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001 (数学) 2016高考全国课标卷理科数学模拟试题八及详解


睿學教育
001

高三理科試題

高三數學

2016 高考全国课标卷理科数学模拟试题八


一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(14 大纲理)设集合 M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则 M∩N=( A.(0,4]
2

B.[0,4)

C.[-1,0)

D.(-1,0]

解析:由 x ﹣3x﹣4<0,得﹣1<x<4.?M={x|x2﹣3x﹣4<0}={x|﹣1<x<4}, 又 N={x|0≤x≤5},?M∩N={x|﹣1<x<4}∩{x|0≤x≤5}=[0,4) . 2.(14 福建理 01)复数 z=(3﹣2i)i 的共轭复数 z 等于( A.﹣2﹣3i B. ﹣2+3i C. 2﹣3i D. 2+3i )

解析:≧z=(3﹣2i)i=2+3i,? z =2-3i.故选:C 3.(11 广东理 3)若向量 a,b,c 满足 a// b 且 a⊥c,则 c〃(a+2 b)=( A.4 B.3 C.2 D.0 ). 解析:依题意得 a⊥c,b⊥c,则 c〃(a+2 b)= c〃a+2c〃b=0。选 D 4. (13 湖南文理)在锐角△ABC 中,角 A,B 所对的边长分别为 a,b.若 2asin B= 3b,则角 A 等于( π π π π A. B. C. D. 12 6 4 3 解析:由 2asin B= 3b 得 2sin Asin B= 3sin B,故 sin A= )

3 π 2π π ,故 A= 或 .又△ABC 为锐角三角形,故 A= . 2 3 3 3 )

5. (14 课标 1 理 5) 4 位同学各自在周六、 周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、 周日都有同学参加公益活动的概率为 ( A.

1 8

B.

3 8

C.

5 8

D.

7 8

解:4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有 24=16 种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有 24﹣2=16﹣2=14 种情况,?所求概率为 14/16=7/8. 6.(14 湖南理 3) .已知 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x3+x2+1;则 f(1)+g(1)=( A.–3 B.–1 C.1 D. ) 解析:令 x=-1 可得 f(-1)-g(-1)= f(1)+g(1)=1,故选 C 7.(14 北京理 05)设{an}是公比为 q 的等比数列,则“q>1”是“{an}”为递增数列的( A.充分且不必要条件 C.充分必要条件 B.必要且不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析:等比数列﹣1,﹣2,﹣4,…,满足公比 q=2>1,但“{an}”不是递增数列,充分性不成立.若 an=﹣21-n 为递增数列,但 q=1/2>1 不成立,即必要性不成立,故选:D 8.(11 课标文理 5)已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos2θ=( A.– 4 5 3 B.– 5 3 C. 5 4 D. 5 )

解析:由题知 cosθ=±

5 3 ,cos2θ=2cos2θ–1=– 选 B 5 5

x+y-3≤0, ? ? 9.(12 福建理)若函数 y=2x 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0, ? ?x≥m, A. 1 2 B.1 3 C. 2 D.2

,则实数 m 的最大值为(

)

解析:由约束条件作出其可行域如图所示:

第 1 页 共 6 页

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由图可知当直线 x=m 经过函数 y=2x 的图象与直线 x+y-3=0 的交点 P 时取得最大值,即得 2x=3-x,即 x=1=m. 10.(12 课标文理)如果执行右边的程序框图,输入正整数 N(N≥2)和实数 a1,a2, ┄,aN,输出 A,B,则( )

A.A + B 为 a1,a2, ┄,aN 的和 C.A 和 B 分别为 a1,a2, ┄,aN 中的最大数和最小数

B.

A? B 为 a1,a2, ┄,aN 的算术平均数 2

D.A 和 B 分别为 a1,a2, ┄,aN 中的最小数和最大数

解析:由框图知其表示的算法是找 N 个数中的最大值和最小值,A 和 B 分别为 a1,a2, ┄,aN 中的最大数和最小数,故选 C. 1 11.(14 湖南理 10)已知函数 f(x)=x2+ex- (x<0)与 g(x)=x2+ln(x+a)的图象上存在关于 y 轴对称的点,则 a 的取值范围是 2 A.(-≦,

1 e

)

B.(-≦,

e)

C.(-

1 e

, e)

D.(- e ,

1 e

)

1 1 1 解析:由题可得存在 x0<0 满足 x02+ex0- =(-x0)2+ln(-x0+a) ? ex0- ln(-x0+a) - =0,当 x0 取决于负无穷小时, ex0- ln(-x0+a) - 趋近于-≦,因 2 2 2 1 1 为函数 y=ex- ln(-x+a) - 在定义域内是单调递增的,所以 e0- ln(0+a) - >0 ? a< e ,故选 B. 2 2 12.(14 课标 2 理 10)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为( A. )

3 3 4

B.

9 3 8

C.

63 32

D.

9 4 3 3 1 + 3 m;2n=2× - 3 n。得 m+n=6;则 S= × 4 4 2

解析:设 AF=2m,BF=m;由抛物线定义和直角三角形知识可得:2m=2×

3 9 (m+n)= 4 4 二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 20 分. )
13.(13 课标 2 理)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a=_________. 解析:(1+x)5 的二项展开式的通项为 C5rxr (0≤r≤5,r∈Z),则含 x2 的项为 C52x2+ax〃C51x=(10+5a)x2,10+5a=5,a=-1. 14.(13 江西理 11)函数 y=sin 2x+2 3sin2x 的最小正周期 T 为________. π 解析:≧y=sin 2x+ 3 (1-cos 2x)=2sin(2x– )+ 3,?T=π. 3 第 2 页 共 6 页

睿學教育 V1:V2=__________。

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15.(14 山东理 13)三棱锥 P—ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D—ABE 的体积为 V1,P—ABC 的体积为 V2,则

解析:分别过 E,C 向平面做高 h1,h2,由 E 为 PC 的中点得 h1:h2=1:2,由 D 为 Pb 的中点得 S?ABD=

1 S?ABP,所以 V1:V2==1:4 2

16.(14 课标 2 理 16)设点 M(x0,1) ,若在圆 O: x2+y2=1 上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是________. 解析:数形结合,由切线与三角形外角知识可得-1≤x0≤1

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )
17.(14 天津文理 20) (本小题满分 12 分)已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数,设集合 M={0,1,2,…,q﹣1},集合 A={x|x=x1+x2q+…+xnqn﹣1,xi∈M,i=1,2,…n}. (1)当 q=2,n=3 时,用列举法表示集合 A; (2)设 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn﹣1,t=b1+b2q+…+bnqn﹣1,其中 ai,bi∈M,i=1,2,…,n.证明:若 an<bn,则 s<t. 解:(1)当 q=2,n=3 时,M={0,1},A={x|x=x1+x2〃2+x3〃22,xi∈M,i=1,2,3},可得 A={0,1,2,3,4,5,6,7}. (2)证明:由 s,t∈A,s=a1+a2q+…+anqn-1,t=b1+b2q+…+bnqn-1,ai,bi∈M,i=1,2,…,n 及 an<bn,可得 s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(an-1-bn-1)qn-2+(an-bn)qn-1 (q-1)(1-qn-1) n-1 ≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)qn-2-qn-1= -q =-1<0,所以 s<t. 1-q 18.(13 大纲理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负 的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为

1 ,各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. 2

(1)求第 4 局甲当裁判的概率;(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望. 解:(1)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜” , A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛时,结果为甲负” ,A 表示事件“第 4 局甲当裁判” .则 A=A1〃A2. P(A)=P(A1〃A2)=P(A1)P(A2)=

1 . 4

(2)X 的可能取值为 0,1,2. 记 A3 表示事件“第 3 局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙” ,B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜丙” ,B2 表示事件“第 2 局乙和甲比赛 时,结果为乙胜甲” ,B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙负” . 则 P(X=0)=P(B1〃 B2〃 A3)=P(B1)P(B2)〃 P(A3)=

1 1 5 , P(X=2)=P( B1 〃 B3)=P( B1 )P(B3)= , P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)= , 4 8 8 9 EX=0〃P(X=0)+1〃P(X=1)+2〃P(X=2)= . 8

19.(10 安徽理 18) (本小题满分 12 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,EF//AB,EF⊥FB,AB=2EF, ∠BFC=90°BF=FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH//平面 EDB;
E F

(2)求证:AC⊥平面 EDB;

(3)求二面角 B—DE—C 的大小.

D

C

H A B

解法 1: (1)证:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点,连 EG,GH, 由于 H 为 BC 的中点,故 GH//AB 且 GH= 又 EF//AB 且 EF=

1 AB 2
FH//平面 EDB

1 AB,所以四边形 EFGH 为平行四边形 EG//FH 2

(2)证:依题设有 AB⊥BC; 又 EF//AB 所以 EF⊥BC,而 EF⊥FB 所以 EF⊥平面 BFG 所以 EF⊥FH 所以 AB⊥FH 第 3 页 共 6 页

睿學教育 又 BF=FG,H 为 BC 的中点 所以 FH⊥BC 又 AC⊥BD 所以 FH⊥平面 ABCD 所以 AC⊥平面 EDB

高三理科試題 所以 FH⊥BC 所以 FH⊥平面 ABCD 又 FH//EG, 所以 AC⊥EG,

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(3)解:EF⊥FB,∠BFC=90°,?BF⊥平面 CDEF, 在平面 CDEF 内过点 F 作 FK⊥DE 交 DE 的延长线于 K, 则∠FKB 为二面角 B—DE—C 的一个平面角. 设 EF=1,则 AB=2,FC= 2 ,DE= 3 又 EF//DC,?∠KEF=∠EDC,?sin∠EDC=sin∠KEF= 2 / 3 ?FK=EFsin∠KEF= 2 / 3 ,tan∠FKB=BF/FK= 3 ?∠FKB=60° ?二面角 B—DE—C 为 60°. 解法 2:≧四边形 ABCD 为正方形,?AB⊥BC,又 EF//AB,?EF⊥BC. 又 EF⊥FB,?EF⊥平面 BFC. ?EF⊥FH,?AB⊥FH. 又 BF=FC,H 为 BC 的中点,?FH⊥BC,?FH⊥平面 ABC. 以 H 为坐标原点,建立如图所示坐标系. 设 BH=1,则 A(1,-2,0) ,B(1,0,0) ,C(-1,0,0) ,D(-1,-2,0) ,E(0,-1,1) ,F(0,0,1). (1)证:设 AC 与 BD 的交点为 G,连 GE,GH, 则 G(0,-1,0)

GE =(0,0,1), HF =(0,0,1)

所以 GE // HF

GE ? 平面 EDB,HF 不在平面 EDB 内,?FH//平面 EBD, (2)证: AC =(-2,2,0), GE =(0,0,1), AC 〃 GE =0 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,?AC⊥平面 EDB. (3)解: BE =(-1,-1,1), BD =(-2,-2,0) 设平面 BDE 的法向量为 m=(1,y,z) 所以 m=(1,-1,0) 所以 AC⊥GE

则 BE 〃m=-1-y+z=0 且 BD 〃m=-1-2y=0

设平面 CDE 的法向量为 n=(1,p,q),同理得 n=(1,0,-1) 所以 cos< m, n>=1/2 即二面角 B—DE—C 为 60°.

x2 y2 3 20.(14 课标 1 理 20)已知点 A(0,﹣2) ,椭圆 E: 2 + 2=1(a>b>0)的离心率为 ,F 是椭圆 E 的右焦点,直线 AF 的 a b 2 斜率为

2 3 ,O 为坐标原点. 3
(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.

(1)求 E 的方程;

解: (1)设 F(c,0) ,≧直线 AF 的斜率为 ?椭圆 E 的方程为

2 3 3 2 2 3 c ,? = ,解得 c= 3 .又 = ,b2=a2﹣c2,解得 a=2,b=1. 3 3 c a 2

x2 ? y2 ?1; 4 16k 12 ,x1x2= , . 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
点 O 到直线 l 的距离 d=

(2)设 P(x1,y1) ,Q(x2,y2) .由题意可设直线 l 的方程为:y=kx﹣2.联立 x2+4y2=4 消去 y 得: (1+4k2)x2﹣16kx+12=0, 当△=16(4k2﹣3)>0 时,即 k2>3/4 时,x1+x2=

?由弦长公式得:|PQ|=

4 1 ? k 2 4k 2 ? 3 1 ? 4k 2

2 1? k 2



第 4 页 共 6 页

睿學教育 ?S△OPQ= ?S△OPQ=

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4 4k 2 ? 3 1 d|PQ|= ,设 4k 2 ? 3 =t>0>0,则 4k2=t2+3, 2 1 ? 4k 2

4 t? 4 t

≤1,当且仅当 t=2,即 4k 2 ? 3 =2,解得 k=±

7 时取等号. 2

满足△>0,?△OPQ 的面积最大时直线 l 的方程为:y=± 21.(10 辽宁理 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

7 x-2. 2

(1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)设 a<-1,如果对任意 x1,x2∈(0,+ ≦),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|,求 a 的取值范围 解:(1) f(x)的定义域为(0,+ ≦),f′(x)=

a ?1 2ax 2 ? a ? 1 +2ax= . x x

当 a≥0 时,f′(x)>0,故 f(x)在(0,+ ≦)单调增加; 当 a≤-1 时,f′(x)<0, 故 f(x)在(0,+ ≦)单调减少; 当-1<a<0 时,令 f′(x)=0,解得 x= ? x∈( ?

a ?1 .当 x∈(0, 2a ?

?

a ?1 )时, f′(x)>0; 2a

a ?1 ,+≦)时,f′(x)<0, 故 f(x)在(0, 2a

a ?1 a ?1 )单调增加,在( ? ,+≦)单调减少. 2a 2a


(2)不妨假设 x1≥x2.,而 a<-1,由(1)知在(0,+≦)单调减少,从而 任意 x1,x2∈(0,+ ≦),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x1)-f(x2)≥4x1-4x2,即 f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1. 令 g(x)=f(x)+4x,则 g′(x)=

a ?1 2ax ? 4 x ? a ? 1 +2ax +4= x x
2

①等价于 g(x)在(0,+≦)单调减少,即 从而 a≤

a ?1 +2ax +4≤0. x

? 4 x ? 1 (2 x ?1) 2 ? 4 x 2 ? 2 (2x ?1) 2 故 a 的取值范围为(-≦,-2]. ? ? ?2 2x 2 ? 1 2x 2 ? 1 2x 2 ? 1 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号.
22. 如图,弦 AB 与 CD 相交于⊙O 内一点 E,过 E 作 BC 的平行线与 AD 的延长线交于点 P,已知 PD=2DA=2,求 PE.

解析:∠C 与∠A 在同一个⊙O 中,所对的弧都是 BD 弧,则∠C=∠A. 又 PE∥BC,?∠C=∠PED.?∠A=∠PED.又∠P=∠P, ?△PED∽△PAE,则 PE:PA=PD:PE,?PE2=PA〃PD. 又 PD=2DA=2,?PA=PD+DA=3,?PE2=3×2=6,?PE= 6 .

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 23.(10 福建文理)在直角坐标系 xoy 中,直线 L 的参数方程为 ? (t 为参数) 。在极坐标系(与直角坐标系 xoy 2 ? y? 5? t ? 2 ?
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为ρ=2 5 sinθ。 (1)求圆 C 的直角坐标方程; (2)设圆 C 与直线 l 交于点 A、B,若点 P 的坐标为(3, 5 ),求|PA|+|PB|。 解:(1)由ρ=2 5 sinθ得 x2+y2-2 5 y=0 即 x2+(y- 5 )2=5

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(2)将 L 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得(3-

2 2 2 2 t) +( t) =5, 2 2

即 t2-3 2 t+4=0,故可设 t1,t2 是上述方程的两实根,所以 t1+t2=3 2 , t1t2=4 故由上式及 t 的几何意义得: |PA|+|PB|=| t1|+|t2|= t1+t2=3 2 24.(11 课标文理)设函数 f(x)=|x-a|+3x,其中 a>0。 (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥3x+2 的解集; (2)若不等式 f(x)≤0 的解集为{x|x≤-1} ,求 a 的值。 解: (1)当 a=1 时,f(x)≥3x+2 可化为|x-1|≥2。由此可得 x≥3 或 x≤-1。故不等式 f(x)≥3x+2 的解集为{x| x≥3 或 x≤-1}。 ( 2) 由 f(x)≤0 得|x-a|+3x≤0,此不等式化为不等式组 ?

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?x ? a ?x ? a ? ? ;即 ? 或 a ? a a ? x ? 3 x ? 0 x ? x?? ? ? 4 ? 2 ? ?

因为 a>0,所以不等式组的解集为{x| x ? ?

a a } ,由题设可得 ? ? ?1 ,故 a=2 2 2

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