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2015-2016年最新审定人教A版高中数学必修五:2.5《等比数列的前n项和(1)》ppt(优秀课件)_图文

最新审定人教A版高中数学必修五优秀课件 第二章 2.5 等比数列的前n项和 等比数列的前n项和 第1课时 1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课 时 作 业 课前自主预习 一天, 小林和小明做“贷款”游戏, 他们签订了一份合同. 从 签订合同之日起,在整整一个月 (30 天)中,小明第一天贷给小林 1 万元, 第二天贷给小林 2 万元?? 以后每天比前一天多贷给小林 1 万元.而小林按这样的方式还贷: 小林第一天只需还 1 分钱,第二天还 2 分钱,第三天还 4 分 钱??以后每天还的钱数是前一天的两倍. 合同开始生效了,第一天小林支出1分钱,收入1万元;第二天,他支出 2分钱,收入2万元;第三天,他支出4分钱,收入3万??到了第10天, 他共得 55 万元,付出的总数只有 10元2角3分.到了第 20 天,小林共得 210万元,而小明才得到1 048 575分,共1万元多一点.小林想:要是 合同订两个月,三个月该多好!果真是这样吗?我们一起来帮他算一算. 1.如何用数学语言表述等比数列的定义?若__________,则称数列{an} 为等比数列. 2.等比数列的通项公式是:______________. 3.等差数列{an}的前n项和公式是:______________. [ 答案] an+1 1. a =q,其中 n∈N*,q 是非零常数 n n-1 2.an=a1· q n?a1+an? 1 (n∈N ) 3.Sn= =na1+2n(n-1)d 2 * 1.等比数列前 n 项和公式 已知数列{an}是等比数列,首项为 a1,q 为公比,则其前 n 项和公式为 ?na1,q=1, ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ,q≠1. ? 1 - q 1 - q ? 公式的推导:教材上的推导方法叫错位相减法,我们在这 里介绍另一种方法. a2 a3 an 由等比数列的定义,得a =a =?= =q, an-1 1 2 a2+a3+?+an Sn-a1 根据等比的性质,得 = =q, a1+a2+?+an-1 Sn-an Sn-a1 a1-anq a1?1-qn? 即 =q?(1-q)Sn=a1-anq?Sn= = . Sn-an 1-q 1-q 注意:(1)等比数列前 n 项和公式及通项公式中共有五个量 a1、q、an、n、Sn,这五个量可“知三求二”. (2)利用等比数列的前 n 项和公式求和时,要特别注意公比 q 的取值,应当按 q=1 和 q≠1 分别求解,如果其中含有参数 不能确定时,必须进行分类讨论. 1 已知 a1=27,a9=243,q<0,求这个等比数列前 5 项的和. [ 分析] 出 S5. [ 解析] 由 a1, a9 可求出 q, 再用等比数列前 n 项和公式求 1 243 1 1 8 ∵a1=27,a9=243,∴q = 27 =38, 1 又∵q<0,∴q=-3, 15 a1?1-q5? 27[1-?-3? ] 61 ∴S5= = 1 =3. 1-q 1-?-3? 2.等比数列前 n 项和公式与函数的关系 当公比 q≠1 时,我们已经知道等比数列的前 n 项和公式 a1?1-qn? a1 n a1 a1 Sn= , 它可以变形为 Sn=- q+ , 设 A= , 1-q 1-q 1-q 1-q 上式可写成 Sn=-Aqn+A,由此可见,非常数列的等比数列的 前 n 项和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的, 而指数式的系数与常数项互为相反数.反过来也成立. 即数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和 公式为 Sn=-Aqn+A,(A≠0,q≠0,且 q≠1,n∈N*) 当公比 q=1 时,因为 a1≠0,所以 Sn=na1 是 n 的正比例 函数. 等比数列{an}的前 n 项和 Sn=2×3n+a,则 a 等于( A.3 C.0 [ 答案] B.1 D.-2 ) D [ 解析] 数列{an}是非常数列的等比数列的充要条件是前 n 项和公式为 Sn=-Aqn+A,由此可知 a=-2. 3.等比数列前 n 项和的性质 (1)连续 m 项的和(如 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?)仍组成等 比数列(注意这连续 m 项的和必须非零才能成立). (2){an}为等比数列?Sn=Aqn-A(A≠0,q≠0 且 q≠± 1). (3)Sn+m=Sm+qmSn(q 为公比). S偶 (4)若项数 n 为偶数(n∈N ),则 =q. S奇 * 在正项等比数列{an}中,Sn 是其前 n 项和,若 S10=10,S30 =130,则 S20 的值为________. [ 答案] [ 解析] 40 由 S10,S20-S10,S30-S20 成等比数列, 得(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(S20-10)2=10(130-S20), 解方程得 S20=40 或 S20=-30,∵S20>0,∴S20=40. 课堂典例探究 等比数列求和公式 [ 分析] 7 63 在等比数列{an}中,S3=2,S6= 2 ,求 an. 已知等比数列前 3 项与前 6 项的和,求其通项, 解答本题直接用前 n 项和公式,列方程组求解. [ 解析] ∵S6≠2S3,∴q≠1, 3 a ? 1 - q ? 7 ? 1 ? =2, 1 - q ? 7 63 又∵S3=2,S6= 2 ,∴? 6 a ? 1 - q ? 63 ? 1 =2, ? 1 - q ? 整理,得 1+q3=9,解得 q=2. a1?1-q3? 7 1 将 q=2 代入 =2,得 a1=2, 1-q 故 an=a1qn 1=2n 2. - - [ 方法总结] 对于等比数列{an}的五个量 a1,q,an,n,Sn 中,a1,q 是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,

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