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北京市朝阳区2016届高三二模理科数学试卷含解析


2016 年北京市朝阳区高三二模理科数学试卷
一、单选题(共 8 小题) 1.已知集合
A. C. , ,则 B. D. ( 为虚数单位)在复平面内对应的点位于( B.第二象限 D.第四象限 值 为 ( ) ) =( )

2.复数
A.第一象限 C.第三象限

3 . 执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 , 输 出 的

A.6

B.10 ”是“

C.14 ”的( ) B.必要而不充分条件

D.15

4.已知非零向量 , ,“
A.充分而不必要条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

5.同时具有性质:“①最小正周期是 ;②图象关于直线

对称;③在区间



是单调递增函数”的一个函数可以是( ) A. C. B. D.

已知函数 6.



的最大值为 , 则 的取值范围是 ( )

A.

B.

C.

D.

7.某学校高三年级有两个文科班,四个理科班,现每个班指定 1 人,对各班的卫生进行检
查. 若每班只安排一人检查, 且文科班学生不检查文科班, 理科班学生不检查自己所在的班, 则不同安排方法的种数是( A. B. 的棱长为 2, ∥平面 B. ,则动点 ) C. 是棱 的中点,点 D. 在正方体内部或

8.已知正方体
正方体的表面上,且 A.

的轨迹所形成的区域面积是( ) C. D.

二、填空题(共 6 小题)
9.双曲线 一个焦点重合,则 10.如图, 两点,且 为⊙ 的渐近线方程是;若抛物线 ______. 外一点, , 为线段 是⊙ 的切线, 为切点,割线 的延长线交⊙ 与⊙ 于点 相交于 ,则 的焦点与双曲线 的

的中点,

.若

的长为______;

的值是________.

11.已知等边

的边长为 3, 是

边上一点, 若

, 则

的值是______.

12.已知关于

的不等式组

所表示的平面区域

为三角形区域, 则实数 的取

值范围是_____. 13.为了响应政府推进“菜篮子”工程建设的号召,某经销商投资 60 万元建了一个蔬菜生产基 地.第一年支出各种费用 8 万元,以后每年支出的费用比上一年多 2 万元.每年销售蔬菜的收 入为 26 万元.设 -投资额) ,则 14.在平面直角坐标系 点 表示前 年的纯利润( =前 年的总收入-前 年的总费用支出

_____(用 表示) ;从第_____年开始盈利. 中,以点 ,且 ,曲线 ,则线段 上的动点 ,第一象限内的

,构成等腰直角三角形

长的最大值是_____.

三、解答题(共 6 小题)
15. 在 中,角 , . (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)若角 为锐角,求 的值及 的面积. , 的对边分别是 , , ,已知 ,

16.交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映某区域道路网在某特定时段内畅通或拥堵 实际情况的概念性指数值.交通指数范围为 ,五个级别规定如下:

某人在工作日上班出行每次经过的路段都在同一个区域内,他随机记录了上班的 40 个工作 日早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)的交通指数(平均值),其统计结果如直方图所

示.

(Ⅰ)据此估计此人 260 个工作日中早高峰时段(早晨 7 点至 9 点)中度拥堵的天数; (Ⅱ)若此人早晨上班路上所用时间近似为:畅通时 30 分钟,基本畅通时 35 分钟,轻度拥 堵时 40 分钟,中度拥堵时 50 分钟,严重拥堵时 70 分钟,以直方图中各种路况的频率作为 每天遇到此种路况的概率,求此人上班路上所用时间 17.如图 1,在等腰梯形 点,点 分别为 平面 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)求直线 中, 的中点.将 (如图 2) . ; 与平面 所成角的正弦值; , 沿 折起到 的数学期望. , , 为 中

的位置,使得平面

(Ⅲ)侧棱 在

上是否存在点 ,

,使得 请

平面 说

?若存在,求出 明

的值;若不存 理

由.

18.已知函数 (Ⅰ)当 时,求曲线 在点



. 处的切线方程;

(Ⅱ)当

时,若曲线

上的点

都在不等式组

所表示的

平面区域内,试求 的取值范围. 19.在平面直角坐标系

中,点

在椭圆

上,过点

的直

线 的方程为 (Ⅰ)求椭圆

. 的离心率; 轴分别相交于 , 两点,试求 , 点 与点 面积的最小值;

(Ⅱ)若直线 与 轴、 (Ⅲ) 设椭圆 三点共线. 20. 已 知 集 合

的左、 右焦点分别为

关于直线 对称, 求证: 点

,且

.若存在非空集合

, 使 得 ,都有 ( (Ⅰ)当 )称为集合 的 时,试说明集合 子集. 具有性质

, 且 ,则称集合 具有性质

, 并 ,

,并写出相应的 子集, 设

子集

; , 求证:

(Ⅱ) 若集合 具有性质 ,

, 集合 是集合 的一个 ; ,集合 具有性质

,都有

(Ⅲ)求证:对任意正整数



答案部分
1.考点:集合的运算
试题解析: = 故答案为:A 答案:A 。 所以

2.考点:复数乘除和乘方
试题解析: 位于第二象限。 故答案为:B 答案:B 则 z 在复平面内对应的点为

3.考点:算法和程序框图
试题解析: 则输出的 答案:B 值为 10. 是; 是; 是; ,否,

故答案为:B

4.考点:平面向量的几何运算
试题解析:若 ∥ ,则 = ,则 的充要条件。 故答案为:C 答案:C = ,则 =(1+ ) ,故 ∥ ;反过来,若 ∥ ”

,所以 =

-1) ,所以 ∥ 。所以“ ∥ ”是“ ∥

5.考点:三角函数的图像与性质
试题解析: 又图象关于直线 故排除 A; 对称,所以函数在 处取得最值,故排除 C;

又 故答案为:D 答案:D

,对 B:

,是减函数,故 B 错。

6.考点:分段函数,抽象函数与复合函数
试题解析:因为函数最大值为 ,且 x-1 所以 时, 且

所以 的取值范围是 故答案为:A 答案:A



7.考点:排列组合综合应用
试题解析: 故答案为:D 答案:D

8.考点:平行柱,锥,台,球的结构特征
试题解析:动点 边长为 , 的轨迹为:由棱 的中点构成的正六边形,

所以面积为 故答案为:C 答案:C

9.考点:抛物线双曲线
试题解析:双曲线:中, 所以渐近线方程为 : . 因为抛物线

的焦点与双曲线

的一个焦点(2,0)重合,所以

故答案

为:



答案:



10.考点:圆相似三角形
试题解析: 由切割线定理有: 又 为线段 的中点,所以 DB=4,CD=4,所以 BC=8. 所以 PC=9, 故答

案为: ,16 答案: ,16

11.考点:数量积的应用
试 题 解 析 :

故答案为: 答案:6

12.考点:线性规划

试题解析:作可行域:

由图知:A(0,2),B(1,1)虚线为 y=2x-k,所以纵截距为-k.所以当 即 或 时平面区域 为三角形区域。



故答案为: 答案:

13.考点:函数模型及其应用
试题解析: 由题知: >0,解得: 故答案为: 答案: , , 所以从第 5 年开始盈利. 令 即

14.考点:直线综合圆的标准方程与一般方程
试题解析:设 B ,C(x,y),根据题意有:



整理得

由(2)得: 代入(1)得: ( )

整理得:



所以 所以 令

,因为 x>2,所以 =9+4( ,所以 m>0 时,t 有最小值,所以 m<0. ) 。

所以

所以 所以 故答案为: 答案:

15.考点:倍角公式余弦定理正弦定理
试题解析:(Ⅰ)因为 ,且 ,所以 .

因为

, 由正弦定理

, 得



(Ⅱ)由



.由余弦定理

,得

.解得



(舍负) .

所以



答案:(Ⅰ)

.(Ⅱ)



16.考点:随机变量的期望与方差随机变量的分布列频率分布表与直方图
试题解析: (Ⅰ)由已知可得:上班的 40 个工作日中早高峰时段中度拥堵的频率为 0.25,据 0.25=65 天. 此估计此人 260 个工作日早高峰时段 (早晨 7 点至 9 点) 中度拥堵的天数为 260× (Ⅱ)由题意可知 ; 所以 答案: (Ⅰ)65 天. (Ⅱ)46 的可能取值为 ; .且 ; ; ;

17.考点:利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角平行垂直
试题解析: (Ⅰ) 如图 1, 在等腰梯形 为 中点, 所以 平面 中, 由 , 为 , 的中点, 所以 ,所以 , . 平面

为等边三角形. 如图 2, 因为 ,且平面 平面

又因为平面

,所以



(Ⅱ) 连结 平面

, 由已知得 ,所以 分 别 为

, 又



的中点, 所以

. 由 (Ⅰ) 知 两两垂直.以 为原点,

,所以

轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ( 如

图) .

因为 所以

,易知

.所以 . 设平面

, 的一个法向

量为

,由







,得

. 设 直 线

与 平 面

所 成 角 为

, 则

.所以直线

与平面

所成角的正

弦值为



(Ⅲ)假设在侧棱 因 为

上存在点

,使得

平面

.设 ,

, 所

. 以

.易证四边形 面

为菱形,且

,又由(Ⅰ)可知, 为 平 面 , 得

,所以



. 所 以

的 一 个 法 向 量 . 由 . 所以侧棱

上存在点

,使得

平面

,且



答案: (Ⅰ)如图 1,在等腰梯形 为 中点, 所以

中,由

, 为 的中点, 所以



, . 又

为等边三角形. 如图 2, 因为

因为平面

平面

,且平面

平面

,所以

平面

,所以



(Ⅱ)

. (Ⅲ)假

设在侧棱

上存在点

,使得

平面 ,

.设 所 .易证四边形



.因为 以 为菱形,且

,又由(Ⅰ)可知, 为平面 的一个法向量.由

,所以

平面

.所以 ,



.所以侧棱

上存在点

,使得

平面

,且



18.考点:导数的综合运用利用导数求最值和极值导数的概念和几何意义
试题解析: (Ⅰ)当 . 则 所以曲线 在点(1, ,而 )处的切线方程为 . ,即 . 时, , .

(Ⅱ)依题意当

时,曲线

上的点

都在不等式组

所表示的平面

区域内,等价于当 设

时, ,

恒成立. .

所以



(1)当

,即

时,当

时,



为单调减函数,

所以

.依题意应有

解得

所以



(2)若 当 (3) 当 答案: (Ⅰ) , , 即

,即 ,

时,当





为单调增函数,

为单调减函数.由于

,所以不合题意. .

时, 注意到 ,即

, 显然不合题意. 综上所述, . (Ⅱ) .

19.考点:椭圆
试题解析: (Ⅰ)依题意可知 , ,所以椭圆 离心率为 .

(Ⅱ)因为直线 与 轴,

轴分别相交于

两点,所以





,由



,则





,由



,则



所以

的面积



因为点

在椭圆

上,所以



所以

.即

,则



所以



当且仅当

,即

时,

面积的最小值为

.…9 分

(Ⅲ)①当 当直线 因为 同理,当直线 ②当

时, 时,易得 ,所以三点

. ,此时 共线. 共线. 与点 关于直线 对称, , .

时,三点 ,因为点

时,设点

所以

整理得

解得

所以点















. 所以 综上所述,点 .所以点 三点共线. 三点共线.

答案: (Ⅰ)椭圆

离心率为

. (Ⅱ)

面积的最小值为

. (Ⅲ)

①当 为 当

时,

. 当直线

时, 易得

, 此时 时, 三点 关于直线



.因 共线. ②

, 所以三点 时,设点

共线. 同理, 当直线 ,因为点 与点

对称,

所以

整理得

解得

所 以 点



又 因 为







. 所以

. 所

以点

三点共线.综上所述,点

三点共线.

20.考点:数列综合应用
试题解析: (Ⅰ)当 则 所以 ,且对 具有性质 .相应的 子集为 时, ,令 ,都有 , . , , ,

(Ⅱ)①若

,由已知





,所以

.所以



②若

,可设



,且



此时



所以 ③若 ,

,且 ,

.所以 ,







所以 又因为 所以 综上,对于

. ,所以 . , ,都有 . .所以 .

(Ⅲ)用数学归纳法证明. (1)由(Ⅰ)可知当 ( 2 )假设 ( 时,命题成立,即集合 ) 时,命题成立.即 具有性质 . ,且

, 那么当 时,记 , , ,

,都有 ,并构造如下 ,

. 个集合: ,



显然



又因为

,所以



下面证明

中任意两个元素之差不等于

中的任一元素



①若两个元素









所以



②若两个元素都属于 由(Ⅱ)可知, 从而,

, 中的任一数 .

中任意两个元素之差不等于 时命题成立. ,集合 , 具有性质

综上所述,对任意正整数 答案: (Ⅰ) 子集为

. ,

. (Ⅱ)①若

由已知

,又

,所以

.所以

.②若

, 可 设



, 且

, 此 时

. 所以

, 且

. 所

















, 所以

.又

因为

,所以 .综上,对于

.所以 , ,都有

. 所以 . (Ⅲ)用数学 具有性质 . (2)假设 ,且

归纳法证明. (1)由(Ⅰ)可知当 (

时,命题成立,即集合

)时,命题成立.即

, 时, 记 ,

,都有 , 并构造如下 个集合:

.那么当 ,







,显然















.下面证明

中任意两个元素之差不等于

中的任一元素

.①若两个元素













.②若两个元素都属于

, 由(Ⅱ)

可知,

中任意两个元素之差不等于

中的任一数 ,集合 具有性质 .

. 从而,



命题成立.综上所述,对任意正整数


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