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高考文科数学函数与导数综合题


高考文科数学函数与导数综合题
1.设函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? x ? 1,0 ? x ? 2? ,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值. 2. (设定函数 f ( x) ? 4。 (Ⅰ)当 a=3 且曲线 y ? f ( x) 过原点时,求 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 (??, ??) 无极值点,求 a 的取值范围。 3.已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1 (Ⅰ)设 a ? 2 ,求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)设 f ( x ) 在区间(2,3)中至少有一个极值点,求 a 的取值范围. 4.已知函数 f ( x) ? 3ax4 ? 2(3a ? 1) x2 ? 2(3a ? 1) x2 ? 4x (I)当 a ?

a 3 x ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) , 且方程 f ' ( x) ? 9 x ? 0 的两个根分别为 1, 3

1 时,求 f ( x ) 的极值; 6

(II)若 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数,求 a 的取值范围 5.已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? b 的图象在点 P(0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 3x ? 2 . 3
m 是 ?2,??? 上的增函数. x ?1

(Ⅰ)求实数 a,b 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ?

(i)求实数 m 的最大值; (ii)当 m 取最大值时,是否存在点 Q,使得过点 Q 的直线若能与曲线 y=g(x)围成两个封 闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由. 6.已知函数 f ( x ) 对任意实数 x 均有 f ( x) ? kf ( x ? 2) ,其中常数 k 为负数,且 f ( x ) 在区间

?0, 2? 上有表达式 f ( x) ? x( x ? 2) .
(1)求 f (?1) , f (2.5) 的值; (2)写出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的表达式,并讨论函数 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的单调性; (3)求出 f ( x ) 在 ? ?3,3? 上的最小值与最大值,并求出相应的自变量的取值.
x 2 7. 设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax

?

?

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ? x ? 的单调区间;[来源:学科网] 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围 8.设函数 f ( x) ? 程为 y ? 1 . (1) 确定 b, c 的值; (2) 设曲线

1 2 a 2 x ? x ? bx ? c, 其中 a>0 .曲线 y ? f ( x) 在点 p(0, f (0)) 处的切线方 3 2

y ? f ( x) 在点 ( x1 , f ( x1 ))及(x2 , f (x2 ))处的切线都过点(0,2).证明:当

x1 ? x2 时, f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ;
(3) 若过点(0,2)可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切 线,求 a 的取值范围. 9.已知函数 f ( x) ?

a ? x ? (a ? 1) ln x ? 15a, 其中 a ? 0 ,且 a ? ?1 . x

(Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性;

? ( ?2 x ?3ax ? g ( x) ? ? (Ⅱ) 设函数 ? e? f ( x ), x ?1 ?
3

2

? 6 ax ? 4 a 2 ? 6 a ) e x , x ?1
(e 是自然对数的底数) .

是否存在 a ,使 g ( x) 在 ? a, ?a? 上为减函数? 若存在,求 a 的取值范围;若不存在 ,请说 明理由.

10.设 f (x) 是定义在区间 (1,??) 上的函数,其导函数为 f ' ( x) .如果存在实数 a 和函数

h(x) ,其中 h(x) 对任意的 x ? (1,??) 都有 h(x) >0,使得 f ' ( x) ? h( x)(x 2 ? ax ? 1) ,则称
函数 f (x) 具有性质 P (a ) . (1)设函数 f ( x) ? ln x ?

b?2 ( x ? 1) ,其中 b 为实数 x ?1

(ⅰ)求证:函数 f (x) 具有性质 P (b) (ⅱ)求函数 f (x) 的单调区间 (2) 已 知 函 数

g (x)









P(2)

.





x1 , x2 ? (1,??), x1 ? x2 , 设m为实数, ? mx1 ? (1 ? m) x2 , ? ? (1 ? m) x1 ? mx2 , 且 ?

? ? 1, ? ? 1 ,若| g (? ) ? g ( ? ) |<| g ( x1 ) ? g ( x2 ) |, 求 m 的取值范围

11.设函数 f ? x ? ? 6x3 ? 3? a ? 2? x2 ? 2ax . (1)若 f ? x ? 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 x2 ? 1 ,求实数 a 的值; (2)是否存在实数 a ,使得 f ? x ? 是 ? ??, ??? 上的单调函数?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由.
x 2 12.设函数 f ? x ? ? x e ? 1 ? ax

?

?

(Ⅰ)若 a=

1 ,求 f ? x ? 的单调区间;[来源:学科网] 2

(Ⅱ)若当 x ≥0 时 f ? x ? ≥0,求 a 的取值范围 13 已知函数 f ( x) ? (a ? 1)lnx ? ax2 ? 1 . (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 a≤ ? 2 ,证明:对任意 x1 , x2 ? (0, ??) , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≥4 x1 ? x2 .

14.已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ?

1? a ? 1(a ? R). x

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求曲线 ? f ( x)在点( ,f (2))处的切线方程; y 2 (Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x ) 的单调性. 2

15.已知函数 f ( x) ?

x , g ( x) ? a ln x , a ? R .

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 与曲线 y ? g ( x) 相交,且在交点处有相同的切线,求 a 的值及该切 线的方程; (Ⅱ)设函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,当 h( x) 存在最小值时,求其最小值 ? (a ) 的解析式; (Ⅲ)对(Ⅱ)中的 ? (a ) ,证明:当 a ? (0, ??) 时, ? (a) ? 1 .

[来源:学科网 ZXXK]

16.设 f ( x ) ?

1? ax ( a ? 0 且 a ? 1) ,g(x)是 f(x)的反函数. 1? ax

(Ⅰ)求 g ( x) ; (Ⅱ)当 x ? [2, 6] 时,恒有 g ( x) ? log a

t 成立,求 t 的取值范围; ( x ? 1)(7 ? x)
2

1 (Ⅲ)当 0<a≤ 时,试比较 f(1)+f(2)+… +f(n)与 n ? 4 的大小,并说明理由. 2 17.已知函数 f ( x) ? ax ?
3

3 2 x ? 1( x ? R ), 其中 a >0. 2

(Ⅰ)若 a =1,求曲线 y ? f ? x ? 在点(2, f ? 2 ? )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上, f ( x) >0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

18.已知函数 f(x)=(x-a)2(x-b) (a,b∈R,a<b). (Ⅰ)当 a=1,b=2 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)设 x1,x2 是 f(x)的两个极值点,x3 是 f(x)的一个零点,且 x3≠x1,x3≠x2. 证明:存在实数 x4,使得 x1,x2,x3,x4 按某种顺序排列 后构成等差数列,并求 x4.

3 2 19.已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx (其中常数 a,b∈R), g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)讨论 g ( x) 的单调性,并求 g ( x) 在区间[1,2]上的最大值和最小值.


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