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高中数学专题一元二次方程实数根的分布


一元二次方程实数根的分布 教学目标:使学生掌握一元二次方程实根分布问题的处理,加强求解一元二次不等式及不等 式组,初步训练学生的数形结合能力。 ?? 代 ?? 图形问题 ?? 教学重点:利用二次函数的图象,把一元二次方程根的分布 ?? 转化 转化 ? 参数取值范围。 数表达式(不等式组) ??? 计算 教学难点:图形问题转化成代数表达式(不等式组)并求解。 一.一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布,指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正 根,有一负根,其实就是指这个二次方程一个根比零大,一个根比零小,或者说,这两个根 分布在零的两侧。 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两个实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 1、两个正根 ? ? , b ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 a ? c ? x1 x2 ? ? 0 ? a ? ? 2 ?? ? b ? 4ac ? 0 ? 2、两负根 ? ? x ? x ? ? b ? 0 ? 1 2 a ? c ? x1 x 2 ? ? 0 ? a ? 3、一正根一负根 x1 x 2 ? c ?0 a b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a 4、一正根一负根,负根绝对值大 ? ? ?x x ? c ? 0 1 2 ? a ? b ? x1 ? x 2 ? ? ? 0 ? a 5、一正根一负根,正根绝对值大 ? ? ?x x ? c ? 0 ? 1 2 a ? 6、有一根为 0 例 1:若方程 x 2 x1 ? 0, x 2 ? ? b ? 0, c ? 0 a ? (m ? 2) x ? (m ? 5) ? 0 有两正根,求实数 m 的取值范围. 变式 2: 两根一正一负? 变式 1:两根两负? 变式 3: 两根一正一负,且正根绝对值大? 变式 4: 两根一正一负,且负根绝对值大? 例 2:若一元二次方程 kx 2 ? (2k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 有一根为零,则另一根是正根还是负根? 分析:由已知 k -3=0,∴ k =3,代入原方程得 3 x 2 +5 x =0,另一根为负。 二.一元二次方程的非零分布—— k 分布 设一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )的两实根为 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 。 k 为常数。则 一元二次方程根的 k 分布(即 x1 , x2 相对于 k 的位置)有以下若干定理。 一般的,可以通过数形结合得到以下结论: 根的情况 a>0 时图 a<0 时图 充要条件 ? ? ??0 ? ?af ( m) ? 0 ? b ? ?m ? ? 2a ? ? ??0 ? ?af ( n) ? 0 ? b ? ?n ? ? 2a 两个根均 小于 m 两个根都 大于 n 一个大于 m,另一个 小于 m 的 根 (x1-m)(x2-m)<0 ? af(m)<0 在 区 间 (m,n)内有 且仅有一 个根 f(m)f(n)<0 在 区 间 (m,n)之外 有两个根 ?af (m) ? 0 ? ? af (n) ? 0 ??0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? af (m) ? 0 ? af (n) ? 0 ? 在 区 间 (m,n)内有 两个实根 说明:找一个一元二次方程根的分布注意三个条件:1,判别式;2,对称轴位置;3,端 点函数值的符

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