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2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)精校版 Word版含解析_图文

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2014 年普通高等学校统一考试(大纲) 理科
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
1.设 z ? (

10i ,则 z 的共轭复数为 3?i
B. ?1 ? 3i C. 1 ? 3i D. 1 ? 3i



A. ?1 ? 3i 【答案】D.

2.设集合 M ? {x | x ? 3 x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} ,则 M
2

N?



) B. [0, 4) C. [?1, 0) D. (?1, 0]

A. (0, 4] 【答案】B.

3.设 a ? sin 33?, b ? cos 55?, c ? tan 35?, 则 ( ) B. b ? c ? a C. c ? b ? a D. c ? a ? b

A. a ? b ? c 【答案】C.

4.若向量 a, b 满足: a ? 1, a ? b ? a, 2a ? b ? b, 则 b ? ( A.2 ) B. 2 C.1 D.

?

?

?

?

2 2

【答案】B. 5.有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组,则不同 的选法共有( A.60 种 【答案】C. ) C.75 种 D.150 种

B.70 种

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x2 y 2 3 6.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的左、右焦点为 F1 、 F2 ,离心率为 ,过 F2 的直 a b 3
线 l 交 C 于 A、B 两点,若 ?AF1 B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为 ( A. )

x2 y 2 ? ?1 3 2

B.

x2 ? y2 ? 1 3

C.

x2 y 2 ? ?1 12 8

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

【答案】A. 7.曲线 y ? xe ( A. 2e ) B. e C.2 D.1
x ?1

在点(1,1)处切线的斜率等于

【答案】C. 8.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积为 ( A. )

81? 4

B. 16?

C. 9?

D.

27? 4

【答案】A.

F2 , 9.已知双曲线 C 的离心率为 2, 焦点为 F1 、 点 A 在 C 上, 若 F1 A ? 2 F2 A , 则 cos ?AF2 F1 ?
( A. )

1 4

B.

1 3

C.

2 4

D.

2 3

【答案】A. 10.等比数列 {an } 中, a4 ? 2, a5 ? 5 ,则数列 {lg an } 的前 8 项和等于 ( A.6 【答案】C. 11.已知二面角 ? ? l ? ? 为 60? , AB ? ? , AB ? l ,A 为垂足, CD ? ? , C ? l , ) B.5 C.4 D.3

?ACD ? 135? ,则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为
( )

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A.

1 4

B.

2 4

C.

3 4

D.

1 2

【答案】B. 12.函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? g ( x ) 的图象关于直线 x ? y ? 0 对称, 则 y ? f ( x) 的反函 数是( ) B. y ? g (? x ) C. y ? ? g ( x ) D. y ? ? g (? x )

A. y ? g ( x ) 【答案】D.

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
? x y ? 2 2 13. ? 的展开式中 x y 的系数为 ? ? ? y ? x? ?
【答案】70.
8

.(用数字作答)

? x? y ?0 ? 14.设 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ,则 z ? x ? 4 y 的最大值为 ? x ? 2y ?1 ?
【答案】5.

.

15.直线 l1 和 l2 是圆 x ? y ? 2 的两条切线,若 l1 与 l2 的交点为 ?1,3? ,则 l1 与 l2 的夹角的正
2 2

切值等于 【答案】

.

4 . 3

16.若函数 f ( x) ? cos 2 x ? a sin x 在区间 ( 【答案】 ? ??, 2? .

? ?

, ) 是减函数,则 a 的取值范围是 6 2

.

三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 10 分)

1 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 3a cos C ? 2c cos A , tan A ? , 3
求 B. 解:由题设和正弦定理得

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3sin A cos C = 2sin C cos A , \ 3 tan A cos C = 2sin C .

tan A =

1 , \ cos C = 2sin C , 3

\ tan C =

1 tan A + tan C , \ tan B = tan 轾 180? ( A + C ) = - tan ( A + C ) = = - 1, 又 臌 2 tan A tan C - 1

0?

B < 180癨 , ?B

135? .

18. (本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 10 , a2 为整数,且 S n ? S 4 . (I)求 {an } 的通项公式; (II)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

解: (I) 由 a1 ? 10 , 等差数列 {an } 的公差 d 为整数. 又 Sn ? S4 , 故 a4 ? 0 , a5 ? 0 , a2 为整数知, 于是 10 ? 3d ? 0 , 10 ? 4d ? 0 ,解得 式为 an = 13 - 3n . (II) bn ?
10 #d 3 5 ,因此 d = - 3 ,故数列 {an } 的通项公 2

1? 1 1 ? ,于是 ? ? ? ?13 ? 3n ??10 ? 3n ? 3 ? 10 ? 3n 13 ? 3n ? ? 1
1 ?? 1 ? 1 1? n ? 1 ?? ? ? ?? ?? ? ? ? 10 ? 3n 13 ? 3n ?? 3 ? 10 ? 3n 10 ? 10 ?10 ? 3n ?

Tn ? b1 ? b2 ?


1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? bn ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? 7 10 ? ? 4 7 ?

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 在 AC 上, ?ACB ? 900 ,

BC ? 1, AC ? CC1 ? 2 .
(I)证明: AC1 ? A1 B ; (II)设直线 AA1 与平面 BCC1 B1 的距离为 3 ,求二面角 A1 ? AB ? C 的大小.

C1 A1

B1

D A

C

B

解: 解法一: (I)A1 D ^ 平面 ABC ,A1 D ? 平面 AA1C1C , 故平面 AA1C1C ^ 平面 ABC . 又 BC ^ AC ,
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\ BC ^ 平面 AA1C1C .连结 A1C ,∵侧面 AA1C1C 为菱形,故 AC1 ^ A1C ,由三垂线定理得

( II ) BC ^ 平面 AA1C1C , BC ? 平面 BCC1 B1 ,故平面 AA1C1C ^ 平面 BCC1 B1 .作 AC1 ^ A1 B ; 则 A1 E ^ 平面 BCC1 B1 . 又直线 AA1 ∥平面 BCC1 B1 , 因而 A1 E 为直线 AA1 与 A1 E ^ CC1 , E 为垂足, 平 面 BCC1 B1 的 距 离 , A1 E =
3 . ∵ A1C 为 ?ACC1 的 角 平 分 线 , 故 A1 D = A1 E = 3 .作

DF ^ AB , F 为垂足,连结 A1 F ,由三垂线定理得 A1 F ^ AB ,故 ?A1 FD 为二面角 A1 ? AB ? C 的

平面角.由 AD = AA12 - A1 D 2 = 1 得 D 为 AC 的中点,DF = 1 ? AC ? BC
2 AB

5 , tan ? A1 FD 5

A1 D = 15 , DF

∴二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arctan 15 .
z
C1 A1 E B1

C1

B1

A1

C
C D A F B

B y

D x A

解法二:以 C 为坐标原点,射线 CA 为 x 轴的正半轴,以 CB 长为单位长,建立如图所示的空 间直角坐标系 C - xyz .由题设知 A1 D 与 z 轴平行, z 轴在平面 AA1C1C 内. ( I ) 设
A1 ( a , 0 , c)











a ? 2 , A( 2 , 0 , 0) , B( 0 , 1 , 0 ) ,



AB = (- 2 , 1 , 0) , AC = (- 2 , 0 , 0) , AA1 = (a - 2 , 0 , c ) , AC1 = AC + AA1 = (a - 4 , 0 , c ) , BA1 = (a , - 1 , c ) .



AA1 = 2



( a - 2) + c 2 = 2

2





a 2 - 4a + c 2 = 0





) .





AC1 ?BA1

a 2 - 4a + c 2 = 0 , \ AC1 ^ A1 B .

( II ) 设 平 面 BCC1 B1 的 法 向 量 m = ( x , y , z ) ,
m ?CB 0 , m ?BB1 0 . CB = (0 , 1 , 0) ,

则 m ^ CB , m ^ BB1 ,



BB1 = AA1 = (a - 2 , 0 , c ) , 故 y = 0 , 且 (a - 2) x + cz = 0 . 令x= c, 则 z = 2 - a , m = (c , 0 , 2 - a ) ,

点 A 到平面 BCC1 B1 的距离为 CA ? cos m , CA

CA ×m m

=

2c c 2 + (2 - a )
2

又依题设, 点A到 = c.

平 面 BCC1 B1 的 距 离 为

3,\ c=

3 . 代 入 ① 解 得 a= 3 ( 舍 去 ) 或 a= 1 . 于 是

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AA1 = - 1 , 0 , 3

(

)

. 设 平 面 ABA1 的 法 向 量 n = ( p , q, r ) , 则 n ^ AA1 , n ^ AB , 即
0 , \ - p + 3r = 0

n ? AA1

0 , n ? AB







- 2p+ q = 0





p=

3





q = 2 3, r = 1, n ?

?
?

3, 2 3,1 . 又 p ? ? 0, 0,1? 为 平 面 ABC 的 法 向 量 , 故
1 1 ,∴二面角 A1 ? AB ? C 的大小为 arccos . 4 4

?

cos n, p ?

n? p n? p

20. (本小题满分 12 分) 设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为 0.6 , 0.5 , 0.5 , 0.4 , 各 人是否需使用设备相互独立. (I)求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率; (II)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求 X 的数学期望. 解:记 Ai 表示事件:同一工作日乙、丙恰有 i 人需使用设备, i ? 0,1, 2 ; B 表示事件:甲需 使用设备; C 表示事件:丁需使用设备; D 表示事件:同一工作日至少 3 人需使用设备. (I) D ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ,又
i P ? B ? ? 0.6, P ? C ? ? 0.4, P ? Ai ? ? C2 ? 0.52 , i ? 0,1, 2.? P ? D ? ?

P ? A1 ? B ? C ? A2 ? B ? A2 ? B ? C ? ? P ? A1 ? B ? C ? ? P ? A2 ? B ? ? P ? A2 ? B ? C ? ? P ? A1 ? P ? B ? P ? C ? ? P ? A2 ? P ? B ? ? P ? A2 ? P ? B ? P ?C ? ? 0.31.

(II) X 的可能取值为 0,1,2,3,4.
P ? X ? 0 ? ? P B ? A0 ? C ? P B P ? A0 ? P C ? ?1 ? 0.6 ? ? 0.52 ? ?1 ? 0.4 ? ? 0.06 , P ? X ? 1? ? P B ? A0 ? C ? B ? A0 ? C ? B ? A1 ? C ? P ? B ? P ? A0 ? P C ? P B P ? A0 ? P ?C ? ? P B P ? A1 ? P C ? 0.6 ? 0.52

?

?

? ?

? ? ?

?

? ? ? ?

? ?

? ?

??1? 0.4? ? ?1? 0.6? ? 0.52 ? 0.4 ? ?1 ? 0.6? ? 2 ? 0.52 ? ?1 ? 0.4? ? 0.25 , P ? X ? 4? ? P ? A2 ? B ? C ? ?

P ? A2 ? P ? B? P ?C ? ? 0.52 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.06 , P ? X ? 3? ? P ? D? ? P ? X ? 4? ? 0.25 , P ? X ? 2? ? 1 ? P ? X ? 0 ?P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ? P ? X ? 4? ? 1? 0.06 ? 0.25 ? 0.25 ? 0.06 ? 0.38.
∴数学期望
EX = 0? P ( X 0)+ 1? P ( X 1)+ 2? P ( X 2)+ 3? P ( X 3)+ 4? P ( X 4) = 0.25 + 2? 0.38 3? 0.25 4? 0.06 2.

21. (本小题满分 12 分)
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已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F,直线 y ? 4 与 y 轴的交点为 P,与 C 的交点
2

为 Q,且 | QF |?

5 | PQ | . 4

(I)求 C 的方程; (II)过 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点,若 AB 的垂直平分线 l ? 与 C 相较于 M,N 两点,且 A,M,B,N 四点在同一圆上,求 l 的方程. 解: (I)设 Q ( x0 , 4) ,代入 y 2 = 2 px ,得 x0 = 得
8 8 p p 8 , \ PQ = , QF = + x0 = + . .由题设 p p 2 2 p

p 8 5 8 (II)由题设知 l 与 + = ? ,解得 p = - 2 (舍去)或 p = 2 ,∴C 的方程为 y 2 = 4 x ; 2 p 4 p

坐标轴不垂直,故可设 l 的方程为 x = my + 1(m ? 0) ,代入 y 2 = 4 x 得 y 2 - 4my - 4 = 0 .设
A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 y1 + y2 = 4m ,
y1 y2 = - 4 .故 AB 的中点为 D (2m 2 + 1 , 2m) , AB =
- m , \ l? 的 方 程 为 x = -

m 2 + 1 y1 - y2 = 4 (m 2 + 1) .又 l ?的斜率为

1 y + 2m 2 + 3 . 将 上 式 代 入 y 2 = 4 x , 并 整 理 得 m

y2 +

4 设 M ( x3 , y3 ) , B (x4 , y 4 ) , 则 y3 + y4 = - 4 , y3 y4 = - 4 (2m 2 + 3) . 故 MN 的 y - 4 (2m 2 + 3) = 0 . m m
桫 m m m m

4 (m2 + 1) 2m2 + 1 2 2÷ 1 2 ? 中点为 E 骣 . + 2 m + 3 , , MN = 1 + y y = ÷ ? 2 3 4 2 2 ÷ ?

由于 MN 垂直平分线 AB ,故 A , M , B , N 四点在同一圆上等价于 AE = BE = 1 MN ,从而
2
2 2 4(m2 + 1) (2m2 + 1) 骣 2鼢 骣 2 即 4(m + 1) + 珑 , 化 简 得 2 m + + + 2 = 鼢 珑 珑 桫 m鼢 桫 m2 m4 2 2 2

1 1 2 2 2 AB + DE = MN , 4 4

m 2 - 1 = 0 ,解得 m = 1 或 m = - 1 .所求直线 l 的方程为 x - y - 1 = 0 或 x + y - 1 = 0 .

22. (本小题满分 12 分) 函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ?

ax ? a ? 1? . x?a

(I)讨论 f ? x ? 的单调性;

2 3 . ? an ? n +2 n?2 x? x ? a 2 ? 2a ? ? ?. 解: (I) f ? x ? 的定义域为 ? ?1 , ? ? ? , f ? ? x ? ? 2 ? x ? 1?? x ? a ?
(II)设 a1 ? 1, an ?1 ? ln(an ? 1) ,证明:

?

?

(i) 当 1 ? a ? 2 时, 若 x ? ?1 , a 2 ? 2a , 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ?1 , a 2 ? 2a 上是增函数;

?

?

?

?

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若 x ? a 2 ? 2a , 0 , 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 a 2 ? 2a , 0 上是减函数;若 x ? ? 0 , ? ? ? , 则

?

?

?

?

f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 , ? ? ? 上是增函数.
(ii)当 a = 2 时, f ⅱ ( x) ? 0 , f ( x)
0 成立当且仅当 x = 0 , f ( x ) 在 (- 1 , + ? ) 上是增函数.

( iii ) 当 a > 2 时 , 若 x ? ( 1 , 0) , 则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 是 (- 1 , 0) 上 是 增 函 数 ; 若

x ? ? 0 , a 2 ? 2a ? ,则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? 0 , a 2 ? 2a ? 上是减函数;若 x ? ? a 2 ? 2a , ? ? ? ,
则 f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? a 2 ? 2a , ? ? ? 上是增函数. (II) 由 (I) 知, 当 a = 2 时, f ( x) 在 (- 1 , + ? ) 是增函数. 当 x ? (0 , 即 ln ( x + 1) >
2x ( x > 0) .又由(I)知,当 a = 3 时, x+ 2

? ) 时, f ( x ) > f (0) = 0 ,

f ? x ? 在 [0 , 3) 上是减函数;当 x ? (0 , 3)

时, f ( x ) < f (0) = 0 , 即 ln ( x + 1) <
2 3

3x 2 3 下面用数学归纳法证明 . < an ? (0 < x < 3) . x+ 3 n+ 2 n+ 2

(i)当 n = 1 时,由已知 < a1 = 1 ,故结论成立; ( ii ) 假 设 当 n = k 时 结 论 成 立 , 即
2 3 . 当 n= k+1 时 , < ak ? k+ 2 k+ 2

骣2 ak + 1 = ln (ak + 1) > ln 珑 + 1鼢 > 鼢 珑 珑 桫 k+ 2 鼢

2 3 2创 3 骣 2 3 k+ 2 = k+ 2 = 3 , ak + 1 = ln (ak + 1) ? ln 1 < 2 3 桫 k+ 2 + 2 k+ 3 + 3 k+ 3 k+ 2 k+ 2

,即当 n = k + 1 时有 立.

2 3 ,结论成立.根据(i) 、 (ii)知对任何 n ? N * 结论都成 < ak ? k+ 3 k+ 3

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