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【金版教程】2014届高考数学总复习 第6章 第6讲 直接证明与间接证明课件 理 新人教A版


第6讲 直接证明与间接证明

不同寻常的一本书,不可不读哟!

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了
解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法 的思考过程、特点.

1个熟知关键 要搞清分析法、综合法、反证法的特点,把握三种方法在解

决问题中的一般步骤,熟悉三种方法适用于解决的问题的类型.
2个必会关系 1. 分析法与综合法往往是相结合的,综合法的过程离不开对 问题的分析,分析的结果离不开综合的表达,因此在选择方法时 要有综合的意识. 2. 在数学证明中,通常用分析法探索解题途径,用综合法书 写解题过程.

3点必记注意 1. 当题目条件较多,且都很明确时,由因导果较容易,一

般用综合法,但在证明中,要保证前提条件正确,推理要合乎
逻辑规律. 2. 当题目条件较少,可逆向思考时,执果索因,使用分析 法解决.但在证明过程中,注意文字语言的准确表述. 3. 利用反证法证明数学问题时,要假设结论错误,并用假

设命题进行推理,没有用假设命题推理而推出矛盾结果,其推
理过程是错误的.

课前自主导学

1.直接证明 内容 分析法 从要________出发,逐 利用已知条件和某些数 步寻求使它成立的 学定义、公理、定理 ________,直到最后, 等,经过一系列的 把要证明的结论归结为 ________,最后推导出 判定一个明显成立的条 所要证明的结论 件(已知条件、定理、 ________ 定义、公理等)为止 由因导果(顺推证法) 执果索因 综合法

定义

实质

内容 P?Q1

综合法 → Q1?Q2

分析法 Q?P1 → P1?P2 →?→ 得到一个明显 成立的条件

框图表示

→?→ Qn?Q

文字语言

因为??所以??或 要证??只需证?? 由??得?? 即证??

(1)思考下列思维特点: ①从“已知”逐步推向“未知”,即逐步寻找已知成立的

必要条件.
②从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”即逐步寻找 结论成立的充分条件. 满足综合法的是________,满足分析法的是________(请填 写相应序号).

(2)要证明“ 3+ 7<2 5”可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是________.(填序号) ①反证法,②分析法,③综合法. (3)命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的证明: “cos4θ-sin4θ=(cos2θ-sin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ= cos2θ”过程应用了________(填序号) ①反证法,②分析法,③综合法

2.间接证明 (1)反证法的定义 假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因

此说明________,从而证明________的证明方法.
(2)利用反证法证题的步骤 ①假设命题的结论不成立,即假设结论的反面成立; ②由假设出发进行正确的推理,直到推出矛盾为止; ③由矛盾断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成

立.简言之,否定→归谬→断言.

(1)用反证法证明“如果 a>b,那么 a> b”的假设内容 应是________. (2)用反证法证明命题: “a,b∈N,ab 可被 5 整除,那 么 a、b 中至少有一个能被 5 整除”时,假设的内容应为 ________.

3

3

1.推理论证 成立的方法

证明的结论 充分条件

填一填:(1)① ② (2)② (3)③ 2.假设错误 原命题成立 填一填:(1) a≤ b (2)a,b 都不能被 5 整除 3 3

核心要点研究

例1 [2012·福建卷]某同学在一次研究性学习中发现,以 下五个式子的值都等于同一个常数: (1)sin213°+cos217°-sin13°cos17°; (2)sin215°+cos215°-sin15°cos15°; (3)sin218°+cos212°-sin18°cos12°; (4)sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°; (5)sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°. (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (Ⅱ)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等 式,并证明你的结论.

[解法一] (Ⅰ)选择(2)式,计算如下: 1 sin 15° +cos 15° -sin15° cos15° =1-2sin30°
2 2

1 3 =1-4=4. (Ⅱ)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 3 =4.

证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) =sin2α+(cos30° cosα+sin30° sinα)2 -sinα(cos30° cosα+ sin30° sinα) 3 2 3 1 2 3 1 =sin α+ 4 cos α+ 2 sinαcosα+ 4 sin α- 2 sinαcosα- 2
2

3 2 3 2 3 sin α=4sin α+4cos α=4.
2

[解法二] (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)三角恒等式为 sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 3 =4. 证明如下: sin2α+cos2(30° -α)-sinαcos(30° -α) 1-cos2α 1+cos?60° -2α? = + - sinα(cos30° cosα + 2 2 sin30° sinα)

1 1 1 1 3 = 2 - 2 cos2α + 2 + 2 (cos60° cos2α + sin60° sin2α) - 2 1 2 sinαcosα-2sin α 1 1 1 1 3 3 1 = 2 - 2 cos2α+ 2 + 4 cos2α+ 4 sin2α- 4 sin2α- 4 (1- 1 1 1 3 cos2α)=1-4cos2α-4+4cos2α=4.

综合法是一种由因导果的证明方法,即由已知条件出发,推 导出所要证明的等式或不等式成立.因此,综合法又叫做顺 推证法或由因导果法.其逻辑依据是三段论式的演绎推理方 法,这就要保证前提正确,推理合乎规律,才能保证结论的 正确性.

a2 b2 c2 [变式探究] 设 a,b,c>0,证明: b + c + a ≥a+b+c. 证明:∵a,b,c>0,根据基本不等式,

a2 b2 c2 有 b +b≥2a, c +c≥2b, a +a≥2c. a2 b2 c2 三式相加: b + c + a +a+b+c≥2(a+b+c).当且仅 当 a=b=c 时取等号. a2 b2 c2 即 b + c + a ≥a+b+c.

例2

[2013· 广东惠州调研]已知△ABC 的三个内角 A、

B、C 成等差数列,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,求证: 1 1 3 + = . a+b b+c a+b+c

[审题视点]

由已知到结论,方向不够明确,因而采用分

析法探明解题途径是必要的.

1 1 3 [证明] 要证 + = , a+b b+c a+b+c a+b+c a+b+c c a 即证 + =3,即证 + =1, a+b b+c a+b b+c 即证 c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 1 即证 a +c -b =ac,即证 cosB=2,
2 2 2

∵0° <B<180° ,∴只需证 B=60° , ∵A、B、C 成等差数列,∴B=60° 成立. 因此原结论成立.

分析法是逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明 显、直接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体

时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不
等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.注意用分析法 证题时,一定要严格按照格式书写.

[变式探究]

[2013· 南通检测]已知 m>0, b∈R, a, 求证:

a+mb 2 a2+mb2 ( )≤ . 1+m 1+m
证明:∵m>0,∴1+m>0.所以要证原不等式成立, 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),

即证m(a2-2ab+b2)≥0,
即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.

例3

[2013· 南京调研]等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,

a1=1+ 2,S3=9+3 2. (1)求数列{an}的通项 an 与前 n 项和 Sn; Sn (2)设 bn= n (n∈N*),求证:数列{bn}中任意不同的三项 都不可能成为等比数列. [审题视点] 本题结论含有否定词,并且从正面入手不好

证,可考虑反证法.

[解]

?a = 2+1, ? 1 (1)由已知得? ?3a1+3d=9+3 ?

2,

∴d=2,

故 an=2n-1+ 2,Sn=n(n+ 2). Sn (2)证明:由(1)得 bn= n =n+ 2. 假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等) 成等比数列,则 b2=bpbr. q

即(q+ 2)2=(p+ 2)(r+ 2). ∴(q2-pr)+ 2(2q-p-r)=0.
?q2-pr=0, ? * ∵p,q,r∈N ,∴? ?2q-p-r=0. ?

p+r 2 ∴( 2 ) =pr,(p-r)2=0.∴p=r.与 p≠r 矛盾. ∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.

奇思妙想:设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn 是它的前n 项和.

(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;
(2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? 解:(1)证明:假设数列{Sn}是等比数列,则S=S1S3,即a(1+

q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q
=0,这与公比q≠0矛盾,所以数列{Sn}不是等比数列. (2)当q=1时,{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数 列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0, 这与公比q≠0矛盾.

当一个命题的结论是以“至多”,“至少”、“唯一”或以 否定形式出现时,宜用反证法来证,反证法的关键是在正确 的推理下得出矛盾,矛盾可以是:①与已知条件矛盾;②与

假设矛盾;③与定义、公理、定理矛盾;④与事实矛盾等方
面,反证法常常是解决某些“疑难”问题的有力工具,是数 学证明中的一件有力武器.

[变式探究]

已知 a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1

1 -b)c,(1-c)a 不能同时大于4. 1 1 证明:法一:假设三式同时大于4,即(1-a)b>4,
1 1 (1-b)c>4,(1-c)a>4,∵a、b、c∈(0,1), 1 ∴三式同向相乘得(1-a)b(1-b)c(1-c)a>64. 1-a+a 2 1 1 1 又(1-a)a≤( ) =4,同理(1-b)b≤4,(1-c)c≤4, 2

1 ∴(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤64,这与假设矛盾,故原命题正确.

1 法二:假设三式同时大于4, ∵0<a<1, ?1-a?+b ∴1-a>0, ≥ ?1-a?b> 2 ?1-b?+c 1 ?1-c?+a 1 同理 >2, >2, 2 2 3 3 三式相加得2>2,这是矛盾的,故假设错误,∴原命题 正确. 1 1 4=2,

课课精彩无限

【选题· 热考秀】 1 1 1 [2011· 安徽高考](1)设 x≥1,y≥1,证明 x+y+xy≤ x+ y +xy; (2)设 1<a≤b≤c, 证明 logab+logbc+logca≤logba+logcb +logac.

[规范解答]

1 1 1 (1)要证 x+y+xy≤x +y +xy,

即证 xy(x+y)+1≤y+x+(xy)2. 又[y+x+(xy)2]-[xy(x+y)+1]=[(xy)2-1]-[xy(x+y)- (x+y)] =(xy+1)(xy-1)-(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1), ∵x≥1,y≥1,∴(xy-1)(x-1)(y-1)≥0. 从而所证不等式成立.

(2)设 logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 logca= 1 1 1 xy,logba=x,logcb= y,logac=xy. 1 1 1 于是,所要证明的不等式即为 x+y+xy≤x +y +xy, 其中 x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立.

【备考·角度说】 No.1 角度关键词:审题视角 对于(1),由于x≥1,y≥1,所以可先将分式不等式转化为

整式不等式,然后作差处理.
对于(2),由于1<a≤b≤c,所以logab≥1,lgbc≥1恰与问题 (1)中的x≥1,y≥1对立, 故可令x=logab,y=logbc,然后借助问题(1)来证明问题 (2).

No.2

角度关键词:技巧点拨

1.综合法和分析法各有其优缺点.分析法有利于思考, 综合法宜于表达.因此在解题时常常把分析法和综合法结合起

来运用.先以分析法为主寻求解题思路,再用综合法表述解答
或证明过程,有时两者交替使用才能成功. 2.本题易失误的地方是不会用分析法寻找突破口,直接 入手感觉无思路,从而导致不会.二是在作差变形时,变形不 彻底或不会因式分解导致失败.第(2)问中的构造联想(1)问的结

论是解题的突破口.

经典演练提能

1.[2013·绵阳周测]设t=a+2b,s=a+b2+1,则下列关于t 和s的大小关系中正确的是( A.t>s ) B.t≥s

C.t<s
答案:D

D.t≤s

解析:s-t=b2-2b+1=(b-1)2≥0, ∴s≥t,选D项.

2.否定“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反
设为( )

A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 C.a,b,c中至少有两个偶数

D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数
答案:D 解析:∵a,b,c恰有一个是偶数,即a,b,c中只有一个 偶数,其反面是两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是 奇数,故只有D正确.

3.[2012· 张家口模拟]分析法又称执果索因法,若用分 析法证明: “设 a>b>c,且 a+b+c=0,求证 b2-ac< 3a” 索的因应是( A.a-b>0 C.(a-b)(a-c)>0 ) B.a-c>0 D.(a-b)(a-c)<0

答案:C
解析: b2-ac< 3a ?b2-ac<3a2 ?(a+c)2-ac<3a2 ?a2+2ac+c2-ac-3a2<0 ?-2a2+ac+c2<0 ?2a2-ac-c2>0 ?(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.

4.[2013· 金版原创]设 a,b,c 是互不相等的正数,则下 列不等式中不恒成立的是________. ①(a+3)2>2a2+6a+11 1 1 ②a +a2≥a+a
2

1 ③|a-b|+ ≥2 a-b ④ a+3- a+1≤ a+2- a

答案:③ 解析:(a+3)2 -(2a2 +6a+11)=-a2 -2<0,故①恒不成

立;在②项中不等式的两侧同时乘以a2,得a4+1≥a3+a?(a4-
a3)+(1-a)≥0?a3(a-1)-(a-1)≥0?(a-1)2(a2+a+1)≥0,所 以②项中的不等式恒成立;

对③项中的不等式,当 a>b 时,恒成立,当 a<b 时,不 2 2 成立;由不等式 ≤ 恒成立,知④ a+3+ a+1 a+2+ a 项中的不等式恒成立.


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