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高中数学专题一元二次方程实数根的分布

一元二次方程实数根的分布 教学目标:使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理,加强求解一元二次不等式及不等 式组,初步训练学生的数形结合能力。 ?? 代 ?? 图形问题 ?? 教学重点:利用二次函数的图象,把一元二次方程根的分布 ?? 转化 转化 ? 参数取值范围。 数表达式(不等式组) ??? 计算 教学难点:图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正 根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根 分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 1、两个正根 ? ? , b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ? ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 2、两负根 ? ? x ? x ? ? b ? 0 ? 1 2 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ? 3、一正根一负根 x1 x 2 ? c ?0 a b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a 4、一正根一负根,负根绝对值大 ? ? ?x x ? c ? 0 1 2 ? a ? b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a 5、一正根一负根,正根绝对值大 ? ? ?x x ? c ? 0 ? 1 2 a ? 6、有一根为 0 例 1:若方程 x 2 x1 ? 0, x 2 ? ? b ? 0, c ? 0 a ? (m ? 2) x ? (m ? 5) ? 0 有两正根,求实数 m 的取值范围. 变式 2: 两根一正一负? 变式 1:两根两负? 变式 3: 两根一正一负,且正根绝对值大? 变式 4: 两根一正一负,且负根绝对值大? 例 2:若一元二次方程 kx 2 ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根还是负根? 分析:由已知 k -3=0,∴ k =3,代入原方程得 3 x 2 +5 x =0,另一根为负。 二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则 一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 一般的,可以通过数形结合得到以下结论: 根的情况 a>0 时图 a<0 时图 充要条件 ? ? ??0 ? ?af ( m) ? 0 ? b ? ?m ? ? 2a ? ? ??0 ? ?af ( n) ? 0 ? b ? ?n ? ? 2a 两个根均 小于 m 两个根都 大于 n 一个大于 m,另一个 小于 m 的 根 (x1-m)(x2-m)<0 ? af(m)<0 在 区 间 (m,n)内有 且仅有一 个根 f(m)f(n)<0 在 区 间 (m,n)之外 有两个根 ?af (m) ? 0 ? ? af (n) ? 0 ??0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? af (m) ? 0 ? af (n) ? 0 ? 在 区 间 (m,n)内有 两个实根 说明:找一个一元二次方程根的分布注意三个条件:1,判别式;2,对称轴位置;3,端 点函数值的符号.4。如果只涉及跟 0 比较大小,即正负根,则用零分布(韦达定理)解 决问题。 三、例题与练习 1.方程 x2+2px+1=0 两根都大于 1, ,求 p 的取值范围 2 2.方程 x +2px+1=0 两根都小于 1,求 p 的取值范围 3.方程 x2+2px+1=0 两根在(0,2)之间,求 p 的取值范围 4.方程 x2+2px+1=0 两根在(0,2)之外,求 p 的取值范围 5.方程 x2+2px+1=0 方程有两根,且在(0,2)之间有且只有一解,求 p 的取值范围 6.若关于 x 的方程 x2+(k-2)x+2k-1=0 的两实根中, 一根在 0 和 1 之间, 另一根在 1 和 2 之间, 求实数 k 的取值范围 (1)两根有且仅有一根在 ?m, n? 内有以下特殊情况: 1、若 f ? m? ? 0 或 f ? n? ? 0 ,则此时 f ? m??f ? n ? ? 0 不成立,但对于这种情况是知道了方程有 一根为 m 或 n ,可以求出另外一根,然后可以根据另一根在区间 ?m, n? 内,从而可以求出参数 的值。 例、方程 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? 0 在区间 ?1,3? 上有一根, 因为 f ?1? ? 0 ,所以 mx2 ? ? m ? 2? x ? 2 ? ? x ?1?? mx ? 2? , 另一根为 2 2 2 ,由 1 ? ? 3 得 ? m ? 2 即为所求; m 3 m 2、 方程有且只有一根,且这个根在区间 ?m, n? 内,即 ? ? 0 ,此时由 ? ? 0 可以求出参数的值, 然后再将参数的值带入方程,求出相应的根,检验根是否在给定的区间内,如若不在,舍去 相应的参数。 例、方程 x2 ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0 有且一根在区间 ? ?3,0? 内,求 m 的取值范围。 分析:①由 f ? ?3??f ? 0? ? 0 即 ?14m ?15?? m ? 3? ? 0 得出 ?3 ? m ? ? ②由 ? ? 0 即 16m2 ? 4 ? 2m ? 6? ? 0 得出 m ? ?1 或 m ? 3 , 2 15 ; 14 当 m ? ?1 时,根 x ? ?2 ? ? ?3,0? ,即 m ? ?1 满足题意; 3 3 时,根 x ? 3 ? ? ?3,0? ,故 m ? 不满足题意

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