t<1 时,由余弦定理可得 = 1 1 f(t)= (2t2)sin30° t2,其图象是一段开口向上的抛物线; = 2 2 l 1 3?t-1? 设 BDC 的长为 l, 则当 1≤t≤ +1 时, S(t)= + 3 2 2 3t 1 3 5-2 3 l AB= 5-2 3+ - , 其图象是一条线段; t> 当 2 2 2 3 +1 时,图象与横轴平行,故选 A.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] 解决函数应用题的关键有两点:①将实际问题数 学化,即在理解的基础上,通过列表、画图、引入变量、建立 直角坐标系等手段把实际问题翻译成数学问题, 把文字语言翻 译成数学符号语言;②对得到的函数模型进行解答,得出函数 问题的解.

第3讲│ 要点热点探究

变式题

根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的时 c ,x<A, x c ,x≥A A (A,c 为常数).已知工

? ? 间(单位:min)为 f(x)=? ? ?

人组装第 4 件产品用时 30 min,组装第 A 件产品用时 15 min, 那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16

第3讲│ 要点热点探究

[答案] D
c c [解析] 依题意, 4<A, 故 =30, 求得 c=60.又因为 A 4 c 60 =15,所以 A= = =4,求得 A=16.故选 D. 15 15

第3讲│ 要点热点探究

? 探究点四 例4

函数与其他知识的综合

? π? 3 ?0, ?上的最大 [2012· 福建卷] 已知函数 f(x)=axsinx- (a∈R),且在 2? 2 ? π-3 值为 . 2 (1)求函数 f(x)的解析式;

(2)判断函数 f(x)在(0,π)内的零点个数,并加以证明.

第3讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)如题干?(目标)求函数 f(x)的解析式?(方法)利用 最大值求 f(x)的解析式; (2)(条件)如题干?(目标)判断 f(x)在区间(0,π)上的零点个数,并给出 相关证明?(方法)利用函数零点的存在性定理判断零点个数并证明.

第3讲│ 要点热点探究
解:(1)由已知 f′(x)=a(sinx+xcosx), ? π? 对于任意 x∈?0, 2 ?,有 sinx+xcosx>0. ? ? ? π? 3 当 a=0 时,f(x)=- ,不合题意;当 a<0,x∈?0, 2 ?时,f′(x)<0, 2 ? ? ? ? π? π? 从而 f(x)在?0, 2 ?内单调递减,又 f(x)在?0, 2 ?上的图象是连续不断的,故 ? ? ? ? ? ? π? π? 3 ?0, ?上的最大值为 f(0)=- , ?0, ?时, f(x)在 不合题意; a>0, 当 x∈ f′(x) 2? 2? 2 ? ? ? ? π? π? ?0, ?内单调递增, f(x)在?0, ?上的图象是连续不断的, >0, 从而 f(x)在 又 2? 2? ? ? ? ?π? π? π 3 π-3 ?0, ?上的最大值为 f? ?,即 a- = 故 f(x)在 ,解得 a=1. 2? 2 2 2 ? ?2 ? 3 综上所述,得 f(x)=xsinx- . 2

第3讲│ 要点热点探究

(2)f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.证明如下: ?π? π-3 3 3 由(1)知,f(x)=xsinx- ,从而有 f(0)=- <0.f?2 ?= >0, 2 2 2 ? ? ? π? ?0, ?上的图象是连续不断的. 又 f(x)在 2? ? ? π? 所以 f(x)在?0, 2 ?内至少存在一个零点. ? ? ? ? π? π? ?0, ?上单调递增,故 f(x)在?0, ?内有且仅有一个零点. 又由(1)知 f(x)在 2? 2? ? ? ?π ? ? ,π?时,令 g(x)=f′(x)=sinx+xcosx. 当 x∈ 2 ? ?

第3讲│ 要点热点探究
?π? g?2 ?=1>0,g(π)=-π<0,且 ? ? ?π ? g(x)在?2,π?上的图象是连续不断的,故存在 ? ?



m∈

?π ? ? ,π?,使得 ?2 ?

g(m)=0.
? ? ? ?

?π ? ?π ? 由 g′(x)=2cosx-xsinx,知 x∈?2,π?时,有 g′(x)<0,从而 g(x)在?2,π?内单调递 ?π ? ?π ? ? ,m?时,g(x)>g(m)=0,即 f′(x)>0,从而 f(x)在? ,m?内单调递增, 当 x∈ 2 ? ? ?2 ? ?π ? ?π? π-3 ?π ? ? ,m?时,f(x)≥f? ?= ? ,m?上无零点; 故当 x∈ 2 >0,故 f(x)在 2 2 ? ? ?2 ? ? ?

减.

当 x∈(m,π)时,有 g(x)<g(m)=0,即 f′(x)<0,从而 f(x)在(m,π)内单调递减. 又 f(m)>0,f(π)<0,且 f(x)在[m,π]上的图象是连续不断的,从而 f(x)在(m,π)内有 且仅有一个零点. 综上所述,f(x)在(0,π)内有且只有两个零点.

第3讲│ 要点热点探究

[点评] ①本题第(1)问中函数解析式的求解,由于参数 a∈R,因此在求函数最大值时 要对 a 进行分类讨论;②第(2)问涉及函数零点个数的判断与证明,用到函数零点的存在 性定理, 即如果函数 f(x)在区间[a, b]上的图象是连续不断的曲线, 并且函数 f(x)在区间[a, b]是一个单调函数,那么当 f(a)· f(b)<0 时,函数 f(x)在区间(a,b)内有唯一的零点,即存 在唯一的 c∈(a,b),使 f(c)=0.

第3讲│ 要点热点探究

变式题 已知二次函数 f(x)的最小值为-4, 且关于 x 的不 等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; f?x? (2)求函数 g(x)= x -4lnx 的零点个数.

第3讲│ 要点热点探究

解:(1)因为 f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈ R}, 所以 f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且 a>0. 又因为 a>0,f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,且 f(1)=-4a, 所以 f(x)min=-4a=-4,求得 a=1. 故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3. x2-2x-3 3 (2)因为 g(x)= -4lnx=x-x-4lnx-2(x>0), x 3 4 ?x-1??x-3? 所以 g′(x)=1+ 2-x= . x x2

第3讲│ 要点热点探究

x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下: x (0,1) 1 (1,3) g′(x) + 0 - g(x)

3 0

(3,+∞) +

单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加

3 当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0,又 g(e5)=e5- 5-20-2>25-1-22=9>0, e 故函数 g(x)只有 1 个零点,且零点 x0∈(3,e5).

第3讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 解决函数应用问题的思路和方法:①认真审题,将实 际问题转化为数学问题;②在合理选取参变量之后,寻找变量之 间的关系,建立适当的函数模型;③利用数学知识解决数学模型; ④最终解决实际问题. ?技巧 对于函数零点的问题常见两种类型, 一是求函数零点的个 数,若是选填题,且等号两端为不同函数类型的方程多以数形结 合法求解;二是已知零点的存在情况求参数或参数取值范围,解 决这类问题的关键是用函数与方程思想或数形结合思想,构建关 于参数的方程或不等式求解. ?易错 用二分法求函数零点的近似值时应注意它必需满足以下 两点: ①y=f(x)在闭区间[a, b]上的图象连续不间断; ②f(a)· f(b)<0, 二分法不适合不变号零点的情况.

第3讲│ 命题立意追溯

命题立意追溯
应用意识——合理转化实际问题为抽象数学问题 示例某驾驶员喝了 m 升酒后,血液中的酒精含量 f(x)(毫克/ 毫 升 ) 随 时 间 x( 小 时 ) 变 化 的 规 律 近 似 满 足 表 达 式 f(x) =
- ?5x 2,0≤x≤1, ? ?3 ?1?x 《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》 ? ? ,x>1, ?5· ? ? ?3 规定:驾驶员血液中酒精含量不得超过 0.02 毫克/毫升.此驾驶员 至少要过________小时后才能开车(不足 1 小时部分算 1 小时,结 果精确到 1 小时).

第3讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为数学应用意识, 通过建立数学模 型去解决实际应用问题(或利用给出的函数数学模型去进一步 求解实际情景问题的应用).

第3讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)理解题设条件给出的分段函数模型 ? (推 论)利用分段函数求解满足条件的 x 的取值范围 ? (结论)由 x 的取 值范围得出驾驶员至少要过多少小时才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯

[答案] 4
[解析] ∵0≤x≤1,∴-2≤x-2≤-1,∴5-2≤5x-2≤5-1,而 ?1? 3 ?1?x 1 1 -2 ? ? ≤ ,得? ?x≤ ,∴x≥4.故至少要 5 >0.02,又由 x>1,得 · 5 ?3? 50 30 ?3? 过 4 小时后才能开车.

第3讲│ 命题立意追溯
[跟踪练] 某旅游公司计划对某一景点改造升级,以提高旅游增加 值. 经过市场调查, 旅游增加值 y 万元与投入 x 万元之间满足: 51 x x 1 2 y= x-ax -ln , ∈[t,+∞),其中 t 为大于 的常 50 10 2x-12 2 数.当 x=10 时,y=9.2. (1)求 y=f(x)的解析式和投入 x 的取值范围; (2)求旅游增加值 y 取得最大值时对应的 x 值.

第3讲│ 命题立意追溯
1 解:(1)由 x=10,y=9.2,求得 a= , 100 51 x2 x 则 f(x)= x- -ln . 50 100 10 x 1 12t 又由 ≥t 且 t> ,求得 6<x≤ . 2 2x-12 2t-1 ?x-1??x-50? (2)由 f′(x)=- ,可求得,f(x)在(6,50)上是增 50x 函数,f(x)在(50,+∞)上是减函数,由此得 x=50 为极大值点. ?1 25? 12t 当 ≥50,即 t∈?2,44?时,投入 50 万元改造时取得最大 2t-1 ? ? ?25 ? 12t 12t ? ,+∞?时,投入 增加值;当 6< <50,即 t∈ 44 万元改造 2t-1 2t-1 ? ? 时取得最大增加值.

第3讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:函数的零点是新课标新增内容,近年来成为高考 命题的一个热点,该类问题常与函数的图象、性质及其他知识交 汇命题. 1 把函数零点和创新定义“关联函数”、 例 “关联区间” 相结合,求解问题的实质就是研究函数在区间上存在两个零点; 例 2 将函数零点的考查与解析几何综合,考查学生利用数形结合 思想解题的能力.

第3讲│ 教师备用例题

例 1 设 f(x)与 g(x)是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若 函数 y=f(x)-g(x)在 x∈[a,b]上有两个不同的零点,则称 f(x)和 ? ? g(x)在[a,b]上时“关联函数”,区间??a,b??称为“关联区间”.若 f(x)=x2-3x+4 与 g(x)=2x+m 在[0,3]上是“关联函数”,则 m 的取值范围为( ) ? 9 ? ? ? A.?-4,-2? B.??-1,0?? ? ? ? 9 ? ? ? C.??-∞,-2?? D.?-4,+∞? ? ?

第3讲│ 命题立意追溯

[答案] A
f(x)=x2-3x+4 为开口向上的抛物线, g(x)=2x+m 是斜率 k =2 的直线,可先求出 g(x)=2x+m 与 f(x)=x2-3x+4 相切时的 ?5 11? 9 ? , ?,此时 m=- ,因 m 值.由 f′(x)=2x-3=2 求得切点为 2 4 4 ? ? 此 f(x)=x2-3x+4 的图象与 g(x)=2x+m 的图象有两个交点只需 将 g(x)=2x+m 向上平移即可. 再考虑区间[0,3]可得点(3,4)为 f(x) =x2 -3x+4 的图象上最右边的点,此时 m=-2,所以 m∈ ? 9 ? ?- ,-2?.故选 A. ? 4 ?

第3讲│ 教师备用例题

例 2 在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 y= 3x+2m 和 圆 x2+y2=n2 相切,其中 m,n∈N*,0<|m-n|≤1.若函数 f(x) =mx+1-n 的零点 x0∈(k,k+1),k∈Z,则 k=________.

第3讲│ 教师备用例题
[答案]0
|2m| [解析] 依题意,直线和圆相切,可得 =2m-1=n,又 3+1 m,n∈N*,0<|m-n|≤1,则 0<|m-2m-1|≤1,由此可得 m= 3,n=4,所以 f(x)=3x+1-4.因为 f(x)在 R 上单调递增,又 f(0)=3-4=-1<0, f(1)=32-4=5>0, 所以 f(x)在(0,1)上有 零点,即 k=0.故填 0.

第4讲

不等式与简单的线 性规划

第4讲 │ 云览高考

[云览高考] 考点统计 题型(频率) 考例(难度) 考点 1 不等 2008 宁夏、 海 式的性质及 选择(1) 南卷 7(B) 其应用 考点 2 不等 2010 课程标 选择(1) 式的解法 准卷 9(B) 考点 3 基本 不等式的性 选择(0) 质及其应用

第4讲 │ 云览高考

2008 宁夏、 海 南卷 10(B), 2009 宁夏、 海 南卷 6(A), 考点 4 简单 选择(4) 2010 课程标 的线性规划 填空(1) 准卷 11(B), 问题 2011 课程标 准卷 14(A), 2012 课程标 准卷 5(A) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第4讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议

命题角度:分析 2008~2009 宁夏、海南卷及 2010~2012 课程标准 卷,本讲主要以选择题或填空题的形式考查不等式和简单线性规划的基 本知识,其中对不等式性质的考查往往与其他知识相结合,如指数函数、 对数函数和数列等;对一元二次不等式的考查主要是一元二次不等式约 束条件的解法以及分式不等式的解法;对基本不等式的考查,主要是大 小判断、求最值、求取值范围等;对二元一次不等式(组)与简单线性规 划的考查,主要是目标函数的最优解、最值及含参数问题.预测 2013 年 高考在该部分的考查,不等式的性质结合函数的运算及性质考查的趋势 较强;解不等式将更多的是作为研究函数和方程的重要工具体现;基本 不等式与函数、数列、二元一次不等式知识相结合,利用恒等变形构造 基本不等式成立的条件设置命题;简单的线性规划问题仍将以对参数(或 代数式)的几何意义理解及应用为主,与向量运算、概率相结合的趋势也 在加强,应予以充分重视.

第4讲 │ 二轮复习建议

复习建议:1.不等式:不等式的性质、不等式的解法、基本不 等式构成不等式知识的主要内容, 理解相关知识的地位和作用有利 于在解题时的宏观掌控, 其中不等式的性质是处理不等式问题的主 要依据,解不等式体现了等价转换思想,基本不等式是求解一类特 殊函数最值的一种工具, 构造结构形式和等号成立的条件是问题求 解的关键. 2.简单的线性规划:线性规划实质上是数形结合思想的一种 具体体现,即将最值问题直观、简便地寻找出来.解决线性规划问 题首先要找到约束条件,再注意目标函数所表示的几何意义,通过 数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点), 但要注意作图一定要准确,整点问题要验证整点是否满足题设条 件.

第4讲 │ 主干知识整合

主干知识整合

第4讲 │ 主干知识整合

1.不等式的基本性质 (1)a>b,b>c?a>c(传递性); (2)a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc(伸缩性); (3)a>b?a+c>b+c(可加性); (4)a>b, c>d?a+c>b+d(叠加性); (5)a>b>0, c>d>0?ac>bd(叠积性);

n n (6)a>b>0,n∈N*,n>1?an>bn; a> b(可幂性,开放性). 2.基本不等式 a+b 基本不等式 ab≤ (a>0, b>0). 常见的其他不等式有: a+b≥2 ab 2 ?a+b? a+b a2+b2 2ab ?2 (a,b>0);ab≤? (a,b>0). ? 2 ? (a,b∈R);a+b≤ ab≤ 2 ≤ 2 ? ?

第4讲 │ 主干知识整合
3.几种不等式的解法 解一元二次不等式可利用一元二次方程、 一元二次不等式 和二次函数间的关系. 简单分式不等式进行变形, 变形为一元 二次不等式的形式解决. 简单指数不等式与对数不等式可利用 单调性变形为一元二次不等式解决. 4.二元一次不等式(组)和简单的线性规划 (1)二元一次不等式 Ax+By+C>0 的解集是平面直角坐标 系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区 域. 二元一次不等式组的解集是指各个不等式解集所表示的平 面区域的公共部分. (2)线性规划问题的主要概念:约束条件、目标函数、可 行解、可行域、最优解. (3)线性规划问题一般利用图象法求解.

第4讲│ 要点热点探究
要点热点探究

? 探究点一 不等式的性质及其应用 例 1 设 a>b>1,c<0,给出下列三个结论: c c ①a>b;②ac<bc;③logb(a-c)>loga(b-c). 其中所有的正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)理解每一个选项中不等式成立的条件 ? (推理)对照选项中的不等式形式,将题设条件中的不等式利用 相关性质进行等价变形 ? (结论)通过推理得出正确的结论选 项.

第4讲│ 要点热点探究

[答案] D
[解析] 本题考查不等式性质、指数式和对数式的大小比 较, 意在考查考生对不等式性质、 幂函数和对数函数的性质的 运用能力;解题思路:转化为幂函数比较大小,利用换底公式 比较对数式的大小.由不等式的基本性质可知①对;幂函数 y =xc(c<0)在(0,+∞)上单调递减,又 a>b>1,所以②对;由 对数函数的单调性可得 logb(a-c)>logb(b-c),又由对数的换 底公式可知 logb(b-c) >loga(b-c),所以 logb(a-c)>loga(b -c),故选项 D 正确.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 对于不等式性质的判断题, 必须严格遵循不等式的基 本性质进行推理,这里常见的错误有两种:①不等式两边同乘以 (或除以)一个式子时不注意讨论它的符号(或是否为零); ②在涉及 函数的不等式进行判断时,没有考虑到函数有意义的条件.

第4讲│ 要点热点探究

1 1 变式题 若a<b<0,则下列不等式:①a+b<ab;②|a|>|b|; b a ③a<b;④a+b>2 中,正确的不等式有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

第4讲│ 要点热点探究

[答案]B

1 1 [解析] 由a<b<0 得 b<a<0,ab>0,于是可知①④正确,② ③错误,故选 B.

第4讲│ 要点热点探究

?

探究点二

例2

不等式的解法 x2-9 [2012· 江西卷] 不等式 >0 的解集是________. x-2

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)分式不等式向整式不等式化归 ? (推理) 将不等式组的解集在数轴上表示出来 ? (结论)解集的公共部 分即是不等式组的解集.

第4讲│ 要点热点探究

[答案]

{x|-3<x<2 或 x>3}

[解析] 原不等式可化为(x+3)(x-3)(x-2)>0,利用穿 针引线法可得{x|-3<x<2 或 x>3}.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 解分式不等式的两种常用方法:①性质讨论法: 先依据分式的分子、 分母同号或异号进行分类讨论, 再将不等 式的解集画在数轴上寻找公共部分. ②化归法: 如果分式不等 式的分子、 分母能够因式分解, 则可将分式不等式转化成整式 不等式(x-x1)(x-x2)?(x-xn)>0(或<0)的形式,再利用穿针引 线法求解.

第4讲│ 要点热点探究

变式题 设 A= {x|x2 -2x- 3>0}, B= {x|x2 + ax+ b≤0},若 A∪B=R,A∩B=(3,4],则 a+b 等于( ) A.7 B.-1 C.1 D.-7

第4讲│ 要点热点探究

[答案]

D

[解析] 依题意,A=(-∞,-1)∪(3,+∞),又因为 A ∪B=R,A∩B=(3,4],则 B=[-1,4].所以 a=-(-1+4) =-3,b=-1×4=-4,于是 a+b=-7.故选 D.

第4讲│ 要点热点探究

? 探究点三 基本不等式的性质及其应用 例 3 [2012· 陕西卷] 小王从甲地到乙地往返的时速分别为 a 和 b(a<b),其全程的平均时速为 v,则( ) A.a<v< ab B.v= ab a+b a+b C. ab<v< D.v= 2 2

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)列出小王全程的平均速度 v, 再比较大小 ? (推理)对照比较大小的式子结构合理利用基本不等式进行放 缩 ? (结论)平均速度 v 的大小范围即是结论.

第4讲│ 要点热点探究
[答案] A

[解析] 由小王从甲地往返到乙地的时速为 a 和 b, 则全 2s 2ab 2a2 2ab 2ab 程的平均时速为 v=? = , 又∵a<b, ∴ < < s s ? a+b 2a a+b 2 ab ? + ? ?a b? = ab,∴a<v< ab,A 成立.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 用基本不等式解题时的两种基本形式:①比较大 小:基本不等式给出了两个正数 a,b 的算术平均值与几何平 均值的大小关系, 是综合法证明不等式的基本元素, 它有一个 a+b a2+b2 2ab 重要的不等式链: ≤ ab≤ ≤ ; ②求最值(或 2 2 a+b a+b 取值范围): 用基本不等式 ≥ ab求最值时, 要注意“一正、 2 二定、三相等”,特别是一定要明确什么时候等号成立.

第4讲│ 要点热点探究

2 变式题 已知关于 x 的不等式 2x+ ≥7 在 x∈(a, x-a +∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为( ) 3 5 A.1 B. C.2 D. 2 2

第4讲│ 要点热点探究

[答案] B
2 2 [ 解 析 ] 由 2x + = 2(x - a) + + x-a x-a 2 3 2a≥2 2?x-a?· +2a=4+2a≥7,得 a≥ ,即实数 a 的 2 x-a 3 最小值为 .故选 B. 2

第4讲│ 要点热点探究

? 探究点四 简单的线性规划问题 例 4 [2012· 津 卷 ] 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 天 ?2x+y-2≥0, ? ?x-2y+4≥0, ?x-1≤0, ? 则目标函数 z=3x-2y 的最小值为( )

A.-5 B.-4 C.-2 D.3

第4讲│ 要点热点探究

[思考流程] (分析)通过可行域的三个交点处判断 ? (推理) 平移直线寻找截距取得最大值时的点 ? (结论)将截距取得最 大值时的点代入目标函数即得最小值.

第4讲│ 要点热点探究
[答案] B

[解析] 概括题意画出可行域如图.

当目标函数线过可行域内点 A(0,2)时, 目标函数有最小值 z=0×3-2×2=-4.

第4讲│ 要点热点探究

[点评] 求解线性规划的目标函数最值问题的选填题,一般 可不需要画出其可行域图像,只需先将三个交点求出,再将其 坐标代入比较大小即可快速得出最值.

第4讲│ 要点热点探究

变 式 题 设 O 为 坐 标 原 点 , A(1,1) , 点 B(x , y) 满 足 ?x2+y2≥1, ? ?0≤x≤1, ?0≤y≤1, ? → OB → 则OA· 取得最小值时,点 B 有( )

A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.无数个

第4讲│ 要点热点探究
[答案] B

→ OB → [解析] 依题意画出可行域如图阴影部分,OA· =x+y, 知 x+y 取最小值点为(1,0),(0,1),故选 B.

第4讲│ 规律技巧提炼
规律技巧提炼
?规律 线性规划问题有三种基本题型:一是求目 标函数式的最值;二是求所给平面区域的面积;三是由 最优解确定目标函数式中字母系数的取值范围.解题时 需要注意画可行域的准确性和合理利用区间端点解题. ?技巧 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、 拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件 要求中字母为正数)“定”(不等式的另一边必须为定 值)“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出 现错误.这里“定”条件往往是整个求解过程中的一个 难点和关键,另外还要注意解题时应根据已知条件适当 进行添(拆)项,创造应用基本不等式的条件.

第4讲│ 规律技巧提炼

?易错 解答不等式性质的命题, 必须严格遵循不等式的 基本性质进行恒等变换.要否定一个命题,只要举出一 个反例即可, 即用一组满足条件的特殊值进行验证即可; 而要肯定一个命题,则需要进行严密的逻辑论证.

第4讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

创新意识——利用基本不等式解决最大(小)值中的含参问题 x 示例若对任意 x>0,不等式 2 ≤a 恒成立,则实数 a x +3x+1 的取值范围是________.

第4讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为求解问题的创新意识能力, 含参数不等式的恒成立问题,通过转化为函数的最值问题 得到解决.本题给出的条件是含参数的分式不等式 x ≤a,所求目标是求参数 a 的取值范围,连接条 x2+3x+1 件和目标的关系是“不等式恒成立”,求解的方法是利用 基本不等式求出最值并结合不等式恒成立的性质.

第4讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (分析)首先求出不等式对应的分式函数最大 值 ? (推理)通过变形转化成利用基本不等式求最值题型 ? (结论)利用不等式恒成立的性质即得参数 a 的取值范围.

第4讲│ 命题立意追溯
[答案]
?1 ? ? ,+∞? ?5 ?

x [解析] 若对任意 x>0,不等式 2 ≤a 恒成立,只 x +3x+1 x 需求得 y= 2 的最大值即可.因为 x>0,所以 y= x +3x+1 x 1 1 1 1 = ≤ = ,当且仅当 x=x,即 x 2 1 5 x +3x+1 1 x+x+3 2 x·+3 x 1 =1 时等号成立.于是得 a≥ ,即实数 a 的取值范围是 5 ?1 ? ? ,+∞?. ?5 ?

第4讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 2 1 1.已知 x>0,y>0,且x+ y =1,若 x+2y>m2+2m 恒成立, 则实数 m 的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4)∪[2,+∞) C.(-2,4) D.(-4,2)

第4讲│ 命题立意追溯
[答案] D
2 1 [解析] 因为 x>0,y>0,且x+y =1,所以 x ?2 1? 4y x 4y x ? + ?=4+ + ≥4+2 +2y=(x+2y) x y x y x ·=8,当 y ? ? ?4y x ?x=4, ? x =y, ? 且仅当? 即? 时等号成立, 由此可得 ?y=2 ? ?2+1=1 ?x y (x+2y)min=8.依题意,要使 x+2y>m2+2m 恒成立, 只需(x+2y)min>m2+2m 恒成立,即 8>m2+2m,解得 -4<m<2.故选 D.

第4讲│ 命题立意追溯

2 1 m 2.已知 a>0,b>0,若不等式a+b≥ 总能成立,则 m 的 2a+b 最大值是________.

第4讲│ 命题立意追溯

?2a+b? 2a+b 2a [解析] 由题意,m≤2 a + b =5+ b 2b 2a 2b 2a 2b + a 总能成立, a>0, 又 b>0,5+ b + a ≥5+2 b· a 2a 2b =9,当且仅当 b = a ,即 a=b 时等号成立.故 m 的 最大值是 9.

[答案] 9

第4讲│ 教师备用例题

教师备用例题
选题理由:新课标高考由于新增知识点增加,在选填题的命 制上更多的采用小综合的形式,这是命题的一个特点.下面的例 1 通过定义“缘分函数”,将函数与不等式的解法联系起来,例 2 将线性规划与基本不等式结合,都具有较好的综合性,适度训练 有利于学生解题能力的提升.

第4讲│ 教师备用例题

例 1 对于区间[a,b]上有意义的两个函数 f(x)与 g(x),如果 对任意 x∈[a,b],均有|f(x)-g(x)|≤1,则称 f(x)与 g(x)在区间[a, b]上是缘分函数,[a,b]称为缘分区间.若 f(x)=x2+3x+2 与 g(x) =2x+3 在区间[a,b]上是缘分函数,则缘分区间[a,b]是( ) A.[-2,-1]∪[1,2] B.[-2,-1]∪[0,1] C.[-2,0]∪[1,2] D.[-1,0]∪[1,2]

第4讲│ 教师备用例题

[答案] B
[解析] 依题意, f(x)-g(x)=x2+x-1, 得-1≤x2 +x-1≤1.由 x2+x-1≥-1,解得 x≤-1 或 x≥0; 由 x2+x-1≤1,解得-2≤x≤1.于是,缘分区间[a, b]是[-2,-1]∪[0,1].故选 B.

第4讲│ 教师备用例题

例 2

?x≥0, ? 设不等式组?y≥0, ?y≤-kx+4k ?

在平面直角坐标系

kS 中所表示的区域的面积为 S,则当 k>1 时, 的最小值 k-1 为________.

第4讲│ 教师备用例题
[答案] 32
1 kS [解析] 依题意, S= ×4×4k=8k, 得 所以 = 2 k-1
? ? 1 ? 8k2 ? ? =8 ?k-1+?k-1?+2? ≥8 ?2 ? k-1 ? ? ? ? 1 · ?k-1?+2? = ? k-1 ?

1 32,当且仅当 =k-1,即 k=2 时等号成立.故 k-1 填 32.

第5讲 导数在研究函数中 的应用

第5讲 │ 云览高考
[云览高考] 考点统计 考点 1 导数 的概念与几 何意义 考点 2 利用 导数研究函 数的单调性 与极值 题型(频率) 选择(2) 填空(2) 考例(难度) 2008 宁夏、 海南卷 4(A), 2009 宁夏、 海南卷 13(A), 2010 课程标准卷 4(A), 2012 课程标 准卷 13(A) 2008 宁夏、海南卷 21(C),2011 课 程标准卷 21(C)

解答(2)

第5讲 │ 云览高考

考点 3 利用导数 2009 宁夏、海南卷 求函数的极值、恒 解答(1) 21(C) 成立问题 考点 4 函数性质 2010 课程标准卷 与导数综合中的参 解答(2) 21(C),2012 课程标 数问题 准卷 21(C) 说明:A 表示简单题,B 表示中等题,C 表示难题.

第5讲 │ 二轮复习建议
二轮复习建议

命题角度:分析 2008~2009 宁夏、海南卷及 2010~2012 课程 标准卷,本讲主要考查导数在研究函数中的应用,分为两个部分: ①导数的概念与运算,题型基本上以选择题、填空题为主,命题形 式有两种:一种是考查导数的几何意义、切线方程;另一种是以导 数的概念及其运算为基础,用导数来考查函数有关问题.②导数的 应用,题型基本上以解答题为主,命题形式有两种:一种是由导数 研究函数的单调性和极值;另一种是导数的综合应用,即导数与函 数、数列、不等式的综合应用.

第5讲 │ 二轮复习建议

预测 2013 年高考在该部分仍然会从上述命题角度出发设计 试题,其中导数的概念与运算部分仍将以导数的几何意义及导 数的运算为主;导数的应用部分仍将以考查函数的单调性、极 值及应用题为主,导数已由解决问题的辅助工具上升为解决问 题的必不可少的工具,特别是利用导数解决函数的单调性与最 值的命题趋势较强,多数情况下作为高考压轴题出现,在复习 中应予以高度关注.

第5讲 │ 二轮复习建议

复习建议: 1.导数的概念与运算: 导数的概念与运算构成导 数的基本内容,必须理解导数的几何意义,熟练进行导数的基 本运算.确定或应用曲线的切线斜率或切线方程是近年来高考 命题的热点,对这类问题应该熟练掌握其解题方法和技巧. 2.导数的应用:利用导数研究函数的单调性问题是导数应 用的一个热点,常与函数的其他性质结合,关注函数中含有一 个参数的问题,注意分类讨论思想的渗透;利用导数研究函数 的极值和最值问题是函数的重点内容,它对理解和掌握函数的 变化规律、函数图像的特征起着非常重要的作用,复习中关注 含参数不等式恒成立的命题,这类问题要求学生具有较强的数 学素养,并对基本的数学思想方法要求有较深刻的理解和认识.

第5讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

第5讲 │ 主干知识整合

1.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x=x0 处的导数值就是曲线 y=f(x)在点 (x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程是 y-f(x0)=f′(x0)(x -x0). 2.导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件, 如函数 f(x) =x3 在(-∞,+∞)上单调递增,但 f′(x)≥0; (2)f′(x)≥0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件,如当函 数在某个区间内恒有 f′(x)=0,则 f(x)为常数,函数不具有单 调性.

第5讲 │ 主干知识整合

3.函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是 对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题; (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有一个,而 函数的极值可能不止一个,也可能没有; (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定 有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的最值.

第5讲│ 要点热点探究
要点热点探究
? 探究点一 导数的概念与几何意义 例 1 (1)[2012· 广东卷] 曲线 y=x3-x+3 在点(1,3)处的切 线方程为________. (2)[2012· 课程标准卷] 曲线 y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切 线方程为________________.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)欲求切线方程需求切线斜率 ? (推理) 求函数 y=x3-x+3 在点 x=1 处的导数 ? (结论)点斜式写出切 线方程. (2)(分析)判断所给出的点(1,1)是否在已知曲线上 ? (推理) 对已知函数求导,由此得出切线的斜率 ? (结论)根据点斜式写 出切线的方程.

第5讲│ 要点热点探究

[答案] (1)2x-y+1=0

(2)y=4x-3

[解析] (1)y′=3x2-1,当 x=1 时,y′=2,所以所求切 线方程的斜率 k=2,故切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y +1=0. 3 (2)点(1,1)在曲线 y=x(3lnx+1)上,y′=3lnx+1+x·= x 3lnx+4,故 y′|x=1=4.故所求切线方程为 y-1=4(x-1),即 4x-y-3=0.

第5讲│ 要点热点探究

[点评] 利用导数的几何意义求过某点处的切线方程,要注 意先判断此点是否在曲线上.若点在曲线上,则该点是切点, 将横坐标代入函数的导数式可得切线的斜率;若点不在曲线 上,则应设出相应的切点后再求解.

第5讲│ 要点热点探究

变式题 曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线与坐标轴所围成 的三角形面积为________.

第5讲│ 要点热点探究

1 2 [答案] e 2

[解析] 点(2,e2)在曲线 y=ex 上,对 y=ex 求导,得 y′= ex,所以 k=y′|x=2=e2.于是曲线 y=ex 在点(2,e2)处的切线方 程为 y-e2=e2(x-2),即 y=x·2-e2.令 x=0,得 y=-e2,令 e 1 1 2 2 y=0,得 x=1,于是 S= ×1×|-e |= e . 2 2

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点二 利用导数研究函数的单调性与极值 例 2 (1)设 a∈R,若函数 y=ex+ax,x∈R 有大于零的 极值点,则实数 a 的取值范围是________. (2)函数 f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有极大值又有 极小值,则 a 的取值范围是________.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(分析)将已知函数式求导得到函数零点 ? (推理)通过函数有大于零的极值点得到关于 a 的不等式 ? (结 论)解关于 a 的不等式得出 a 的取值范围; (2)(分析)函数 f(x)既有极大值又有极小值,即 f′(x)=0 有两个不相等实根 ? (推理)先对 f(x)求导,再由 f′(x)=0 有 两个不相等实根进行推理 ? (结论)由 f′(x)=0 的判别式 Δ>0 可得 a 的取值范围.

第5讲│ 要点热点探究
[答案] (1)(-∞,-1) (2)(-∞,-1)∪(2,+∞)

利用导数研究函数的单调性与极值 [解析] (1)对 y 求导得 y′=ex+a,由 ex+a=0,即 ex =-a.因为 x>0,所以 ex>1,于是-a>1,所以 a<-1,即实 数 a 的取值范围是(-∞,-1). (2)对 f(x)求导, f′(x)=3x2+6ax+3(a+2). 得 依题意 f(x) 既有极大值又有极小值, f′(x)=0 有两个不相等的实数根, 则 所以 Δ=36a2-36(a+2)>0, a2-a-2>0, 即 解得 a<-1 或 a>2.

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] ①利用导数研究函数在区间上的单调性,就 是判断函数的导数在此区间上的符号, 即对 x∈D 时 f′(x)>0, 则 f(x)在 D 上单调递增,对 x∈D 时 f′(x)<0,则 f(x)在 D 上 单调递减. 若问题是求含参数的问题, 则就是依次构造关于参 数的不等式求解.②若一元三次函数在区间上存在两个极值 点, 则这两个点就是它的导函数对应的一元二次方程的两个实 数根.

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点三 利用导数求函数的最值、恒成立问题 例 3 [2012· 江西卷] 已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1] 上单调递减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小 值.

第5讲│ 要点热点探究

[思考流程] (1)(条件)已知二次函数与指数型函数结合的解 析式 ? (目标)求参数 a 的取值范围 ? (方法)对函数求导并结 合函数的单调性讨论参数 a 的取值范围; (2)(条件)已知由 f(x)和它的导数差组成的函数 ? (目标)求 g(x)在区间[0,1]上的最大、最小值 ? (方法)对 g(x)求导后对应 区间讨论,注意参数 a 的分类讨论影响函数的最值.

第5讲│ 要点热点探究
利用导数求函数的最值问题 解:(1)由 f(0)=1,f(1)=0 得 c=1,a+b=-1, 则 f(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex, f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex.(2 分) 依题意对任意 x∈(0,1),有 f′(x)<0. 当 a>0 时, 因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图像开口 向上, f′(0)=-a<0, 而 所以有 f′(1)=(a-1)e<0, 0<a<1; 即 当 a=1 时,对任意 x∈(0,1)有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x) 符合条件; 当 a=0 时,对于任意 x∈(0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符 合条件; 当 a<0 时,因 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1.(5 分)

第5讲│ 要点热点探究
(2)因 g(x)=(-2ax+1+a)ex, g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 上取得最小值 g(0)=1,在 x=1 上取得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈(0,1)有 g′(x)=-2xex<0, g(x)在 x=0 取得最大值 g(0)=2, 在 x=1 取得最小值 g(1)=0.(9 分) 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= >0. 2a 1-a 1 ①若 ≥1,即 0<a≤ 时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x) 2a 3 在 x=0 取得最小值 g(0)=1+a, 在 x=1 取得最大值 g(1)=(1-a)e.

第5讲│ 要点热点探究

?1-a? 1-a 1-a 1 ? ②若 <1,即 <a<1 时,g(x)在 x= 取得最大值 g? ? 2a ?= 2a 3 2a ? ? 1-a 2ae ,在 x=0 或 x=1 取得最小值,而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, 2a e-1 1 则当 <a≤ 时,g(x)在 x=0 取得最小值 g(0)=1+a; 3 e+1 e-1 当 <a<1 时,g(x)在 x=1 取得最小值 g(1)=(1-a)e.(12 分) e+1

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 求函数 y=f(x)在[a,b]上最值的步骤:①求 函数 y=f(x)在(a, b)内的极值; ②将函数 y=f(x)的各极值与端 点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最 小的一个是最小值.

第5讲│ 要点热点探究

已知 f(x)=xex+ax2-x,a∈R. 1 (1)当 a=- 时,求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)若对 x≥0 时, 恒有 f(x)≥0 成立, 求实数 a 的取值范围. 变式题

第5讲│ 要点热点探究

解:(1)f′(x)=(x+1)ex+2ax-1, 1 当 a=- 时, 2 f′(x)=(x+1)ex-(x+1)=(x+1)(ex-1). 当 x>0 或 x<-1 时,f′(x)>0; 当-1<x<0 时,f′(x)<0, 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递 减区间为(-1,0).

第5讲│ 要点热点探究
(2)依题意知当 x≥0 时,f(x)=x(ex+ax-1)≥0 恒成立, 设 g(x)=ex+ax-1,则有 g(x)≥0 恒成立, g′(x)=ex+a. 又 x≥0,所以 ex≥1, ①当 a≥-1 时,g′(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上单调递增, 所以 g(x)≥g(0)=0 恒成立; ②当 a<-1 时,令 g′(x)=0,则 x=ln(-a), 当 x∈[0,ln(-a))时,g′(x)=ex+a<0,g(x)在[0,ln(-a))上单调 递减,所以 g(x)≤g(0)=0,与 g(x)≥0 恒成立矛盾. 综上可得 a 的取值范围为{a|a≥-1}.

第5讲│ 要点热点探究

? 探究点四 函数性质与导数综合中的参数问题 lnx+k 例 4 [2012· 山东卷] 已知函数 f(x)= x (k 为常数,e e =2.71828?是自然对数的底数),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处 的切线与 x 轴平行. (1)求 k 的值; (2)求 f(x)的单调区间; (3)设 g(x)=xf′(x),其中 f′(x)为 f(x)的导函数,证明: - 对任意 x>0,g(x)<1+e 2.

第5讲│ 要点热点探究

lnx+k [思考流程] (1)(条件)已知函数 f(x)= x 和曲线在某点 e 处的切线与 x 轴平行 ? (目标)求参数 k 的值 ? (方法)对函数 f(x)求导后利用切线的斜率关系; (2)(条件)已知函数 f(x)解析式 ?(目标)求 f(x)的单调区间 ? (方法)对 f(x)求导后利用零点讨 论区间对应的符号; (3)(条件)已知函数 g(x)=xf′(x) ? (目标) 证明不等式 g(x)<1+e-2 ? (方法)根据目标不等式的结构特征 构造函数证明不等式成立.

第5讲│ 要点热点探究
函数性质与导数综合中的参数问题 lnx+k 解:(1)由 f(x)= x , e 1-kx-xlnx 得 f′(x)= ,x∈(0,+∞), xex 由于曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线与 x 轴平行, 所以 f′(1)=0,因此 k=1.(3 分) 1 (2)由(1)得 f′(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), xe 令 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 当 x∈(0,1)时,h(x)>0;当 x∈(1,+∞)时,h(x)<0. 又 ex>0, 所以 x∈(0,1)时,f′(x)>0;x∈(1,+∞)时,f′(x)<0. 因此 f(x)的单调递增区间为(0,1), 单调递减区间为(1, +∞). 分) (7

第5讲│ 要点热点探究
(3)证明:因为 g(x)=xf′(x), 1 所以 g(x)= x(1-x-xlnx),x∈(0,+∞), e 由(2)知 h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞), 求导得 h′(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞), 所以当 x∈(0,e-2)时,h′(x)>0,函数 h(x)单调递增; 当 x∈(e-2,+∞)时,h′(x)<0,函数 h(x)单调递减.(10 分) 所以当 x∈(0,+∞)时,h(x)≤h(e-2)=1+e-2. 1 又当 x∈(0,+∞)时,0< x<1, e 1 所以当 x∈(0,+∞)时, xh(x)<1+e-2, e - 即 g(x)<1+e 2. 综上所述结论成立.(12 分)

第5讲│ 要点热点探究

[规范评析] 利用导数证明不等式是一类综合性较强的问 题,考查综合运用数学知识进行推理论证的能力以及化归与 转化思想.对于函数、导数题中的不等式证明,要将不等式 知识与函数知识对照,以便有效利用函数的性质,尤其是函 数的单调性、最值等,这是利用函数证明不等式问题的常用 方法和技巧.

第5讲│ 要点热点探究

1 3 变式题 已知函数 f(x)= x +ax2+bx,且 f′(-1)=0. 3 (1)试用含 a 的代数式表示 b; (2)求 f(x)的单调区间; (3)令 a=-1,设函数 f(x)在 x1,x2(x1<x2)处取得极值,记 点 M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2)),证明:线段 MN 与曲线 f(x)存 在异于 M、N 的公共点.

第5讲│ 要点热点探究
解:(1)依题意得 f′(x)=x2+2ax+b, 由 f′(-1)=1-2a+b=0 得 b=2a-1. 1 3 (2)由(1)得 f(x)= x +ax2+(2a-1)x, 3 f′(x)=x2+2ax+2a-1=(x+1)(x+2a-1). 令 f′(x)=0,则 x=-1 或 x=1-2a. ①当 a>1 时,1-2a<-1, 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表: (-∞, (1-2a,-1) (-1,+∞) 1-2a) f′(x) + - + f(x) 单调递增 单调递减 单调递增 由此得,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1, +∞),单调减区间为(1-2a,-1). x

第5讲│ 要点热点探究

②当 a=1 时,1-2a=-1,此时 f′(x)≥0 恒成立,且仅在 x=-1 处 f′(x)=0,故函数 f(x)的单调增区间为 R. ③当 a<1 时,1-2a>-1,同理可得函数 f(x)的单调增区间为(-∞, -1)和(1-2a,+∞),单调减区间为(-1,1-2a). 综上:当 a>1 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,1-2a)和(-1, +∞),单调减区间为(1-2a,-1); 当 a=1 时,函数 f(x)的单调增区间为 R; 当 a<1 时,函数 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(1-2a,+∞), 单调减区间为(-1,1-2a).

第5讲│ 要点热点探究
1 (3)证明:当 a=-1 时,得 f(x)= x3-x2-3x,由 f′(x)=x2-2x 3 -3=0,得 x1=-1,x2=3. 由(2)得 f(x)的单调增区间为(-∞,-1)和(3,+∞),单调减区间 为(-1,3),所以函数 f(x)在 x1=-1,x2=3 处取得极值. ? 5? 故 M?-1,3?,N(3,-9). ? ? 8 ∴过 M,N 的直线方程为 y=- (x-3)-9. 3 8 ? y=- ?x-3?-9, ? 3 联立? 得三个交点为 1 3 ?y= x -x2-3x, ? 3 ? 5? ? 11? ?-1, ?,?1,- ?,(3,-9), 3? ? 3? ? 故线段 MN 与曲线 f(x)存在异于 M,N 的公共点.

第5讲│ 规律技巧提炼

规律技巧提炼
?规律 求解不等式恒成立的方法: (1)分离参数:将题目中的参数和自变量 x 分离开来,分 别放在不等式的左右两边,即 a≥f(x)(x∈A); (2)求函数最值:记 t=f(x)(x∈A),求函数 t=f(x)在 x∈A 上的最值; (3)极端原理:a≥f(x)恒成立等价于 a≥f(x)max;a≤f(x) 等价于 a≤f(x)min.

第5讲│ 规律技巧提炼
注:上述方法中如果函数 f(x)不存在最值,可将上面的 最大值替换为函数值域的右端点,最小值替换为函数值 域的左端点. ?技巧 讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集 的情况,大多数情况下是归结为一个含有参数的一元二 次不等式的解集的讨论,在能够通过因式分解求出不等 式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论,在不能 通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判 别式进行分类讨论. ?易错 在(a,b)上 f′(x)>0 是 y=f(x)在(a,b)递增的充 分条件;f′(x)=0 不是 y=f(x)在 x=x0 处取得极值的充 分条件.

第5讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯

应用意识——利用导数研究生活中的优化问题 示例 如图 1-5-1(1),OA,OB 是某地一个湖泊的两条垂直的 湖堤,线段 CD 和曲线 EF 分别是湖泊中的一条栈桥和防洪堤.为观 光旅游需要,拟过栈桥 CD 上某点 M 分别修建与 OA,OB 平行的栈 桥 MG,MK,且以 MG,MK 为边建一个跨越水面的三角形观光平台 MGK.建立如图 1-5-1(2)所示的直角坐标系,测得 CD 的方程是 x+ 2y=20(0≤x≤20),曲线 EF 的方程是 xy=200(x>0),设点 M 的坐标 为(s,t).(题中所涉及长度单位均为 m,栈桥及防洪堤都不计宽度)

第5讲│ 命题立意追溯
命题立意追溯
(1)用 s,t 表示三角形观光平台 MGK 面积的表达式 S△MGK; (2)求 S△MGK 的最小值.

图 1-5-1

第5讲│ 命题立意追溯

[命题阐释] 本题命制点为利用导数作为解题工具研究 生活中的优化问题,体现数学的应用意识.本题的问题背 景是在湖面上建立一个符合条件的跨越水面的三角形观光 平台,解决问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把 “问题情境”转化为数学语言,抽象为数学问题.

第5讲│ 命题立意追溯

[思考流程] (条件)图(1)所示的实际问题情境 ? (目标)建 立三角形观光台 MGK 面积的表达式 S△MGK,求 S△MGK 的最 小值 ? (方法)三角形面积公式表示面积关系, 导数作工具求 面积函数的最小值.

第5讲│ 命题立意追溯
解:(1)由题意,得
? ?200 ? 200? K?s, s ?,G? t ,t?(s>0,t>0). ? ? ? ?

又因为 M(s,t)在线段 CD:x+2y=20(0≤x≤20)上, 所以 s+2t=20(0≤s≤20). 1 于是 S△MGK= |MG|· |MK| 2 1200 200 = t -s s -t 2 1 40 000 = st+ st -400. 2 由 20=s+2t≥2 2st(当且仅当 s=10,t=5 时“=”成 立),得 0<st≤50. ? 40 000 1? 故 S△MGK= ?st+ st -400?(st∈(0,50]). 2? ?

第5讲│ 命题立意追溯

(2)令 st=u,由(1)得 ? 40 000 1? f(u)=S△MGK= ?u+ u -400?,u∈(0,50]. 2? ? 1? 40 000? 又 f′(u)= ?1- u2 ?<0, 2? ? 所以 f(u)在(0,50]上单调递减, 所以 f(u)min=f(50)=225,此时 s=10,t=5. 故 S△MGK 的最小值为 225 m2.

第5讲│ 命题立意追溯

[跟踪练] 根据环保部门测定,化工厂的烟囱向其周围地区 散落烟尘造成环境污染.已知 A,B 两座烟囱相距 20 km,其中 B 烟囱喷出的烟尘量是 A 烟囱的 8 倍,经环境检测表明:落在地面 上某处的烟尘浓度与该处到烟囱距离的平方成反比,而与烟囱喷 出的烟尘量成正比,比例系数为 k(k>0).若 C 是 AB 连线上的点, 设 AC=x km,C 点的烟尘浓度记为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数表达式; (2)是否存在这样的点 C,使该点的烟尘浓度最低?若存在, 求出 AC 的距离;若不存在,说明理由.

第5讲│ 命题立意追溯

解:(1)不妨设 A 烟囱喷出的烟尘量为 1,则 B 烟囱喷 出的烟尘量为 8,由 AC=x,可得 BC=20-x(0<x<20).依 k 8k 题意, C 处的烟尘浓度 y 的函数表达式为: 2+ 点 y= x ?20-x?2 (k>0,0<x<20). 2k 16k (2) 对 (1) 中 的 函 数 求 导 , 得 y′ = - 3 + = x ?20-x?3 2k?3x-20??3x2+400? . x3?20-x?3

第5讲│ 命题立意追溯

? 20? 20 令 y′=0,得 x= ,又 0<x<20,即当 x∈?0, 3 ?时, 3 ? ? ?20 ? y′<0;当 x∈? 3 ,20?时,y′>0. ? ? 20 所以当 x= 时,y 取最小值. 3 20 故存在点 C, AC= 当 km 时, 该点的烟尘浓度最低. 3

第5讲│ 教师备用例题

教师备用例题

选题理由:导数已成为高考命题的一个重要载体,通过导数 可以实现函数与不等式、方程、解析几何等多个知识点的交汇, 例 1 就是导数在解析几何中的应用;例 2 就是通过导数研究方程 根的个数.在利用导数解决函数、方程、不等式等方面的综合问 题时,要注意函数与方程、分类讨论、等价转化、数形结合等思 想方法的运用.

第5讲│ 教师备用例题

例 1 已知曲线 C:y=2x2,点 A(0,-2)及点 B(3,a),从点 A 观察点 B, 要实现不被曲线 C 挡住, 则实数 a 的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.(-∞,4) C.(10,+∞) D.(-∞,10)

第5讲│ 要点热点探究

[答案] D
在曲线 C:y=2x2 上取一点 D(x0,2x2)(x0>0).对 0 2x2+2 0 y=2x2 求导,得 y′=4x,所以 y′|x=x0=4x0,令 x0 2-?-2? =4x0,得 x0=1,此时 D(1,2),kAD= =4,直线 AD 1-0 的方程为 y=4x-2.要实现不被曲线 C 挡住,则实数 a<4×3 -2=10,实数 a 的取值范围是(-∞,10).故选 D. [解析]

第5讲│ 教师备用例题

1 3 m+1 2 例 2 已知函数 f(x)= x - x (x∈R). 3 2 (1)若 f(x)在 x=1 处取得极值, 求函数 f(x)的单调区间; 1 (2)若关于 x 的方程 f(x)= -mx(m≤1)有三个不同的 3 根,求实数 m 的取值范围.

第5讲│ 教师备用例题
解:(1)∵f(x)在 x=1 处取得极值,对 f(x)求导, 得 f′(x)=x2-(m+1)x,∴f′(1)=12-(m+1)×1=0,求 1 3 1 2 得 m=0,故 f(x)= x - x ,f′(x)=x2-x. 3 2 由 f′(x)=x2-x=0 解得 x=0 或 x=1. 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0;当 x∈(0,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0. 于是函数 f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(1,+∞),单 调递减区间是(0,1). 1 1 3 m+1 2 1 (2)设 g(x)=f(x)+mx- = x - x +mx- , 3 3 2 3 对 g(x)求导,得 g′(x)=x2-(m+1)x+m=(x-m)(x-1). 令 g′(x)=0,得 x=m 或 x=1,又∵m≤1.

第5讲│ 教师备用例题

①当 m=1 时,g′(x)=(x-1)2≥0,g(x)在 R 上单调递增, 不合题意. ②当 m<1 时,g(x)、g′(x)随 x 的变化情况如下表: x (-∞,m) m (m,1) 1 (1,+∞) g′(x) + 0 - 0 + 极小值 极大值 g(x) ↗ ↗ m 3 m2 1 ↘ m-1 - + - 6 2 3 2

第5讲│ 教师备用例题
1 欲使方程 f(x)= -mx 有三个不同的根,即函数 g(x)= 3 1 f(x)+mx- 与 x 轴有三个不同的交点,则只需 3 3 2 ? m m 1 ?- 6 + 2 -3>0, ??m-1??m2-2m-2?<0, ? ? ?? ?m<1, ? ?m-1<0 ? 2 解得 m<1- 3. 综上所述,实数 m 的取值范围为(-∞,1- 3).


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专题1:集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数(理)

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