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2.2.1


椭圆的标准方程 (习题课)

一. 椭圆的定义:
? 平面上到两个定点的距离的和等于定长2a

(大于2c)的点的轨迹叫椭圆。
? 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 ? 两焦点之间的距离叫做焦距(2c)。

二、椭圆的两种标准方程:
定 义 y
M

MF1+MF2=2a

y
F2
M

图 形

F1

o

F2 x

o
F1

x

标准方程

x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

y 2 x2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0? 2 a b

焦点及位置 焦点F1 (?c,0), F2 (c,0) 判定 a,b,c之间
的关系

焦点F1 (0,?c ), F2 (0, c )

a 2 ? b2 ? c 2

椭圆标准方程的结构特征:
x2 y2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b y2 x2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 2 a b

(1)椭圆标准方程是关于 x, 不含有一次项;

y 的二元二次方程,

(2)方程的左边是平方和的形式,右边是常数1; (3)方程中

x, y 的系数不相等;

2 2 x y 例1.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16 则(1)a= 5 , b= 4 , c= 3 ;

三、例题分析

(2)焦点在 x 轴上,其焦点坐标为

(-3,0)、(3,0)

,

焦距为 6 。
2 2 x y (3)若椭圆方程为 ? ?1 , 16 25

其焦点坐标为 (0,3)、(0,-3)

.

2 2 x y 例2.已知椭圆方程为 ? ?1 , 25 16

(4)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6,

则点P到右焦点的距离是 4
(5)若CD为过左焦点F1的弦, 则?CF1F2的周长为 16 ,


C

F1 D

F2

?F2CD的周长为 20



练习
x 2 y2 1.方程 ? ? 1表示焦点在x轴上的椭圆, a 3 则a的范围为( a>3 )。 x y 2.方程 ? ? 1表示焦点在y轴上的椭圆, b 9 则b的范围为( 0<b<9 )。 x y 3.方程 ? ? 1表示椭圆 m 8-m 则m的范围为( 0 ? m ? 4或4 ? m ? 8 )。
2 2 2 2

例3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 ,? 3 ), 求它的标准方程.

2

2

法一

法二

下一题

例3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0),(2,0), 并且经过点 ( 5 ,? 3 ), 求它的标准方程.

解法一:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b 由椭圆的定义知

2

2

5 3 2 5 3 2 2 2 2a ? ( ? 2) ? ( ? ) ? ( ? 2) ? ( ? ) ? 2 10 2 2 2 2 所以 a ? 10 .
又因为

c?

2 , 所以 b 2

? a ? c ? 10 ? 4 ? 6.
2 2

x2 y2 因此, 所求椭圆的标准方程为 ? ? 1. 10 6

例3.已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0), (2,0),

5 3 并且经过点 ( ,? ) , 求它的标准方程. 2 2 解法二:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为
x2 y2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0). 2 a b
2

又 ?焦点的坐标分别是 (?2,0), (2,0) ? c ? 2
2 3 2 (5 ) ( ? 2 2 ) (1)确定焦点的位置; ② 又由已知 2 ? 2 ? 1 a b (2)设出椭圆的标准方程; 联立①②, 解得a2 ? 10,b2 ? 6

?a ? b ? 4
2



求椭圆标准方程的解题步骤:

(3)用待定系数法确定a、b的值,

写出椭圆的标准方程 ? ? 1. . 因此, 所求椭圆的标准方程为

x 10

2

y 6

2

例4:求适合下列条件的椭圆的标准方程.

椭圆经过点 M 2, 2 , N ( 6,1)
分析:设椭圆方程为:
2 2

?

?

y x x y (1) 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? ( 2) 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? a b a b

2

2

mx ? ny ? 1? m, n ? 0 ?
2 2

x y ? ?1 8 4

2

2


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