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2016年北京理数高考试题(精校版)


2016 年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理) (北京卷) 本试卷共 5 页,150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. (1)已知集合 A=B=,则 (A) (B) (C) (D) (2)若 x,y 满足 ,则 2x+y 的最大值为 (A)0 (B)3 (C)4 (D)5 (3)执行如图所示的程序框图,若输入的 a 值为 1,则输出的 k 值为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 (4)设 a,b 是向量,则“IaI=IbI”是“Ia+bI=Ia-bI”的 (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C) 充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (5)已知 x,yR,且 xyo,则 (A)(B)

(C)

(-0

(D)lnx+lny

(6)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

(A) (B) (C) (D)1

(7)将函数图像上的点 P( (A)t= ,s 的最小值为 (C)t= ,s 的最小值为

,t)向左平移 s(s﹥0)

个单位长度得到点 P′.若 P′位于函数的图像上,则

(B)t= ,s 的最小值为 (D)t= ,s 的最小值为

(8)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球, 将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直 到袋中所有球都被放入盒中,则 (A)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 (B)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 (C)乙盒中红球不多于丙盒中红球 (D)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9)设 aR,若复数(1+i) (a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a=_______________。 (10)在的展开式中,的系数为__________________.(用数字作答) (11)在极坐标系中,直线与圆交于 A,B 两点, 则 =____________________. (12)已知为等差数列,为其前 n 项和,学科&网若 , ,则. (13) 双曲线 的渐近线为正方形 OABC 的边 OA, OC 所在的直线, 点 B 为该双曲线的焦点。 若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=_______________. (14)设函数 ①若 a=0,则 f(x)的最大值为____________________; ②若 f(x)无最大值,则实数 a 的取值范围是_________________。 三、解答题(共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题 13 分) 在 ? ABC 中, a ? c ? b ? 2ac
3 3 3

(I)求 ? B 的大小 (II)求 2 cos A ? cos C 的最大值 (16) (本小题 13 分)A、B、C 三个班共有 100 名学生,为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得 了部分学生一周的锻炼时间,数据如下表(单位:小时) ; A班 B班 C班 6 6 3 6.5 7 4.5 7 8 6 7.5 9 7.5 8 10 9 11 10.5 12 12 13.5

(I) 试估计 C 班的学生人数; (II) 从 A 班和 C 班抽出的学生中,各随机选取一人,A 班选出的人记为甲,C 班选出的人记为乙,假设 所有学生的锻炼时间相对独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率; (III)再从 A、 B、 C 三个班中各随机抽取一名学生,学.科网他们该周的锻炼时间分别是 7, 9,8.25 (单位: 小时) , 这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 , 表格中数据的平均数记为 , 试判断 和 的大小, (结论不要求证明)

(17) (本小题 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,平面 PAD ? 平面 ABCD,PA ? PD

,PA=PD,AB ? AD,AB=1,AD=2,AC=CD=

5,

(I)求证:PD ? 平面 PAB; (II)求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值; (II I)在棱 PA 上是否存在点 M,使得 BMll 平面 PCD?若存在,求

AM 的值;若不存在,说明理由。 AP

(18) (本小题 13 分) 设函数 f(x)=xe e a ? x +bx,学科.网曲线 y=f(x)d hko (2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4, (I)求 a,b 的值; (I I) 求 f(x)的单调区间。 (19) (本小题 14 分) 已知椭圆 C:

X 2 y2 3 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0) ,△OAB 的面积为 1. 2 a b 2

(I)求椭圆 C 的方程; (I I)设 P 的椭圆 C 上一点,直线 PA 与 Y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N。 求证:lANl ?lBMl 为定值。 (20) (本小题 13 分) 设数列 A: a1 , a2 ,? aN (N≥2)。学.科.网如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k 都有 ak < an ,则称 n 是数列 A 的一个“G 时刻” 。记“G(A)是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。 (I)对数列 A:-2,2,-1,1,3,写出 G(A)的所有元素; (I I)证明:若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ,则 G(A) ? ? ; (I I I)证明:若数列 A 满足 an - an ?1 ≤1(n=2,3, ?,N),则 G(A)的元素个数不小于 aN - a1 。


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