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直线、平面垂直的判定及其性质


直线、平面垂直的判定及其性质
知识要点梳理 知识点一、直线和平面垂直的定义与判定 1.直线和平面垂直定义 如果直线 和平面 平面 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 与平面 叫直线 的垂面;垂线和平面的交点叫垂足. 互相垂直,记作 .直线 叫

的垂线;平面

2.直线和平面垂直的判定定理 判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.

知识点二、斜线、射影、直线与平面所成的角 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点 间平面引垂线,过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影 所成的锐角[ 0 至 90 ],叫做这条直线和这个平面所成的角. 知识点三、二面角 1.二面角定义 平面内的一条直线把平面分成两部分,这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的 图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面. 2.二面角的平面角 在二面角的棱上任取一点,以该点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线,则这两条射线构成 的角叫做二面角的平面角.
0 0

二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是 直角的二面角叫做直二面角 二面角范围是[ 0 至 180 ]
0 0

知识点四、平面与平面垂直的定义与判定

1.平面与平面垂直定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面垂直. 表示方法:平面 与 垂直,记作 .

2.平面与平面垂直的判定定理 判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言:

图形语言: 知识点五、直线与平面垂直的性质 1.基本性质 一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内的所有直线. 2.性质定理 1 垂直于同一个平面的两条直线平行.2 垂直于同一条直线的两个平面平行 知识点六、平面与平面垂直的性质 性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 如果两个平面互相垂直那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内

例 1 在三棱锥 P ? ABC 中,侧面 PAC 与面 ABC 垂直, PA ? PB ? PC ? 3 .

求证: AB ? BC ;

设 AB ? BC ? 2 3 ,求 AC 与平面 PBC 所成角的大小.

例 2 如图,直角 △ ABC 所在平面外一点 S ,且 SA ? SB ? SC ,点 D 为斜边 AC 的中点. 求证: SD ? 平面 ABC ; 若 AB ? BC ,求证: BD ? 面 SAC .

例 3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中. (1)求直线 A1B 和平面 ABCD 所成的角; (2)求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角.

例 4 如图所示,河堤斜面与水平面所成二面角为 300,堤面上有一条直道 CD,它与堤角的水平线 AB 的夹 角为 450 ,沿这条直道从堤脚 C 向上行走 10m 到达 E 处,此时人升高了多少 m? D E A C B

例 5 在四面体 ABCD 中,已知 AC⊥BD,∠ BAC= ∠CAD=45°,∠BAD=60°,求证:平面 ABC⊥平面 ACD.

例 6 四棱锥 P-ABCD 的底面是矩形,AB=2,侧面 PAB 是等边三角形,且侧面 PAB⊥底面 ABCD. 证明:侧面 PAB⊥侧面 PBC; (2)求侧棱 PC 与底面 ABCD 所成的角

一、选择题
1.两异面直线在平面α 内的射影( ) A.相交直线 B.平行直线 C.一条直线—个点 D.以上三种情况均有可能 2.在下列四个命题中,假命题为( ) A.如果一条直线垂直于平面内的无数条直线,那么这条直线和这个平面垂直 B.垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 C.过点 A 垂直于直线 a 的所有直线都在过点 A 垂直于 a 的平面内 D.如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面 3.已知 P 是四边形 ABCD 所在平面外一点且 P 在平面 ABCD 内的射影在四边形 ABCD 内,若 P 到这四边形 各边的距离相等,那么这个四边形是( ) A.圆内接四边形 B.矩形 C.圆外切四边形 D.平行四边形 4.在△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA⊥平面 ABC,PA=8,则 P 到 BC 的距离等于( ) A. 5 B. 2 5 C.3 5 D.4 5 )

5. B 两点相距 4cm, A、 与平面 a 的距离分别为 3cm 和 1cm, AB 与平面 a 所成角的大小是 A、 且 B 则 ( A.30° B.60° C.90° D.30°或 90° a 不垂直于平面 ? ,则 ? 内与 a 垂直的直线有( 6. 直线 ) A. 0 条 B. 1 条 C.无数条 D. ? 内所有直线 )

7. 已知三条直线 m , n , l ,三个平面 ? , ? , ? .下面四个命题中,正确的是(
? ? ? // ? ? ??? A.

? ???

m // ? ? ?? l ? ? l?m ? B.
m??? ? ? m // n n?? ? D.

m // ? ? ? ? m // n n // ? ? C.

8. 设 a , b 是异面直线,下列命题正确的是(



A.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一条直线和 a , b 都相交 B.过不在 a , b 上的一点 P 一定可以作一个平面和 a , b 垂直 C.过 a 一定可以作一个平面与 b 垂直 D.过 a 一定可以作一个平面与 b 平行

二、填空题
1.AB 是平面α 的斜线段,其长为 a,它在平面α 内的射影 A′B 的长为 b,则垂线 A′A_________. 2.如果直线 l、m 与平面α 、β 、γ 满足:l=β ∩γ ,l⊥α ,m α 和 m⊥γ ,现给出以下四个结论: α ∥γ 且 l⊥m;②α γ 且 m∥β ③α β 且 l⊥m;④α γ 且 l⊥m;其中正确的为“________” 3.给出以下四个命题(1)两条平行直线在同一平面内的射影一定是平行直线; (2)两条相交直线在同一平面内的射影一定是相交直线;

(3)两条异面直线在同一平面内的射影—定是两条相交直线; (4)一个锐角在平面内的射影一定是锐角. 其中假命题的共有_________个. 4. ? , ? 是两个不同的平面,m, n 是平面 ? 及 ? 之外的两条不同的直线, 给出四个论断: ① m ? n ;
② ? ? ? ; ③ n ? ? ; ④ m ? ? .以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正

确的一个命题__________. 5 设 O 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, P 为平面 AC 外一点且有 PA ? PC , PB ? PD ,则 PO 与 平面 ABCD 的关系是_____________. 6.设三棱锥 P ? ABC 的顶点 P 在底面 ABC 内射影 O (在 △ ABC 内部,即过 P 作 PO ? 底面 ABC , 交于 O ) ,且到三个侧面的距离相等,则 O 是 △ ABC 的______心.

三、解答题
1 如图所示,平面 ? ∥平面 ? ,点 A∈ ? ,C∈ ? ,点 B∈ ? ,D∈ ? ,点 E,F 分别在线段 AB,CD 上,且 AE∶ EB=CF∶FD.求证:EF∥ ? ;(2)若 E,F 分别是 AB,CD 的中点,AC=4,BD=6 且 AC,BD 所成的角为 60°, 求 EF 的长

2 在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱长为

,底面三角形的边长为 1,则 BC1 与侧面 ACC1A1 所成的角是

2

P 3.三棱锥 P-ABC 中,PC⊥平面 ABC,PC = 3 ,D 是 BC 的中点,且△ADC 是边长为 2 的正三角形,求 二面角 P-AB-C 的大小。 C

D B

A


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