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2015-2016学年高中数学 第1章 1.3第3课时 导数的实际应用课时作业 新人教B版选修2-2


2015-2016 学年高中数学 第 1 章 1.3 第 3 课时 导数的实际应用课时 作业 新人教 B 版选修 2-2

一、选择题 1.某汽车运输公司,购买了一批豪华大客车投入客运,据市场分析,每辆客车营运的 总利润 y(万元)与营运年数 x(x∈N+)满足 y=-x +12x-25, 则每辆客车营运多少年可使其 营运年平均利润最大( A.3 C.5 [答案] C [解析] 年平均利润 ) B.4 D.6
2

y 25 f(x)= =-x- +12(x∈N+), x x
25 又 f′(x)=-1+ 2 ,

x

令 f′(x)=0,解得 x=5. 又极值唯一,故选 C. 2.以长为 10 的线段 AB 为直径画半圆,则它的内接矩形面积的最大值为( A.10 C.25 [答案] C [解析] 如图,设∠NOB=θ ,则矩形面积 S=5sinθ ?2?5cosθ =50sinθ cosθ = B.15 D.50 )

25sin2θ ,故 Smax=25.故选 C.

3.设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V,那么其表面积最小时,底面边长为( 3 A. V 3 C. 4V [答案] C [解析] 设底面边长为 x,侧棱长为 l, 3 B. 2V 3 D.2 V

)

1

1 2 4V 则 V= x ?sin60°?l,∴l= . 2 2 3x ∴S 表=2S 底+3S 侧=x sin60°+3xl= 4 3V 令 S′表= 3x- 2 =0,
2

3 2 4 3V x+ . 2 x

x

3 3 则 x =4V,即 x= 4V. 3 又当 x∈(0, 4V)时,S′表<0;

x∈( 4V,V)时,S′表>0.
3 ∴当 x= 4V时,表面积最小.故选 C. 4. 用边长为 48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时, 在铁皮的四个角各截去一个面积 相等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,所做的铁盒容积最大时,在四个角截去 的正方形的边长为( A.6cm C.10cm [答案] B [解析] 设截去的正方形的边长为 xcm,则做成的长方体无盖铁盒的底面边长为(48- 2x)cm,高为 xcm,体积 V(x)=(48-2x) ?x=4x -192x +48 x. 其中 0<x<24,V′(x)=12x -384x+48 =12(x -32x+192) 令 V′(x)=0,则 x -32x+192=0,∴x1=8,x2=24(舍去). 在(0,24)中 V(x)只有一个极值点,所以当正方形边长为 8cm 时,铁盒容积最大.故选 B. 5.福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第 x 小时时, 1 3 2 原油温度(单位:℃)为 f(x)= x -x +8(0≤x≤5),那么,原油温度的瞬时变化率的最小 3 值是( A.8 C.-1 [答案] C [解析] ∵f′(x)=x -2x(0≤x≤5), ∴原油温度的瞬时变化率为:x -2x,其最小值为-1. 6.内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )
2
2 2 2 2 2 2 2 3 2 2

3

) B.8cm D.12cm

) 20 B. 3 D.-8

A.

2 3 R 3 3 3 R 2

B.

3 R 3 3 R 2

C.

D.

[答案] A [解析] 作轴截面如图,设圆柱高为 2h,

则底面半径为 R -h ,圆柱体体积为 V=π ?(R -h )?2h=2π R h-2π h . 令 V′=0 得 2π R -6π h =0,∴h=
2 2

2

2

2

2

2

3

3 R. 3

2 3 即当 2h= R 时,圆柱体的体积最大.故选 A. 3 7.有一长为 16 米的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形场地的最大面积为( A.32m C.16m
2

)

B.14m D.18m

2

2

2

[答案] C [解析] 设矩形的长为 x 米,则宽为 8-x,矩形面积为 S=x(8-x)(x>0), 令 S′=8-2x=0,得 x=4,此时 S 最大=4 =16.故选 C. 8.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y 1 3 =- x +81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( 3 A.13 万件 C.9 万件 [答案] C [解析] 本题考查了导数的应用及求导运算,∵x>0,y′=-x +81=(9-x)(9+x), 令 y′=0,x=9,x∈(0,9),y′>0,x∈(9,+∞),y′<0,y 先增后减,∴x=9 时函数 取最大值,选 C,属导数法求最值问题. 二、填空题 9.面积为 S 的一切矩形中,其周长最小的是________. [答案] 以 S为边长的正方形 [解析] 设矩形的长为 x,则宽为 ,
2 2

)

B.11 万件 D.7 万件

S x

3

2S 2S 其周长 l=2x+ (0<x<S),l′=2- 2 ,

x

x

令 l′=0 得 x= S, 当 0<x< S时,l′<0,当 S<x<S 时,l′>0, ∴当 x= S时,l 取极小值,这个极小值就是最小值.故面积为 S 的一切矩形中,其周 长最小的是以 S为边长的正方形. 10.把长 60cm 的铁丝围成矩形,当长为________cm,宽为________cm 时,矩形面积最 大. [答案] 15 15 60-2x [解析] 设矩形的长为 xcm,则宽为 =(30-x)cm(0<x<30), 2 矩形的面积 S=x?(30-x)=30x-x ,
2

S′=30-2x=2(15-x),令 S′=0 得 x=15,
当 0<x<15 时 S′>0,当 15<x<30 时 S′<0, ∴当 x=15 时,S 取极大值,这个极大值就是最大值,故当矩形长为 15cm,宽为 15cm 时面积最大. 11.某商品一件的成本为 30 元,在某段时间内,若以每件 x 元出售,可卖出(200-x) 件,当每件商品的定价为________元时,利润最大. [答案] 115 [解析] 利润为 S(x)=(x-30)(200-x)=-x +230x-6000,(30≤x≤200)
2

S′(x)=-2x+230,由 S′(x)=0 得 x=115,这时利润达到最大.
三、解答题 12.永泰某景区为提高经济效益,现对某一景点进行改造升级,从而扩大内需,提高旅 游增加值,经过市场调查,旅游增加值 y 万元与投入 x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax
2

101 x + x-bln ,a,b 为常数.当 x=10 万元时,y=19.2 万元;当 x=30 万元时,y=50.5 50 10 万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6). (1)求 f(x)的解析式; (2)求该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入). [解析] (1)由条件可得 101 ? ?a?10 + 50 ?10-bln1=19.2, ? 101 ?a?30 + 50 ?30-bln3=50.5, ?
2 2

4

解得 a=-

1 ,b=1, 100
2

x 101 x 则 f(x)=- + x-ln (x≥10). 100 50 10
51 x (2)T(x)=f(x)-x=- + x-ln (x≥10), 100 50 10 -x 51 1 ?x-1??x-50? 则 T′(x)= + - =- , 50 50 x 50x 令 T′(x)=0,则 x=1(舍)或 x=50, 当 x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此 T(x)在(10,50)上是增函数; 当 x∈(50,+∞)时,T′(x)<0,因此 T(x)在(50,+∞)上是减函数, ∴当 x=50 时,T(x)取最大值. 50 51 50 T(50)=- + ?50-ln =24.4(万元). 100 50 10 即该景点改造升级后旅游利润 T(x)的最大值为 24.4 万元.
2

x2

一、选择题 1.某公司生产某种产品,固定成本为 20000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x- x2?0≤x≤400? 2 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? ? ?80000?x>400? 每年生产的产品是( A.100 C.250 [答案] D [解析] 由题意,总成本为 C=20000+100x,所以总利润为 P=R-C= 1 ? ?300x- x2-20000 ?0≤x≤400? 2 ? ? ?60000-100x ?x>400? ) B.200 D.300

, 则总利润最大时,

.

P′=?

? ?300-x ?-100 ?

?0≤x≤400? ?x>400?

.

令 P′=0,当 0≤x≤400 时,得 x=300;当 x>400 时,P′<0 恒成立,易知当 x=300 时,总利润最大.故选 D. 2.若一球的半径为 r,作内接于球的圆柱,则其侧面积最大为( A.2π r
2

)

B.π r

2

5

C.4π r

2

1 2 D. π r 2

[答案] A [解析] 如图所示, 设内接圆柱的底面半径为 R, 母线长为 l, 则 R=rcosθ , l=2rsinθ .

∴S 侧=2π rcosθ ?2rsinθ =4π r sinθ cosθ , ∴S′=4π r(cos θ -sin θ )=0, π π 2r 2 ∴θ = ,即当 θ = ,R= 时,S 侧最大,且最大值为 2π r . 4 4 2 故选 A. 3. 用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制作容器的底面的相邻两边 长之比为 3?4,那么容器容积最大时,高为( A.0.5m C.0.8m [答案] A [解析] 设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm,则高为 6-12x-16x ?3 ? =? -7x?(m), 4 ?2 ? ) B.1m D.1.5m
2 2

2

3? 1 ?3 ? 2 3? 2 容积 V=3x?4x?? -7x?=18x -84x ?0<x< ?,V′=36x-252x ,由 V′=0 得 x= 或 x 14? 7 ?2 ? ? 1 ? 1? ?1 3 ? =0(舍去).x∈?0, ?时,V′>0,x∈? , ?时,V′<0,所以在 x= 处,V 有最大值,此 7 ? 7? ?7 14? 时高为 0.5m. 4.某工厂要围建一个面积为 512 m 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三 边需要砌新的墙壁,当砌墙所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为( A.32 16 C.40 20 [答案] A [解析] 要求材料最省,则要求新砌的墙壁总长最短,设场地宽为 x m,则长为 512 512 因此新墙总长为 L=2x+ (x>0),则 L′=2- 2 , 512 B.30 15 D.36 18 )
2

x

m,

x

x

512 令 L′=0 得 x=±16, 又 x>0, ∴x=16, 则当 x=16 时, Lmin=64, ∴长为 =32(m). 故 16
6

选 A. 二、填空题 5.货车欲以 xkm/h 的速度行驶去 130km 远的某地,按交通法规,限制 x 的允许范围是 [50,100],假设汽油的价格为 2 元/升,而汽车耗油的速率是?2+ ?升/小时,司机的工资 ? 360? 是 14 元/小时,则最经济的车速是________,这次行车的总费用最低是________. [答案] 18 10km/h 26 10元 [解析] 行车的总费用

?

x2 ?

y=


130?

x 130 2+ ? ?2+ ?14 ? ? 360 x ? x ?

2

2340 13 13 2340 + x,y′= - 2 x 18 18 x

令 y′=0,解得 x=18 10∈[50,100]. ∴当 x=18 10(km/h)时,总费用最低,且 ymin=26 10(元). 6.(2015?南安市期末)要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20cm,要使其体积最大,则 其高为________. [答案] 20 3 cm 3

[解析] 设圆锥的高为 hcm, 1 2 ∴V 圆锥= π (400-h )?h, 3 1 2 ∴V′(h)= π (400-3h ). 3 400 20 3 2 令 V′(h)=0,得 h = ,∴h= (cm) 3 3 20 3 当 0<h< 时,V′>0; 3 当 20 3 <h<20,V′<0, 3

20 3 ∴当 h= 时,V 取最大值. 3 7.在半径为 R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为________时它的面积最大.

7

[答案]

3R 2

[解析] 设∠OBC=θ , π 则 0<θ < . 2

OD=Rsinθ ,BD=Rcosθ ,
∴S△ABC=Rcosθ (R+Rsinθ )=R cosθ +R sinθ cosθ .
2 2

S′(θ )=-R2sinθ +R2(cos2θ -sin2θ )=0
π π ∴cos2θ =sinθ ,∴θ = ,即当 θ = 时,△ABC 的面积最大,此时高为 OA+OD= 6 6

R 3R R+ = .
2 2 三、解答题 8.(2015?甘肃省会宁一中高二期中)已知某厂生产 x 件产品的总成本为 f(x)=25000 1 2 +200x+ x (元). 40 (1)要使生产 x 件产品的平均成本最低,应生产多少件产品? (2)若产品以每件 500 元售出,要使利润最大,应生产多少件产品? [解析] (1)设生产 x 件产品的平均成本为 y 元,则 1 2 25000+200x+ x 40 25000 1 y= = +200+ x(x>0) x x 40

y′=-

25000 1 + x2 40

令 y′=0,得 x1=1000,x2=-1000(舍去) 当 x∈(0,1000)时,y 取得极小值. 由于函数只有一个极值点,所以函数在该点取得最小值, 因此要使平均成本最低,应生产 1000 件产品. (2)利润函数

L(x)=500x-(25000+200x+ )=300x-25000- x2
40

x2

1 40

L′(x)=300-

x

20

令 L′(x)=0,得 x=6000 当 x∈(0,6000)时,L′(x)>0 当 x∈(6000,+∞)时,L′(x)<0,∴x=6000 时,L(x)取得极大值,即函数在该点取 得最大值,
8

因此要使利润最大,应生产 6000 件产品. 9 .某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为 200m 的三级污水处理池 ( 平面图如图所 示).如果池四周围墙建造单价为 400 元/m ,中间两道隔墙建造单价为 248 元/m ,池底建造 单价为 80 元/m ,水池所有墙的厚度忽视不计. ?(1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价;
2 2 2 2

(2)若由于地形限制,该地的长和宽都不能超过 16m,试设计污水处理池的长和宽,使 总造价最低,并求出最低总造价. 200 [解析] 设污水处理池的长为 xm,则宽为 m,

x

再设总造价为 y 元,则有 (1)y = 2x?400 + 16000≥2 200

x

?2?400 + 248?2?

200

x

+ 80?200 = 800x +

259200

x



259200 800x? +16000=2?14400+16000=44800,

x

259200 当且仅当 800x= ,即 x=18(m)时,y 取得最小值.

x

100 ∴当污水处理池的长为 18m,宽为 m 时总造价最低,为 44800 元. 9 200 (2)∵0<x≤16,0< ≤16,

x

∴12.5≤x≤16,x≠18, ∴不能用基本不等式.但我们可用函数单调性定义或导数证明上述目标函数在区间 [12.5,16]上是减函数,从而利用单调性求得最小值. 324 由(1)知,y=φ (x)=800(x+ )+16000(12.5≤x≤16).

x

方法 1:利用定义证明单调性. 对任意 x1,x2∈[12.5,16],设 x1<x2, 1 1 800?x1-x2??x1x2-324? 则 φ (x1)-φ (x2)=800[(x1-x2)+324?( - )]= >0.

x1 x2

x1x2

∴φ (x1)>φ (x2), 故 y=φ (x)在[12.5,16]上为减函数. 从而有 φ (x)≥φ (16)=45000. 方法 2:利用导数判断单调性.

y′=φ ′(x)=800(1-

324 2 ),当 12.5≤x≤16 时,

x

9

x2-324 y′=800? <0, ∴φ (x)在[12.5,16]上为减函数. 从而 φ (x)≥φ (16)=45000. x2
∴当长为 16m、宽为 12.5m 时,总造价最低,最低造价为 45000 元.

10


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