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5.1特征值与特征向量的概念与计算_图文

5.1 特征值与特征向量的概念与计算
5.1.1. 特征值与特征向量的定义 5.1.2. 特征子空间 5.1.3. 特征值与特征向量的计算

5.1.1 特征值与特征向量的定义
定义 设 A 是 n 阶方阵,
若存在数 ? 和 n 维非零列向量?,使得 A? ? ??
成立,则称 ? 是方阵A的一个特征值,
?为方阵A的对应于特征值 ? 的一个特征向量.



A

?

????

3 ?1

?31???? ,

? ? ??1?? , ? ? ?? 1 ?? ,? ? ?? 1?? .

?1?

? ? 1? ?0?

A?

?

????

2 2

????

?

2?

,

A?

?

????

4 ?4

????

?

4? ,

2,4是A的特征值, ? , ? 分别是A对应于特征值 2,4 的 特 征 向 量,
A? ? ?? 3 ?? ? k? .
? ? 1?
? 不是A的特征向量.

例 设 A2 = A , 证明:A 的特征值为 0 或 1 .
证 设 A? ? ?? ?? ? 0?
则 A2? ? A?A? ? ? A???? ? ??A? ? ? ?2?
? ? ? ?2? ? ?? , ?2 ? ? ? ? 0
? ? ?0 或 ? ?1.

5.1.2 特征子空间
? ? 设 V? ? ? | A? ? ??, ? ? Rn
是方阵A的对应于特征值?的所有特征向量
以 及 零 向 量 所 组 成 的 集合,
1. 设 A? ? ?? , 则
A ?k? ? ? k?A? ? ? k??? ? ? ??k? ?.
2. 设A?i ? ??i ?i ? 1,2?, 则 A??1 ??2 ? ? A?1 ? A?2
? ??1 ? ??2 ? ?(?1 ? ?2 ).

? ? 设 V? ? ? | A? ? ??, ? ? Rn
是方阵A的对应于特征值?的所有特征向量
以 及 零 向 量 所 组 成 的 集合,
故 V? 是 n 维向量空间Rn 的子空间 . V? 称为矩阵 A 的特征子空间.
思考:V? 的所有向量都是A的特征向量吗?

5.1.3 特征值与特征向量的计算
A? ? ??, (? ? 0) ? ( A ? ?I )? ? 0或(?I ? A)? ? 0
特征向量是齐次线性方程组 (λI - A) X = 0 的解 因此,(λI - A) X = 0 的解空间就是A 的特征子空间
若?为A的属于特征值?的一个特征向量, ? 齐次线性方程(?I ? A)X ? 0有非零解? ,
? ?I ? A ? 0.

设 A? ? ?? ?? ? 0? ? ? 是 ??I ? A?X ? 0 的非零解.
求A的特征值与特征向量的步骤:
(1) 求 ?I ? A ? 0 相异的根:?1, ?2 ,?, ?k ;
(2)求 ??i I ? A?X ? 0 的基础解系:
?i1 ,?i2 ,?,?iri ,
则A对应于?i的特征向量为: k1?i1 ? k2?i2 ? ? ? ? kri ri
? ? k1, k2 ,?, kri 不全为零 .

? ? 定义

An?n ?

aij

,
n?n

? ? a11 ? a12 ?

?I ? A ? ? a21 ? ? a22 ?

?

??

? a1n ? a2n
?

? an1 ? an2 ? ? ? ann

是关于 ? 的一个多项式,称为矩阵A的特征多项式,

记为 f (λ), f (? ) ? ?I ? A ? 0 称为矩阵A的特征方程,

特征方程 的根就是特征值,也称为特征根.

? ? 例

设 f ?? ? ?| ?I ? A |? ?? ? 1??? ? 2?2 ? ?

3
5,

? ? 1:A的单特征根, ? ? ?2:A的二重特征根, ? ? ? 5 : A的三重特征根.

定义 特征值λ 的重数称为λ 的代数重数;

特征值λ 所对应的齐次线性方程组(λI - A) X = 0 的基础解系所含解向量的个数称为λ 的几何重数, 即特征值所对应线性无关特征向量的个数.

? ?1 1 0?



求矩阵

A

?

? ???

?4 1

3 0

0 2

? ???

的特征值和全部特征向量.

解 第一步:写出矩阵A的特征方程,求出特征值.

? ?1 ?1 0 ?I ? A ? 4 ? ? 3 0 ? (? ? 2)(?2 ? 2? ? 1)
?1 0 ? ?2

特征值为 ?1 ? 2, ?2 ? 1?二重?.

第二步:对每个特征值 ? 代入齐次线性方程组
??I ? A?X ? 0 求非零解.

当?1 ? 2 时,齐次线性方程组为 ?2I ? A?X ? 0

系数矩阵

?2I ?

A?

?

?? ?

3 4

?? ? 1

?1 ?1 0

0 ?? 0 ?? 0 ??

? ? ???

1 0 0

0 1 0

0?

0 0

? ???

? ?1 1 0?

A

?

? ???

?4 1

3 0

0 2

? ???

自由未知量 x3

?0?

x1 ? x2 ? 0

令 x3

?

1得基础解系

p1

?

? ???

0 1

? ???

? k1 p1(k1 ? 0常数)是对应于?1 ? 2的全部特征向量.

当?2 ? 1?二重?时,齐次线性方程组为 ?I ? A?X ? 0

?I

?

A? ?

?? ?

2 4

?? ? 1

?1 ?2 0

0 ?? 0? ? 1??

?

? ? ???

1 0 0

0 1 0

1?

2 0

? ???

? ?1 1 0?

A

?

? ???

?4 1

3 0

0 2

? ???

? x1 ? ? x3

? ?

x2

?

?2 x3

? ? 1? ?? 得基础解系 p2 ? ? ? 2? ?? 1 ??

? k2 p2(k2 ? 0 常数)是对应于?2 ? ?3 ? 1的全部特征向量.



?? 1 A ? ?? 2

?2 ?2

2 4

?? ?

,

求A的特征值与特征向量.

?? 2 4 ? 2??

? ?1 2 ? 2 ? ?1 2 ? 2 解 ?I ? A ? 2 ? ? 2 ? 4 ? 2 ? ? 2 ? 4
?2 ?4 ??2 0 ??2 ??2

? ?1 4 ?2

? 2 ? ? 6 ? 4 ? ?? ? 2?? ? 1 4

0 0 ??2

2 ??6

? ?? ? 2?2?? ? 7?

?1 ? 2 (二重), ?2 ? ?7.

求 ?1 ? 2的特征向量, ??1I ? A?X ? 0, 即
?? 1 2 ? 2???? x1 ?? ?? 0?? ? 2 4 ? 4?? x2 ? ? ? 0? . ?? ? 2 ? 4 4 ???? x3 ?? ?? 0??

系数矩阵

?? ?

1 2

?? ? 2

2 4 ?4

? ?

2 ?? 4?

?

?? ?

1 0

4 ?? ?? 0

2 0 0

? 2??
0 ?, x1 ? ?2x2 ? 2x3
0 ??

基础解系为:?1 ? ?? 2, 1, 0?T ,?2 ? ?2, 0, 1?T .

特征向量为:k1?1 ? k2?2 ?k1, k2 不全为零?.

求?2 ? ?7的特征向量,
?? 8 2 ? 2?

?? 1

?
?2I ? A ? ? 2

?5

?

4

? ?

?

?

?

? ?

0

0 1

1 ?? 2? 1?

?? ? 2 ? 4 ? 5??

x1

?

?1 2

x3

? ??

0

0

0

? ??

x2 ? ? x3 ,

基础解系为:?3 ? ?1, 2 , ? 2?T ,

特征向量为 k3?3 ?k3 ? 0?.

重要结论:
1. 特征值的代数重数大于等于它的几何重数. (知道结论即可)
2. 对角矩阵及三角矩阵的特征值为其主对角元.

例 求数量矩阵 aIn 的特征值和特征向量.

解 可 知数a为 数量 矩 阵aIn的n重 特征 值.
(?In ? A) X ? (aIn ? aIn ) X ? 0

因此,所有n维非零向量都是此数量矩阵的 特征向量,即特征向量可表示为

k1?1 ? k2? 2 ? ?? kn? n

(k1

,

k2

,?

,

k


n









例 设矩阵 A 可逆, 且 A? ? ?? ?? ? 0?,
求 A?1 与 A? 的特征值与特征向量.
? ? 解 A?1?A? ? ? A?1???? ? ? A?1?
? ?A?1A?? ? ?
若 ? ? 0 ,则 ? ? 0 , 矛盾. ? ? ? 0 , A?1? ? 1 ? .
? 又 AA? ? A I , A? ? A A?1 ,
? A?? ? A A?1? ? A ? . ?

例 设?为矩阵 A 的特征值, 求 A2 ? 2A ? I 的特征值;
若 A可逆,求 I ? A?1的特征值.
解 (A2 ? 2A ? I)的特征值为?2 ? 2? ? 1 , I ? A?1的特征值为1 ? 1 .
?



设A

?

?? ?

?1 2

2 ?1

2 ?? ? 2? ,



A?1 与

I ? A?1 的特征值.

?? 2 ? 2 ? 1??

解 ?I ? A ? ? ? ?? ? 5??? ? 1?2 ,

?1 ? ?5 , ?2 ? 1 ?二重? .

A?1

的特征值为

:?1

?

?

1 5

,

?2 ? 1 ?二重?

I ? A?1 的特征值是 :4 , 5

2 ?二重?.

例 设4阶方阵A满足条件: 3I ? A ? 0, AAT ? 2I ,
A ? 0, 分别求A, A?1, A?的一个特征值.
解 由 A ? 3I ? 0知 ? 3是A的一个特征值, 从而? 1 是A?1的一个特征值. 3 又 由AAT ? 2I得 AAT ? 2I ? 16, 即
A 2 ? 16,于是A ? ?4, 但 A ? 0,因 此 A ? ?4,
故A*有一个特征值为4 . 3

? ? 定理 设n阶方阵A ? aij 的n个特征值为?1,?2, ,?n


1) ?1+?2+ +?n ? a11 ? a22 ? ? ann
n
? ? aii ? tr( A) i ?1
称为矩阵A的迹.(主对角元素之和)

n

? 2)

?i ? ?1?2 ?n= A

i ?1

注 A可逆的条件. n阶方阵A可逆 ? A ? 0
? ?A ? 0

证明

? ? a11 ? a12 ? ? a1n

fA?? ? ? ?I ? A

?

? a21 ?

? ? a22 ?
??

? a2n ?

? an1 ? an2 ? ? ? ann

? ?n ? (a11 ? a22 ? ? ? ann )?n?1 ? ? ? (?1)n A

又 f A(? ) ? (? ? ?1 )(? ? ?2 )?(? ? ?n )
? ?n ? (?1 ? ?2 ? ? ? ?n )?n?1 ? ? ? (?1)n ?1?2 ??? ?n

比 较?n?1的 系 数 和 常 数 项
?1 ? ?2 ? ?? ?n ?a11 ? a22 ? ?? ann
?1?2 ??? ?n ? A .

例 设A为3阶方阵, A的特征值分别为 -1、4、2, 求 ( A ? 3I )?1的 特 征 值 ,以及行列式A ? 3I , A?1 ? 3I .

解 ( A ? 3I )的特征值分别为? 1 ? 3、4 ? 3、2 ? 3.

即为 ? 4、1、? 1.

则( A ? 3I )?1的特征值分别为? 1、1、? 1. 4
A ? 3I ? (?4)?1? (?1) ? 4.

A?1的特征值分别为? 1、1 、1 . 42
( A?1 ? 3I )的特征值分别为? 1 ? 3、1 ? 3、1 ? 3. 42

A?1 ? 3I ? (?4) ? 11 ? 5 ? ? 55 . 42 2

即? 4、? 11、? 5 . 42


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