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2014高考数学(文)新课标大二轮专题复习与测试课件 专题6 第1课时 概率与统计


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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题六

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第1课时 概率与统计

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大二轮专题复习与测试·数学文科 第一部分 专题六

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高频考点

考情解读 常考查古典概型、几何概型及互斥事件的 概率求法. 抽样方法中分层抽样是高考的热点,题型 既有选择题也有填空题,属容易题.命题 时多以现实生活为背景,主要考查基本概 念及简单计算.

随机事件的概率

抽样方法

样本频率分布图与茎叶图及样本数据是命 用样本估计总体 题热点,多与概率统计相结合. 线性回归方程 2012年有多个省考查了线性回归方程,其 考查力度比往年加大,重点考查线性回归 方程的求法及应用.

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1.牢记概率的求解公式 (1)古典概型的概率公式 m 事件A中所含的基本事件数 P(A)= n = . 试验的基本事件总数 (2)几何概型的概率公式 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?

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2.明确直方图的三个结论 频率 (1)小长方形的面积=组距× =频率. 组距 (2)各小长方形的面积之和等于 1. 频率 1 (3)小长方形的高= ,所有小长方形高的和为 . 组距 组距

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3.把握统计中的四个数据特征 (1)众数:在样本数据中,出现次数最多的那个数据. (2)中位数:样本数据中,将数据按大小排列,位于最中 间的数据.如果数据的个数为偶数,就取中间两个数据的平 均数作为中位数. (3)平均数:样本数据的算术平均数,即 1 x =n(x1+x2+?+xn).

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(4)方差与标准差 1 方差:s =n[(x1- x )2+(x2- x )2+?+(xn- x )2].
2

标准差: s= 1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? +?+ ? x - x ? ]. 2 n n 1

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古典概型与几何概型

(1)(2013·重庆卷)若甲、乙、丙三人随机地站成一
排,则甲、乙两人相邻而站的概率为________. (2)(2013·山东卷)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+ 1|-|x-2|≥1成立的概率为________.

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解析: (1)甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、 (甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共 6 种排 法,甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙 甲)共 4 种排法, 由概率计算公式得甲、 乙两人相邻而站的概 4 2 率为6=3. (2)当 x<-1 时,不等式可化为-x-1+x-2≥1,即- 3≥1,此式不成立,∴x∈?;

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当-1≤x≤2 时,不等式可化为 x+1-(2-x)≥1,即 x≥1,∴此时 1≤x≤2; 当 x>2 时,不等式可化为 x+1-x+2≥1,即 3≥1,此 式恒成立,∴此时 x>2. 综上,不等式|x+1|-|x-2|≥1 的解集为[1,+∞). ∴不等式 |x + 1| - |x - 2|≥1 在区间 [ - 3,3] 上的解集为 [1,3],其长度为 2.又 x∈[-3,3],其长度为 6,由几何概型知 2 1 识可得 P=6=3.

2 1 答案: (1)3 (2)3
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解答几何概型、古典概型问题时的注意事 项 (1)有关古典概型的概率问题,关键是正确求出基本事件总

数和所求事件包含的基本事件数,这常用到计数原理与排列、
组合的相关知识. (2)在求基本事件的个数时,要准确理解基本事件的构成, 这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件 总数的求法的一致性.

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(4)利用几何概型求概率时,关键是构成试验的全部结果的 区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系

中表示所需要的区域.
[ 提醒 ] 率. 当直接求解有困难时,可考虑其对立事件的概

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x2 y2 1.(1)从 m - n =1(其中m,n∈{-1,2,3})所表示的圆锥 曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个,则此方程是 焦点在x轴上的双曲线方程的概率为( 1 A.2 2 C.3 4 B.7 3 D.4 )

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(2)(2013· 武汉市武昌区联考)若从区间(0,2)内随机取两 个数,则这两个数的比不小于4的概率为( 1 A.8 1 C.4 7 B.8 3 D.4 )

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解析:

x2 y2 (1)当方程 m - n =1表示椭圆、双曲线、抛物

x2 y2 线等圆锥曲线时,不能有m<0,n>0,所以方程 m - n =1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m,n)有(2,- 1),(3,-1),(2,2),(3,2),(2,3),(3,3),(-1,-1),共7 种,其中表示焦点在x轴上的双曲线时,则m>0,n>0,有 4 (2,2),(3,2),(2,3),(3,3),共4种,所以所求概率P=7. (2)设这两个数分别为x,y,则由条件知0<x<2,0<y<

1 1 2×2×2×2 1 2,y≥4x或x≥4y,则所求概率P= =4. 2×2 答案: (1)B (2)C
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抽样方法 (2013· 陕西卷 ) 某单位有 840 名职工,现采用系统 抽样方法抽取42人做问卷调查,将840人按1,2,?,840随机编 号,则抽取的42人中,编号落入区间[481,720]的人数为( )

A.11
C.13 解析: 数为240÷20=12. 答案: B

B.12
D.14 因为840∶42=20∶1 ,故编号在 [481,720] 内的人

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(1)进行系统抽样的关键是根据总体和样本的 容量确定分段间隔,根据第一段确定编号.如果总体不能被样

本整除,即每段不能等分,应采用等可能剔除的方法剔除部分
个体,以获得整数间隔. (2)进行分层抽样时应注意以下几点:①分层抽样中分多少 层、如何分层要视具体情况而定,总的原则是,层内样本的差 异要小,两层之间的样本差异要大,且互不重叠;②为了保证

每个个体等可能入样,所有层中每个个体被抽到的可能性相
同;③在每层抽样时,应采用简单随机抽样或系统抽样的方法 进行抽样.
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2.(1)某市有A、B、C三所学校,共有高三文科学生1 500人,且A、B、C三所学校的高三文科学生人数成等差数 列,在三月进行全市联考后,准备用分层抽样的方法从所 有高三文科学生中抽取容量为120的样本,进行成绩分析, 则应从B校学生中抽取________人. (2)将某班的60名学生编号为:01,02,?,60,采用系 统抽样方法抽取一个容量为5的样本,且随机抽得的一个号 码为04,则剩下的四个号码依次是________.

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解析:

(1)设A、B、C三所学校学生人数分别为x,

y,z,由题知x,y,z成等差数列,所以x+z=2y,又x+y+ z=1 500,所以y=500,用分层抽样方法抽取B校学生人数 120 为1 500×500=40. (2)依据系统抽样方法的定义知,将这60名学生依次按 编号每12人作为一组,即01~12、13~24、?、49~60, 当第一组抽得的号码是04时,剩下的四个号码依次是 16,28,40,52(即其余每一小组所抽出来的号码都是相应的组 中的第四个号码).

答案: (1)40 (2)16,28,40,52
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用样本估计总体
(1)(2013· 山东卷)将某选手的9个得分去掉1个最高 分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,现场作 的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图 中以x表示: 8? ?7 7 9? ?4 0 1 0 x 9 1

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则7个剩余分数的方差为( 116 A. 9 C.36 36 B. 7 6 7 D. 7

)

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(2)(2013·湖北卷)从某小区抽取100户居民进行月用电量调 查,发现其用电量都在 50 至 350 度之间,频率分布直方图如图

所示.
①直方图中x的值为________; ②在这些用户中,用电量落在区间 [100,250) 内的户数为 ________.

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解析: (1)根据茎叶图,去掉1个最低分87,1个最高分 99, 1 则7[87+94+90+91+90+(90+x)+91]=91,∴x=4. 1 ∴s = 7 [(87-91)2+(94-91)2+(90-91)2+(91-91)2+
2

36 (90-91) +(94-91) +(91-91) ]= 7 .
2 2 2

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(2)①由于(0.002 4+0.003 6+0.006 0+x+0.002 4+0.001

2)×50=1,解得x=0.004 4.
②数据落在[100,250) 内的频率是(0.003 6+0.006 0 +0.004 4)×50 = 0.7 ,所以月用电量在 [100,250) 内的户数为 100×0.7 = 70. 答案: (1)B (2)①0.004 4 ②70

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(1)解决与频率分布直方图有关的问题时, 应正确理解已知数据的含义,掌握图表中各个量的意义,通过 图表对已知数据进行分类.

(2) 在 做 茎叶 图 或 读茎 叶 图 时 , 首 先 要弄 清 楚 “ 茎 ” 和
“叶”分别代表什么,根据茎叶图,我们可方便地求出数据的 众数与中位数,大体上估计出两组数据平均数的大小与稳定性 的高低.

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3.(1)(2013·安徽省“江南十校”高三联考)一次数学测验

后,从甲、乙两班各抽取 9 名同学的成绩进行统计分析,绘成
茎叶图如图所示.据此估计两个班成绩的中位数的差的绝对值 为( )

A.8 C.4
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B.5 D.2
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(2) 为了了解大连市今年准备报考飞行员的学生的体重情
况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图 ( 如图) ,已 知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3 ,第 2 小组 的频数为120,则抽取的学生人数是( )

A.240

B.280

C.320
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D.480
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解析: (1)甲、乙两班成绩按大小顺序排列,处在最 中间的数分别为87、89,故它们之差的绝对值是2. (2)由频率分布直方图知:学生的体重在65~75 kg的频 率为(0.012 5+0.037 5)×5=0.25,则学生的体重在50~65 kg的频率为1-0.25=0.75. 2 从左到右第2个小组的频率为0.75×6=0.25, 所以抽取的学生人数是120÷ 0.25=480.

答案: (1)D (2)D

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线性回归方程
(2013· 福建卷)已知x与y之间的几组数据如下表:

x y

1 0

2 2

3 1

4 3

5 3

6 4
∧ ∧ ∧

假设根据上表数据所得线性回归直线方程为 y = b x+ a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方 程为y=b′x+a′,则以下结论正确的是( A.b>b′,a>a′ B.b>b′,a<a′ C.b<b′,a>a′ D.b<b′,a<a′
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∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧ ∧

)

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解析:

由(1,0),(2,2)求b′,a′.

2-0 b′= =2, 2-1 a′=0-2×1=-2. 求b,a时,
∧ ∧

?xiyi=0+4+3+12+15+24=58,
i =1

6

13 x =3.5, y = 6 ,

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?x2 i =1+4+9+16+25+36=91,
i =1

6

13 58-6×3.5× 6 ∧ 5 ∴b= = 7, 91-6×3.52 13 5 13 5 1 a= 6 -7×3.5= 6 -2=-3,


∴b<b′,a>a′.





答案: C

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进行线性回归分析时应注意的问题 (1)正确理解计算b、a的公式和准确的计算,是求线性回归 方程的关键.

(2)在分析两个变量的相关关系时,可根据样本数据作出散
点图来确定两个变量之间是否具有相关关系,若具有线性相关 关系,则可通过线性回归方程估计和预测变量的值.

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4 .(2013·辽宁六校联考 ) 某产品在某零售摊位上的零售价

x( 单位:元 ) 与每天的销售量 y( 单位:个 ) 的统计资料如下表所
示: x 16 17 18 19

y

50

34
∧ ∧

41


31


由上表可得回归直线方程 y = b x+ a 中的 b =-4,据此 模型预计零售价定为15元时,每天的销售量为( A.48个 C.50个
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)

B.49个 D.51个
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解析:


由题意知 x =17.5, y =39,代入回归直线方

程得a=109,109-15×4=49,故选B.

答案: B

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创新探究

探究概率高考中的新亮点

高考对概率的考查由单独求事件概率,转化为与统计 结合命题,而2013年高考中,全国新课标卷、江西卷把概 率问题分别与函数、平面向量结合,出题角度新颖,将会 成为今后新的命题点.

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(2013·江西卷)小波以游戏方式决定是去打球、唱

歌还是去下棋.游戏规则为:以 O 为起点,再从 A1 , A2 , A3 ,
A4 , A5 , A6( 如图 ) 这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向 量,记这两个向量的数量积为 X,若X>0就去打球,若X=0就 去唱歌,若X<0就去下棋. (1)写出数量积X的所有可能取值;

(2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

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解析:

(1)X的所有可能取值为-2,-1,0,1.

→ · → (2)数量积为-2的有 OA 2 OA5 ,共1种;数量积为-1的 → · → , OA → · → , OA → · → , OA → · → , OA → · → , 有 OA OA OA OA OA OA 1 5 1 6 2 4 2 6 3 4 →· → ,共6种; OA OA 3 5 → · → , OA → · → , OA → · → , 数量积为0的有 OA OA OA OA 1 3 1 4 3 6 →· → ,共4种; OA OA 4 6

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故所有可能的情况有15种. 7 所以小波去下棋的概率为p1=15; 4 因为去唱歌的概率为p2= 15 ,所以小波不去唱歌的概率 4 11 p=1-p2=1-15=15.

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1. 本 题 出 题 角 度 新 颖 , 具 有 一 定 的 趣 味
性,考查了向量的数量积运算及利用列举法计算随机事件所包 含的基本事件数及古典概型的概率求法等基础知识. 2.在解答此类题目时应注意以下几点 (1) 步骤的规范性:在书写步骤时,不能仅写出计算的公

式、答案,而应该写出必要的文字说明.
(2)用古典概型求概率时,应列出所有的基本事件,常用的 方法是树状图,也可根据树状图,直接写出基本事件,当需要 列举的对象不易区分时,可先把它们进行编号,再列举.

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设a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},则函数f(x)=x3+ax-b 在区间[1,2]上有零点的概率为( 1 A.2 11 C.16 5 B.8 3 D.4 )

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解析:

因为f(x)=x3+ax-b,所以f′(x)=3x2+a.因
? ?f?1?=1+a-b≤0, ? ? ?f?2?=8+2a-b≥0

为a∈{1,2,3,4},因此f′(x)>0,所以函数f(x)在区间[1,2]上 为增函数.若存在零点,则 解得a+

1≤b≤8+2a.因此可使函数在区间[1,2]上有零点的有:a= 1,2≤b≤10,故b=2,b=4,b=8.a=2,3≤b≤12,故b= 4,b=8,b=12. a=3,4≤b≤14,故b=4,b=8,b=12.a= 4,5≤b≤16,故b=8,b=12,根据古典概型概率公式可得 11 有零点的概率为16.故选C.

答案: C
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