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云南省2012年1月普通高中学业水平考试


【考试时间:2012 年 1 月 6 日上午 8:30 — 10:10,共 100 分钟】

云南省 2012 年 1 月普通高中学业水平考试

数 学 试 卷
【考生注意】 考试用时 100 分钟,必须在答题卡上指定位置按规定要求作答,答在试卷上一律无效。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P ( A ? B ) ? P ( A ) ? P ( B ) . 球的表面积公式: S ? 4 ? R ,其中 R 表示球的半径. 柱体的体积公式: V ? S h ,其中是柱体的底面积,h 是柱体的高.
2

锥体的体积公式: V ?

1 3

S h ,其中是锥体的底面积,h 是锥体的高.

选择题(共 54 分)
一、选择题:本大题共 18 个小题,每小题 3 分,共 54 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项符合题目要求,请在答题卡相应的位置上填涂。 1. 设集合 A ? ? 3, 5, 6, 8? , 集合 B A. {5,8} 2.
? ? 5, 7, 8? , 则 A I B 等 于

B. {3,6,8}

C. {5,7,8}

D. {3,5,6,7,8}

如图所示,一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为 2 的正方形,俯视图是一个圆, 那么这个几何体的体积为 A. 3 ? C. 5 ? B. 4 ? D. 6 ?
uuu uuu uuu r r r 中, A B ? A C + C D 等 于

正视图

侧视图

3.

在四边形 ABCD A. C.
uuu r AC

B. D.

uuu r BD

4.

uuu r AD r r r r r b 已知向量 a 、 , a ? 4, b ? 3 , a

uuu r DB

俯视图 与 b 的夹角等于 60? ,则 ( a
r
r r r r + 2 b) ( a - b ) ?

等于

A. C. 5.

- 4 -2
? 1 3

B. 4 D. 2
? ? ? co s ? x + ? 7 ? ?

已知函数 y 的点

的图象为 C, 为了得到函数 y

?

1 3

? ? ? co s ? x - ? 7 ? ?

的图象只需把 C 上所有

A. 向右平行移动

?
7

个单位长度

B. 向左平行移动

?
7

个单位长度

数学试卷 ? 第 1 页(共 4 页)

C. 向右平行移动 6.

2? 7

个单位长度

D. 向左平行移动

2? 7

个单位长度
开始 x=1 x=x+2 否

7.

已知一个算法,其流程图如右图所示,则输出结果是 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 过点 P( - 1,3) ,且平行于直线 2 x ? 4 y +1 ? 0 的直线方程为 A. 2 x + y -5 ? 0 B. 2 x + y ? 1 ? 0 C. x -2 y + 7 ? 0 D. x -2 y ? 5 ? 0

8. 一个长、宽分别为 3 和 1 的长方形内接于圆(如下图) , 质地均匀的粒子落入图中(不计边界) ,则落在长方形内的概率等于 A. C.
3

x? 9 ? 是 输出 x 结束

?
3 4?

B.

?
3

D. ?

(第 6 题) (第 8 题)

9.

计算: sin 2 2 5 ? 的值为 A.
2 2

B.

?

2 2

C.

?

3 2

D.

?

1 2

9.

圆心( ? 3, ? 2 ),且过点(1,1)的圆的标准方程为 A. ? x ? 3 ? C. ? x ? 3 ?
2

? ? y ? 2? ? 5
2

B. ? x ? 3 ?

2

? ? y ? 2 ? ? 25
2

2

? ? y ? 2? ? 5
2

D. ? x ? 3 ? ? ? y ? 2 ? ? 2 5
2 2

10. 在△ABC 中, ? A、 ? B、 ? C 所对的边长分别是 A.
15 30

3、 5、 7, cos ? C 则

的值为 D.
9 35 70

B.

?

15 30

C.

5 21 42

11.甲、乙等 5 名同学按任意次序排成一排,甲站中间且乙不站两边的概率是 A.
1 20

B.

1 10
x?2

C.

2 5

D.

4 5

12.已知直线的点斜式方程是 y ? 1 ? A.
1 4

,那么此直线的斜率为 C.
1 2

B.
?x
2

1 3

D. 1

13. 函数 f ? x ? ? 3 x A. ? 0 ,1 ?

的零点所在的区间是 B. (-1,0) C. (1,2) D. (-2,-1)

数学试卷 ? 第 2 页(共 4 页)

14. 已知实数 x 、

? x ? 0, ? y 满足 ? y ? 0, ? 3 x ? y ? 3, ?

则z

? x? y

的最小值等于

A. 0 15. 函数 A. C.
f (x) ? x ?1?

B. 1
x?3

C. 2

D. 3

的定义域是 B. ( ? ? , ? 1] D. [ ? 1, 3]
? ? 16, a 4 ? 2,

[ ? 1, ? ? )

[3, ? ? )

16. 已知等比数列 ? a n ? 中, a1

则前 4 项的和 S 4 等于 D. -10

A. 20 B. -20 C. 10 17. 当输入的 x 值为 3 时,右边的程序运行的结果等于_______。

18. 过点 M(2,-2)以及圆 x 方程是 A. B. C. D.
x ? y ?
2 2

2

? y ? 5x ? 0
2

与圆 x

2

? y ? 2
2

交点的圆的

INPUT x IF x ? 1 THEN
y ? 1? x

15 4

x?

1 2

? 0

ELSE PRINT PRINT y END

y ? x ?1

x ? y ?
2 2

15 4

x?

1 2

? 0

x ? y ?
2 2

15 4

x?

1 2

? 0

x ? y ?
2 2

15 4

x?

1 2

? 0

非选择题(共 46 分)
二、 填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分。请把答案写在答题卡相应的位置上。 19. 某单位有甲、乙、丙三个部门,分别有职员 27 人、63 人和 81 人,现按分层抽样的方法从 各部门中抽取组建一个代表队参加上级部门组织的某项活动;其中乙部门抽取 7 人,则该 单位共抽取__________人。 20. 甲 、 乙 两 位 射 击 选 手 射 击 10 次 所 得 成 绩 , 经 计 算 得 各 自 成 绩 的 标 准 差 分 别 为
s甲 ? 1.29 和 s乙 =1.92 , 则_________成绩稳定。

21. 若函数 f ? x ? ?

(2 m ? 1) x

3

是幂函数,则 m
2

?

_________。
1 4 m

22. 关于 x 的二次函数

f ( x ) ? m x ? 2 ? m ? 1? x ?

的图像与 x 没有公共点,则 m 的取值范围是

__________(用区间表示) 。
数学试卷 ? 第 3 页(共 4 页)

三、 解答题:本大题共 4 小题,23、24 各 7 分,25、26 各 8 分,共 30 分。解答应写出文字说 明、证明过程或演算过程。 23. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 已知函数 y
? 3 2 ? 1 2 (sin x ? co s x ) .
2

(1)求它的最小正周期和最大值; (2)求它的递增区间。

24. (本小题满分 7 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 3 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1 C 1 D1 中,E、F 分别为 A D 1 、 C D 1 中点。 (1)求证:EF//平面 ABCD; (2)求两异面直线 BD 与 C D 1 所成角的大小。 A1 E D F C B D1 C1 B1

A

25. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 4 分,第(2)问 4 分) 一个圆柱形容器的底部直径是 6cm,高是 10cm,现以每秒 2 cm / s 的速度向容器内注入某 种溶液。 (1)求容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系; (2)求此函数的定义域和值域。

26. (本小题满分 8 分,其中第(1)问 2 分,第(2)问 3 分,第(3)问 3 分) 已知数列 ? a n ? 中, a1 ? (1)求 a 3 的值; (2)证明:数列 ? a n ? a n ? 1 ? ? n ? 2 ? 是等比数列; (3)求数列 ? a n ? 的通项公式。
数学试卷 ? 第 4 页(共 4 页)

2 3

, a 2 ? 1, 3 a n ? 4 a n ? 1 ? a n ? 2 ? n ? 3 ?



云南省 2012 年 1 月普通高中学业水平考试 数学参考答案及评分标准 供解:刘华西
一、选择题(每小题 3 分,共 54 分) 题 号 答 案 1 A 2 D 3 D 4 B 5 C 6 C 7 C 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 13 B 14 A 15 C 16 D 17 D 18 A

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 题号 答案 三、解答题(共 30 分) 23.(1) f ( x ) ?
? 3 2 1 2
? f ( x ) 的最小正周期 T= ? , f ( x ) m ax ?

19 19

20 甲

21 1

22
( - 2, 2 3 )

?

1 2

(1 ? sin 2 x )

sin 2 x ? 1 …………………………………………………...……...2 分 3 2

…………………………………….4 分

(2)由 2 k ? ? 得 k? ?
?
4

?
2

? 2 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z )

? x ? k? ?

?
4

,

? ? ? ? ? f ( x ) 的递增区间是 ? k ? ? , k ? ? ? ( k ? Z ) ………………………………..7 分 4 4? ?

24.(1)连接 AC, ? E、F 分别为 A D 1 、 C D 1 中点,
? E F / / A C,

D1 A1 E D F

C1 B1

又 EF ? 平 面 ABCD , AC ? 平 面 ABCD ,
? EF / /平 面 ABC D.

C B

…………………..…..……………………………4 分
数学试卷 ? 第 5 页(共 4 页)

A

(2)连接 A1 B , A1 D ,容易证明四边形 A1 B C D 1 是平行四边形,? A1 B / / D1C ,
? 两异面直线 BD 与 C D 1 所成角为 ? A1 B D ,易知 V A1 B D 是等边三角形,
? ? A1 B D ? 6 0 ? .
? 两异面直线 BD 与 C D 1 所成角的大小为 6 0 ? . ……………………….…..………..7 分

25.(1)容器的底面积 S=9 ?

cm

2

3 ,容器的体积为 9 0 ? cm . 经过 t s 注入溶液的容积为 2 t

cm

3



容器内溶液的高度 x 关于注入溶液的时间 t s 的函数关系式为 x ?

2 9?

t.

……………………………………………………………....4 分 (2)函数的定义域为 t ? [0, 45? ] ,函数的值域为 x ? [0,10] 。 ……………………………………….………………..……..8 分 26.(1) Q a1 ?
? a3 ?
2 3 , a 2 ? 1, 3 a n ? 4 a n ? 1 ? a n ? 2 ? n ? 3 ? 取 n ? 3 得 3 a 3 ? 4 a 2 ? a1 ? 4 ?
2 3 ? 10 3



10 9

………………………………………………………….……….……2 分

(2)在 3 a n

? 4 a n ? 1 ? a n ? 2 ? n ? 3 ? 两端同时减去 3 a n ? 1 ,整理得 3( a n ? a n ? 1 ) ? a n ? 1 ? a n ? 2
1 3 ? 0

a 2 ? a1 ?

,则

a n ? a n ?1 a n ?1 ? a n ? 2

?

1 3

( n ? 3)


1

故数列 ? a n ? a n ?1 ? ( n ? 2 ) 是首项等于 且公比等于 的等比数列。…………..….5 分
1 3 3

(3)由(2)知,数列 ? a n ? a n ? 1 ? 的通项为: a n ? a n ? 1 ? 于是有:
1 2 a 2 ? a1 ? ( ) 3 1 3 a3 ? a2 ? ( ) 3 1 4 a4 ? a3 ? ( ) 3 ...... 1 n a n ? a n ? 1 ? ( )( n ? 2 ) 3
数学试卷 ? 第 6 页(共 4 页)

1

1 n ?1 1 n ?( ) ? ( ) (n ? 2) 3 3 3

1 2 1 n ?1 ( ) [1 ? ( ) ] 1 1 1 n 2 3 n 3 ? ? ?( ) 把上述式子累加得: a n ? a 1 ? ( ) + ( ) + . . . + ( ) ? 3 1 3 3 3 6 2 3 1? 3 1 1 1

1 n 2 5 1 1 n ?( ) ? ? ? ?( ) 3 6 2 3 3 6 2 3 5 1 1 n * 故该数列的通项公式是: a n ? ? ? ( ) ( n ? N ) ………………………….……….8 分 6 2 3

又 a1 ?

2

, an ?

1

?

1

数学试卷 ? 第 7 页(共 4 页)


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