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2014高考数学“拿分题”训练(知识整合+方法技巧+例题分析):三角函数


2014 高考数学“拿分题”训练:三角函数
高考试题中的三角函数题相对比较传统,难度较低,位置靠前,重点突出。因此,在复 习过程中既 要注重 三角知识的基础性,突出三角函数的图象、周期性、单调性、奇偶性、对 称性等性质。以及化简、求值和最值等重点内容的复习,又要注重三角知 识的工具性,突出 三角与代数、几何、向量的综合联系,以及三角知识的应用意识。 一、知识整合 1.熟练掌握三角变换的所有公式,理解每个公式的意义,应用特点,常规使用方法等; 熟悉三角变换常用的方法——化弦法,降幂法,角的变换法等;并能应用这些方法进行三角 函数式的求值、化简、证明;掌握三角变换公式在三角形中应用的特点,并能结合三角形的 公式解决一些实际问题. 2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数 的性质;熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、特点,并会用五 点画出函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种 变换研究函数图象的变化. 二、高考考点分析 2004 年各地高考中本部分所占分值在 17~22 分,主要以选择题和解答题的形式出现。主 要考察内容按综合难度分, 我认为有以下几个层次: 第一层次:通过诱导公式和倍角公式的简单运用,解决有关三角函数基本性质的问题。 如判断符号、求值、求周期、判断奇偶性等。 第二层次:三角函数公式变形中的某些常用技巧的运用。如辅助角公式、平方公式逆用、 切弦互化等。 第三层次:充分利用三角函数作为一种特殊函数的图象及周期性、奇偶性、单调性、有 界性等特殊性质,解决较复杂的函数问题。如分段函数值,求复合函数值域等。
[来源:学§科§网 Z§X§X§K] [来源:Zxxk.Com]

三、方法技巧 1.三角函数恒等变形的基本策略。 2 2 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配 凑角:α =(α +β )-β ,β =

???
2



???
2
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、
2

b 的符号确定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

2.证明三角等式的思路 和方法。 (1)思路:利用三角公式进行化名,化角,改变运算结构,使等式两边化为同一形式。 (2)证明方法:综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法。 3.证明三角不等式的方法:比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利 用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等。 4.解答三角高考题的策略。 (1)发现差异:观察角、函数运算间的差异,即进行所谓的“差异分析” 。 (2)寻找联系:运用相关公式,找出差异之间的内在联系。 (3)合理转化:选择恰当的公式,促使差异的转化。
[来源:学科网 ZXXK]

四、例题分析 例 1.已知 tan ? ? 值.

2 ,求(1)

cos? ? sin ? ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos 2 ? 的 cos? ? sin ?

sin ? cos ? ? sin ? cos ? ? 1 ? tan ? ? 1 ? 2 ? ?3 ? 2 2 ; ? 解: (1) sin ? 1 ? tan ? 1 ? 2 cos ? ? sin ? 1? cos ? sin 2 ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 2 (2) sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos ? ? sin 2 ? ? cos 2 ? sin 2 ? sin ? ? ?2 2 2? 2 ?2 4? 2 ? cos ? 2 cos ? ? ? . sin ? 2 ?1 3 ?1 cos 2 ? 1?
[来源:学。科。网]

说明:利用齐次式的结构特点(如果不具备,通过构造的办法得到) ,进行弦、切互化, 就会使解题过程简化。 例 2.求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x) 的值域。
2

解:设 t ? sin x ? cos x ?

π 2 sin( x ? ) ? [? 2, 2] ,则原函数可化为 4

1 3 y ? t 2 ? t ? 1 ? (t ? ) 2 ? ,因为 t ? [? 2, 2] ,所以 2 4 1 3 当 t ? 2 时, ymax ? 3 ? 2 ,当 t ? ? 时, ymin ? , 2 4 3 所以,函数的值域为 y ? [ ,? 2] 。 3 4
例 3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?
2

π 对称。 8
2

解: f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2 ? 2sin x ? 2(1 ? 2sin x)

π ? 2sin 2 x ? 2 cos 2 x ? 2 2 sin(2 x ? ) 4
(1)所以 f ( x) 的最小正周期 T ? π ,因为 x ? R ,

π π 3π ? 2kπ ? ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) 最大值为 2 2 ; 4 2 8 π (2) 证 明 : 欲 证 明 函 数 f ( x) 的 图 像 关 于 直 线 x ? ? 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x ? R , 有 8 π π f (? ? x) ? f (? ? x ) 成立, 8 8
所以,当 2 x ?

π π π π ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π π f (? ? x) ? 2 2 sin[2(? ? x) ? ] ? 2 2 sin(? ? 2 x) ? ?2 2 cos 2 x , 8 8 4 2 π π π 所以 f (? ? x) ? f (? ? x) 成立,从而函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称。 8 8 8 3 1 2 例 4. 已知函数 y= cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2
因为 f (? (1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 解: (1)y=

3 3 1 1 1 2 2 cos x+ sinx·cosx+1= (2cos x-1)+ + (2sinx·cosx)+1 2 2 4 4 4 3 1 5 1 ? ? 5 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ 4 4 4 2 6 6 4 1 ? 5 = sin(2x+ )+ 2 6 4

所以 y 取最大值时,只需 2x+

? ?
6
=

2

+2kπ ,(k∈Z) ,即 x=

?

所以当函数 y 取最 大值时,自变量 x 的集合为 {x|x= (2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换: (i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

?
6

6

+kπ ,(k∈Z) 。

+kπ ,k∈Z}

?
6

,得到函数 y=sin(x+

?
6

)的图像;

( ii ) 把 得 到 的图 像 上各 点 横 坐 标 缩 短到 原 来的 y=sin(2x+

?
6

1 倍 ( 纵 坐 标 不变) 得到 函 数 , 2

)的图像;

( iii)把得 到的图像上各点纵 坐标缩短到原来的 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6
(iv)把得到的图像向上平移 综上得到 y=

1 倍( 横坐标不变) ,得到函 数 2

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= s in(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

3 1 2 cos x+ sinxcosx+1 的图像。 2 2
2 2

说明:本题是 2000 年全国高考试题,属中档偏容易题,主要考查三角函数的图像和性质。 这类题一般有两种解法: 一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降幂后最终化成 y= a ? b sin (ω x+ ? )+k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题(1)还可以解法如下:当

1 3 1 3 cos 2 x ? sin x cos x ? tan x 2 2 cosx=0 时,y=1;当 cosx≠0 时,y= 2 +1= 2 +1 sin 2 x ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 2 化简得:2(y-1)tan x- 3 tanx+2y-3=0 3 7 ∵tanx∈R,∴△=3-8(y-1)(2y-3) ≥0,解之得: ≤y≤ 4 4

7 ? ,此时对应自变量 x 的值集为{x|x=kπ + ,k∈Z} 4 6 x x x 例 5.已知函数 f ( x) ? sin cos ? 3 cos 2 . 3 3 3 (Ⅰ)将 f(x)写成 A sin(?x ? ? ) 的形式,并求其图象对称中心的横坐标;
∴ymax= (Ⅱ)如果△ABC 的三边 a、b、c 满足 b =ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x 的范围及此时 函数 f(x)的值域. 解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 (1 ? cos 2 x ) ? 1 sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? sin( 2 x ? ? ) ? 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 3 2
2

2x ? 2x ? 3k ? 1 ? ) =0 即 ? ? k? (k ? z )得x ? ? 3 3 3 3 2 3k ? 1 即对称中心的横坐标为 ?, k ? z 2
(Ⅰ)由 sin(
2

k?z

(Ⅱ)由已知 b =ac

a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 2ac ? ac 1 ? ? ? , 2ac 2ac 2ac 2 1 ? ? 2 x ? 5? ? ? cos x ? 1, 0 ? x ? , ? ? ? 2 3 3 3 3 9 ? ? 5? ? ? 2x ? 2x ? 3 ?| ? |?| ? | , ? sin ? sin( ? ) ? 1, ? 3 ? sin( ? ) ? 1 ? , 3 2 9 2 3 3 3 3 3 2 3 即 f (x) 的值域为 ( 3 ,1 ? ]. 2 3 ? 综上所述, x ? (0, ] , ] . f (x) 值域为 ( 3 ,1 ? 2 3 cos x ?
说明:本题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等知识,还需要利用数形结合的思 想来解决函数值域的问题,有利于培养学生 的运算能力,对知识进行整合的能力。 例 6.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 (1)求 sin B 的值; (2)若 b ? 4 2 ,且 a=c,求 ? ABC 的面积。 解:(1)由正弦定理及

cos C 3a ? c , ? cos B b

cos C 3a ? c cos C 3sin A ? sin C ,有 , ? ? cos B b cos B sin B

即 sin B cos C ? 3sin A cos B ? sin C cos B ,所以 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B , 又因为 A ? B ? C ? π , sin( B ? C ) ? sin A ,所以 sin A ? 3sin A cos B ,因为 sin A ? 0 ,所 以 cos B ?

2 2 1 ,又 0 ? B ? π ,所以 sin B ? 1 ? cos 2 B ? 。 3 3
2 ac ? 32 ,又 a ? c , 3

(2)在 ? ABC 中,由余弦定理可得 a 2 ? c 2 ? 所以有

4 2 a ? 32,即a 2 ? 24 ,所以 ? ABC 的面积为 3

S?

1 1 ac sin B ? a 2 sin B ? 8 2 。 2 2 ? ? ? ? ? 例 7.已知向量 a ? (2 cos α,2 sin α ),b = ( ? sin α, α ),x ? a ? (t 2 ? 3)b, cos

? ? ? ? ? y ? ?ka ? b ,且 x ? y ? 0 ,
(1)求函数 k ? f (t ) 的表达式; (2)若 t ? [?1 3] ,求 f (t ) 的最大值与最小值。 , 解:(1) a 2 ? 4 , b ? 1 , a ? b ? 0 ,又 x ? y ? 0 , 所以 x ? y ? [a ? (t 2 ? 3)b ] ? (? ka ? b ) ? ? ka 2 ? (t 2 ? 3)b 2 ? [t ? k (t 2 ? 3)]a ? b ? 0 ,

?

?2

? ?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

?

? ?

1 3 3 1 3 t ? t ,即 k ? f (t ) ? t 3 ? t ; 4 4 4 4 3 3 (2)由(1)可得,令 f (t ) 导数 t 2 ? ? 0 ,解得 t ? ?1 ,列表如下: 4 4
所以 k ? t -1 0 极大值 (-1,1) - 递减 1 0 极小值 (1,3) + 递增

f (t ) 导数

f (t )

而 f (?1) ? ,f (1) ? ? ,f (3) ? , 所以 f (t ) max ? ,f (t ) min ? ? 例 8.已知向量 a ? (cos α, α ),b = (cos β, β ),a ? b |? sin sin | (1) 求 cos(α ? β ) 的值;

1 2

1 2

9 2

9 2

1 。 2

?

?

?

?

2 5 , 5

π π 5 , ? β ? 0,且 sin β ? ? ,求 sin α 的值。 ? 2 2 13 ? ? 解:(1)因为 a ? (cos α, α ),b = (cos β, β ), sin sin
(2) (2)若 0 ? α ? 所以 a ? b ? (cos α ? cos β, α ? sin β ), sin 又因为 | a ? b |?

?

?

?

?

2 5 2 5 ,所以 (cos α ? cos β ) 2 ? (sin α ? sin β ) 2 ? , 5 5
4 5 3 ; 5

即 2 ? 2 cos(α ? β ) ? , α ? β ) ? cos( (2) 0 ? α ?

π π , ? β ? 0, ? α ? β ? π , ? 0 2 2

又因为 cos(α ? β ) ?

3 4 ,所以 sin(α ? β ) ? , 5 5 5 12 63 sin β ? ? ,所以 cos β ? ,所以 sin α ? sin[(α ? β ) ? β ] ? ? ? 13 13 65

例 9.平面直角坐标系有点 P (1, cos x), Q (cos x,1), x ? [?

? ?

, ] 4 4

(1) 求向量 OP 和 OQ 的夹角 ? 的余弦用 x 表示的函数 f (x) ; (2) 求 ? 的最值. 解: (1)? OP ? OQ

? OP ? OQ ? cos? ,

? cos x ? cos x ? (1 ? cos 2 x) cos? ? cos? ? 2 cos x 1 ? cos 2 x


2 cos x ? ? (? ? x ? ) 2 1 ? cos x 4 4 1 3 2 2 (2)? cos? ? , 又 cos x ? ? [2, ], 1 cos x 2 cos x ? cos x 2 2 2 2 ?? min ? 0 , ? max ? arccos . ? cos? ? [ ,1] , 3 3 f ( x) ?
说明:三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻注意。


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