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空间直角坐标系(必修2)


空间直角坐标系
南充二中 高二( 高二(四)

问题1 问题1: 数轴上的点M的坐标用一个实数x表示, 它是一维坐标 一维坐标; 一维坐标 平面上的点M的坐标用有序实数对(x,y) 表示,它是二维坐标 二维坐标. 二维坐标 y
(x,y) O x x O 空间内点位置能用两个数来描述吗? 空间内点位置能用两个数来描述吗? 该如何描述呢? 该如何描述呢? x

中国国家大剧院

中国国家大剧院

怎样确切的表示室内灯泡的位置? 怎样确切的表示室内灯泡的位置?

下图是一个房间的示意图, 下图是一个房间的示意图,下面来 探讨表示电灯位置的方法. 探讨表示电灯位置的方法.
z
4 3

墙 墙 地面
4

1

(4,5,3)
5

O 1

y

x

从空间某一个定点0 从空间某一个定点0 引三条互相垂直且有单 位长度的数轴,这样就 位长度的数轴, 建立了空间直角坐标系 0-xyz. .

z

o

y

x 叫做坐标原点, 轴 点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做 轴 轴叫做 坐标轴, 坐标轴,这三条坐标轴中每两条确定一个坐标 平面,分别称为xOy平面、 yOz平面、和 zOx 平面、 平面、 平面,分别称为 平面 平面 平面. 平面.

在空间直角坐标系中, 在空间直角坐标系中,让 右手拇指指向x轴的正方向, 右手拇指指向x轴的正方向, 食指指向y轴的正方向,若中 食指指向y轴的正方向, 指指向z轴的正方向, 指指向z轴的正方向,则称这 个坐标系为右手直角坐标系 右手直角坐标系. 个坐标系为右手直角坐标系.

说明: 说明: ☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系. 都是右手直角坐标系.
x o

z

y

空间直角坐标系的画法: 空间直角坐标系的画法:
z 1.X轴与y 1.X轴与y轴、x轴与z轴均成1350, 轴与z轴均成135 轴垂直于y 而z轴垂直于y轴.
1350 o 2.y轴和z轴的单位长度相同, 2.y轴和z轴的单位长度相同,

x轴上的单位长度为y轴(或z 轴上的单位长度为y 的单位长度的一半. 轴)的单位长度的一半.

1350

y

x


yOz

z
zOx

面 Ⅱ

面 Ⅰ Ⅵ Ⅴ


xOy



o

y

Ⅶ Ⅷ

x

坐标面把空间分成 八个部分 每一个部分叫卦限 每一个部分叫卦限

合作探究: 合作探究:
有了空间直角坐标系, 有了空间直角坐标系,那空间中的 任意一点M怎样来表示它的坐标呢 怎样来表示它的坐标呢? 任意一点 怎样来表示它的坐标呢?
z
c M

a

O
M’

b

y

经过M 经过M点作三个平面 分别垂直 垂直于 轴和z 分别垂直于x轴、y轴和z轴, 它们与x 轴和z 它们与x轴、y轴和z轴分别 交于三点, 交于三点,三点在相应的 坐标轴上的坐标a,b,c a,b,c组成 坐标轴上的坐标a,b,c组成 的有序数组(a,b,c)叫做 叫做点 的有序数组(a,b,c)叫做点 的坐标. M的坐标.

x

记为: ( 记为:M(a,b,c)

空间直角坐标系
反过来,给定有序实数组( , , ) 反过来,给定有序实数组(x,y,z),我们可以 轴和z 轴上依次取坐标为x, 和 的点 的点P、 在x 轴、y 轴和 轴上依次取坐标为 ,y和z的点 、Q 各作一个平面, 和R,分别过 、Q和R各作一个平面,分别垂直于 轴、 ,分别过P、 和 各作一个平面 分别垂直于x y 轴和 轴,这三个平面的唯一交点就是有序实数组 轴和z (x,y,z)确定的点 . , , )确定的点M. z
R M

P

O
M’

Q

y

x

空间直角坐标系
这样空间一点M的位置可以用有序实数组( , , 这样空间一点 的位置可以用有序实数组(x,y, 的位置可以用有序实数组 z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点 在此空 )来表示,有序实数组( , , )叫做点M 在此空 间直角坐标系中的坐标,记作M( , , ).其中x ).其中 间直角坐标系中的坐标,记作 (x,y,z).其中 叫做点M的横坐标, 叫做点 叫做点M的纵坐标, 叫做点 叫做点M的 叫做点 的横坐标,y叫做点 的纵坐标,z叫做点 的 竖坐标. 竖坐标. z
R M

P

O
M’

Q

y

x

例题选讲: 例题选讲:

例1:在空间直角坐标系中,作出点(5,4, :在空间直角坐标系中,作出点( 4 6). z 分析: 分析:
从原点出发沿x轴 O 从原点出发沿 轴 正方向移动5个单位 正方向移动5

P1

46 P(5,4,6) 6

沿与y轴平行的方向 沿与 轴平行的方向 5o P1 P P1 向右移动4 向右移动4个单位
2


y
P2

沿与z轴平行的方向 P 沿与 轴平行的方向 P x 向上移动6 向上移动6个单位
2

例题选讲: 例题选讲:

例2

如图,长方体 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, 的边长为 , AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点 为坐标原点,射 , 以这个长方体的顶点A为坐标原点, 以这个长方体的顶点 为坐标原点 分别为, 轴 轴和z轴的正半轴 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和 轴的正半轴, , , 分别为 轴和 轴的正半轴, 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

z A(0,0,0) ( , , )
A' B' A B C C' D'

A’(0,0,5) ( , , )

( , , ) B(12,0,0) B’(12,0,5) ( , , ) ( , , ) C(12,8,0) C’(12,8,5) ( , , )
D

D(0,8,0) ( , , ) y

D’(0,8,5) ( , , )

x

例题选讲: 例题选讲:

例2

如图,长方体 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, 的边长为 , AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点 为坐标原点,射 , 以这个长方体的顶点A为坐标原点, 以这个长方体的顶点 为坐标原点 分别为, 轴 轴和z轴的正半轴 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和 轴的正半轴, , , 分别为 轴和 轴的正半轴, 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面xOy的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0) ( , , )

A’(0,0,5) ( , , )

( , , ) B(12,0,0) B’(12,0,5) ( , , )
D

y

( , , ) C(12,8,0) C’(12,8,5) ( , , ) D(0,8,0) ( , , ) D’(0,8,5) ( , , )

x

例题选讲: 例题选讲:

例2

如图,长方体 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, 的边长为 , AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点 为坐标原点,射 , 以这个长方体的顶点A为坐标原点, 以这个长方体的顶点 为坐标原点 分别为, 轴 轴和z轴的正半轴 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和 轴的正半轴, , , 分别为 轴和 轴的正半轴, 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面yOz的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0) ( , , )

A’(0,0,5) ( , , )

( , , ) B(12,0,0) B’(12,0,5) ( , , )
D

y

( , , ) C(12,8,0) C’(12,8,5) ( , , ) D(0,8,0) ( , , ) D’(0,8,5) ( , , )

x

例题选讲: 例题选讲:

例2

如图,长方体 如图,长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12, 的边长为 , AD=8,AA′=5.以这个长方体的顶点 为坐标原点,射 , 以这个长方体的顶点A为坐标原点, 以这个长方体的顶点 为坐标原点 分别为, 轴 轴和z轴的正半轴 线AB,AD,AA′分别为,x轴、y轴和 轴的正半轴, , , 分别为 轴和 轴的正半轴, 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。 建立空间直角 坐标系,求长方体各个顶点的坐标。

在平面xOz的点有哪些?
z

这些点的坐标有什么共性?
A' B' A B C C' D'

A(0,0,0) ( , , )

A’(0,0,5) ( , , )

( , , ) B(12,0,0) B’(12,0,5) ( , , )
D

y

( , , ) C(12,8,0) C’(12,8,5) ( , , ) D(0,8,0) ( , , ) D’(0,8,5) ( , , )

x

总结: 总结:
在空间直角坐标系中, 轴上的点 轴上的点、 轴上的点 轴上的点、 轴 在空间直角坐标系中,x轴上的点、 y轴上的点、z轴 上的点, 坐标平面内的点、 坐标平面内的点、 上的点,xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、 坐标平面内的点 坐标平面内的点 yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点? 坐标平面内的点的坐标各具有什么特点? 坐标平面内的点的坐标各具有什么特点

x轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点: y轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点 z轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点: 轴上的点的坐标的特点 xOy坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点 xOz坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点 yOz坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点: 坐标平面内的点的特点

P(x P(x,0,0) P(0 P(0,y,0) P(0 P(0,0,z) P(x P(x,y,0) P(x P(x,0,z) P(0 P(0,y,z)

再想一想?各个卦限中的点的符号是怎样的呢 再想一想 各个卦限中的点的符号是怎样的呢? 各个卦限中的点的符号是怎样的呢



z

zox 面


yoz 面


xoy 面
Ⅶ Ⅷ
Ⅰ(+,+,+) Ⅴ(+,+,-) Ⅱ(-,+,+) Ⅵ(-,+,-) Ⅲ(-,-,+) Ⅶ(-,-,-)

o

y
Ⅵ Ⅴ



x

Ⅳ(+,-,+) 总结 在上方卦限 坐标为正 总结(1)在上方卦限 坐标为正; 在上方卦限Z坐标为正 Ⅷ(+,-,-)
(2)在下方卦限 坐标为负 在下方卦限Z坐标为负 在下方卦限 坐标为负.

例题选讲: 例题选讲:

结晶体的基本单位称为晶胞, 例3 结晶体的基本单位称为晶胞,下图是食盐晶 胞的示意图(可看成是八个棱长为0.5 0.5的小正方体 胞的示意图(可看成是八个棱长为0.5的小正方体 堆积成的正方体),其中色点代表钠原子, ),其中色点代表钠原子 堆积成的正方体),其中色点代表钠原子,白点 代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz Oxyz, 代表氯原子.如图建立直角坐标系Oxyz,试写出全 部钠原子所在位置的坐标. z 部钠原子所在位置的坐标.

O y
把图中的钠原子分成上、 下三层来写它们所在位置的坐标. 解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标.

x

典型例题
1 的小正方体堆积成的正方体), ),其 图(可看成是八个棱长为 的小正方体堆积成的正方体),其 2

结晶体的基本单位称为晶胞, 例2 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意

中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 中色点代表钠原子,黑点代表氯原子. 如图建立空间直角坐标 系O-xyz后,试写出全部钠原子所在位置的坐标. 后 试写出全部钠原子所在位置的坐标.

z

O

y

x
解:把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在 把图中的钠原子分成上、 把图中的钠原子分成上 位置的坐标. 位置的坐标.

z
下层的原子全部在平面上, 下层的原子全部在平面上,它们所 在位置的竖坐标全是0, 在位置的竖坐标全是 ,所以这五个钠 原子所在位置的坐标分别是(0, , , 原子所在位置的坐标分别是 ,0,0), (1,0,0),(1,1,0),(0,1,0), , , )( , , )( , , ) 1 1 ( , ,0). ) 2 2

O

中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 中层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为, 所以, 所以,这四个钠原子所在位置的坐标分别是

x

1 1 1 1 1 1 1 1 ( ,0, ),( , , ),( ,1, ),( , , ); , ),(1, , ),(0, 2 2 2 2 2 2 2 2

上层的原子所在的平面平行于平面, 上层的原子所在的平面平行于平面,与轴交点的竖坐标为 1,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是 ,所以,这五个钠原子所在位置的坐标分别是: ),(1, , ),( ),(1, , ),( ),(0, , ), (0,0,1),( ,0,1),( ,1,1),( ,1,1), , , ),(

1 ( 2

1 , ,1). ). 2

课堂练习: 课堂练习:
1.在空间直角坐标系中,画出下列各点: 在空间直角坐标系中,画出下列各点: 在空间直角坐标系中 A(0,0,3), B(1,2,3), C(2,0,4), D(-1,2,-2)

2.已知长方体 已知长方体ABCD-A’B’C’D’的边长为 已知长方体 的边长为 AB=6, AD=4, AA’=7以这个长方体的顶 以这个长方体的顶 为坐标原点,射线BA,BC,BB’分别 点B为坐标原点,射线 分别 轴和z轴的正半轴 为X轴、 y轴和 轴的正半轴,建立空间 轴 轴和 轴的正半轴, 直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标. 直角坐标系,求长方体各个顶点的坐标.

课堂小结: 课堂小结:
1.空间直角坐标系的概念入画法. 空间直角坐标系的概念入画法. 2.运用空间直角坐标系表示空 . 间点的坐标. 间点的坐标. 3.根据点的坐标在空间直角坐标系 . 中确定点的位置。 中确定点的位置。

课堂作业
书本138页 习题 页 习题4.3 (A)组 书本 组 第1,2 题


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